Rekursives Programmieren

(1)

Rekursives Programmieren - Theorie

Rekursives Programmieren

Alexander Steinicke Montanuniversit¨at Leoben

Vorlesung, 5.3.2020

(2)

Rekursives Programmieren - Theorie

1 Algorithmen

2 Berechenbare Funktionen

Alphabete, Wörter, berechenbare Funktionen Arithmetische berechenbare Funktionen Aufzählbare und entscheidbare Mengen Verallgemeinerung für mehrere Komponenten Weitere Begriffe nachTuring

3 Primitiv-rekursive Funktionen

(3)

Rekursives Programmieren - Theorie Algorithmen

Was sind Algorithmen?

Charakteristika:

Verfahren zur L¨osung von Problemen einer (klar definierten) Klasse

“Rezeptcharakter” des Algorithmus

Determinierte, nicht determinierte Algorithmen Abbrechende, nicht abbrechende Algorithmen Algorithmus vollzieht sich in Schritten

Sukzessive Herstellung von Konfigurationen in einer Apparatur Diskretheit der Konfigurationen (kein Analogrechner)

(4)

Rekursives Programmieren - Theorie Berechenbare Funktionen

Alphabete, W¨orter, berechenbare Funktionen

1 Algorithmen

(5)

Definition

SeiA 6=∅ eine endliche Menge.

Die MengeW(A) :=S

n≥0Aⁿ heißt Menge derW¨orter¨uber dem AlphabetA.

F¨ur jedesu = (a₁, . . . ,a_n) =a₁· · ·a_n∈ W(A) heißt n die L¨ange

vonu,n =`(u).

Es gibt genau ein Wort der L¨ange 0, dasleere Wort. Bezeichnung:

♦∈ A⁰.

Elemente vonA heißen Buchstaben, Symbole, Zeichen, Chars.

Statt W¨orter auch: Zeichenketten, Strings.

(6)

Man beobachtet sofort:

Lemma

1 F¨ur jedes AlphabetA istW(A) abz¨ahlbar unendlich.

2 Mit der Verkn¨upfung

(a1· · ·an,b1· · ·bm)7→a1· · ·anb1· · ·bm

(Verkettung, Concatenation) istW(A) ein Monoid (Verkn¨upfung assoziativ) mit neutralem Element ♦.

(7)

Definition

SeienA,B Alphabete.

Eine Funktionf:W(A)→ W(B) heißt berechenbar, wenn es einen Algorithmus so gibt, dass f¨ur jedesu ∈ W(A) das f(u)∈ W(B) durch Anwendung eines Algorithmus in endlich vielen Schritten berechnet werden kann.

Bemerkungen:

1 W(A),W(B) sind abz¨ahlbare Mengen.

⇒ Nur Funktionen, die auf einer abz¨ahlbaren Menge definiert sind, k¨onnen berechenbar sein.

zB.f :I →R, wobeiI ⊆RIntervall mit mehr als 1 Punkt ist, ist nicht berechenbar.

2 W(A),W(B) sind abz¨ahlbar unendlich.

⇒ Menge aller Funktionen f:W(A)→ W(B) ist nicht abz¨ahlbar.

(8)

Definition

SeienA,B Alphabete.

Bemerkungen:

⇒ Menge aller Funktionenf :W(A)→ W(B) ist nicht abz¨ahlbar.

(9)

Definition

SeienA,B Alphabete.

Bemerkungen:

(10)

3 Es gibt nur abz¨ahlbar viele Algorithmen

(Beschreibung eines jeden Algorithmus durch einen endlichen Text in einer fix gew¨ahlten Sprache)

und daher nur abz¨ahlbar viele berechenbare Funktionen f :W(A)→ W(B).

(11)

3 Es gibt nur abz¨ahlbar viele Algorithmen

(Beschreibung eines jeden Algorithmus durch einen endlichen Text in einer fix gew¨ahlten Sprache)

und daher nur abz¨ahlbar viele berechenbare Funktionen f :W(A)→ W(B).

