Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 3, vom 20.04.2005 R ¨uckgabe am 26.05.2005
Aufgabe 1 Schadstoff in einem See
Die Konzentration
eines Schadstoffes in einem See werde durch die Modellgleichung
beschrieben. Die Wasseraustauschrate ist und die zeitabh¨angige Schadstoffkonzentration im Zulauf des Sees
ist durch die folgende Grafik festgelegt. Beachten Sie, dass die Konzentra- tion
jeweils innerhalb der Bereiche I bis III zeitlich konstant ist.
Bereich I Bereich II Bereich III
C
in(t) [g m ]
-3Ko nz en tr at io n
Zeit t [a]
0 1 2 3 4 5 6
1.0 3.0 4.0 6.0 7.0
0.0 5.0
2.0
Zum Zeitpunkt
wird mit der Einleitung des Schadstoffes begonnen. Der See sei zu diesem Zeitpunkt frei vom betrachteten Schadstoff:
.
1. Skizzieren Sie grafisch (qualitativ) den Konzentrationsverlauf
. Zeichnen Sie Ihr Ergebnis in die obenstehende Grafik ein.
2. Welchen Wert hat die Konzentration
zu den Zeiten
!a, 4 a und 6 a? Tragen Sie Ihre Ergebnisse in die folgende Tabelle ein.
2 a 4 a 6 a
in
"#$ %'&Aufgabe 2 Fabrik am See
Ein flacher See mit dem Volumen
( *)+-, $ %hat einen Zu- und einen Abfluss. In den See fliessen pro Stunde
)+/. $ %Wasser. Aufgrund der grossen Wasseroberfl¨ache verl¨asst nur ein Teil davon den See ¨uber den Abfluss, 20% des Wassers verdunstet (reines Wasser). Aus einer Fabrik wurde zehn Jahre lang pro Stunde
)+0 #eines bestimmten Schadstoffes kontinuierlich in den Zufluss geleitet, bevor sie in Konkurs ging und damit auch die Zufuhr gestoppt wurde. Weitere Schadstoffquellen ausser der Fabrik gibt es nicht. Der See war vor der Verunreinigung durch die Fabrik frei von diesem Schadstoff. Der Zeitpunkt, zu dem die Fabrik mit der Einleitung des Schadstoffes beginnt, sei
1. Die Einleitung endet somit zur Zeit
2)+a. Der See kann als vollst¨andig durchmischt betrachtet werden. Sie interessieren Sich im folgenden f ¨ur die Schadstoffkonzentration im See
.
1. Zeichnen Sie ein Boxschema f ¨ur das System Schadstoff/See und geben Sie die Bilanzgleichung f ¨ur die Schadstoffkonzentration im See
3an.
2. Welche Schadstoffkonzentration h¨atte sich im See eingestellt, wenn die Zufuhr nicht gestoppt worden w¨are.
3. Stellen Sie den qualitativen Verlauf der Substanzkonzentration
f ¨ur den Zeitbereich
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