NP-Vollst¨andigkeit und der Satz von Cook und Levin

NP-Vollst¨ andigkeit und der Satz von Cook und Levin

Prof. Dr. Berthold V¨ocking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexit¨at

RWTH Aachen

17. Dezember 2010

Wdh: Polynomielle Reduktion

L₁ ≤_pL₂, genau dann, wenn es eine Funktionf : Σ^∗₁ →Σ^∗₂ mit folgenden Eigenschaften gibt:

f ist in polynomieller Zeit berechenbar

∀x ∈Σ^∗₁ :x ∈L₁ ⇔ f(x)∈L₂

Lemma

L₁ ≤_pL₂, L₂ ∈P ⇒L₁ ∈P.

Def: NP-H¨ arte

Definition (NP-H¨arte)

Ein Problem L heißtNP-hart, wenn∀L⁰ ∈NP :L⁰≤_pL.

Satz

LNP-hart, L∈P ⇒ P = NP

Beweis:Polyzeitalgo f¨urL liefert Polyzeitalgo f¨ur alle L⁰ ∈NP.

Fazit:NP-harte Probleme haben keine Polyzeitalgo, es sei denn P= NP.

Beispiel

Triviale Beispiele f¨ur NP-harte Probleme:

Das Akzeptanzproblem f¨ur NTM mit polynomiell beschr¨ankter worst case Laufzeit

Das Akzeptanzproblem f¨ur DTM mit exponentiell beschr¨ankter worst case Laufzeit.

Von letzterem wissen wir aber noch nicht einmal, ob es ¨uberhaupt in NP liegt.

Def: NP-Vollst¨ andigkeit

Definition (NP-Vollst¨andigkeit)

Ein Problem L heißtNP-vollst¨andig, falls gilt

1 L∈NP, und

2 L ist NP-hart.

Die Klasse derNP-vollst¨andigen Probleme wird mit NPC bezeichnet.

Wir werden heute die NP-Vollst¨andigkeit einiger Probleme zeigen.

Weihnachten vor 40 Jahren

Im Jahr 1970 formuliert der Weihnachtsmann folgendes Problem.

Das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem (Gifts Encouraging Sharing Considering Holistic Extended Neighborhood Knowledge) Finde die minimale Anzahl an veschiedenen Geschenken, so dass jeder Mensch ein anderes Geschenk als alle seine Bekannten bekommt.

Bekanntschaftsrelation wird durch einen Graphen modelliert.

≠

≠ ≠

?

≠

≠ ≠

≠

Berthold V¨ocking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexit¨at 17. Dezember 2010 6 / 40

Graphentheoretische Formulierung

Dem Weihnachtsmann ist dieses Problem in einer anderen Formulierung w¨ahrend seines Informatikstudiums schon einmal begegnet.

Problem (Knotenf¨arbung – COLORING)

Eingabe:Graph G = (V,E), Zahl k ∈ {1, . . . ,|V|}

Frage:Gibt es eine F¨arbung c:V → {1, . . . ,k}der Knoten von G mit k Farben, so dass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben, d.h.∀{u,v} ∈E :c(u)6=c(v).

Da er das Problem alleine nicht l¨osen kann, beschließt er, seinen Professor an der University of Toronto, Prof. Stephen Cook, zu fragen.

Dieser versucht das G.E.S.C.H.E.N.K. bzw. COLORING-Problem mit Hilfe eines anderen Problems zu l¨osen, an dem er schon einige Zeit arbeitet.

Das SAT-Problem

Problem (Erf¨ullbarkeitsproblem / Satisfiability — SAT) Eingabe:Aussagenlogische Formel φin KNF

Frage:Gibt es eine erf¨ullende Belegung f¨urφ?

Beispiel 1:

φ= (¯x1∨¯x2∨x3)∧(¯x1∨x2∨¯x3∨¯x4)∧(x2∨x3∨x4) φisterf¨ullbar, dennx1= 1,x2= 0,x3= 1,x4 = 0 ist eineerf¨ullende Belegung.

