Zur Geschichte der Gleichungen dritten Grades mit einer Unbekannten (16. Jahrhundert)

Monograph

Zur Geschichte der Gleichungen dritten Grades mit einer Unbekannten (16. Jahrhundert)

Author(s):

Lutstorf, Heinz Publication Date:

1996

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-001660185

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Abb. 1. Niccolo Tartaglia (1499-1557). TItelholzscbnin in seinem Buche Ragionamenti de Nicolo Tartaglia sopra la $Va travagliata inventione,Venedig, 1537, mit Verbot des Nachdrucks und Garantie des Alleinverkaufsrechts des Autorsfürzehn Jahre unter Androhung einer Buße von 300 Dukaten und Beschlagnahmung der Deliktobjekte durch den Senat von Venedig.

clritten Gracles

mit einer U nlbeJkannten

(160 J ahrhunclert)

Vorwort I

ZurGeschichte der Gleichungen. Historische Skizze 1

Anmerkungen 45

Anhang 1:

Anhang2:

Anhang3:

Anhang 4:

Anhang 5:

Anhang 6:

Tartaglias autobiographische Skizze . . . • . . . 51

Tartaglias Reimrätsel . . . • . . . • . 53

Tartaglias Lösung der Gleichung

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+3x

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10 57

Tartaglias Diskussion des Gleichungstyps

r

+

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=q . . . 58

DerCasus irreducibilis . . • . . . • . . . • . . • . . . • • • • • • • • • • • . • • . 61

"Vorbericht"zu Johann Heinrich Rahns Teuucher Algebra. • • • • • • • • . • • • •• 68

Literaturhinweis 71

Abbildungen:

Abb. 1:Portrait Niccolo TartagHa . . . • . . . • . . . Frontispiz Abb. 2: Portrait Hieronymus cardanus . . . • . . . • . . . • . . 4a Abb. 3: TItelblatt von cardanosAn magna . . . • .8a Abb. 4: TItelblatt von TartagliasQuesiti etinventioni diverse ••••••••••.•••••...•. 12a Abb. 5: TItelblatt von Peter RothsArithmetica Philosophica • •.•••••••••••••••.•••.••. 32a Abb. 6: TItelblatt von Albert Girards Invention nouve11e en

r

algebre •..••••....•...•. 34a Abb. 7: Portrait Rene Descartes . . . • . . . • . . . 36a Abb. 8: TItelblatt von Johann Heinrich RahnsTeuucher Algebra • .•••••••.•..•.••••••• 40a

Eine der faszinierendsten Episoden der wechselvollen Geschichte der Mathematik war die Entdeckung algebraischer LösungsverfahrenfürGleichungen dritten Grades mit einer Unbe- kanntenim16. Jahrhundert. Dank der sachkundigen Sammeltätigkeit Prof. RudolfWolfs, des ersten Bibliothekars des eidgenössischen Polytechnikums (heute Eidgenössische Technische Hochschule Zürich) sind die Wissenschaftshistorischen Sammlungen(WHS)der ETH-Bibliothek in der Lage, mehrere wichtige Phasen der Wissenschaftsgeschichte, so auch die erwähnte, durch Originaldrucke fast lückenlos zu belegen.

Ein bibliographisches Projekt machte die Durchfiihrung ausgedehnter historischer De- tailrecherchen in den Beständen der WHS nötig, die schließlich eine große Zahl meist wenig bewußter Zusammenhänge zutage förderten. Die für das Projekt nur teilweise verwendbaren Ergebnisse schienen uns ein allgmeineres Interesse beanspruchen zu dürfen, und wir hätten es bedauert, sie nach Abschluß des Projektes ungenutzt ad aeta legen zu müssen. Erfreulicherweise hat sich Heinz Lutstorf, von 1960 bis 1989 Bibliothekar an der ETH-Bibliothek, der Mühe unter- zogen, eine Reihe historischer Tatsachen auszuwählen und in Erinnerung zu rufen, die geeignet scheinen, die manchen Leser abschreckenden abstrakten Formeln der Algebra wieder mit ihren Entdeckern in Beziehung zu setzen und so ein wenig in den Alltag des Lebens zurückzuholen.

Die Rätsel unserer ,,Altvordern" sind vom heutigen Standpunkt des Theoretikers und Praktikers aus längst gelöst und überholt, in ihrer einstigen Vielfalt und Virulenz aber kaum mehr bekannt - und infolgedessen vom Historiker immer wieder "neu zu entdecken"! Hauptvor- aussetzung des Autors war allerdings der von Rudolf Wolf und seinen Nachfolgern geäufnete Bestand, welcher sich gerade auf dem Gebiet der die moderne Naturwissenschaft erst ermögli- chenden mathematischen und physikalischen Grundlagen wohl mit jeder andern Schweizer Bi- bliothek auchimhistorischen Bereich wohl messen kann. Hinzu kam, daß dem Autor, je mehr er sich einlas und mit der älteren mathematischen Sprache vertraut machte, desto deutlicher bewußt wurde, hier einefür die Entwicklung der neuen WISsenschaft entscheidende Epoche und einige ihrer Hauptvertreter in zeitbedingter Individualität sozusagen leibhaftig vor Augen zu haben. Im 16. Jahrhundert lag die Lösung des seit der Antike hängigen mathematischen Problems der Geichungen dritten und höheren Grades vermutlich "in der Luft". Zum andern aber bildete sich, nicht zuletzt an dieser Aufgabe, an der sich klügste Köpfe lange "die Zähne ausbissen", die moderne mathematische Formelsprache aus, bis sie mit Rene Descartes (1596- 1650) einen zukunftweisenden Stand erreichte.

Während ,,Algebra" bis in unser Jahrhundert herauf "Rechenverfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen" bedeutete, ja lange Zeit die Arithmetik miteinschloß, versteht der moderne Mathematiker darunter "im wesentlichen die Untersuchungen der algebraischen Strukturen Gruppe, Ring, Körper, der linearen Räume und Halbgruppen", aber auch ein sog.

"hyperkomplexes System'>:!. Noch Leonhard Eulers "Vollständige Anleitung zur Algebra" (peters- burg, 1771

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handeltimersten Teil "von den verschiedenen Rechnungsarten, Verhältnissen und Proportionen", während der zweite teils "den Algebraischen Gleichungen und derselben Auflö-

1BezeichnenderweisehießB.L. van der Waerdens bahnbrechendes Lehr- und Handbuch in den ersten Auflagen (1930ff.)"Moderne Algebra".

2Nach Brockhaus.

3UnsereAusgabe,

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7074 Rar, stammt - wie könnte es anders sein! - aus dem privaten Besitze Rudolf Wolfs, dessen eigene Lehr- und Handbücher zur angewandten Mathematik (vor allem sein

"Taschen-Wolf') seinerzeit von vielen geschätzt waren.

sung", teils "der unbestimmten Analytic" (d.i. dem Problem: "wenn aber weniger Gleichungen aus der Frage gezogen werden können, als unbekannte Zahlen angenommen worden") gewid- met istDochauchfiirihn besteht "die Hauptabsicht der Algebra so wie aller Theile der Mathe- matik" darin, "daß man den Werth solcher Größen, die bisher unbekannt gewesen bestimmen möge, welches aus genauer Erwegung der Bedingungen, welche dabey vorgeschrieben und durch bekannte Größen ausgedrückt werden, geschehen muß. Daher die Algebra auch also be- schrieben wird, daß darinnen gezeigt werde, wie man aus bekannten Größen unbekannte aus- findig machen könne".

Im "Drama" und seinen Nachspielen, das H. Lutstorf uns hier näher vorstellt, spielen, bezeichnenderweise, zwei Italiener die Hauptrolle, beide universell gebildet, Mathematiker und Physiker der eine: Niccolo Tartaglia (1499-1557)4, "Doctor Medicinae" und Naturforscher der andere: Girolamo Cardano (1501-1576

y.

Ausgangspunkt des "Schauspiels" war die Lösung von Gleichungen dritten Grades in der reduzierten Form, die zu Beginn des 16. Jahrhunderts gelang. Cardano pries diese Leistung überschwenglich: "Verum temporibus nostris, Scipio Ferre- us Bononiensis, capitulum cubi& rerum numero aequalium invenit, rem sane pulchram&admi- rabilem, cum omnem humanam subtilitatem, omnis ingenii mortalis claritatem ars haec superet, donum profeeto celeste, experimentum autem virtutis animorum, atque adeo illustre, ut qui haec attigerit, nihilnon intelligere posse se credat'"

Der Knoten schürzte sich, als ein Schüler des Entdeckers, imVertrauen darauf, und Tartaglia, der selber auf die Lösung gekommen war, 1535 zu Venedig miteinander darüber öf- fentlich disputierten. Cardano erfragte von Tartaglia das Lösungsverfahren, erhielt es auch, al- lerdings in Forin eines Merkgedichtes und gegen die Zusicherung, esfiirsich zu behalten, da dieser das Verfahren vermutlich selber als erster in seinem "General trattato" publizieren wollte.

