Stoff¨ ubersicht (1)

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VL-19: Schlussbemerkungen

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2017) Gerhard Woeginger

WS 2017, RWTH

BuK/WS 2017 VL-19: Schlussbemerkungen 1/18

Organisatorisches

I Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) I Ubungen: Tim Hartmann, Daniel Neuen¨

Email:buk@lists.rwth-aachen.de

I Webseite:

http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1718/BuK.php

I Arbeitsheft zur NP-Vollst¨andigkeit:

Auf der BuK-Webseite, unter “Additional material”

Stoff¨ ubersicht

Stoff¨ ubersicht (1)

In den letzten Monaten haben wir folgendes gesehen:

Teil 1: Grundlagen

I Modellierung von algorithmischen Problemen

I Einf¨uhrung der Turingmaschine (TM)

I Einf¨uhrung der Registermaschine (RAM)

I Vergleich TM versus RAM

I Church-Turing-These

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Stoff¨ ubersicht (2)

Teil 2: Berechenbarkeit

I Existenz unentscheidbarer Probleme

I Unentscheidbarkeit des Halteproblems

I Diagonalisierung / Unterprogrammtechnik / Reduktion

I Das Post’sche Correspondenzproblem

I Hilberts zehntes Problem

I Turing-M¨achtigkeit

I WHILE- und LOOP-Programme

Stoff¨ ubersicht (3)

Teil 3: Komplexit¨ at

I Die Komplexit¨atsklassen P und NP

I NP-Vollst¨andigkeit und der Satz von Cook und Levin

I Kochrezept f¨ur NP-Vollst¨andigkeitsbeweise (Polynomielle Reduktion)

I NP-Vollst¨andigkeit zahlreicher Probleme

I Pseudo-polynomielle Algorithme; stark NP-schwere Probleme

I coNP, PSPACE, EXPTIME

Weiterf¨ uhrendes

Vorlesungen

Weiterf¨uhrende Vorlesungen:

I Komplexit¨atstheorie:Fortsetzung von BuK; Komplexit¨atsklassen und ihr Verhalten

I Rekursionstheorie:Theorie der berechenbaren Funktionen

Viele Spezialvorlesungen (Algorithmik):

I Algorithmische Geometrie

I Algorithmische Graphentheorie

I Algorithmische Kryptographie

I Algorithmische Spieltheorie

I Approximationsalgorithmen

I Parametrisierte Komplexit¨at

I Randomisierte Algorithmen

I Theorie Verteilter und Paralleler Systeme

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Buchempfehlungen

Buchempfehlungen:

I Uwe Sch¨oning.Theoretische Informatik - kurzgefasst.

Spektrum Akademischer Verlag, 2001.

I Michael Sipser.Introduction to the Theory of Computation.

Cengage Learning, 2012.

Diese und noch weitere B¨ucher zum Thema sind in der Informatikbibliothek zu finden.

Ein weiterf¨uhrendes Buch ist

I Sanjeev Arora, Boaz Barak.Computational Complexity.

Cambridge University Press, 2009.

Klausur

Anmerkungen zur Klausur (1)

Klausur:

Montag, 19. Februar 2018, 13:00h bis 16:00h Dienstag, 20. M¨arz 2018, 16:00h bis 19:00h

I Die Bearbeitungszeit betr¨agt 120 Minuten

I Bringen Sie Ihren Studierendenausweis mit

I Mobiltelefone m¨ussen ausgeschaltet und weggepackt sein

I Bei der Klausur sindkeineB¨ucher,keineNotizen,keineMitschriften, keineUnterlagen,keineTaschenrechner erlaubt

I Werden T¨auschungsversuche beobachtet, so wird die Klausur mit 0 Punkten bewertet

Anmerkungen zur Klausur (2)

I Schreiben Sie auf jedes Blatt Namen und Matrikelnummer

I Beantworten Sie die Aufgabenaufden Aufgabenbl¨attern

I Geben Sie am Ende der Klausur alle Bl¨atter zusammen mit den Aufgabenbl¨attern ab

I Schreiben Sie mit dokumentenechten Stiften (nicht mit roten oder gr¨unen Stiften, und auf keinen Fall mit Bleistift)

I Schreiben Sie lesbarund sauber

I Formulieren Sie Ihre Antworten klarundeindeutig

I Geben Sie für jede Aufgabemaximal eine Lösung an (Streichen Sie alles andere durch). Andernfalls werden alle Lösungen der Aufgabe mit 0 Punkten bewertet

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Aufgabentypen bei der Klausur

Aufgabentypen bei der Klausur (1)

Fragen nach Definitionen, S¨ atzen, Beweisen

Beispiel 1

Definieren Sie die Komplexit¨atsklasse EXPTIME.

Beispiel 2

Formulieren Sie den Satz von Matijasevich.

Beispiel 3

Beweisen Sie, dass das Rucksack Problem NP-vollst¨andig ist.

Aufgabentypen bei der Klausur (2)

Direktes Anwenden von S¨ atzen auf konkrete Probleme

Beispiel

Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Rice, dass die folgende Sprache unentscheidbar ist: L={ hMi | L(M)ist leer}

Aufgabentypen bei der Klausur (3a)

Beweise von Sachverhalten

Beispiel 1

Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgende Sprache rekursiv aufz¨ahlbar ist: L={ hMi | M akzeptiert ein Palindrom} Bei Aufgaben vom Typ “Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage”

werden Punktenur f¨ur Argumentevergeben. Ein einfaches “Ja” oder “Nein”

oder “Wahr” oder “Falsch” bringt keine Punkte.

Beispiel 2

Beweisen oder widerlegen Sie fürL⊆ {0,1}^∗: (a) WennLabzählbar ist, dann istLauch aufzählbar (b) WennLaufzählbar ist, dann istLauch abzählbar

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Aufgabentypen bei der Klausur (3b)

Beweise von Sachverhalten

Beispiel 3

Beweisen oder widerlegen Sie: WennLentscheidbar, dann¯L≤L.

Beispiel 4

L₁ undL₂seien semi-entscheidbare Sprachen ¨uberΣ ={0,1}mit L1∪L2= Σ^∗und 101∈L1∩L2. Beweisen Sie, dass L1≤L1∩L2 gilt.

Beispiel 5

Es seiena,b,c drei positive ganze Zahlen. Beweisen Sie, dass die Funktionf :N→Nmit f(n) =an²+bn+c primitiv rekursiv ist.

Aufgabentypen bei der Klausur (3c)

Beweise von Sachverhalten

Beispiel 6

Beweisen Sie, dass das folgende Problem NP-schwer ist.

EINGABE: Ein GraphG = (V,E); zwei Zahlenr unds FRAGE: Gibt es eine Menge R⊆V mit|R|=r, die mindestenss Kanten aufspannt?

Beispiel 7

Liegt das folgende Problem in NP? Liegt es in coNP?

EINGABE: Eine logische Formel ϕin CNF

FRAGE: Besitzt ϕh¨ochstens eine erf¨ullende Variablenbelegung?