(12)

Arithmetische berechenbare Funktionen

1 Algorithmen

(13)

A) SeiAein Alphabet. Dann ist W(A) abz¨ahlbar unendlich.

Es existiert also eine BijektionW(A)→N.

Beschreibung einer BijektiongA:W(A)↔N: SeiA={a₁, . . . ,a_p} (p ≥1).

Graduiert-lexikographische Ordnung aufW(A):

♦,

a₁,a₂, . . . ,a_p,

a1a1,a1a2, . . . ,a1ap,a2a1, . . . ,a2ap, . . . ,apa1, . . . ,apap, a1a1a1, . . . ,apapap,

a1a1a1a1, . . . ...

Die Ordnung liefert eine BijektiongA:W(A)↔Ndurch gA(♦) = 0, gA(a1) = 1, gA(a1a1) =p+ 1, . . .

(14)

♦,

a₁,a₂, . . . ,a_p,

a1a1a1a1, . . . ...

Die Ordnung liefert eine BijektiongA:W(A)↔Ndurch gA(♦) = 0, gA(a1) = 1, gA(a1a1) =p+ 1, . . .

(15)

♦,

a₁,a₂, . . . ,a_p,

a1a1a1a1, . . . ...

Die Ordnung liefert eine BijektiongA:W(A)↔Ndurch

gA(♦) = 0, gA(a1) = 1, gA(a1a1) =p+ 1, . . . 8 / 30

(16)

Damit:

WennA geordnet ist, dann istgA:W(A)→N“berechenbar”.

Ebensog_A⁻¹.

B)N={0,1,2, . . .} ist kein Wortmonoid.

Aber: Elemente vonNk¨onnen “codiert” werden.

1. M¨oglichkeit: Strichcode:

S={|}, W(S) ={♦,|,||,|||, . . .}. Die Funktion s:N→ W(S),n7→ ||| · · · |

| {z }

nmal

heißt Strichcodierung vonNund ist berechenbar.

(17)

Damit:

WennA geordnet ist, dann istgA:W(A)→N“berechenbar”.

Ebensog_A⁻¹.

B)N={0,1,2, . . .} ist kein Wortmonoid.

Aber: Elemente vonNk¨onnen “codiert” werden.

1. M¨oglichkeit: Strichcode:

S={|}, W(S) ={♦,|,||,|||, . . .}. Die Funktion s:N→ W(S),n 7→ ||| · · · |

| {z }

nmal

heißt Strichcodierung vonNund ist berechenbar.

(18)

2. M¨oglichkeit: q-adische Codierungen: q∈N,q ≥2.

Z_q :={0, . . . ,q−1} ...q paarweise verschiedene Ziffern. Zifferndarstellung:

N↔ Z_q

n=k0q⁰+k1q¹+· · ·+k_dg^d ↔k_dkd−1· · ·k1k0

ki ∈ {0, . . . ,q−1},kd 6= 0.

(19)

Z_q :={0, . . . ,q−1} ...q paarweise verschiedene Ziffern.

Zifferndarstellung:

N↔ Z_q

ki ∈ {0, . . . ,q−1},kd 6= 0.

(20)

Z_q :={0, . . . ,q−1} ...q paarweise verschiedene Ziffern.

Zifferndarstellung:

N↔ Z_q

ki ∈ {0, . . . ,q−1},kd 6= 0.

(21)

SeienA,B Alphabete,gA:W(A)→N,gB:W(B)→N.

F¨ur eine Funktionf :W(A)→ W(B) erh¨alt man folgendes Diagramm:

W(A) −→ W^f (B)

↓gA ↓gB

N

f˜

−

→ N

↓s ↓s W(S)

˜˜

−f

→ W(S)

wobei ˜f =gB◦f ◦g_A⁻¹ und ˜˜f =s◦gB◦f ◦g_A⁻¹◦s⁻¹. Definition

Eine Funktion ˜f:N→Nheißt arithmetisch berechenbar, wenn die dazugeh¨orige Funktion ˜˜f =s◦f˜◦s⁻¹ (nach obigem Diagramm) berechenbar ist.

