C ee ≈ 10 − 30 cm 6

(1)

11 Übungsblatt Photovoltaik

11.1 (Auger-Rekombination)

WirbetrachtenAuger-Rekombination,wobeihierfürzweiElektronenundeinLochbenö-

tigt werden, daher hängtdieRate von

n ²

^und

p

^ab. ^Über ^denAuger-Koezienten lässt sichdann dieRateexaktbestimmen:

R _Au = C _ee n ² p

Der Auger-Koezient ist inderGröÿenordnung

C ee ≈ 10 ⁻ ³⁰ ^cm ⁶

s

^.

WirbetrachteneineSolarzellemiteinemAbsorberauskugelförmigenQuantendotsmit

dem Durchmesser

d QD = 3 nm

^.^Die Âtome îm ^Quantendot ^besitzen êinen Durchmesser von

d A = 3

Å . Wir nehmen die Atome kugelförmig an. Das Volumen einer Kugel ist gegebenmit

V Kugel = ⁴

3 π ^d 2

³

,umeinegrobeAbschätzungzuerhalten,wie vieleAtome

sich in einem Quantendot benden, können wir das Volumen des Quantendots durch

das Volumen eines Atoms teilen. Hieraus folgt dann eine ungefähre Anzahl an Atomen

im Quantendot (ungefähr, da die Kugeln starr sind und sich nicht so verformen las-

sen, dasssie dengesamten Raumausfüllenkönnen, dender Quantendot oeriert,daher

haben wir je nach packungsdichte weniger Atome als berechnet, wir nehmen grob 70%

Packungsdichte an,d.h. wirmultiplizieren unserErgebnismit 0.7, um eineinigermaÿen

realistischesErgebnisfürdieAtomanzahlimQuantendotzuerhalten).Esergibtsichalso

für dieAnzahl derAtome imQuantendot:

N = 0 . 7 V QD

V _A = 0 . 7

4 3 π _d

QD

2

³

4 3 π

d A

2

³

= 0 . 7 d ³ _QD

d ³ _A = 0 . 7 3 ³ · 10 ⁻ ²⁷ 3 ³ · 10 − 30 = 700

Wir besitzen also ca. 700 Atome pro Quantendot. Wir nehmen eine Generation von

einem Elektron pro Quantendot an, d.h. einem Elektron pro 700 Atomen. Die Gleich-

gewichtsladungsträgerdichte ist mit

n = p = 10 ¹¹ cm ⁻ ³

^gegeben, ^woraus ^die ^Auger-

Lebensdauer der Elektronen zu bestimmen ist. Die Auger-Lebensdauer ergibt sich mit

(Niedriginjektion siehe HenningNagel- Analyseund Verlustederoptischenund elektri-

schen Verlusteinmultikristallinen Silizium-Solarzellen 1

):

τ Auger ≈ 1

C _ee n ² ≈ 10 ⁸ s

Wir vergleichen dies mit der Störstellen-Rekombination (

τ Str = 1 ms

⁾ ^und ^sehen ^so-

fort, dass im Fall der Niedriginjektion die Augerrekombination vernachlässigbar ist, da

die Lebensdauer sehr viel gröÿer ist. Die Niedriginjektion setzt jedoch nur eine geringe

1

http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=967773008&dok_var=d1&dok_ext=pdf&lename=967773008.pdf

(2)

der keine Angabe wieviele Quantendots pro Volumen, d.h. wieviele Elektronen wirpro

Volumen und Zeiteinheit erhalten, nur Angabe über Elektronen pro Quantendotvolu-

men, aberZelle besteht nicht nurausQuantendots). Gehen wirvoneiner Hochinjektion

(wieder

1

)aus, soist dieAuger-Lebensdauer über:

τ _Auger ≈ 1 C ee ∆ n ²

gegeben. Wir besitzen ein Elektron pro Quantendot, d.h. die Elektronendichte im

Quantendot istgegeben mit

∆ n = 1 /V _QD ≈ 1 . 91 · 10 ²¹ ⁻ ³

,mit demAnteilderQuanten- dotsam Gesamtmaterial könnten wirdann dieÜberschussladungsdichtederElektronen

fürdieZellebestimmen.Wirkönnen diesennurselbstschätzen,dawireinenEinussim

FallevonQuantendotserwarten,schätzenwirdenQuantendotanteilauf

V _QD

V ges = 10 ⁻ ⁴

.Wir erhaltendann für dieDichte

∆ n ≈ 1 . 91 · 10 ¹⁷ cm ⁻ ³

^und^daraus ^eineAuger-Lebensdauer von:

τ Auger ≈ 2 . 7 · 10 ⁻ ⁵ s

Damit wäre die Auger-Rekombination der dominierende Einuss. Man kann also mit

demQuantendotanteil denEinuss derAugerrekombination starkbeeinussen.(Andere

Eektevernachlässigt).

