Anwendungen der Schrödinger-Gleichung e) Der harmonische Oszillator

(1)

1 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung e) Der harmonische Oszillator

 1  0

2 )

(

und 2 1

mit

0 ) ( )

( )

(

2 ) ( )

2 ( ) 1 2 (

) 2 (

) 2 ( /

2 2 2

1 0

0 2

1 0

2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2







 

 

 

 





 













 

 

 









 

 





 

 









H a b

a H a

e H a H

E b

e A

a b a a

a

b E x m

a

x E x x

m x x

x m C x

x x m

C x x V m

C x

C F

a a



 















Sehr wichtiges Beispiel, weil jede rücktreibende Kraft bei einer Auslenkung (z.B. eines Atoms im Molekül) in erster Näherung linear ist (erstes Glied einer Taylor-Reihe).

Variablentransformation, um die Gleichung zu vereinfachen

Einfachste Lösung (durch Probieren): Gauß-Funktion

Allgemeiner Ansatz führt zur sogenannten Hermiteschen Differenzialgleichung

Charles Hermite (1822 - 1901) Die Lösungen heißen Hermitesche Polynome H

_n

(a) vom Grade n. Beispiele:

a a

a H a

H

₀

( )  1

₁

( )  2

₂

( )  4

²

 2

₃

( )  8

³

 12

Interessant sind die Eigenwerte der Energie (vgl. schwarzer Körper):

  1 / 2      0 , 1 , 2 

 n n

E

_n



(2)

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

für die ersten sieben Zuständen des harmonischen Ozillators (oben) und für den Zustand mit n = 70.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist an den

Umkehrpunkten erhöht, um so mehr, je höher n ist, was dem klassischen harmonischen Oszillator entspricht.

(Wikipedia, Allen McC:)

(3)

3 2.10 Die Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

Dreidimensionaler Raum beschrieben durch - kartesische Koordinaten x, y, z

- Zylinderkoordinaten r, z, j (für Probleme mit Zylindersymmetrie)

- Kugelkoordinaten r, q, j (für Probleme mit radialer Abhängigkeit z.B. Atome)

Schrödinger-Gleichung in kartesischen Koordinaten

Dreidimensionaler Potenzialkasten

     

 

 





 



  





 









 



 



 

 



 



 

 



 



 















  

  

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2

) 2 , , (

2 1 2

, ,

3 , 2 , 1 sin

sin sin

) , , (

) , , ( sonst

, 0

0 0

für 0

) , , (

c n b n a n n m

n n E

c b a C

B A dz

dy dx z y x

n c z

n C

z h b y

n B

y g a x

n A

x f

z h y g x f z y x

z y x V c

z b

y a

x z

y x V

y z x z

y x a

x b

y c

z

i z

y x













Ansatz für die Wellenfunktion

nur Sinusfunktionen, weil  (0,0,0)=0

Normierung

Energie-Eigenwerte hängen von drei Quantenzahlen ab

können "entartet" sein, d.h. für verschiedene Quantenzahlen

(und damit verschiedene Wellenfunktionen) kann der Energie-

Eigenwert gleich sein

(4)

Übergang von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten

q

j q

cos

sin sin

cos sin











 r z

r y

r x

) / ( tan

) /

( cos

1

2 2 2 1

2 2 2

x y

z y x z

z y x r













 j q

Richard P. Feynman (1918-1988)

2 2 2

2 2

2

sin

sin 1 sin

1 1

j q q q

q

 q



 

 

 

 







 

 

 

 







 

 r r r r

r r

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

"It's a rather tedious mess to work through the algebra, ..."