(22)

SeienA,B Alphabete,gA:W(A)→N,gB:W(B)→N. F¨ur eine Funktionf :W(A)→ W(B) erh¨alt man folgendes Diagramm:

W(A) −→ W^f (B)

↓gA ↓gB

N

f˜

−

→ N

↓s ↓s W(S)

˜˜

−f

→ W(S)

wobei ˜f =gB◦f ◦g_A⁻¹ und ˜˜f =s◦gB◦f ◦g_A⁻¹◦s⁻¹.

Definition

(23)

SeienA,B Alphabete,gA:W(A)→N,gB:W(B)→N. F¨ur eine Funktionf :W(A)→ W(B) erh¨alt man folgendes Diagramm:

W(A) −→ W^f (B)

↓gA ↓gB

N

f˜

−

→ N

↓s ↓s W(S)

˜˜

−f

→ W(S)

wobei ˜f =gB◦f ◦g_A⁻¹ und ˜˜f =s◦gB◦f ◦g_A⁻¹◦s⁻¹. Definition

(24)

W(A) −→ W^f (B)

↓gA ↓gB

N

f˜

−

→ N

↓s ↓s W(S)

˜˜

−f

→ W(S)

wobei ˜f =gB◦f ◦g_A⁻¹ und ˜˜f =s◦gB◦f ◦g_A⁻¹◦s⁻¹. Es gilt:

f berechenbar⇔ f˜arithmetisch berechenbar⇔ ˜˜f berechenbar.

Fazit: Man braucht nur arithmetisch berechenbare Funktionen.

(25)

W(A) −→ W^f (B)

↓gA ↓gB

N

f˜

−

→ N

↓s ↓s W(S)

˜˜

−f

→ W(S)

wobei ˜f =gB◦f ◦g_A⁻¹ und ˜˜f =s◦gB◦f ◦g_A⁻¹◦s⁻¹. Es gilt:

f berechenbar⇔ f˜arithmetisch berechenbar⇔ ˜˜f berechenbar.

Fazit: Man braucht nur arithmetisch berechenbare Funktionen.

(26)

Aufz¨ahlbare und entscheidbare Mengen

Definition

1 A Alphabet,W(A).

M ⊆ W(A) heißtaufz¨ahlbar:⇔

M=∅oder ∃f:N→ W(A) berechenbar und M={f(0),f(1),f(2), . . .}.

2 M ⊆Nheißt aufz¨ahlbar:⇔

M =∅oder ∃f:N→N arithmetisch berechenbar und M ={f(0),f(1),f(2), . . .}.

Achtung:

aufz¨ahlbar6= abz¨ahlbar ! engl:

enumerable, recursively enumerable6= countable, denumerable !

(27)

Definition

1 A Alphabet,W(A).

M ⊆ W(A) heißtaufz¨ahlbar:⇔

M=∅oder ∃f:N→ W(A) berechenbar und M={f(0),f(1),f(2), . . .}.

2 M ⊆Nheißt aufz¨ahlbar:⇔

M =∅oder ∃f:N→N arithmetisch berechenbar und M ={f(0),f(1),f(2), . . .}.

Achtung:

aufz¨ahlbar6= abz¨ahlbar ! engl:

enumerable, recursively enumerable6= countable, denumerable !

(28)

Beispiel: M = die Menge aller Primzahlen.

Bestimmung vonf:N→NmitM =f[N]: f(0) = kleinste Primzahl = 2

f(1) = kleinste Primzahl >f(0) = 2

Berechnung vonf(1): Untersuche ob 3 Primzahl -wenn ja, dannf(1) = 3

-wenn nein, dann untersuche ob 4 Primzahl ...