Beispiel 2:

φ⁰ = (x₁∨x₂)∧(¯x₂∨x₁)∧(¯x₁∨x₃)∧(¯x₃∨¯x₁) φ⁰ istnicht erf¨ullbar. (Warum?)

Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING ≤

SAT

Durch eine polynomielle Reduktion ¨uberzeugt Cook den

Weihnachtsmann, dass er sein Problem effizient l¨osen kann, sobald er die einfache Aufgabe erledigt hat, einen

Polynomialzeitalgorithmus f¨ur SAT zu finden.

Satz

COLORING≤_p SAT.

Beweis:

Wir beschreiben eine polynomiell berechenbare Funktionf, die eine Eingabe (G,k) f¨ur das COLORING-Problem auf eine Formelφ f¨ur das SAT-Problem abbildet, mit der Eigenschaft

G hat einek-F¨arbung ⇔ φist erf¨ullbar .

Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING ≤

SAT

Beschreibung der Funktion f :

Die Formelφhat f¨ur jede Knoten-Farb-Kombination (v,i), v ∈V, i ∈ {1, . . . ,k}, eine Variable x_vⁱ. Die Formel f¨ur (G,k) lautet

φ = ^

v∈V

(x_v¹∨x_v²∨. . .∨x_v^k)

| {z }

Knotenbedingung

∧ ^

{u,v}∈E

^

i∈{1,...,k}

(¯x_uⁱ ∨¯x_vⁱ)

| {z }

Kantenbedingung

.

Anzahl der Literale =O(k· |V|+k· |E|) =O(|V|³).

Die L¨ange der Formel ist somit polynomiell beschr¨ankt und die Formel kann in polynomieller Zeit konstruiert werden.

Aber ist die Konstruktion auch korrekt?

Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING ≤

SAT

φ = ^

v∈V

(x_v¹∨x_v²∨. . .∨x_v^k)

| {z }

Knotenbedingung

∧ ^

{u,v}∈E

^

i∈{1,...,k}

(¯x_uⁱ ∨¯x_vⁱ)

| {z }

Kantenbedingung

Korrektheit:

zz:G hat einek F¨arbung ⇒ φist erf¨ullbar Sei c einek-F¨arbung f¨ur G.

F¨ur jeden Knotenv mitc(v) =i setzen wir x_vⁱ = 1 und alle anderen Variablen auf 0.

Knotenbedingung: Offensichtlich erf¨ullt.

Kantenbedingung: F¨ur jede Farbe i und jede Kante{u,v}gilt

¯

x_uⁱ ∨¯x_vⁱ, denn sonst h¨atten u und v beide die Farbe i. Damit erf¨ullt diese Belegung die Formelφ.

Beispiel einer polyn. Reduktion: COLORING ≤

SAT

φ = ^

v∈V

(x_v¹∨x_v²∨. . .∨x_v^k)

| {z }

Knotenbedingung

∧ ^

{u,v}∈E

^

i∈{1,...,k}

(¯x_uⁱ ∨¯x_vⁱ)

| {z }

Kantenbedingung

zz:φist erf¨ullbar ⇒G hat einek F¨arbung

Fixiere eine beliebige erf¨ullende Belegung f¨urφ.

Wegen der Knotenbedingung gibt es f¨ur jeden Knoten v mindestens eine Farbe mit x_vⁱ = 1.

F¨ur jeden Knoten w¨ahle eine beliebige derartige Farbe aus.

Sei {u,v} ∈E. Wir behaupten c(u)6=c(v).

Zum Widerspruch nehmen wir an, c(u) =c(v) =i. Dann w¨are x_uⁱ =x_vⁱ = 1 und die Kantenbedingung ¯x_uⁱ ∨x¯_vⁱ w¨are verletzt.

NP-Vollst¨ andigkeit von SAT

Die einfache Aufgabe, einen Polynomialzeitalgorithmus f¨ur SAT anzugeben, erweist sich allerdings als schwieriger als zun¨achst angenommen.

