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Diskrete Mathematik

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Academic year: 2021

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Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2006

Diskrete Mathematik

Blatt 11, 30.06.2006, Abgabe 07.07.2006

Aufgabe 1. (ReedSolomonCodes) Sei F q = hi; n = q 1.

Der Code C F n q bestehe aus den Codepolynomen a(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 2 F q [x] mit a() = a( 2 ) = = a( d 1 ) = 0. Zeige

1. C ist zyklisch mit

Generatorpolynom g(x) = (x )(x 2 ) (x d 1 ) 2 F q [x], 2. d(C) d 1,

3. dim F

q

C = n d + 1.

Aufgabe 2. Sei C; ; F q wie in Aufgabe 1. Zeige

1. C liefert einen [kn; k(n d + 1)] Blockcode C über Z 2 mit d( C) d.

2. Wie erhält man die Generator und PCHMatrix von C?

3. C kann man erweitern zu C F n q mit d( C) d und dim Z

2

( C) = kn k#f2j + 1 j 1 2j + 1 dg.

Aufgabe 3. Zu a 1 ; : : : ; a k 2 R n ist die Dimension des Polytops P = conv(a 1 ; : : : ; a k ) erklärt als die Dimension des Vektorraums P k

i=2 (a i a 1 )R.

Zeige, dass dim(P ) von der Reihenfolge der a 1 ; : : : ; a k nicht abhängt.

Aufgabe 4. P = ( 3; 9) und Q = ( 2; 8) sind Punkte der elliptischen Kurve y 2 = x 3 36x über Q. Bestimme P + Q und 2P .

6 Punkte pro Aufgabe.

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