Da Tartaglias einschlägige Veröffentlichung, ob anderer Vorhaben, auf sich warten ließ, Carda- no und sein Schüler Ludovico Ferrari (1522-1565) aber inzwischen auf dem Gebiet selbständig und mit Erfolg weitergeforscht hatten, veröffentlichte Cardano in seiner"Arsmagna" von 1545 diese Erkenntnisse, unter Anerkennung von Tartagllas Verdienst Der aber fühlte sich hintergan- gen, legte, im neunten Buch seiner "Quesiti" (1546), den Sachverhalt aus seiner Sicht dar - worauf Cardanos Sekundant Ferrari und er in mehreren "Cartelli" und "Risposte" (1547-48) schriftlich und mündlich ihre Klingen kreuzten. Lutstorf verleiht dem "mathematischen Fünf- akter" zusätzliche Plastizität, indem er das persönliche Schicksal der Hauptakteure und ihre weitreichenden Beziehungen einbezieht Ausblicke auf die verbleibende, bekanntlich erstim19.

Jahrhundert endgültig gelöste, Problematik der höheren Gleichungen runden den Beitrag auch diesbezüglich wissenschaftsgeschichtlich ab.

Zürich, imAugust 1996, Beat Glaus, Leiter der WHS.

4 Zum Biographischen siehe Arnoldo Masotti im Dietionary of Sci.entific Biography. Werke: Nova sci.entia (1537); Euclide Megarense (1543); Opera Archimedis (1543); Quesiti et inventioni diverse (1546);Cartelli(1547-48); Travagliata inventione (1551); General trattato di numeri et misure (1556- 60); Archimedis De insidentibusaquae (1565); Iordani Opusculum de ponderositate (1565).

5Zur Bio- und Bibliographie siehe Mario Gliozzi. im Dietionary of Sci.entific Biography. Werke: Opera omnia (10 Bände, Lyon, 1663). Enthalten u.a (namentlich auch Medizinischem): De maIo recentiorum medicorum medendi usulibellus (1536); Praeticaarithmeticae generalls et mensurandisingularis (1539);

Computus minor (1539),Artismagnae, sive de regulis Algebrae liber unus (1545); De subtilitate rerum (1550); De varietate rerum (1556). Autobiographie (ed. Gabrie1 Naude, 1643).

6 Cardano, Ars magna (1545), Seite 3 reeto (lH 73178Rar).

QuellenmaterialimBesitze derWissenschaftshistorischen Sammlungen (WHS) der ETH-Bibliothek zürich.

Historische Skizze

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~atmlrb Immer einer elnnWmlebemurrriJt~en lInb IeJen. Goethe

Seit den ersten Anfängen in der Antike und bis weit ins neunzehnte Jahrhundertistdie Auflösung von Gleichungen zur Bestimmung von Unbekannten eine, wenn nicht die, Haupt- aufgabe der Algebra gewesen. Die Entdeckung einer rein algebraischen Lösungsmethode für Gleichungen dritten undimZusammenhange damit vierten Grades darf als eine der schönsten Errungenschaften der Wissenschaft des 16. Jahrhunderts bezeichnet werden. Sie wird für immer mit den Namen der Mathematiker dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari und Bombelli ver- bunden bleiben. Bis gegen die Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts haben die Gleichungen drit- ten Grades in den Lehrmitteln der Mittelschulen ihren Platz behauptet, und, wenn auch heute imZeitalter des Strukturalismus zeitgemäßere Gegenstände und Methoden das Hauptinteresse beanspruchen, so finden die "cardanischen Regeln" dennoch als großartiger Erfolg menschlicher geistiger Anstrengungen wenigstens in Gestalt eines geistesgeschichtlichen Hinweises ehrenvolle Erwähnung. Es ist bezeichnend, daß in der Biographie manches großen Mathematikers späterer Zeiten, so etwa bei John Wallis, gleichsam als "Garantiestempel" seiner Kompetenz, nachzulesen ist, wie er zu einem frühen Zeitpunkte seines Werdeganges das Cardansche Verfahren selbständig neu entdeckt habe. Um 1545 bildeten die Gleichungen dritten Grades fast das Tagesgespräch, nicht nur der engeren Fachwelt, und wurden Ursache eines erbitterten Prioritätsstreites unter den beiden Hauptprotagonisten Tartaglia und Cardano, bzw. dessen Stellvertreter Ferrari.

Die Klassifikation von Gleichungen mit Unbekannten in Typen, ein Hauptanliegen der arabischen Mathematiker des Mittelalters, ihre Umgestaltung und Auflösung bietenim Falle linearer Gleichungen noch keine besonderen Schwierigkeiten. Anspruchsvoller sind bereits Glei- chungen zweiten Grades, aber auch sie konnten schon von den alten Babyioniern und in der abendländischen Antike, u.a. vonDiophane, bewältigt werden. Dieser Stand der Wissenschaft war vonAl-ChwarizmP und neuerdingsvonPaciolf rekapituliert worden, und mit dem Namen AI-Chwarizmis wird noch heute gerne die Lösung der Gleichungen zweiten Grades in Ver- bindung gebracht.

Versuche, auch Gleichungen höheren Grades zu lösen, waren indessen, einzelne Son- derfälle ausgenommen, weder den antiken Algebraikern noch ihren NachfolgernimMittelalter und der früheren Neuzeit geglückt, und die Aussage Paciolis, 1494 in seinerSummadearithme- rica, Gleichungen dritten Grades seien nicht lösbar, galt unter seinen Zeitgenossen als Dogma, obwohl Pacioli damit wahrscheinlich nur andeuten wollte, es seien (ihm) zur Zeit keine Lö- sungswege bekannt.

Fra LucaPacioliwar1501-1502lectoradmarhem.aricamin Bologna, wo ebenfalls Scipi- one dal Fern! und 1565, kurz vor seinem Tode, auch LodovicoFerrari als Lektoren wirkten.

Scipione wird, obwohl vonihmsonst wenig bekannt ist, in verschiedenen Quellen als äußerst geschickter Algebraiker bezeichnet. Die Anwesenheit Paciolis in Bologna sollihnangestachelt haben, nach einem Verfahren zur Lösung der kubischen Gleichung zu suchen, da Pacioli doch die Existenz einer solchen angezweifelt, wenn nicht sogar dogmatisch verneint hatte. Paciolis Lehrbuch erinnertim Titel, vielleicht sogar bewußt, an die 1267-1273 entstandene Summa theologica.des Kirchenlehrers und Doctor angelicus Themas von Aquin, dessen Lehrgebäude ge-

rade im 16. Jahrhundert wieder an Ansehen gewann. Es ist ein eigentümliches Zusammentref- fen, und vielleicht kein Zufall, daß fast zur selben Zeit die große Kirchenreform Luthers, Calvins und Zwinglis, die ebenfalls Dogmen in Zweifel zog und manche davon aufhob, ihren Anfang nahm; denn Scipione dal Ferro gelang es nun um 1515, vielleicht sogar schon um 1505, tat- sächlich, einen Weg zur Lösung von Gleichungen dritten Grades, vorläufig allerdings erst in der reduzierten Form, d.h. ohne das Glied mit r, zu finden und so Paciolis "Dogma" zu stiinen.

Von dal Ferro sind keine gedruckten Schriften bekannt; er publizierte seine Entdeckung nicht, benutzte sie aber im Unterricht.

Nach damaligem Brauch - wohl zu Werbezwecken - beabsichtigte Antonio Maria del Fiore[auch Florido] aus Venedig, ein Schüler dal Ferros, 1535 in Venedig eine mathematische Disputation mit dem renommierten Rechenmeister NiccoloTartaglia (1499-1557) zu veranstal- ten und meinte, im Vertrauen auf sein "Monopol", mit seinem Rivalen leichtes Spiel zu haben, wenn erihmProbleme vorlege, die auf Gleichungen dritten Grades führen. Tartaglia zog aber aus diesem schlauen Manöver seines Herausforderers den richtigen Schluß, daß Gleichungen dritten Grades, wenigstens des reduzierten Typs, offenbar doch lösbar sein müßten, vertiefte sich in das Problem und will, nach eigener Aussage, am 12. Februar 1535 (nach venezianischer Zählung 1534) buchstäblich über Nacht hinter deI Fiores "Geheimnis" gekommen sein.

Nach anderer Lesart hat Magister Zoon Tonini da Coi [dai Colli, auch Colla] aus Brescia 1530 Tartagliajene Aufgabe, die auf die Lösung einer Gleichung des Typs r+pr = q hinaus- läuft und von der noch die Rede sein wird, vorgelegt. DeI Fiore soll davon gehört haben, daß Tartaglia Toninis Gleichung lösen könne, und nun, im Sinne einer Maßnahme zur Geltend- machung des Anspruchs auf geistiges Eigentum, mit der Behauptung an die Öffentlichkeit getreten sein, seinerseits die Lösung von Gleichungen des Typs r+px = q zu besitzen, worauf Tartaglia, der dies nicht habe glauben wollen, deI Fiore zu jener Disputation von 1535 aufge- fordert und während der Vorbereitung auf den Auftritt nun selbständig auch ein Lösungsver- fahren für deI Fiores Gleichung entdeckt habe. Diese zweite Version führt insofern zu einem gewissen Widerspruch, als die Lösung der "Tonini-Gleichung" eigentlich die Beherrschung des

"DeI Fiore-Typs" voraussetzt.