Da sich aber scheinbar alle Probleme aus NP auf SAT reduzieren lassen, versucht Cook sich an einer Master-Reduktion.

Satz (Cook und Levin) SAT istNP-vollst¨andig.

SAT hat somit keinen Polynomialzeitalgorithmus; es sei denn P = NP.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Offensichtlich gilt SAT∈NP, denn die erf¨ullende Belegung kann als Zertifikat verwendet werden. Wir m¨ussen also

”nur“ noch zeigen, dass SAT NP-hart ist.

SeiL⊆Σ^∗ ein Problem aus NP. Wir m¨ussen zeigen L≤_p SAT.

Dazu konstruieren wir eine polynomiell berechenbare Funktionf, die jedesx∈Σ^∗ auf eine Formel φabbildet, so dass gilt

x∈L ⇔ φ∈SAT .

Beweis des Satzes von Cook und Levin

M sei eine NTM, dieLin polynomieller Zeit erkennt. Wir zeigen M akzeptiert x ⇔ φ∈SAT .

Eigenschaften vonM

O.B.d.A. besuche M keine Bandpositionen links von der Startposition.

Eine akzeptierende Rechnung von M gehe in den Zustand q_accept ¨uber und bleibt dort in einer Endlosschleife.

Sei p(·) ein Polynom, so dassM eine Eingabe x genau dann akzeptiert, wenn es einen Rechenweg gibt, der nachp(n) Schritten im Zustand qaccept ist, wobei n die L¨ange von x bezeichne.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Beobachtung:

Sei K₀ = q₀x die Startkonfiguration von M. M akzeptiert genau dann, wenn es einen Rechenweg, d.h. eine m¨ogliche Konfigurations- folge

K₀ `K<sub>1</sub>` · · · `K_p(n)

gibt, bei derK_p(n) im Zustandqaccept ist.

Weiteres Vorgehen:

Wir konstruieren die Formel φ derart, dass φ genau dann erf¨ullbar ist, wenn es eine solche akzeptierende Konfigurationsfolge gibt.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Variablen inφ

Q(t,k) f¨ur t ∈ {0, . . . ,p(n)} und k ∈Q H(t,j) f¨urt,j ∈ {0, . . . ,p(n)}

S(t,j,a) f¨urt,j ∈ {0, . . . ,p(n)}und a∈Γ Interpretation der Variablen:

Die Belegung Q(t,k) = 1 soll besagen, dass sich die Rechnung zum Zeitpunkt t im Zustandk befindet.

Die Belegung H(t,j) = 1 steht daf¨ur, dass sich der Kopf zum Zeitpunkt t an Bandpositionj befindet.

die BelegungS(t,j,a) = 1 bedeutet, dass zum Zeitpunktt an Bandposition j das Zeichen ageschrieben steht.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Kodierung einzelner Konfigurationen in der Teilformelφt:

F¨ur jedes t ∈ {0, . . . ,p(n)}, ben¨otigen wir eine Formel φt, die nur dann erf¨ullt ist, wenn es

1 genau einen Zustand k ∈Q mitQ(t,k) = 1 gibt,

2 genau eine Bandposition j ∈ {0, . . . ,p(n)} mitH(t,j) = 1 gibt, und

3 f¨ur jedes j ∈ {0, . . . ,p(n)} jeweils genau ein Zeichena∈Γ mit S(t,j,a) = 1 gibt.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Erl¨auterung zur Formelφt:

F¨ur eine beliebige Variablenmenge{y₁, . . . ,ym}besagt das folgende Pr¨adikat in KNF, dass genau eine der Variableny_i den Wert 1 annimmt:

(y₁∨. . .∨y_m) ∧ ^

i6=j

( ¯y_i ∨y¯_j)

Die Anzahl der Literale in dieser Formel ist quadratisch in der Anzahl der Variablen.

Die drei Anforderungen k¨onnen also jeweils durch eine Formel in polynomiell beschr¨ankter L¨ange kodiert werden.

