Die Konzentration

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 3, vom 20.04.2005 R ¨uckgabe am 26.05.2005

Aufgabe 1 Schadstoff in einem See

Die Konzentration

eines Schadstoffes in einem See werde durch die Modellgleichung

beschrieben. Die Wasseraustauschrate ist und die zeitabh¨angige Schadstoffkonzentration im Zulauf des Sees

ist durch die folgende Grafik festgelegt. Beachten Sie, dass die Konzentra- tion

jeweils innerhalb der Bereiche I bis III zeitlich konstant ist.

Bereich I Bereich II Bereich III

C

(t) [g m ]

Ko nz en tr at io n

Zeit t [a]

0 1 2 3 4 5 6

1.0 3.0 4.0 6.0 7.0

0.0 5.0

2.0

Zum Zeitpunkt

wird mit der Einleitung des Schadstoffes begonnen. Der See sei zu diesem Zeitpunkt frei vom betrachteten Schadstoff:

.

1. Skizzieren Sie grafisch (qualitativ) den Konzentrationsverlauf

. Zeichnen Sie Ihr Ergebnis in die obenstehende Grafik ein.

2. Welchen Wert hat die Konzentration

zu den Zeiten

a, 4 a und 6 a? Tragen Sie Ihre Ergebnisse in die folgende Tabelle ein.

2 a 4 a 6 a

in

Aufgabe 2 Fabrik am See

Ein flacher See mit dem Volumen

hat einen Zu- und einen Abfluss. In den See fliessen pro Stunde

Wasser. Aufgrund der grossen Wasseroberfl¨ache verl¨asst nur ein Teil davon den See ¨uber den Abfluss, 20% des Wassers verdunstet (reines Wasser). Aus einer Fabrik wurde zehn Jahre lang pro Stunde

eines bestimmten Schadstoffes kontinuierlich in den Zufluss geleitet, bevor sie in Konkurs ging und damit auch die Zufuhr gestoppt wurde. Weitere Schadstoffquellen ausser der Fabrik gibt es nicht. Der See war vor der Verunreinigung durch die Fabrik frei von diesem Schadstoff. Der Zeitpunkt, zu dem die Fabrik mit der Einleitung des Schadstoffes beginnt, sei

. Die Einleitung endet somit zur Zeit

a. Der See kann als vollst¨andig durchmischt betrachtet werden. Sie interessieren Sich im folgenden f ¨ur die Schadstoffkonzentration im See

.

1. Zeichnen Sie ein Boxschema f ¨ur das System Schadstoff/See und geben Sie die Bilanzgleichung f ¨ur die Schadstoffkonzentration im See

an.

2. Welche Schadstoffkonzentration h¨atte sich im See eingestellt, wenn die Zufuhr nicht gestoppt worden w¨are.

3. Stellen Sie den qualitativen Verlauf der Substanzkonzentration

f ¨ur den Zeitbereich

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grafisch dar. Zu welchem Zeitpunkt

erreicht

sein Maximum?

4. Als maximale erlaubte Schadstoffbelastung f ¨ur den See hat die Umweltbeh¨orde den Wert

festgelegt. Wird dieser Grenzwert ¨uberschritten?

5. Zu welchem Zeitpunkt ist

nach Erreichen des Maximums wieder auf ein Zwanzigstel die-

ses Maximalwertes gesunken?