DeI Fiore scheint in der Disputation gegen Tartaglia nicht sonderlich brilliert zu haben.

Er hat in der Geschichte der Mathematik nachher keine besondere Rolle mehr gespielt, und sein Name wird überhaupt nur im Zusammenhang mitjenem Treffen genannt, das allerdings wegen der Aktualität des diskutierten Problems einiges Aufsehen erregte. Hingegen verdient Zoon Tonini da Coi ehrenvolle Erwähnung, denn er hat durch seine geschickten Fragen zweifellos sowohl bei Tartaglia wie bei Cardano anregend gewirkt und so auf seine Weise zum Fortschritt der Wissenschaft beigetragen. Offensichtlich besaß er gründliche Kenntnisse der Materie und versuchte selbst, die regola generale zu entdecken. Tonini erscheint in den Schriften beider Protagonisten, und sein Name steht auch in der Liste der Empfänger von FerrarisCartelli, so daß er mit Sicherheit mehr als eine bloße literarische Erfindung Tartaglias gewesen ist.

Geronimo (Girolamo)Cardano(1501-1576), doctor medicinae, war seit 1534 vorüber- gehend Professor der Mathematik in Mailand, weil die dortige Ärztegilde die Zulassung neuer Ärzte zu verhindern wußte, und trug sich mit der Absicht, ein ähnliches Werk wie einst Pacioli mit seinerSummaabzufassen.Alssich das Gerücht von Tartaglias großartigem Erfolg verbreite- te, hätte Cardano dessen Lösungsverfahren gerne in seine "Enzyklopaedie", seinopus perfectum, aufgenommen, trat in dieser Absicht mit Tartaglia in briefliche Verbindung und ludihnsogar zu sich nach Mailand ein. Wirklich gelang esihmam 25. März 1539, als Tartaglia beiihm zu Besuch weilte, diesem das "Geheimnis" zu entlocken. Allerdings behielt sich Tartaglia das Recht vor, als Erster über die neuen "Capitoli" zu publizieren, und gab die Lösung auch nur in litera- risch verschlüsselter Form, dazu ohne Herleitung, und, nach Tartaglias Aussage, unter eides- stattlicher Verpflichtung Cardanos zur Verschwiegenheit und gegen das Versprechen, in den Gelehrtenkreis um Cardano eingeführt zu werden, preis.

Wer waren die beiden Protagonisten? Beide haben autobiographische Berichte hinter- lassen, Cardano eine große Selbstbiographie, die zur Weltliteratur zählt, Tartaglia eine kurze biographische Skizze im Quesito ottavo fatto dal Signor Prior di Barletta im sechsten Buche seiner Quesiti [Anhang 1]. Der letzteren zufolge hatte Tartaglia eine schwere, von Leiden ge- zeichnete Jugend, in bitterster Armut, hinter sich, hatte den Vater, einen berittenen Boten des Rates von Brescia, von dem er neben seiner kleinen Statur wenigstens den guten Ruf geerbt hatte, so früh verloren, daß er, nach dem Namen des Vaters gefragt, diesen nicht einmal zu nennen wußte, und war, als anläßlich der Plünderung Brescias am 19. Februar 1512 seine Mutter mit ihm und seiner Schwester und mit Hunderten anderer Einwohner imDomZuflucht suchte, durch fiinfSäbelhiebe eines französischen Soldaten über den Kopf auf gräßlichste Weise verstümmelt worden. Sein Kiefer war zertrümmert; nur durch die sorgsamste Pflege seiner Mut- ter konnte er überhaupt überleben. Lange Zeit konnte er bloß flüssige Nahrung zu sich nehmen, auch vermochte er nicht mehr richtig zu sprechen, und in einerArtTrotz machte er sich den Spottnamen, den ihm die Knaben auf der Straße nachriefen - il tartaglia, der Stammler -, als Familiennamen zu eigen. Im Testament Tartaglias, das Boncompagni⁵als Faksimile veröffentlicht hat, tritt der ältere Bruder des Testators unter dem Namen Fontana auf, so daß man angenom- men hat, dies sei auch der wirkliche Name Tartaglias gewesen. Um überhaupt unter Leuten auftreten zu können, mußte Tartaglia sich später einen Vollbart wachsen lassen - einen modisch getrimmten Spitzbart trug damals fast jeder Mann -, man wäre sonst entsetzt vor seinem entstellten Antlitz entflohen.

Wegen der großen Armut seiner verwitweten Mutter konnte Tartaglia die ABC-Schule nur "bis zum Buchstaben K" besuchen, den Rest, einschließlich seiner großartigen mathemati- schen Kenntnisse, brachte er sich durch "das angestrengteste Studium der alten Schriftsteller, einzig in Gesellschaft einer Tochter der Armut namens Fleiß", selber bei. Trotz widriger Um- stände wurde Tartaglia endlich ein gesuchter Lehrer der Mathematik, teils sogar von Schülern, die später zu Bedeutung gelangten, ein fruchtbarer Schriftsteller, Rechenmeister und beratender Ingenieur, zuerst in Verona, dann in Venedig. Aber selbst nachdem er schon viele Jahre in Ve- nedig seßhaft geworden war, hörte Tartaglia nicht auf, sich "Nicolo Tartaglia Bresciano" zu nennen. VierhundertJahre nach dem SaccodiBresciagab Tartaglias Vaterstadt Brescia zu Ehren ihres "großen Sohnes" beim Bildhauer Luigi Contratti (1868-1923) ein Denkmal in Auftrag, das 1918 enthüllt werden konnte. Finanzieller Erfolg und die Unterstützung einer Institution wie einer Universität oder anderer wissenschaftlicher Kreise blieben Tartaglia zu Lebzeiten jedoch versagt, und fast alle seine Publikationen tragen den Vermerk "auf Kosten des Verfassers -

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proprie spese deNicolo Tartaglia Autore -gedruckt".

Anders als Tartaglia hatte Cardano ein reguläres Studium in Pavia und Padua absolvie- ren können und wurde, neben und nach seiner vorübergehenden Mathematikprofessur in Mailand, ein geschätzter Arzt und Medizinprofessor in Mailand, Pavia und Bologna. AlsArzt zeichnete sich Cardano durch die - heute wieder postulierte - ganzheitliche Betrachtung des Patienten aus, und sein Ruf als Mediziner, nur noch von Vesalius überboten, verbreitete sich europaweit: 1552 wurde Cardano als Arzt zum Erzbischof von St Andrews und Primas von Schottland, John Hamilton^4, gerufen, den er in den zweieinhalb Monaten, die er in Edinburgh verbrachte, von seinem Asthmaleiden befreien konnte. Cardano blieb das ganze Jahr in England und behandelte noch andere Angehörige des Adels. Auf derHin-wie auf der Rückreise besuchte er die namhaftesten Gelehrten seiner Zeit - in Zürich angeblich Conrad Gesner -, in London verweilte er längere Zeit und verkehrte tnit König Eduard VI., derihnreich beschenkte. 1556 hingegen lehnte er eine Berufung an den dänischen Hof als Leibarzt Christians III. ab, haupt- sächlich weil er befürchtete, in Dänemark ohne Übertritt zur lutherischen Kirche auf die Dauer nicht erfolgreich wirken zu können.

Dochblieb auch Cardano von Ungemach nicht verschont: von klein auf hatte er eine schwächliche, zu Krankheiten neigende Konstitution und war schon als Säugling tnit der Pest infiziertworden; sein Vater, der gelehrte, auch mathematisch interessierte, JuristFazio Cardano in Mailand, war zwanzig Jahre älter als die Mutter, die Eltern lebten zeitweise getrennt, ja man muß sogar annehmen, daß der Vater die Mutter erst viele Jahre nach der Geburt des Sohnes,

als er alle Kinder aus erster Ehe durch die Pest verloren hatte, ehelichte und den Sohn erst, als dieser acht Jahre alt war, auf den Namen Girolamo taufen ließ, nachdem erihnjahrelang als Botengänger für seine Anwaltskanzlei mißbraucht hatte. Die ersten Jugendjahre Cardanos waren durch drastische Prügelstrafen von der Hand des Vaters, der Mutter und einer Tante gekennzeichnet; in späteren Jahren mußte Cardano erleben, daß sein älterer Sohn, bereits ein erfolgreicher Mediziner und medizinischer Schriftsteller, hingerichtet wurde, weil er seine Gattin wegen ehelicher Untreue vergiftet hatte, der jüngere Sohn war ein Tunichtgut, der dem Vater große Enttäuschung bereitete, bis dieser sich sogar gezwungen sah, die Inhaftierung des eigenen Sohnes zu beantragen. 1570 wurde Cardano selbst ein halbes Jahr lang von der Inqui- sition hinter Schloß und Riegel gesetzt, angeblich weil er das Horoskop Jesu Christi gestellt und damit dessen Abhängigkeit vom Laufe der Gestirne impliziert hatte. Die Anklage wurde schließ- lich fallen gelassen, nachdem Cardano widerrufen und sich bereit erklärt hatte, die Unterrichts- tätigkeit einzustellen. Cardano ging daraufhin als praktizierender Arzt nach Rom, wo er von Pius V. und ab 1572 von Gregor XIIL^seine Pension erhielt.