Wir betrachten nun nur noch Belegungen, die die Teilformeln φ0, . . . , φ_p(n) erf¨ullen und somit Konfigurationen K0, . . . ,K_p(n) beschreiben.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Als n¨achstes konstruieren wir eine Formelφ⁰_t f¨ur 1≤t≤p(n), die nur f¨ur solche Belegungen erf¨ullt ist, bei denen Kt eine direkte Nachfolgekonfiguration vonKt−1 ist.

Die Formelφ⁰_t kodiert zwei Eigenschaften:

1 Die Bandinschrift vonKt stimmt an allen Positionen außer der Kopfposition (zum Zeitpunkt t−1) mit der Inschrift von Kt−1 uberein.¨

2 Zustand, Kopfposition und Bandinschrift an der Kopfposition ver¨andern sich gem¨aß der ¨Ubergangsrelationδ.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Die Eigenschaft, dass die Bandinschrift vonK_t an allen Positionen außer der Kopfposition (zum Zeitpunktt−1) mit der Inschrift von Kt−1 ¨ubereinstimmt, kann wie folgt kodiert werden:

p(n)

^

i=0

^

z∈Γ

((S(t−1,i,z)∧ ¬H(t−1,i))⇒S(t,i,z)) Dabei stehtA⇒B f¨ur ¬A∨B. D.h. die Formel lautet eigentlich

p(n)

^

i=0

^

z∈Γ

(¬(S(t−1,i,z)∧ ¬H(t−1,i))∨S(t,i,z)) DasDe Morgansche Gesetz besagt, dass¬(A∧B) ¨aquivalent ist zu¬A∨ ¬B. Dadurch ergibt sich folgende Teilformel in KNF

p(n)

^

i=0

^

z∈Γ

(¬S(t−1,i,z)∨H(t−1,i)∨S(t,i,z))

Beweis des Satzes von Cook und Levin

F¨ur die Eigenschaft, dass Zustand, Kopfposition und Bandinschrift an der Kopfposition sich gem¨aß der ¨Ubergangsrelation δ ver¨andern, erg¨anzen wir f¨ur alle k ∈Q,j ∈ {0, . . . ,p(n)−1} und a∈Γ die folgende Teilformel

(Q(t−1,k)∧H(t−1,j)∧S(t−1,j,a)) ⇒ _

(k,a,k⁰,a⁰,κ)∈δ

(Q(t,k⁰)∧H(t,j+κ)∧S(t,j,a⁰)),

wobeiκ die WerteL=−1,N= 0 und R = 1 annehmen kann.

Die Transformation in die KNF behandeln wir in einer Ubungsaufgabe.¨

Damit ist die Beschreibung vonφ⁰_t abgeschlossen.

Beweis des Satzes von Cook und Levin

Die Formelφergibt sich nun wie folgt:

Q(0,q0) ∧ H(0,0) ∧

n

^

i=0

S(0,i,x_i) ∧

p(n)

^

i=n+1

S(0,i,B)

∧

p(n)

^

i=0

φ_i ∧

p(n)

^

i=1

φ⁰_i ∧ Q(p(n),q_accept)

Die L¨ange vonφ ist polynomiell beschr¨ankt in n, und φist effizient ausx berechenbar.

Gem¨aß unserer Konstruktion istφgenau dann erf¨ullbar, wenn es eine akzeptierende Konfigurationsfolge f¨urM auf x der L¨ange p(n)

gibt.

Wie geht’s weiter?

Der Weihnachtsmann ist schwer entt¨auscht von Cook. Statt das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem effizient zu l¨osen, verschwendete dieser seine Zeit mit einem v¨ollig anderen Problem.

Satz (Cook und Levin) SAT istNP-vollst¨andig.

Dem Weihnachtsmann war von vorneherein klar, dass SAT wohl schwer zu l¨osen sein w¨urde, da es sehr allgemeine Aussagen erlaubt.

