Theoretische Physik III
- Quantenmechanik (SoSe 2015) -
Ubungsblatt 09 (24 Punkte)¨
Ausgabe 22.06.15 – Abgabe 29.06.15 – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 Ritz’sches Theorem] (3 Punkte)
Beweisen Sie das Ritz’sche Theorem wonach das Funktional E[ψ] =hψ|H|ψi/hψ|ψiˆ genau dann station¨ar, δE[ψ] = 0, wenn ψ =ψ0 Eigenvektor von ˆH, etwa ˆHψ0 =E0ψ0. Schließen Sie aus diesem Theorem E[ψ] ≥ E0, wobei E0 die Grundzustandsenergie. St¨obern Sie im Lehrbuch und geben eine Anwendung an.
. Aufgabe 2 (Grundzustandsanergie mittels Ritz)∗ (4 Punkte) Sch¨atzen Sie mittels Ritz’schem Theorem die Grundzustandsenergie eines Elektrons im Coulombfeld des Z-fach geladenen Kern ab. Benutzen Sie als Variationsansatz ∝e−κr mit κ Variationsparameter. Wie vergleicht sich Ihr Ergebnis mit dem exakten Wert?
. Aufgabe 3 (Anharmonischer Oszillator)∗ (4 Punkte) Gegeben der anharmonische Oszillator,
Hˆ = pˆ2 2m +1
2mω2qˆ2+ 1
4!g˜qˆ4 (1)
worin ˜g “kleiner” Parameter.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von ˆH in f¨uhrender Ordnung
St¨orungstheorie. (3 Punkte)
(b) Sch¨atzen Sie die Korrekturen zur n¨achsten Ordnung jenseits der f¨uhrenden Ordnung
ab. (2 Punkte)
(c) F¨ur welche Parameterwerte ˜g darf die Anharmonizit¨at ∝ qˆ4 als “kleine St¨orung”
behandelt werden? (1 Punkt)
Hinweis: Es empfiehlt sich, erst einmal alles auf Harmonische Oszillator Leiteroperatoren umzuschreiben.
. Aufgabe 4 (H2+-Molek¨ul) (5 Punkte)
Das einfachste Molek¨ul der Welt ist das einfach ionisierte Wasserstoff-Molek¨ulH2+. In der Born-Oppenheimer N¨aherung nimmt man an, dass sich die beiden Protonen in einem festen AbstandR voneinander befinden. Ordnet man das Elektron einem der beiden Protonen zu – etwa Proton 1 – und vernachl¨assigt die Coulombwechselwirkung mit dem jeweils anderen Proton – im Beispiel w¨are das Proton 2 – so w¨are der Grundzustand ψ1 eine am Ort des Proton 1 lokalisierte Exponentialfunktion. Allerdings hat der Zustand ψ2 (eine am Ort
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Martin Wilkens 1 22. Juni 2015
Ubungen Quantenmechanik SoSe 2015 – Blatt 09¨
des Protons 2 lokalisierte Expnentialfunktion) die gleiche Energie (n¨amlich welche?) – der
“ungest¨orte” Grundzustand ist entartet.
Die “St¨orung” – im vorliegenden Fall die Coulombwechselwirkung mit dem jeweils anderen Proton – hebt diese zweifache Entartung auf. Ihre Aufgabe ist es, die Energieaufspaltung als Funktion des Abstandes der beiden Protonen zu berechnen und sich davon zu ¨uberzeugen, dass im Falle einer geraden Kombintion ∝ ψ1 +ψ2 ein gebundener Zustand bei einem gewissen R0 m¨oglich ist, nicht aber f¨ur die ungerade Kombination ∝ψ1−ψ2.
Von der Fein- und Hyperfeinwechselwirkung d¨urfen Sie in dieser Aufgabe getrost absehen.
Die Feinstruktur war ja offiziell “noch nicht dran” und die Hyperfeinstruktur bearbeiten Sei weiter unten . . . .
. Aufgabe 5 (Addition von Bahndrehimpuls und Spin-12) (8 Punkte) [Klausurelevant? Nicht in dieser Form – aber die Kopplung ` = 1 an s = 1/2 k¨onnte durchaus “dran” kommen . . . ]
Wird beim Wasserstoffproblem auch der Spin der Elektrons ber¨ucksichtigt ist mit
~jˆ:=~lˆ+ ˆ~s (2)
der Gesamtdrehimpuls des Elektrons verabredet.
Gemeinsame Eigenzust¨ande zu~jˆ2, ˆjz,~`ˆ2 und ˆ~s2 werden notiert |jmj`si, wenn n¨otig Kom- mata zwischen den Eintr¨agen, worin Quantenzahlenj, mj, ` und s definitiosgem¨aß
~jˆ2|jmj`si=~2j(j+ 1)|jmj`si, ˆjz|jmj`si=~mj|jmj`si,
~ˆ
`2|jmj`si=~2`(`+ 1)|jmj`si, ~sˆ2|jmjlsi=~2s(s+ 1)|jmjlsi,
(3) Der Wert vonsliegt nat¨urlich fest,s = 12, der Wertebereich von`ist variabel`= 0,1,2, . . ..
Zu jedem ` (mit Ausnahme ` = 0) gibt es zwei m¨ogliche Werte j =`± 12. F¨ur ` = 0 gibt es nur ein j = 12.
Das Ziel ist es, die|jmjlsidurch eine Linearkombination der Produktzust¨ande|`m`;sµi:=
|`m`i ⊗ |sµi auszudr¨ucken, wobei Quantenzahlen m` und µ definitionsgem¨aß ˆ`z|`m`sµi=
~m`|`m`sµi, m` = −`,−`+ 1, . . . , `, und ˆsz|`m`sµi = ~µ2|`m`sµi mit µ = ±1. In jedem Fall mj =−j,−j+ 1, . . . , j.
Zeigen Sie: F¨ur `= 1,2, . . .
|`± 12, mj;`,12i= s
`+ 12 +mj
2`+ 1 |`, mj∓ 12i ⊗ |12±i ± s
`+ 12 −mj
2`+ 1 |`, mj± 12i ⊗ |12∓i (4) und f¨ur`= 0
|12,±12; 012i=|0,0i ⊗ |12±i. (5) Spektroskopisch notiert man die mj-Multipletts in der Form n`j, etwa 2p1
2 oder 2p3
2. In der Grobstruktur (“Kepler-Atom”) sind diese beiden Niveaus anergetisch entartet. Wird die Wechselwirkung des Spins mit dem Bahndrehimpuls in der Feinstruktur erfasst, wird diese Entartung aufgehoben.
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Martin Wilkens 2 22. Juni 2015