Während Cardano ungeduldig auf das Erscheinen von Tartaglias Publikation des

LO-

sungsverfahrens wartete, war dieser in die berühmt gewordene und vonihmselbst kommen- tierte Übersetzung derElementeEuklids ins Italienische - die erste Übersetzung Euklids in eine modeme Sprache überhaupt - vertieft. Sie erschien 1543 im Druck und kann in den WHS im Original eingesehen werden. Der Autor und Übersetzer macht sich in einer Vorbemerkung an- heischig, mit seinem Kommentar una ampla esp~itione dello istesso tradottore ... beigesteuert zu haben,talmente chiara. che ogni mediocre ingegnocon. facilita sera capace

a.

poterlo intendere!

So vergingen sechs Jahre, ohne daß Tartaglia von sich hören ließ. In dieser Zeit gelang aber Cardano eine Reihe bedeutender Entdeckungen im Zusammenhang mit den Gleichungen dritten Grades, so der Nachweis, daß jede solche Gleichung sich in eine reduzierte Gleichung, d.h. in den nach dem Tartagliaschen Verfahren lösbaren Typ, transformieren lasse, womit nach- gewiesen war, daß - entgegen der einstigen Aussage Paciolis - jede Gleichung dritten Grades aufgelöst werden kann. Weiter erkannte Cardano, daß Gleichungen höheren Grades mehr als eine Lösung zulassen und daß der Grad einer Gleichung durch Division mit einem linearen Fak- tor erniedrigt werden kann, wenn eine Lösung bekannt ist. Im Zusammenhang mit diesen, ge- meinsam mit Ferrari unternommenen, Untersuchungen gelang Cardano - oder, wie er selber meinte, seinem Schüler Lodovico Ferrari - auch die Auflösung von Gleichungen vierten Grades.

(Essollte fast dreihundert Jahre dauern, ehe Nils HenrikAbel [1802-1829] nachweisen konnte, daß Gleichungen fünften und noch höheren Grades im allgemeinen durch Wurzeln nicht auflös- bar sind.) Dazu beschäftigte sich Cardano bereits, wie hundert Jahre später Descartes, mit den Beziehungen zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten einer Gleichung und mit den Zu- sammenhängen zwischen den Vorzeichen der Glieder und den Vorzeichen der Wurzeln. Solche Überlegungen führten fast gezwungenermaßen auf die Erkenntnis der Existenz komplexer Zahlen und in der Folge auch komplexer Lösungen. Mit dieser Einsicht darf Cardano als Pionier gelten, wenn er sich auch vorerst nur vorsichtig tastend in jene Sphären vorwagte und vorläufig noch seinencasus irreducibilisbestehen ließ. Hier gehört ebenfalls erwähnt, daß Cardano auch Gleichungen untersuchte, die negative Lösungen aufweisen, und er somit die Zuläßigkeitsolcher nicht zum vorneherein verurteilte, was im 16. Jahrhundert eigentlich ein Novum war!Einganz neues Feld betrat Cardano schließlich mit seinen Versuchen der näherungsweisen numerischen Lösung von Gleichungen sogar beliebigen Grades durch Iteration.

Cardanos Erkenntnisse waren ganz neuartig, und Cardano ist deswegen von der Ge- schichtsschreibung als derBegründer der Theorie der algebraischen Gleichungen vereinnahmt worden. Noch heute heißen die Regeln, nach welchen Gleichungen dritten Grades aufgelöst werden, cardanische RegelnoderFormeln (im deutschen Sprachraum auch mitk, kardanische Formel,geschrieben), obwohl sie doch nach Tartaglia oder, noch besser, nach dal Ferro benannt werden müßten⁶• Cardano, der seine Entdeckungen buchstäblich als eine Gabe des Himmels bezeichnete, war sich ihrer Bedeutung wohl bewußt, ebenso, daß er den Großteil derselben kei- neswegs Tartaglias Großmut zu verdanken hatte und diesem gegenüber daher, wenn überhaupt, nicht für alles zum Schweigen verpflichtet war.

Cardan.

Abb.2. Hieronymus Cardanus (1501-1576), Zeichnung nach einem Portrait ungenannter Herkunft.

Den Ausschlag gab schließlich ein Aufenthalt im Jahre1542143,zusammen mit seinem Schüler und Amanuensis Lodovico Ferrari, in Bologna. Dort war inzwischen Annibale de1la Nave, Schüler und Schwiegersohn Scipione dal Ferros, dessen Erbe und Nachfolger geworden.

Er konnte den Besuchern ein - später verschollenes, aber von Professor Ettore Bortolotti in der Universitätsbibliothek Bologna wiederaufgefundenes - Manuskript Scipiones vorlegen, das Sci- piones Lösung enthielt. Diese erwies sich als mit Tartaglias Lösung identisch, so daß sogar eine Zeitlang der Verdacht aufkam, Tartaglia habe die Schrift eingesehen und Scipiones Lösung als die seine ausgegeben. Ja bis heute sind von den Historikern nie sämtliche Zweifel ausgeräumt worden, ob Tartaglia nicht doch durch unbekannte Dritte von dal Ferros Entdeckung Kenntnis erhalten habe. Mit Sicherheit hatte der Bologneser Professor noch andere Schüler als nur den einen deI Fiore, und schließlich gehört es zu den Aufgaben eines Professors, einmal gewonnene Erkenntnisse weiterzuverbreiten, wenn nicht schriftlich, so doch mindestens durch Vorlesungen.

Jedenfalls hielt sich Cardano nun nicht mehr an seinen Eid gebunden und veröffentlichte 1545 seine berühmteArsmagna, immerhin ohne zu vergessen, die eigenständigen Pionierleistungen dal Ferros und Tartaglias im Vorwort ausdrücklich anzuerkennen.

Die WHS besitzen eine ganze Anzahl älterer ,,Algebren" oder sogar besonderer Mono- graphien, in denen die Herleitung der Cardanschen Lösungsformel nachgelesen werden kann, so daß hier nur das Ergebnis vorgestellt zu werden braucht. Die allgemeine Gleichung dritten Grades ar+bx"+cx+d= 0, mita'!'0, bzw. nach Division durcha inder Gestalt x" +1OC +lx+m

= 0, läßt sich durch die Substitution x = z - kl3 immer in die sog. reduzierte Form - die daher als Standardform gelten darf - ohne das Glied mitT, T+PZ-t-q= 0, bzw., mit x an Stelle von

Z, x"+px+q = 0 überführen, wo p und q beliebige reelle Zahlen sind. Durch additive Auf- spaltung'der Unbekannten x in zwei HiIfsgrößen y und z, also x = Y+z, lassen sich diese rechnerisch als dritte Wurzeln zweier konjugierter Quadratwurzelausdrücke r und s finden. Die resultierende Cardansche Regel zum Auffinden einer Lösung x der reduzierten Gleichung als Funktion der Parameter p und q lautet danach in heutiger Schreibweise:

eine Formel, die durch Einfachheit, Symmetrie und, man ist versucht zu sagen, Eleganz besticht und die sich in dieser Schreibweise auch sehr leicht memorieren läßt. Basierend einzig auf den beiden Buchstaben q und p und den ihnen zugeordneten Ziffern 2 und 3, erinnert sie fast an sogenannte "Konstellationen" der modemen visuellen oder konkreten Poesie.

Offensichtlich stellt die in r und s eingeschobene, identische Quadratwurzel eine kriti- sche Größe dar: in Abhängigkeit von Größe und Vorzeichen des Parameters p kann nämlich de- ren Radikand negativ, die Wurzel selber also imaginär, werden. Der Radikand D= (q/2)~+(p/3)3 übernimmt folglich die Funktion einer Diskriminante. Die allenfalls vorhandenen komplexen Lösungen der Gleichung x"+px+q = 0 ergeben sich durch Multiplikation der beiden dritten Wurzeln mit v und w bzw. mit w und v, den beiden konjugiert-komplexen dritten Wurzeln von 1. Komplizierter wird die Rechnung, sobald die ursprüngliche Gleichung drei reelle Lösungen hat ausgerechnet dann ist die Quadratwurzel in den Radikanden nämlich imaginär, bzw. die Diskriminante D negativ, und die Formel scheint paradoxerweise eine komplexe Lösung x zu implizieren - Cardanoscasus irreducibilis!In diesem Falle müssen transzendente Funktionen zu Hilfe gerufen, die Methoden der Algebra also verlassen werden [vgl. Anhang 5].