Allgemein: f(0), . . . ,f(k) schon definiert f(k+ 1) := kleinste Primzahl >f(k)

wesentlich: Menge aller Primzahlen ist nicht endlich;f ist

“berechenbar”

(29)

Bestimmung vonf:N→NmitM =f[N]:

f(0) = kleinste Primzahl = 2

“berechenbar”

(30)

“berechenbar”

(31)

“berechenbar”

(32)

(33)

Definition

1 A Alphabet,W(A).

M ⊆ W(A) heißtentscheidbar :⇔

χM:W(A)→ {0,1},u 7→

(0, u ∈ M, 1, u ∈ M/ ist berechenbar.

2 M ⊆Nheißt entscheidbar:⇔

χ_M:N→ {0,1},n7→

(0, n∈M, 1, u ∈/M ist berechenbar.

Beispiel: M = Menge aller Primzahlen ist entscheidbar und aufz¨ahlbar

(34)

Definition

1 A Alphabet,W(A).

M ⊆ W(A) heißtentscheidbar :⇔

χM:W(A)→ {0,1},u 7→

(0, u ∈ M, 1, u ∈ M/ ist berechenbar.

2 M ⊆Nheißt entscheidbar:⇔

χ_M:N→ {0,1},n7→

(0, n∈M, 1, u ∈/M ist berechenbar.

(35)

Satz

Sei M⊆N. Dann gilt

M entscheidbar ⇔M und N\M aufz¨ahlbar.

(analog f¨urM ⊆ W(A))

Achtung:M aufz¨ahlbar alleine gen¨ugt nicht!

(36)

Beweis: ⇒:

SeiM entscheidbar. Dann istχ_M:N→ {0,1} berechenbar.

Also istχ_N_\M:N→ {0,1}berechenbar, denn f¨ur k ∈N ist

χ_N_\M(k) =

(0, χM(k) = 1 1, χ_M(k) = 0. Also ist auchN\M entscheidbar.

Daher genügt: ZeigeM ist aufzählbar. 1. Fall: M =∅. Dann istM aufzählbar.

2. Fall: M 6=∅. Definiere eine berechenbare Funktionf:N→N mitM =f[N] rekursiv so:

(37)

Beweis: ⇒:

χ_N_\M(k) =

(0, χM(k) = 1 1, χ_M(k) = 0.

Also ist auchN\M entscheidbar.

Daher genügt: ZeigeM ist aufzählbar. 1. Fall: M =∅. Dann istM aufzählbar.

(38)

Beweis: ⇒:

χ_N_\M(k) =

(0, χM(k) = 1 1, χ_M(k) = 0.

Daher gen¨ugt: ZeigeM ist aufz¨ahlbar.

1. Fall: M =∅. Dann istM aufz¨ahlbar.

(39)

Beweis: ⇒:

χ_N_\M(k) =

(0, χM(k) = 1 1, χ_M(k) = 0.

2. Fall: M 6=∅.

Definiere eine berechenbare Funktion f:N→N mitM =f[N] rekursiv so:

(40)

Beweis: ⇒:

χ_N_\M(k) =

(0, χM(k) = 1 1, χ_M(k) = 0.

(41)

F¨ur jedesk ∈Nsei

f(k) :=











kleinstes Element von fallsM \ {f(0), . . . ,f(k−1)} 6=∅ M\{f(0), . . . ,f(k−1)}

f(0), sonst.

Es ist also

f(0) = kleinstes Element von M (in endl. vielen Schritten findbar, daM entscheidbar.) f(1) = kleinstes Element von M\ {f(0)}

...

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

(42)

f(k) :=











f(0), sonst.

Es ist also

...

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

(43)

f(k) :=











f(0), sonst.

Es ist also

...

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

(44)

f(k) :=











f(0), sonst.

Es ist also

..

(45)

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

Es gilt: ∀k ∈N:f(k)∈M nach Def. vonf. Also istf[N]⊆M. Annahme: f[N]6=M.

Dann existiert ein kleinstes Elementp∈M\f[N].Nachdem M!\f[N]6=∅folgt, dass M\{f(0), . . . ,f(k−1)} 6=∅ f¨ur alle k≥0.

Also ist 0≤f(0)<f(1)<f(2)<f(3)<· · ·.