Das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem ist aber doch offensichtlich viel einfacher. Wenn sich also endlich mal einf¨ahiger Informatiker mit dem Problem besch¨aftigen w¨urde, w¨are es wohl schnell gel¨ost.

Er wendet sich daher an den Algorithmenspezialisten Prof. Richard Manning Karp.

Kurze Pause

Mehr dazu nach der Unterbrechung. . .

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Du musst Weihnachten retten!

Heute in der ¨Ubung:

[. . . ] Auf Wikileaks durchgesickerte interne Depeschen legen jedoch folgende Schlussfolgerung nahe: Der Weihnachtsmann hat all seinen Glauben in die Informatik verloren und l¨asst seine tiefe Verbitterung dar¨uber nun an allen Informatikern aus.

Sollte sich daran nicht bald etwas ¨andern, wird Weihnachten 2010 f¨ur alle Informatikstudenten ein Desaster! Du musst Weihnachten retten und den Glauben des

Weihnachtsmannes in die Informatik wiederherstellen!

Mehr dazu am Ende der Vorlesung.

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

Mittlerweile ist einige Zeit vergangen. Wir schreiben das Jahr 1972.

Richard Karp veranschaulicht dem Weihnachtsmann durch eine NP-Vollst¨andigkeitsreduktion, dass das G.E.S.C.H.E.N.K.-Problem

¨

uber genauso viel Aussagekraft verf¨ugt wie das SAT-Problem (so wie auch alle anderen der 21 Probleme, mit denen sich der Weihnachtsmann an Karp gewandt hat: dem Knapsack Problem (KP), dem Traveling Santa Problem (TSP),. . . )

Satz

Das G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING-Problem istNP-vollst¨andig.

Wir betrachten eine Einschr¨ankung von SAT, die, wie wir n¨achstes Mal sehen werden, immer noch NP-vollst¨andig ist: 3-SAT.

Wir zeigen: 3-SAT≤3-COLORING.

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

Konstruiere aus einer beliebigen Formel φin 3-KNF einen Graphen G_φ, der genau dann 3-f¨arbbar ist, wenn es eine erf¨ullende Belegung von φgibt.

Stelle Literale als Knoten eines Graphen dar.

Die Farbe eines Knoten soll seine Wahrheitsbelegung ausdr¨ucken.

Wir erlauben 3 Farben: Wahr, Falsch und Unzul¨assig Literale sollen nicht ’Unzul¨assig’ gef¨arbt werden k¨onnen, weshalb wir jedes von ihnen durch eine Kante mit einem Knoten verbinden, welcher die Farbklasse ’Unzul¨assig’

repr¨asentiert. F¨ur Literale stehen dann nur noch 2 Farben zur Verf¨ugung.

Ein Literal und seine Negation werden zus¨atzlich durch eine Kante verbunden.

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t

U W F

Durch die Kanten wird si- chergestellt, dass f¨ur je- de Variable x nur jeweils eines der zugeh¨origen Li- terale x und ¬x in der Farbe f¨ur ’Wahr’ und das andere in der Farbe f¨ur

’Falsch’ gef¨arbt wird.

Zus¨atzlich zu U, dem Repr¨asentanten f¨ur die Farbklasse ’Unzul¨assig’, f¨ugen wir noch die Repr¨asentantenknoten W und F f¨ur ’Wahr’

und ’Falsch’ hinzu und verbinden diese als 3-er Clique.

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W F

W, F und U bekommen in einer 3-F¨arbung jeweils verschiedene Farben.

F¨ur jede Variable x wird entweder x oder ¬x in der gleichen Farbe wie W gef¨arbt. Dies gibt dann die Wahrheitsbe- legung des Literals an.

Zus¨atzlich zu U, dem Repr¨asentanten f¨ur die Farbklasse ’Unzul¨assig’, f¨ugen wir noch die Re- pr¨asentantenknoten W und F f¨ur ’Wahr’ und

’Falsch’

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W F

Wir m¨ussen noch daf¨ur sorgen, dass nicht alle 3 Literale einer Klausel auf

’Falsch’ gesetzt werden.