Im lichte des oben skizzierten schwierigen Lebenslaufes Tartaglias und seiner drücken- den Lebensumstände ist es wohl begreiflich, daß er - den Cardano im Vorwort doch als seinen Freund bezeichnete - die Veröffentlichung derArsmagnaals einen Vertrauensbruch und eine erneute persönliche Kränkung empfand und dementsprechend heftig und unfreundlich reagier-

te. Er veröffentlichte, hundert Jahre vor Galileo Galilei in italienischer Sprache und gleichfalls in Dialog- oder doch Briefform, 1546 - Martin Luthers Todesjahr - seine Quesiti, ein Buch, das seines vielfältigen, weit über die Lösung von Gleichungen hinausgehenden Inhaltes wegen, für heutige Leser fast noch spannender als Cardanos epochemachende Ars magna ist und worin der Autor im neunten Buche, seine Sicht der Geschehnisse um die Auflösung kubischer Gleichungen vorstellt Der am Ende des neunten Buches vorgelegte umfangreiche Briefwechsel Tartaglias mit Cardano erweckt den Eindruck, daß vorab im Jahre 1539 zwischen den beiden ein reger Gedankenaustausch stattgefunden habe, in welchem Cardano in der Regel die Rolle des Fragen- den, Tartaglia hingegen diejenige des Bescheid wissenden Meisters zufiel: Tartaglias Darstellung dürfte streckenweise zu seinen Gunsten beschönigend ausgefallen sein. Andererseits enthalten die Quesiti eine solche Fülle an Material aus den verschiedensten Wissensgebieten, wo nötig mit instruktiven, teils aus früheren Werken übernommenen Holzschnitten illustriert, und eine große Zahl von numerischen Beispielen samt ihren Lösungen zum Kapitel der kubischen Gleichungen, daß es schwer fällt zu glauben, dieses Buch sei, gleichsam bloß als einAktder Selbs\justiz, in einer Stimmung der augenblicklichen Enttäuschung über eine vermeintlich verpaßte Chance, in wenigen Monaten im Jahre 1546 verlaßt und durch die Druckpresse gepeitscht worden.

Dennoch bleibt der Wert von Tartaglias Aussagen über die kubischen Gleichungen durch die Tatsache entwertet, daß dieArsmagnaein Jahr früher erschienen ist; noch mehr gilt dies für die zweite und verbesserte Auflage der Quesiti aus dem Jahre 1554, die unten bespro- chen wird. Möglicherweise war Tartaglias Buch schon früher geplant und redigiert und 1546 kurz vor der Drucklegung lediglich durch die Darstellung seiner, im Vergleich mit Cardanos Analyse allerdings rudimentären, Gleichungstheorie ergänzt worden: Tartaglias Gleichungs- theorie bildet auSschließlich den Inhalt des letzten Buches und weist, angesichts ihres rein-ma- thematischen Charakters, eigentlich keinen Zusammenhang mit dem übrigen, größtenteils kriegstechnischen Inhalt des Buches auf.

Die Publikation der beiden Werke sollte nun aber Folgen nach sich ziehen, die noch heute den Geschichtsforscher in ihren Bann zu ziehen vermögen. Die Geschehnisse nahmen in- zwischen, auch terminologisch, die Formen eines eigentlichen Duells zwischen den beiden Kon- trahenten, bzw. zwischen Tartaglia und Ferrari, an. Denn als Kartellträger Cardanos trat nun sein Amanuensis Lodovico Ferrari, damals Lektor der Mathematik in Mailand, auf den Plan und übersandte Tartaglia ein von den "Sekundanten" Benedetto Rhamberti, Nicole Secco und Mutio Iustinopolitano am 10. Februar 1547 mitunterzeichnetes Kartell - un cartello di matematica disfida -, eine regelrechte Forderungsschrift zu einem mathematischen Duell, mit der Begrün- dung, Tartaglia habe durch Äußerungen in den Quesiti seinen verehrten und verdienten Meister Cardano beleidigt. Dieses Papier besitzt dokumentarischen Wert, denn Ferrari verteilte Kopien davon an fünfzig namentlich genannte Fachgenossen in Italien, so daß es heute möglich ist, festzustellen, wer um die Mitte des Jahrhunderts in den Städten Rom, Venedig, Mailand, Florenz, Ferrara, Bologna, Salerno, Padua, Pavia, Pisa und Verona an mathematischen Gegen- ständen Interesse bekundete. Unter ihnen sind, laut bibliographischen Hilfsmitteln der WHS, in der Literatur bekannter geworden: Alessandro Piccolomini, Luca Gaurico, Antonio Brasavola, Lodovico Vitali, Annibale della Nave, Nicole Simi, Simon Portio (porzio) und Girolamo Fraca- storo, viele von ihnen zugleich Geistliche, einige Ärzte, die meisten Hochschulprofessoren, der Astronomie, Physik, Mathematik, Logikund Physiologie. Die WHS besitzen von ihnen wenig- stens folgende Werke:

Alessandro Piccolomini (1508-1578, Erzbischof):

Della grandezza della terraetdell' acqua. 1558;

La prima parte delle theoriche avero speculationi d.epianeti. 1563;

De sphaera libri quat.uor. 1568;

La sfera del mondo. 1579;

De le stellefisse libro uno. 1579;

Lucas Gauricus (1476-1558, Bischof):

Traetatus asrrologicus. 1552;

Hieronymus Fracastor (1483-1553; Leibarzt Pauls 111.):

Hamocentrica. Eiusdemdeoousis cri.ticorum dierum per ea quae in nobis sunt. 1538.

Es ist für die Bewertung der einstigen Enge der Beziehungen unter den Wissenschaften lehrreich, festzustellen, in welchen Disziplinen Ferrari offenbar ein Interesse an algebraischen Fragen bei ihren Vertretern voraussetzen durfte.

Tartaglia anwortete nicht einmal zehn Tage später, nämlich am 19. Februar 1547, mit einer gedrucktenRispastaoder einemContro-Carte1lo, und insgesamt gingen bis zum. 24. Juli 1548 total zwölf Cartelli bzw. Contro-Cartelli, in Gestalt gedruckter Broschüren, hin und her, in welchen die Kontrahenten einander die verschiedensten Aufgaben unterbreiteten und de- monstrativ lösten, um. ihre fachliche Kompetenz zu beweisen, und die natürlich von der faszi- nierten Fachwelt mit Spannung erwartet wurden. Die Kontroverse mündete schließlich in die Verabredung einer öffentlichen Disputation in der Kirche Santa Maria deI Giardino in Mailand am 10. August 1548, wobei eine Summe von 200 Scudi im Einsatz stand.

Die Versammlung fand vor einem ausgesuchten, hochgestellten Publikum statt, in Ge- genwart Ferrante Gonzagas (1507-1557), des spanischen bzw. kaiserlichen Gouverneurs von Mailand und Sohnes der berühmten Isabella d'Este (1474-1539), der auch als Schiedsrichter amten sollte. Jeder Wettkämpfer Unterbreitete dem andern einunddreißig, nur zum. Teil ma- thematische Fragen, die ein eindrückliches Bild der zeitgenössischen Kultur abgeben. Die sicher dramatischen Geschehnisse jenes Tages sind leider nicht direkt überliefert Offenbar waren beide Duellanten, nicht nur Ferrari, heftige, aufbrausende Charaktere, und insbesondere Tarta- glia mögen einige Züge eines Querulanten eigen gewesen sein. In seinem BucheGeneral trattato di numeribeklagte dieser sich später, er habe keine Gelegenheit bekommen, seinen Standpunkt angemessen vorzutragen. In andern Quellen heißt es sogar, er sei von mailändischen Studenten, die natürlich dem Lokalgeist zum. Nachteil des Fremden huldigten, niedergeschrien worden.

Über eine Aufgabe Ferraris, die Tartaglia nicht sofort lösen konnte, entbrannte eine langwierige Diskussion, die bis zum. Abend andauerte, als die meisten Anwesenden, hungrig und wohl auch des bisher Gebotenen überdrüssig, weggehen wollten. Tartaglia beurteilte anscheinend seine Chancen, noch in seinem Sinne gerecht beurteilt zu werden, als schwindend und reiste am andern Morgen nach Brescia ab. Vermutlich wurde nun Ferrari zum. Sieger erklärt, denn in den Carte1liwar Abwesenheit als gleichbedeutend mit dem Eingeständnis einer Niederlage verein- bart worden. Ferrari wurde durch dieses Ereignis auf einen Schlag ein berühmter und gesuchter Mann: u.a. versuchte ihn Kaiser Kar! der Fünfte als Lehrer seines Sohnes zu gewinnen, und der Kardinal Ercole Gonzaga wollte ihn in seine Dienste ziehen. Ferrari entschied sich für den zweiten und leitete in der Folge acht Jahre lang für den Bruder des Kardinals, Ferrante Gonzaga, bekanntlich Vizekönig von Mailand, die Vermessung derProvinz.

LodovicoFerrari(1522-1565) aus Bologna - er selber benutzt manchmal den Singular Ferraro -wird, auch von Cardano, als hochbegabter Mathematiker, der schon als Jüngling alle andern Schüler desselben an Gelehrsamkeit übertroffen habe, beschrieben. Sein Oheim und Vormund sandte den Sohn eines mailändischen Exulanten in Bologna nach Mailandzurück,in das Haus Cardanos, in dessen Diensten bereits sein eigener Sohn stand. Cardano erteilte dem Knaben selbst Unterricht in der lateinischen und griechischen Sprache und in den mathemati- schen Fächern. Cardano sah anscheinend in ihm, der schließlich auch sein Schwiegersohn wurde, die schönsten Hoffnungen aufblühen, die ihm seine eigenen Söhne nicht erfiillten, wurde aber durch Ferraris frühen Tod enttäuscht.

