Kontur von Funktionen, Komplexit¨ at!

Zusammenfassung: Konturen, Datenstrukturen

Elmar Langetepe University of Bonn

Kontur von Funktionen, Komplexit¨ at!

D

C

B A

I K_u

• Divide and Conquer mit Sweep im Merge-Schritt

• Sweep-Laufzeit entspricht Komplexit¨at der Konturen K_u¹,K_u² und (K¹ ∪ K²)_u

Berechnung Kontur!

Theorem 2.13 Die untere Kontur von n verschiedenen X monotonen Wegen ¨uber einem gemeinsamen Intervall, von denen sich je zwei

h¨ochstens s-mal schneiden, kann in Zeit O(λ_s(n) log n) berechnet werden.

• Definition λ_s(n): Maximale Komplexit¨at der Kontur

• Lemma 2.12: F¨ur s, n ≥ 1 gilt 2λ_s(n) ≤ λ_s(2n)

• Absch¨atzen Alg.: T(n) ∈ O(λ_s(n) log n)

λ

(n), kombinatorische Definition

Alphabet Σ = {A, B, C, . . .} ¨uber n Buchstaben.

Davenport–Schinzel–Sequenz der Ordnung s

• Wort w ¨uber Σ

• in w keine benachbarten Buchstaben gleich

• keine zwei verschiedenen Buchstaben wechseln mehr als s mal Bsp.: ABRAKADABRA; max. 4 Wechsel (A und B)

Zu zeigen: λ_s(n) ist maximale L¨ange eines solchen Wortes

Davenport-Schinzel-Sequenzen: Komplexit¨ at

Fast linear!! (Ohne Beweis!) λ₁(n) = n

λ₂(n) = 2n − 1

λ₃(n) ∈ Θ(n α(n)) λ₄(n) ∈ Θ(n · 2^α(n))

λ_s(n) ∈ O(n log^∗(n)) ∈ O(n²)

α(n) Inverse Ackermann Fkt.

log^∗(n)

Beweis: Untere Kontur/DSS

Theorem 2.14 Die maximale L¨ange einer DSS der Ordnung s ¨uber n ist λ_s(n).

I) ¨Ubersetzen in Buchst.-folge oder II) Buchst.-folge ¨ubersetzen

I)

A

C

B I

B

B C

C

B

B

A

A C

C

B

II)

B C A B C B C

B A

Ergebnisse

Korollar 2.15 Die untere Kontur von n Liniensegmenten ¨uber einem gemeinsamen Intervall kann in O(n log n) mit Platz O(n) berechnet werden.

λ₁(n) = n

Funktionen ¨ uber Teilintervalle

Aussage: Komplexit¨at der Kontur von Funktionen die ¨uber

gesamtem Intervall definiert sind 1) oder nur ¨uber ein Teilintervall 2).

1. λ_s(n) 2. λ_s+2(n)

2. Verl¨angern auf gesamtes Intervall, dann 1. verwenden, max. zwei zus¨atzliche Schnitte

(2)

Ergebnisse

Korollar 2.16 Die untere Kontur von n Liniensegmenten beliebiger L¨ange enth¨alt λ₃(n) viele Segmente und kann in Zeit O(λ₃(n) log n) berechnet werden.

Weitere Sweepvarianten

• Sweep mit Halbgerader, Sweep mit Circle

• Sweep-Ebene, Sweep im Raum

• Closest-Pair: Laufzeit O(n(e(n) + b(n))), Datenstrukturen

Z

Y

X M

2M

2M r

Q

Geometrische Datenstruktur

• Datenobjekte Punkte im IR^d, andere Objekte ¨ubertragen

• Bislang: Eindimensionaler balancierter Suchbaum

• Bereichsanfrage: Inklusionsanfrage, Schnittanfrage, Anfrageobj. q

• Interne, externe Datenstrukturen

• Statische, dynamische Datenstrukturen

• Rechteckige Bereichsanfrage im IR^d

• k-dimensionaler Suchbaum

• Achsenparalleles Rechteck q, Punkte im IR²

kd-Baum Aufbau

• Splitgeraden X = s, Y = s im Wechsel!

• Bin¨arer Baum mit entsprechenden Teilmengen

5 10

5

10 a

b

e c

h d

f

i

g

j

k

x<5 x=5 x>5

y=4 y>4 y<4

y=5

y<5 y>5

x=2 x>2 x<2

a

x=3 x<3 x>3

b d

x=8 x<8 x>8

j

x=7 x<7 x>7

g y=3

y<3 y>3 c e

y=2 y<2 y>2

f h

y=6 y<6 y>6

i k

Knoten entspricht Rechteck R(v)

10 5

10

5 b

d

f

i

a

g

c

h

j

k

e

x=5

x<5 x>5

y=4 y>4 y<4

R(v)

y<5

y=5

y>5

v

x<2 a

x>2 x=2

d x=3

x<3 x>3

b j

x<8 x>8

x=8

x<7 g

x>7 x=7

y=3 y>3 c y<3

e h f

y>2 y<2

y=2

k y=6

y<6 y>6

i

Jeder Knoten v entspricht einem Rechteck R(v) als Schnitt von Halbebenen (X = s und Y = s).

Anfrage-Query mit Rechteck q

10 5

10

5 c

b

a

Q

k

j g

i

f d

h e

x=5

x<5 x>5

y=4 y>4 y<4

y=5

y<5 y>5

x=2

a

x<2 x>2

b x=3

x<3 x>3

d j

x<8 x>8

x=8

x<7 g

x>7 x=7

y=3

c

y<3 y>3

e h f

y>2 y<2

y=2

k y=6

y<6 y>6

i

• Bestimme alle Knoten v mit R(v) ∩ q 6= ∅

• Falls v Blatt, teste v ∈ q

Buch Kapitel

Kapitel 2.3.3 Seite 82 oben – S. 88 unten Kapitel 2.4 Seite 93 mitte – S. 95 mitte