F¨urp gilt also entweder 0≤p ≤f(0) oder f(k−1)<p<f(k) f¨ur eink ≥0.

Das ist ein Widerspruch zur Definition vonf(0) resp. f(k). Damit istM =f[N].

(46)

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

Es gilt: ∀k ∈N:f(k)∈M nach Def. vonf. Also istf[N]⊆M.

Annahme: f[N]6=M.

Dann existiert ein kleinstes Elementp∈M\f[N].Nachdem M!\f[N]6=∅folgt, dass M\{f(0), . . . ,f(k−1)} 6=∅ f¨ur alle k≥0.

Also ist 0≤f(0)<f(1)<f(2)<f(3)<· · ·.

(47)

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

Annahme: f[N]6=M.

Dann existiert ein kleinstes Elementp ∈M\f[N].Nachdem M!\f[N]6=∅folgt, dass M\{f(0), . . . ,f(k−1)} 6=∅ f¨ur alle k≥0.

Also ist 0≤f(0)<f(1)<f(2)<f(3)<· · ·.

(48)

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

Annahme: f[N]6=M.

Also ist 0≤f(0)<f(1)<f(2)<f(3)<· · ·.

(49)

Zeige noch: M =f[N] ={f(0),f(1), . . .}.

Annahme: f[N]6=M.

Also ist 0≤f(0)<f(1)<f(2)<f(3)<· · ·.

Das ist ein Widerspruch zur Definition vonf(0) resp. f(k).

Damit istM =f[N].

(50)

⇐: Annahme: M und N\M aufz¨ahlbar.

Wie eine Entscheidung finden f¨ur k ∈M?

Es gibt:

f:N→Nberechenbar mit M ={f(0),f(1), . . .} g:N→Nberechenbar mit N\M ={g(0),g(1), . . .}. Berechne sukzessivef(0),g(0),f(1),g(1), . . .

Es existiert entweder ein kleinstesi mitf(i) =k oder ein kleinstes j mitg(j) =k. Genau einer dieser beiden F¨alle tritt nach endlich vielen Schritten ein. Damit istM entscheidbar.

(51)

Wie eine Entscheidung finden f¨ur k ∈M? Es gibt:

f:N→Nberechenbar mit M ={f(0),f(1), . . .} g:N→Nberechenbar mit N\M ={g(0),g(1), . . .}.

Berechne sukzessivef(0),g(0),f(1),g(1), . . .

(52)

(53)

(54)

Verallgemeinerung f¨ur mehrere Komponenten

1 Algorithmen

(55)

Alle obigen Definitionen sind erweiterbar:

SeienA₁, . . . ,A_p,BAlphabete und

f:W(A₁)× · · · × W(A_p)→ W(B).

Definition

f ist berechenbar :⇔

F¨ur jedes (u₁, . . . ,u_p)∈ W(A₁)× · · · × W(A_p) istf(u₁, . . . ,u_p) berechenbar durch einen Algorithmus.

Ebenso: Entscheidbar, aufzählbar ähnlich definiert für mehrere Komponenten.

Analog f¨ur arithmetische Funktionenf:N^p→N.

(56)

Alle obigen Definitionen sind erweiterbar:

SeienA₁, . . . ,A_p,BAlphabete und

f:W(A₁)× · · · × W(A_p)→ W(B).

Definition

f ist berechenbar :⇔

F¨ur jedes (u₁, . . . ,u_p)∈ W(A₁)× · · · × W(A_p) istf(u₁, . . . ,u_p) berechenbar durch einen Algorithmus.

Ebenso: Entscheidbar, aufzählbar ähnlich definiert für mehrere Komponenten.

(57)

Weitere Begriffe nachTuring

1 Algorithmen

3 Primitiv-rekursive Funktionen

(58)

Turing-Maschine (nachAlan Turing): Mathematische Formalisierung einer ”rechnenden Maschine“ nach dem Modell eines rechnenden Menschen.