Dazu verbinden wir f¨ur jede Klausel die entspre- chenden Literale durch einen speziellen Unter- graphen mit F, welcher sicherstellt, dass nur ma- ximal drei der vier Kno- ten gleich gef¨arbt werden k¨onnen.

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W F

≡

v w

x y

v w x y

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

Behauptung: Es k¨onnen nicht alle vier der durch das Weihnachtsengel-Gadget verbundenen Knoten in der gleichen Far- be gef¨arbt werden.

Beweis durch Wider- spruch: Seien v,w,x und y alle gleich gef¨arbt.

Dann werden durch die jeweiligen Nach- barknoten die ubrigen¨ zwei Farben blockiert, weshalb A und B die glei- che Farbe wie v,w,x und y anneh- men m¨ussten. Aufgrund der verbinden- den Kante ist dies aber nicht m¨oglich.

≡

v w

x y

v w x y

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

Behauptung: Es k¨onnen nicht alle vier der durch das Weihnachtsengel-Gadget verbundenen Knoten in der gleichen Far- be gef¨arbt werden.

Beweis durch Widerspruch: Seien v,w,x und y alle gleich gef¨arbt.

Dann werden durch die jeweiligen Nach- barknoten die ubrigen¨ zwei Farben blockiert, weshalb A und B die glei- che Farbe wie v,w,x und y anneh- men m¨ussten. Aufgrund der verbinden- den Kante ist dies aber nicht m¨oglich.

≡

A B

v w

x y

v w x y

NP-Vollst¨ andigkeit von G.E.S.C.H.E.N.K./COLORING

Umgekehrt ist aber jede F¨arbung m¨oglich, bei der

|{c(v),c(w),c(x),c(y)}| ≥2 ist.

Seienv und x gleich gef¨arbt. Dann muss auch A diese Farbe annehmen. Da aber nun |{c(w),c(y)}| ≥ 2 ist, kann B in der beiw odery vorkommenden, anderen Farbe gef¨arbt werden.

Falls c(v) 6= c(x) gilt, ist es f¨ur A oh- nehin immer m¨oglich, eine vonB abwei- chende Farbe anzunehmen.

≡

A B

v w

x y

v w x y

Korrektheit der Reduktion

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W F

φerf¨ullbar⇒Gφ3-f¨arbbar W, F und U erhalten beliebige von einander verschiedene Farben.

Betrachte erf¨ullende Belegung vonφ Alle Literale mit

Wahrheitsbelegung ’Wahr’

werden mit der gleichen Farbe wie W gef¨arbt, die

¨

ubrigen Literale so wie F Bis auf die inneren

Gadget-Knoten sind nun alle Knoten g¨ultig gef¨arbt.

Da die Wahrheitsbelegung erf¨ullend ist, gibt es in jeder Klausel mindestens ein erf¨ulltes Literal. Somit liegen an jedem Gadget mindestens zwei verschiedene Farben an und es folgt die

3-F¨arbbarkeit.

Korrektheit der Reduktion

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W

F Gφ3-f¨arbbar⇒φerf¨ullbar

Betrachte 3-F¨arbung des Graphen.

Alle Literale mit der gleichen Farbe wie W werden mit

’Wahr’ belegt.

Die jeweiligen Komplemente haben zwangsweise die gleiche Farbe wie F und werden mit ’Falsch’ belegt.

Da die Gadgets inGφ

3-f¨arbbar sind, hat mindestens eines der anliegenden Literale eine von F (und trivialerweise auch von U) verschiedene Farbe.

Die entsprechende Klausel ist also erf¨ullbar.

Insgesamt folgt die

Erf¨ullbarkeit vonφ

Frohe Weihnachten

und ein Gutes Neues Jahr!

¬x x

¬y y

¬z z

¬u u

¬v v

¬w w

¬t t U

W F

≡

v w

x y

v w x y