Ferrari ist wenig mehr als vierzig Jahre alt geworden. Eine französische Quelle weiß zu berichten: n ytravailla [aMilan] pendant huit ans; maisil s'adonna an plaisir, et une maladie dangereuse le for<;;a d'abandonner^SOlltravail. Es liegt hier somit ein weiterer der in der literatur so häufig beschriebenen Fälle von hoher Begabung verbunden mit tödlicher Krankheit vor. In manchen Quellen ist hingegen von Giftmord die Rede, zujener Zeit in Italien kein ganz seltenes Ereignis. Andere nennen gar Ferraris eigene Schwester als Täterin, möglicherweise weil sie ihm

• ein langjähriges Krankenlager ersparen wollte. Jedenfalls steht fest, daß wenigstens sein einsti-

ger Turniergegner am frühen Tode Ferraris unschuldig ist, denn Tartaglia, auch noch keine sechzig Jahre alt, war fast zehn Jahre vor Ferrari gestorben. Außer den oben erwähnten, mit Tartaglia ausgetauschten Canelli sind von Ferrari keine gedruckten oder geschriebenen Werke bekannt. Er scheint die Gleichungstheorie in enger Zusammenarbeit mit Cardano behandelt zu haben, und die Ergebnisse der gemeinsamen Forschungen wurden von Cardano in derArs magnaerstmals publiziert, immer mit voller Anerkennung der Verdienste Ferraris.

Die hauptsächlichsten Quellenwerke, in welchen nicht nur die Theorie der Gleichungen in ihrer ursprünglichen Form, sondern auch die dramatischen und menschlich bewegenden Ge- schehnisse rund um ihre Entdeckung und den Prioritätsstreit zwischen Tartaglia und Cardano bzw. Ferrari nachgelesen werden können, sindimBesitze der WHS, nicht alle freilich in zeitge- nössischen Drucken.

Die zwölf Canelli Ferraris und Tartaglias, voll persönlicher Anwürfe beider Verfasser, dürften mehr an die Schadenfreude hämischer Zeitgenossen appelliert haben. Der Wissen- schaftsgeschichteimengeren Sinne liefern sie vor allem zahlreiche Übungs- undPrüfungsauf~

gaben, insgesamt aber enthüllen sie ein Bild der Zeit, das höchsten kulturgeschichtlichen Inter- esses gewiß sein darf. Vom Standpunkte der Theorie aus waren sie ephemere Tagesliteratur und kaum wert, aufbewahrt zu werden, weswegen denn auch nur noch wenige Exemplare, vorab in italienischen Bibliotheken, existieren. Enrico Giordani hat sie aber gesammelt und 1876, mit Widmung an Baldassare Boncompagnis, der selber einige Nummern beisteuern konnte und die Drucklegung in seiner privaten Druckerei vornehmen ließ, faksimiliert herausgegeben. Die ETH-Bibliothek besitzt Exemplar Nr. 60 von total 212 Abzügen und von Giordani persönlich signiert .

I sei. cartelli di matematica. disfida primamen.te intomo alla generale risoluzione delle equazioni cubiche di Lodovico Ferrari coi sei. contro-ca.rtelli in risposta di Nicolo Tanaglia comprendenti le soluzionide' quesiti dall' unae dall' altra pane proposti. Raccolti, auto- grafati e pubblieatidaEnrico Giordani, Bolognese.Milano, 1876. [TH 73162 Rar]

Cardanos Hauptwerk, in welchem - dies allein schon ein besonderes Verdienst des Ver- fassers - erstmals die Analyse der Gleichungen dritten Grades und die Lösung von Gleichungen vierten GradesimDruck bekannt gemacht worden sind, trägt den Titel:

Hieronymi Cardani, Praestantissimi Mathematici, Philosophi ac Medici,Anis magnae sive deregulis algebraicis liber unus, qui& wtius operisde Arithmetica. quod Opus Perfectum inscripsit, est in ordine Decimus. Norimbergae per loh. Petreium excusum. Anno M.DXL.V. [TH 73178 Rar]

Obwohl der Inhalt dieses Buches heute als elementar gelten muß, steht es selbst nach seiner wissenschaftsgeschichtlichen Bedeutung in einer Linie mit Copernicus' De revolutionibus orbium coelestium libri VI, Niirnberg 1543, und Vesalius' De corporis humaniJabrica. libri VII, Basel 1543, von denen die WHS wenigstens das erstere als Originaldruck besitzen.Esist wohl kein Zufall, daß diese epochemachenden Schriften in der Mitte des 16. Jahrhunderts und beina- he gleichzeitig erschienen sind.

Das Titelblatt der^Ars magnaist mit einem in Holz geschnittenen Portrait des Autors geschmückt, der hier das fürdie Gelehrten der Renaissancezeit charakteristische Barett trägt, und das Buch selbst ist dem protestantischen Theologen Andreas Osiander, 1543 noch in Niirn- berg, gewidmet, was hervorgehoben zu werden verdient, weil Cardano die Berufung nach Ko- penhagen später aus Loyalität zu seiner angestammten Kirche glaubte ablehnen zu müssen und weil jene Verbindung zu einem bedeutenden protestantischen GelehrtenimRom der Gegenre- formation Verdacht erregen mußte. Osiander gilt außerdem als Verfasser des anonymen Vor- wortes zu Copernicus' oben zitiertem Hauptwerk, das bekanntlich bis 1757 auf dem Index der verbotenen Bücher stand. Es steht fest, daß der gelehrte Humanist Osiander Copernicus'De re- volutionibusredaktionell betreut hat, und mit großer Wahrscheinlichkeit ist auch die^Arsmagna

HIE'RONYMI 'CAR.:

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H Abcsinlloch'bro,ftudiofe Led:or,'Regu.

~asA~e'braicas

CltaIi, deIa cor

Ca uOcaßt) nouis adinuentiombusiac

danol)n~tiol11bus

ab Authort ita . loclIpletatas,ut pro pauculis antea uulgd trItisJam teptuaginta

1!uaferint.N~

9 folurn , ubi llnllS numerus alten,aut duo

llIl4uerum'Ctiam,ubi~lIO duobus~

aut trcs uni

~qllales

fherinr,nodam 'explicant. . HlUte aut Jibrllmideo

kor~

firn mere placuit,ut hot: ,abftruftlSimo,& plane inexhaultototius Arithmeti cz thdauro in Iucern erllto,&quafi in theatro quodamomniblls'ad fped:an dll;m expofito, Leerores

indtar~tur,ut

reliquos

_O~~

PttftdiJibros, qui per Tornos edentUr,tanto auidius ampIedantur,ac mUiol'efafiidio perdifcanc.

Abb. 3. Titelblatt von CardanosArsmagna, Nfunberg, 1545.

durch seine Hände gegangen, bevor sie in Nfunberg, Osianders Wohnort, gedruckt wurde. In der Widmung an Osiander schreibt Cardano selbst, er kenne keinen würdigeren, des Hebräi- schen, Griechischen, Lateinischen und zugleich der Mathematik mächtigeren Gelehrten, dem er sein Werk widmen und der berichtigend eingreifen könnte, wo allenfalls seine, Cardanos, Feder die Grenzen seiner Geisteskraft überschritten habe. Eine nur wenig veränderte zweite Auflage derArsmagna kam1570 in Basel heraus: nur wenige Wochen später wurde Cardano in Bologna von der Inquisition verhaftet!

Kulturhistorisch bemerkenswert ist, daß, während Tartaglia seine Bücher in Venedig drucken ließ, fast alle Werke Cardanos in Basel oder in Nfunberg gedruckt worden sind, ein weiteres sprechendes Zeugnis fürCardanos weitreichende Beziehungen und seinen Bekannt- heitsgrad. Cardanos Manuskripte mußten folglich auf irgendeine Weise - vielleicht auf einem Maultier! - auf die Nordseite der Alpen befördert werden! Der Historiker erschrickt unwillkür- lich beim Gedanken daran, daß das Manuskript derArsmagna unterwegs hätte verloren gehen können!

Arsmagna oder ars maior ist als Gegensatz zu ars minor, der gewöhnlichen Rechen- kunst, zu verstehen und wird in einem zweiten Werktitel, unmittelbar vor dem ersten Kapitel, ausdrücklich als Synonym von cassa eingeführt, welches Wort bekanntlich in Deutschland in der Verdeutschung Goß cxler Koß zur Bezeichnung der Algebra, damals identisch mit Glei- chungstheorie, gebraucht wurde:

Arsmagna. quam vulgo cassam vocant, sive regulas algebraicas, per D. Hieronymum Gar- dimum in quadraginta capitula redacta. & est Liber Deamus sui Arithmeticae.