(R. P. Feynman, Lectures on Physics III, 19-2) Erste Ableitung nach x:

 

j

 q j q

 j q q 

 q

q j j

j q

j q j

q q

j

 j q

 q





 



 

 



 

 





 



 

 



 

 

 



 



 

 

 

 

 

 

 



 







 



 



 



 



 



sin sin cos

cos cos sin

sin sin cos

sin sin

sin sin 1

/ 1

1 cos cos cos

sin cos

cos 1

1 2

2 1 /

1 1

cos 2 sin

) 2 / 1 (

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 3 2 3

2 2 2 2

r r

x

r r y

x y x

r r

r x z r

x z

r x z y x

x x

r

x x

r x r x

Dann zweite Ableitung nach x, dasselbe für y und z und die zweiten Ableitungen addieren

(5)

5 2.11 Das Wasserstoffatom

Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten

zunächst mit V(r) , einem beliebigen kugelsymmertischen Potenzial (später wird das Coulomb-Potenzial verwendet)

 

 ⁽ ⁾  ⁰

2 sin

sin 1 sin

1 1

0 ) 2 (

) , , (

2 2 2 2

2 2

2







 

 

 

 

 







 

 

 

 







 







  j

 q q

q  q

q

 j  q





r V r E

r r r

r r

r V E r



 

² ² ² ₂

2 2

2

2 2 2

2 2

sin 1 sin 2

sin sin

0 2 sin

sin sin

sin

) ( ) ( )

, , (



 q 

 q

q  q

 q q

 q



  q

q  q q

 q





j

 q

 j

q





 









 



 







 

 



 







 







 

 



 



 







 



 



 







 





r V r E

r R r R

r V E R

r R r R r r R r



Produktansatz

in die Schrödinger-Gleichung eingesetzt und mit r

²

·sin

²

q multipliziert, anschließend durch R·  ·  geteilt

Da die linke Seite nur von r und q abhängt, während die rechte Seite nur von  abhängt, muss jede Seite von der anderen unabhängig, d.h. gleich einer Konstanten, sein. Es ergeben sich zwei getrennte Differentialgleichungen.

Rechte Seite:

2

0

2 2 2 1

2

  



 



 

 



 



 C m

Die Masse heißt hier  in Anlehnung an die reduzierte Masse im Bohrschen Atommodell

Die Konstante wurde m

²

genannt, was später erklärt wird. Hier ist m keine Masse, sondern die sogenannte

"magnetische Quantenzahl" die traditionell mit m bezeichnet wird

(6)

6   mit  2 , 1 , 0 , 1 , 2  2

1 1 und

) 2 (

) ( wobei

2

0

*





































m e

d n

e A

m i m i

j

 

j 

j

 j

j

Lösung der Differenzialgleichung und Normierung:

 

q q q

q q



2 2 2

2 2

sin sin sin

1 2

1 m

r V r E

r R r

R  



 











 



 







 



 







 



Nochmal die Schrödinger-Gleichung wie oben, diesmal anders angeordnet, durch sin

²

q geteilt und  eingesetzt

Nun hängt die linke Seite nur von r ab, die rechte nur von q sowie der oben gefundenen magnetischen Quantenzahl m. Wieder sind beide Seiten gleich einer Konstanten. Rechte Seite:

) 1 sin (

sin sin 1

2

  

 



 











 



 m l l

q q q

q q

Die Gründe für die seltsame Bezeichnung der Konstanten werden später klar. Der Buchstabe l steht für die sogenannte "Drehimpulsquantenzahl".

Für m = 0 ergibt sich die Legendresche Differenzialgleichung mit den sog. Legendre-Polynomen als Lösung.

Für m ≠ 0 erhält man die sog. zugeordneten Legendre-Polynome, die Funktionen von cosq sind:

 

^l

l l l

l m

l

m

x

dx d x l

P x P l

m l P

A 1

! 2 ) 1 ( )

( mit

) (cos )

(

⁰



²





 





 











 q q

 ³ ¹ 

2 ) 1 (

) (

1 ) (

2 2

1 0







x x

P

P P

x x P

x P

m l m l l

(7)

7   q j  2 , 1

0



Y

Die gesamte Winkelverteilung der Wellenfunktionen (und damit auch die der Aufenthaltswahrscheinlichkeit) ist von V(r) unabhänging, gilt also für jedes kugelsymmetrische Potenzial