WS 2018/2019, FSU Jena

Stochastik 1

WS 2018/2019, FSU Jena

Prof. Schmalfuÿ Robert Hesse, Verena Köpp

Ausgabetermin: 24.01.2019

Besprechung in den Übungen am 28.01.2019 und 30.01.2019

13. Übungsblatt

Aufgabe 1. (a) SeiY eineR^d-wertige Zufallsvariable mitY ∼ N(a, S)undc= (c1, . . . , cd)^T ∈R^d\ {0}. Zeigen Sie, dass dann

c^TY =c₁Y₁+. . . c_dY_d∼ N(c^Ta, c^TSc).

(b) SeienX₁undX₂unabhängige, auf[0,1]gleichverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von

Y1:=p

−2 lnX1cos(2πX2), Y2:=p

−2 lnX1sin(2πX2).

Hinweis: Dieses Verfahren heiÿt Box-Muller Methode und kann zur Erzeugung von standardnormal- verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Aufgabe 2. Seif : [0,1]→Reine stetige Funktion. Um das IntegralI:=R1

0 f(x)dxmit der Monte-Carlo- Methode zu berechnen, betrachtet man In := _n¹Pn

i=1f(Xi), wobei X1, . . . , Xn unabhängige, jeweils auf [0,1]gleichverteilte Zufallsvariablen sind. Bestimmen SieEInund VarIn. Zeigen Sie, dassInein konsistenter Schätzer vonI ist.

Aufgabe 3. Eine weitere Methode zur Parameterschätzung ist die Maximum-Likelihood Schätzung. Der ur- sprüngliche Gedanke bei der Maximum-Likelihood Schätzung ist sehr einfach. Man betrachte ein Experiment mit diskreter Verteilung und unbekanntem Parameterθ, d.h.

P(X =xi, θ) =pi(θ), i= 1,2, . . . .

Gegeben sei die Stichprobe(ξ1, ξ2, . . . , ξn),n∈N. Dann ist der MaximumLikelihoodSchätzer θ^∗fürθjenes θ, sodass die Wahrscheinlichkeit für die konkrete Stichprobe maximal wird:

θ^∗= arg max

θ P(X1=ξ1, X2=ξ2, . . . , Xn=ξn, θ).

(a) Sei nunXi Poisson-verteilt mit unbekannten Parameterλ. Bestimmen Sie den MaximumLikelihood Schätzer λ^∗ fürλbei gegebener Stichprobe(ξ1, ξ2, . . . , ξn),n∈N.

(b) Woher kennen Sie den Schätzer aus (a)?

Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Punkte aus den Übungsserien und zweima- liges Vorrechnen an der Tafel.