[TH 73178 Rar]

Oberbegriff der beiden "Künste" ist augenscheinlich die Arithmetik, und Cardano sieht dieArs magna als Teil seiner großen Enzyklopaedie, nämlich als den zehnten Teil seiner Arithmetik:

über sämtliche162 Seiten hinweg trägt jedes Blatt die Kopfzeile De arithmetica lib. X.

Cardanos Behandlung der Gleichungen scheint dem heutigen Leser unnötig mühsam:

der Autor unterscheidet, nach dem Vorgange der arabischen Mathematiker, dreizehn Typen von Gleichungen, je nachdem die Koeffizienten ihrer Glieder positiv, negativ cxler gleich null sind, und findetfürjeden Typ ein eigenes Lösungsverfahren. Das Fehlen der modemen mathemati- schen Symbolsprache ließ aber vorerst keine andere Wahl.

Quaestio V. im Kapitel XXXIX ist die berühmte Aufgabe, welche Maestro Zuan [Gian, Giovanni] Tonini da Goi, der oben schon erwähnte Mathematiker aus Brescia, der auch in Tar- taglias Quesiti unter dessen zahlreichen Gesprächspartnern auftritt, in der Meinung, sie sei un- lösbar, vorgelegt haben soll: man teile10 in drei proportionale Teile a, b, c (mit b:a = c:b), wobei ab = 6. Cardano schreibt, er habe spontan geantwortet, das Problem sei sehr wohl lös- bar, obwohl er keine Ahnung gehabt habe wie, schließlich habe aber Ferrari einen Weg ge- funden.

Die Aufgabe führt, mit b= x, in mcxlerner Notation, auf die Gleichung vierten Grades x" + 6r + 36 = 60x ,wo das kubische Glied fehlt. Durch quadratische Ergänzung der linken Seite entsteht daraus(r +6Y = 60x +6r . Durch Einfügen einer Hilfsvariablen y wandelt Ferrari die linke Seite in das Quadrat eines Trinoms (r+6+y)' um, das nach Substitutionfür (r+6)' die Gleichung(r +6+y)' = (2y+6)r + 60x + (t+ 12y) ergibt, deren rechte Seite ein Polynom zweiten Grades in x ist. Dieses ist ein Quadrat, d.h. ein Prcxlukt zweier gleicher Faktoren, wenn die Diskriminante

D = 60' - 4(2y+6)(t+ 12y)

verschwindet. Damit ist eine Bestimmungsgleichungfürdie Hilfsvariableygewonnen, die nach Umformung die Gestalt

y

+ 15)'" + 36y = 450 annimmt. Dies ist aber eine vollständige Gleichung dritten Grades, die Cardano inzwischen aufzulösen versteht. Das Quadrat(r+6+y)'

kann also einem anderen Quadrat gleichgesetzt werden. Damit ist auch die Wurzel r+6+y, bis auf das Vorzeichen, gleich der Wurzel des andern Quadrates, und beide enthalten höchstens noch zweite Potenzen der Unbekannten x. Quadratische Gleichungen in x bilden aber bereits den Inhalt der längst bekannten Bücher Al-Chwarizmis, Paciolis und ihrer Nachfolger.

Das Beispiel behandelt wohl einen Sonderfall: es fehlt ein kubisches Glied. 1572 konnte indessen Rafael Bombelli (1526-1572) von Bologna nachweisen, daß die hier skizzierte, von Ferrari erfundene Methode auf alle Fälle von Gleichungen vierten Grades anwendbar ist.

BombellisAlgebra,in welcher die Allgemeingültigkeit von Ferraris Methode bewiesen wird, trägt den Titel

L'Algebra, opera di Rafael Bombelli da Bologna divisa in tre libn. Gon la quale ciascuno da se potra venire in perfetta cognitione della teorica. dell'Aritmetica. Gon una tavola copiosa delle materie, ehe in essa si contengono. Pasta hora in luce a benejicio delli studiosi di detta profeßione. Bologna, per Giovanni Roßi. MDLXXII.

Die WHS besitzen einen postumen Nachdruck von 1579 [TH 72517 Rar] - Bombelli starb 1572. Er war eigentlich WasserbauingenieurimDienste Alessandro Rufinis, des Bischofs von Melfi, dem er auch seine Algebra gewidmet hat und in dessen Auftrag er die Trockenlegung der SümpfeimVal di Chiana leitete. Bombelli schrieb sein Werk zwischen 1557, dem Todes- jahre Tartaglias, und 1560, während längerer Pausen, die das Trockenlegungsprojekt unter- brachen, im römischen Palazzo Rufinis. Es scheint, daß Bombelli nur dieses einzige Buch geschrieben hat. Die drei zu seinen Lebzeiten gedruckten Teile umfassen aber 650 Seiten, und 1929 kamen, nach der Wiederentdeckung des Manuskripts der Algebra 1923 durch Ettore Bortolotti in der Biblioteca Comunale des Archiginnasio in Bologna, noch zwei weitere Teile, die Bücher N und V, hauptsächlich geometrischen Inhaltes, dazu. Bombellis Algebra ist ein wissenschaftshistorisches Dokument hohen Ranges. Sie darf wohl als eine verdienstvolle Ergänzung zu CardanosArs magnabetrachtet werden.Als Leibniz die Theorie der Gleichungen dritten Grades studierte, benutzte er Bombellis Buch.

Die Tatsache, daß Gleichungen auch komplexe Lösungen haben können, irritierte noch Cardano, der sich darüberhinaus gezwungen sah, für Gleichungen dritten Grades seinen sog.

casus irreducibiliszu postulieren (vgl. den auf S. 12 zitierten Titel von G. Bernardi). Tartaglia zitiertimQuesito XXXVIIIdes 9. Buches seiner Quesiti eine aufschlußreiche Briefstelle Cardanos vom 4. August 1539, aus der hervorgeht, daß Cardano das Problem, ausgehend von Gleichun- gen des Typs x" = px+q, klar erkannt hat: Egliebenuero ehe ho mteso t81 regola, ma quando ehe il cubo della terza parte delle cose eccedei1 quadrato della mita de1 numero, all'hora non posso farli seguir la equatione, come apare, pero haueria appiacere me soluesti questa.1.cubo egual

a

.9. cose piu .10. [x"=9x+ 10, bzw.inder Standardformx"-9x-10=0]&di questomi fareti sommo appiacere. Diese Gleichung hat drei reelle Lösungen, nämlich x = -2, 1+...J6und1-...J6, und ihre Diskriminante D= (-q/2)'+(P/3)" = 5'+(-3)" = 25-27= -2 ist in der Tat negativ. Leider fällt Tartaglias Ant- wort zu dieser zentralen Frage enttäuschend aus: E per tanto ue rispondo,& dico, ehe uoi non haue- ti appresa la buona uia per rlsoluere t81 capi.tolo, anti dico, ehe t81 uostro procedere

e

intutto falso.Da- bei hätte er gerade hier sich und seiner Sache den besten Dienst erweisen können, indem er dank souveräner Kenntnis der Materie den für andere offenbar so rätselhaften Fall überzeugend zu erklären unternommen. Den nachfolgenden Zeilen des Quesito möchte man zu Tartaglias Gunsten gerne entnehmen, daß er fürchtete, bereits zu viel von seinem "Geheimnis" verraten zu haben. Viel wahrscheinlicher ist indessen, daß Tartaglia zujenem Zeitpunkte selber noch gar nicht weiter vorangekommen war.

In diesem kritischen Kapitel gelangen nun aber Bombelli bedeutende zukunftsträchtige Schritte nach vom. Der Verfasser des biographischen Artikels über BombelliimDictionary of Scientific Biography vertritt sogar die Meinung, Bombelli habe zeigen können, daß dal Ferros Methode auch auf den casus irreducibilis anwendbar sei. Indessen steht diese AnsichtimWider- spruch zur Aussage zünftiger Algebraiker, wonach es keine elementaren algebraischen Verfah- ren zur"Lösung des irreduziblen Falles gebe [vgl. Anhang 5].

Bombelli wollte eine Algebra schreiben, die jedermann ohne Vorkenntnisse - ciascuno dase, wie es im Titel heißt - , sollte verstehen können. In dieser Absicht definiert er zu Beginn Potenzen und Wurzeln, samt arithmetischen Operationen mit solchen, bis zum siebenten Grad, obwohl Wurzeln noch höheren Grades durchaus möglich sind, aber für die Zwecke seines Bu- ches vorläufig noch nicht benötigt werden: E bencb.e siano altre sorti di Radici., lequalirarißime uohe accadono, nondimeno non ne trattaro, riserbandomi a parlarne a suo luogo. Potenzen und Wurzeln werden im 16. Jahrhundert, das eine eigentliche mathematische Formelsprache und Symbol- schrift noch nicht kennt, verbal, lateinisch, italienisch und verdeutscht, durch die sog. kossi- schen Namen wie Res, Latus, Positio, Tante>, Poten.tia, Zensus, Quadratus, Kubus, Zensdezens, Sur- solidum, Pnmum relatum, Secundum relatumusw. benannt, wobei ein und diesseibe Größe erst nochje nach Autor unterschiedliche Bezeichnungen annehmen kann. Bombellis Buch stellt da- her für den Wissenschaftshistoriker späterer Epochen einen eigentlichen Glücksfall dar, indem es dank seinen zahlreichen Definitionen noch eine zusätzliche Bedeutung als historisches Quel- lenwerk gewinnt, die von seinem Verfasser gar nicht beabsichtigt war.