Eingabe: “leeres Band mit Zellen”

Ausgabe (wenn Maschine stoppt): Bedruckte Zellen auf dem Band. Solche Maschinen werden beschrieben durchn×4-Matrizen. Definition

f:W(A)→ W(B) heißtTuring-berechenbar :⇔ Es gibt eine Turing-Maschine, die f¨ur jedes u∈ W(A) stoppt undf(u) ausgibt.

Damit erh¨alt man auch die Begriffe: Turing-entscheidbar und Turing-aufz¨ahlbar.

(59)

Ausgabe (wenn Maschine stoppt): Bedruckte Zellen auf dem Band.

Solche Maschinen werden beschrieben durchn×4-Matrizen. Definition

(60)

Solche Maschinen werden beschrieben durchn×4-Matrizen.

Definition

(61)

Definition

(62)

Definition

Damit erh¨alt man auch die Begriffe: Turing-entscheidbar und -aufz¨ahlbar.

(63)

These vonAlonzo Church:

These

Die “berechenbaren” Funktionen sind genau die Turing-berechenbaren Funktionen.

(64)

Rekursives Programmieren - Theorie Primitiv-rekursive Funktionen

Funktionenf:Nⁿ→N,n≥0.

Nⁿ={a:{1, . . . ,n} →N} 3(a1,a2, . . . ,an).

N⁰ ={a:∅ →N}besitzt nur ein Element: (∅,N,∅). Damit: f:N⁰ →N⇔f ∈N.

Fazit: 0-stellige arithmetische Funktionen sind Elemente ausN.

(65)

Nⁿ={a:{1, . . . ,n} →N} 3(a1,a2, . . . ,an).

N⁰ ={a:∅ →N}besitzt nur ein Element: (∅,N,∅).

Damit: f:N⁰ →N⇔f ∈N.

(66)

Nⁿ={a:{1, . . . ,n} →N} 3(a1,a2, . . . ,an).

N⁰ ={a:∅ →N}besitzt nur ein Element: (∅,N,∅).

Damit: f:N⁰ →N⇔f ∈N.

(67)

Konvention

1 F¨ur jedesn≥0 und jedesk ∈Nsei

c_kⁿ:Nⁿ→N,(x1, . . . ,xn)7→k die konstante Funktion mit Wert k.

2 F¨ur jedesn≥1 undi mit 1≤i ≤n sei p_iⁿ:Nⁿ→N,(x₁, . . . ,x_n)7→x_i diei-te Projektion.

3 N:N→N, sei die Nachfolgerfunktion.

(68)

Definition

Eine arithmetische Funktionf :Nⁿ→N,(n≥0) heißt

primitiv-rekursiv, wenn auf f eine der folgenden Aussagen zutrifft:

(PR 1) f =c₀⁰ (Erinnerung: c₀⁰= 0∈N) (PR 2) f =p_iⁿ mitn≥1 und 1≤i ≤n (PR 3) f =N

(PR 4) Es gibt primitiv-rekursive Funktionen g:N^p→N und h₁:N^p →N, . . . ,h_p:N^p→Nmit

f(x1, . . . ,xn) =g(h1(x1, . . . ,xn), . . . ,hp(x1, . . . ,xn)). F¨ur alle (x1, . . . ,xn)∈Nⁿ,(n≥0,p ≥1).

Anders: f(x) =g(h1(x), . . . ,hp(x)) f¨urx = (x1, . . . ,xn).

(69)

Definition

(PR 1) f =c₀⁰ (Erinnerung: c₀⁰= 0∈N)

(PR 2) f =p_iⁿ mitn≥1 und 1≤i ≤n (PR 3) f =N

(70)

Definition

(PR 1) f =c₀⁰ (Erinnerung: c₀⁰= 0∈N) (PR 2) f =p_iⁿ mitn≥1 und 1≤i ≤n

(PR 3) f =N

(71)

Definition

(72)

Definition

(PR 4) Es gibt primitiv-rekursive Funktioneng:N^p→N und h₁:N^p →N, . . . ,h_p:N^p→Nmit

(73)

Definition

(PR 4) Es gibt primitiv-rekursive Funktioneng:N^p→N und h1:N^p →N, . . . ,hp:N^p→Nmit

f(x₁, . . . ,x_n) =g(h₁(x₁, . . . ,x_n), . . . ,h_p(x₁, . . . ,x_n)). F¨ur alle (x₁, . . . ,x_n)∈Nⁿ,(n≥0,p ≥1).