11.2 (Quantendots)

WirbetrachteneinsichimQuantendotbendlichesTeilchenäquivalentzueinemTeilchen

imPotentialkasten.DieLösungderSchrödingergleichungfüreinElektronengasimKasten

derLänge

L

^ergibt ^sich ^dann^mit:

E n = n ² ~ ² π ² 2 mL ²

mit

n ∈ N

derHauptquantenzahl und

m

^der^Teilchenmasse. Wirberechnen dieEner- gien für den niedristen Zustand

n = 1

der Elektronen, daher entspricht die Masse der Elektronenmasse

m _e

^.^Die^Breite^des^Kastens^ist^mit^der^Länge

L

^gegeben,^wasⁱⁿ^diesem

Fall demDurchmesser desQuantenpunktes entspricht, welcher mit

d

^gegeben ^ist,^es^gilt

also

d = L

^,^wobei^derQuantenpunktkugelförmigist.EsfolgtalsomitdenDurchmessern

L _a = 2 nm

^,

L _b = 5 nm

^,

L _c = 10 nm

^,

L _d = 100 nm

^und

L _e = 500 nm

^für ^die^Energien:

E a = 1 . 51 · 10 ⁻ ²⁰ J E b = 2 . 41 · 10 ⁻ ²¹ J E c = 6 . 02 · 10 ⁻ ²² J E d = 6 . 02 · 10 ⁻ ²⁴ J E e = 2 . 41 · 10 ⁻ ²⁵ J

Die Graphen undRechnungen benden sich imangehängten Mathematica Ausdruck.

C ee ≈ 10 − 30 cm 6

n 2

p

R Au = C ee n 2 p

C ee ≈ 10 − 30 cm 6

s

d QD = 3 nm

d A = 3

V Kugel = 4

3 π d 2

3

N = 0 . 7 V QD

V A = 0 . 7

4 3 π d

QD

2

3

4 3 π

d A

2

3

= 0 . 7 d 3 QD

d 3 A = 0 . 7 3 3 · 10 − 27 3 3 · 10 − 30 = 700

n = p = 10 11 cm − 3

τ Auger ≈ 1

C ee n 2 ≈ 10 8 s

τ Str = 1 ms

1

τ Auger ≈ 1 C ee ∆ n 2

∆ n = 1 /V QD ≈ 1 . 91 · 10 21 − 3

V QD

V ges = 10 − 4

∆ n ≈ 1 . 91 · 10 17 cm − 3

τ Auger ≈ 2 . 7 · 10 − 5 s

L

E n = n 2 ~ 2 π 2 2 mL 2

n ∈ N

m

n = 1

m e

L

d

d = L

L a = 2 nm

L b = 5 nm

L c = 10 nm

L d = 100 nm

L e = 500 nm

E a = 1 . 51 · 10 − 20 J E b = 2 . 41 · 10 − 21 J E c = 6 . 02 · 10 − 22 J E d = 6 . 02 · 10 − 24 J E e = 2 . 41 · 10 − 25 J

n ²

R _Au = C _ee n ² p

C ee ≈ 10 ⁻ ³⁰ ^cm ⁶

V Kugel = ⁴

3 π ^d 2

³

V _A = 0 . 7

4 3 π _d

³

³

= 0 . 7 d ³ _QD

d ³ _A = 0 . 7 3 ³ · 10 ⁻ ²⁷ 3 ³ · 10 − 30 = 700

n = p = 10 ¹¹ cm ⁻ ³

C _ee n ² ≈ 10 ⁸ s

τ _Auger ≈ 1 C ee ∆ n ²

∆ n = 1 /V _QD ≈ 1 . 91 · 10 ²¹ ⁻ ³

V _QD

V ges = 10 ⁻ ⁴

∆ n ≈ 1 . 91 · 10 ¹⁷ cm ⁻ ³

τ Auger ≈ 2 . 7 · 10 ⁻ ⁵ s

E n = n ² ~ ² π ² 2 mL ²

m _e

L _a = 2 nm

L _b = 5 nm

L _c = 10 nm

L _d = 100 nm

L _e = 500 nm

E a = 1 . 51 · 10 ⁻ ²⁰ J E b = 2 . 41 · 10 ⁻ ²¹ J E c = 6 . 02 · 10 ⁻ ²² J E d = 6 . 02 · 10 ⁻ ²⁴ J E e = 2 . 41 · 10 ⁻ ²⁵ J