Als wichtige Neuerung versucht Bombelli gleichzeitig, vermutlich als Erster, mathemati- sche Symbole zur Bezeichnung der Unbekannten und ihrer Potenzen in die Gleichungen einzu- führen: kleine, nach oben offene Halbkreise, in welche die Exponenten, 1 für x = x\ 2 für

r

usw. gestellt werden. (Bombellis Notation wurde später in modifizierter Form von Stevin über- nommen.) Ebenso verwendet er, zusammen mit dem Zeichen R für Wurzel - Abkürzung des Wortes Radice - ein eckigen Klammern ähnelndes Doppelzeichen, um Wurzeln von zusammen- gesetzten Termini, sog. Radici legate, von andern auchRadici universali genannt, zu bezeichnen.

Einen breiten Raum nimmt die Diskussion von ,,Binomen" und ihnen zugeordneten "Re- siduen", Ausdrücken der Arta+...fb (Binom) und a-...fb (Residuum), und ihrer Wurzeln ein, offen- sichtlich im Hinblick auf die Diskussion der algebraischen Gleichungen, denn es sind gerade Quadrat- und Kubikwurzeln solcher Binome und Residuen, die in den Lösungsformeln von Al- Chwarizmi und Cardano auftreten und dort sogar die Funktion von Diskriminanten überneh- men. Bombelli unterscheidet im Anschluß an Euklids zehntes Buch sechs verschiedene Arten von Binomen und Residuen und entwickelt eine eigene, heute kaum mehr geübte Kunst, deren Wurzeln auf einfache Binome zurückzuführen, fraglos in der Absicht, die ineinander verschach- telten Wurzeln (vgl. die Cardanische Formel S. 5) durch einfache Wurzeln zu ersetzen. Dies war deshalb besonders wichtig, weil vor der Erfindung der Logarithmen - Napiers erste Tafel wurde 1614, Bürgis 1620 veröffentlicht - Wurzeln "von Hand" ausgerechnet werden mußten. Nicht umsonst finden sich in Bombellis Buch deshalb auch arithmetische Algorithmen Mododitrouare illato quadratodi qual si uoglia numero, illato cubodiun numero usw. zur Berechnung der zweiten bis siebenten Wurzeln "von Hand", gefolgt schließlich von einem Kapitel Regola di trouare il latodi ogni sortediRadici. Die Behandlung ist, der Zeit entsprechend, noch vorwie- gend verbal, doch rückt Bombelli in einzelnen Fä.llen bereits vom zeitgenössischen Brauch, auch rein algebraische Aussagen geometrisch zu beweisen, der gerade die Lektüre Cardanos so müh- sam macht, ab.

Vor allem aber erscheinen nun in Bombellis Algebra erstmals die imaginären Zahlen in der Gestalt von Quadratwurzeln negativer Zahlen als eigenständige Größen. An Hand zahl- reicher Beispiele untersucht er u.a. Operationen mit Quadrat- und Kubikwurzeln von Binomen und Residuen, wie sie in der Cardanischen Formel auftreten, und stößt dabei auf dasselbe Pro- blem wie Cardano im oben zitierten Brief an Tarmglia.

Auf Seite 169 findet sich der berühmte Absatz, in dem auf das Auftreten solcher Zahlen beim Lösen kubischer und vor allem biquadratischer Gleichungen und auf die Notwendigkeit, sie "algorithmisch" anders zu behandeln und demzufolge auch anders zu benennen, hingewie- sen wird. Da diese Wurzeln von negativen Zahlen weder gewöhnliche positive noch gewöhnli- che negative Zahlen sind, schlägt Bombelli für sie die Bezeichnungenpiudi meno und mendi men.o vor, wofürwirheute vereinfacht +i und -i sagen: Ho trouatoun'altra sorte diR.c.[radici. cuhe]

legate molto differenti de1l'altre,1aqua1nasceda!Capitolodicubo eguale a tanti, e numero[x'

=

px+q], quandoi1cubato de1 terze de1li tanti [(P/3)"]

e

maggiore de1 quadrato de11a meta de1 numero [(q/2)2]

come in esso Capitolo si dimostrara,laqual sorte di R.q. [radice quadrata] hanel suo Algorismo diuersa operatione deli'altre e diuerso nome, perehe quandoilcubato del terzo delli tanti

e

maggiore del quadrato della meta del numero, 10 eccesso loro non si pub chiamare nepiiI, ne meno, perb10chiamarbviiI di meno [heute +i], quando egli si douera aggiongere, e quando si douera cauare, 10 chiamerb[!] men di meno [heute -i], e questa operatione

e

neceßarißimapiiIehe l'altraR.cL [radice cubalegata] per rispetto delli Capitoli di potenze di potenze, accompagnati ron li cubi, btanti, Cl rontuttidue insieme [x'+px"

oder x'+rx oder x'+px"+rx], ehe moltopiiIsono licasideli'agguagliare dOlle ne nasce questa sorte di R.[radice] ehe quelli dOlle nasce l'altra, la quale parera a molti piiItosto sofistica, ehe reale, e tale opinione ho tenuto aneh'io, finehe ho trouato la sua dimostratione.

Anschließend an diesen Hinweis aufdie verunsichernde Neuartigkeit imaginärer Größen folgen acht Hauptrechenregeln für das Rechnen mit solchen Zahlen, darunter die charak- teristischen:

- piiIdi menouia piiIdi meno,fameno - meno di meno uia men di meno,fameno

H = F = -1,

(-i).(-i) = (-i)' = -1,

und die wichtige Beobachtung, daß bei den Gleichungen komplexe Lösungen immer in kon- jugiert-komplexen Paaren auftreten: Si deue auertire, ehe tal sorte di R.[radici] legate non possono intrauenire se non accompagnato il Binomio co! suo Residuo (come sarebbe R.c.[2.p.di m.R.q.2]

[3"(2 +i"2)],ilsuoresiduo sara R.c.[2.m. di m.R.q.2] [3"(2-i"2)]), e tal sorte di R.q.[radici quadrate] per sino

a

hora maimi

e

occorso hauere operara l'una senza l'altra, ... , e questo non si pub ridurre

a

un nome solo.

Daß Cardanos Lösung und insbesondere der casus irreducibilis die Gelehrten noch bis ins neunzehnte 'Jahrhundert beschäftigt hat, können die WHS mit diversen Titeln aus eigenem Besitze belegen. Man vergleiche etwa:

- Kästner, A.G. Formula Cardani. Göttingen, 1757 [TH 7631 Rar];

- Büchner, E. Cardanus Formel. Hildburghausen, 1857 [TH 7178];

- Bernardi, G. Per qual ragione la/ormula Cardanica conducaadespressioni imaginarie quando tuttee tre le radici sono reali. Padua, Nuovi Saggi, III, 1831. [TH 71774]

Von Tartaglias Antwort auf die Publikation derArs magna, den Quesitiet inventioni, einem Buch, das heute zu Unrecht kaum mehr dem Namen nach bekannt ist, besitzen die WHS den zweiten Nachdruck (die Originalausgabe war 1546 erschienen):

Quesiti et inventioni diversede Nicolo Tartaglia, di novo restampati con una gionta al sesto libro, nella quale si mostra duoi modidi redur una Cita inespugnabile. ... Appresso de l'Auttore MDUIII. [TH 73161 Rar]

Zunächst flillt hier, dreißig Jahre vor Bombelli, die Verwendung der italienischen Spra- che auf, kaum nur aus Unkenntnis der klassischen Sprachen, hat doch Tartaglia auch Euklid und Archimedes ins Italienische übersetzt. Darin und stilistisch durch den Gebrauch der Dialog- form, aber teilweise auch durch den ähnlichen Inhalt, sind Tartaglias QuesitietinventioniVor- läufer von Galileis Dialoghi und Discorsi.

Die Quesiti zerfallen in neun Bücher, Libri. Der Verfasser erweist sich als ein in den ver- schiedensten mathematischen Disziplinen bewanderter Fachmann. Bis ins neunzehnte Jahrhun- dert galten Disziplinen, die sich meßtechnisch und rechnerisch behandeln lassen, als "Mathema- tik", genauer als angewandte Mathematik. Albrecht Dürer war wegen seiner berühmten Bücher von der "Messung mit dem ZUckel und dem Richtscheyt" und von der "Befestigung der Stell, Schloß und Flecken" für seine Zeitgenossen ein "Mathematicus", ein Attribut, das sogar vor demjenigen des "KÜllStners" rangierte. Die alten Mathematiker waren demzufolge meistzugleich Astronomen (und Astrologen), Physiker, Vermessungstechniker (Geometer), Buchhalter, Wech-

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Abb. 4. Titelblatt von Tartaglias Quesiti etinventioni diverse, 2. Ausgabe, Venedig, 1554.