Anders: f(x) =g(h₁(x), . . . ,h_p(x)) f¨urx = (x₁, . . . ,x_n).

(PR 5) f:Nⁿ→N mitn≥1 und es gibt primitiv-rekursive Funktionen g:Nⁿ⁻¹→N undh:Nⁿ⁺¹→Nso, dass f¨ur alle (x1, . . . ,xn−1)∈Nⁿ⁻¹ und alley ∈Ngilt:

f(x1, . . . ,xn−1,0) =g(x1, . . . ,xn−1)

f(x₁, . . . ,xn−1,N(y)) =h(x₁, . . . ,xn−1,y,f(x₁, . . . ,xn−1,y)).

(74)

Definition

(PR 4) Es gibt primitiv-rekursive Funktioneng:N^p→N und h1:N^p →N, . . . ,hp:N^p→Nmit

f(x₁, . . . ,x_n) =g(h₁(x₁, . . . ,x_n), . . . ,h_p(x₁, . . . ,x_n)). F¨ur alle (x₁, . . . ,x_n)∈Nⁿ,(n≥0,p ≥1).

Anders: f(x) =g(h₁(x), . . . ,h_p(x)) f¨urx = (x₁, . . . ,x_n).

(PR 5) f:Nⁿ→N mitn≥1 und es gibt primitiv-rekursive Funktioneng:Nⁿ⁻¹→N undh:Nⁿ⁺¹→Nso, dass f¨ur alle (x1, . . . ,xn−1)∈Nⁿ⁻¹ und alley ∈Ngilt:

f(x1, . . . ,xn−1,0) =g(x1, . . . ,xn−1)

f(x₁, . . . ,xn−1,N(y)) =h(x₁, . . . ,xn−1,y,f(x₁, . . . ,xn−1,y)).

(75)

1 Wenn auf f (PR 4) zutrifft sagt man:

f durch Einsetzen vonh₁, . . . ,h_p in g definiert.

2 Wenn auf f (PR 5) zutrifft, sagt man:

f durch g und h induktiv (rekursiv) definiert.

(76)

Satz

Folgende Funktionen sind primitiv-rekursiv:

1 Addition in N: (x,y)7→x+y

2 Multiplikation in N: (x,y)7→x·y

3 Exponentiation inN: (x,y)7→x^y mit0⁰:= 1

4 Fakult¨at: x 7→x!

5 Vorg¨anger: V:N→N, V(x) :=

(0, x= 0, x−1, x>0.

6 Modifizierte Subtraktion: (x,y)7→x −^. y =

(0, x<y, x−y, x≥y.

7 Abstand: (x,y)7→ |x−y|

8 Signum-Funktion, sgn(x) =

(0, x= 0, 1, x>0.

(77)

Satz

(0, x= 0, x−1, x>0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(78)

Satz

(0, x= 0, x−1, x>0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(79)

Satz

(0, x= 0, x−1, x>0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(80)

Satz

(0, x = 0, x−1, x >0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(81)

Satz

(0, x = 0, x−1, x >0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(82)

Satz

(0, x = 0, x−1, x >0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(83)

Satz

(0, x = 0, x−1, x >0.

(0, x<y, x−y, x≥y.

(0, x= 0, 1, x>0.

(84)

Beweis:

1 Addition:

+ (x,0) =x+ 0 =x,

+ (x,N(y)) =x+N(y) =N(x+y),

⇒g =p₁¹,h =N.

2

·(x,0) =x·0 = 0,

·(x,N(y)) =x·y+x = +(x·y,x)

⇒g =C₀¹,h= +( , )

3

x⁰ = 1,

N(y) y·