Mathematik I/2 f¨ ur Elektrotechniker – SS 04 Prof. Dr. Sasv´ ari
Mitschrift
Fabian Kurz http://fkurz.net/
Zuletzt aktualisiert:
30. Juli 2004
Inhaltsverzeichnis
10 Differentialrechnung f¨ur Funktionen mehrerer Variablen 1
10.1 Grundbegriffe . . . 1
10.1.1 Der zweidimensionale Raum . . . 1
10.1.2 Der drei– und der n–Dimensionale Raum . . . 3
10.1.3 Beispiele . . . 4
10.1.4 Definition . . . 6
10.1.5 Beispiele . . . 6
10.2 Stetige Funktionen mehrerer Variablen . . . 7
10.2.1 Beispiele . . . 7
10.2.2 Definition . . . 7
10.2.3 Beispiele . . . 7
10.2.4 Satz . . . 8
10.2.5 Definition: Beschr¨anktheit . . . 8
10.2.6 Satz . . . 9
10.2.7 H¨ohenlinien (Niveaulinien), Niveaufl¨achen . . . 9
10.3 Partielle Ableitungen . . . 9
10.3.1 Definition . . . 9
10.3.2 Definition . . . 10
10.3.3 Beispiel . . . 10
10.3.4 Definition . . . 10
10.3.5 Beispiel . . . 11
10.3.6 Satz . . . 11
10.3.7 Satz (Leibnitzsche Regel) . . . 11
10.3.8 Beispiel . . . 12
10.4 Extrema der Funktionen mehrerer Variablen . . . 12
10.4.1 Definition . . . 12
10.4.2 Satz . . . 12
10.4.3 Beispiel . . . 13
10.4.4 Satz . . . 13
10.4.5 Beispiele . . . 13
10.4.6 Anwendung: Ausgleichsrechnung . . . 13
10.4.7 Extrema mit Nebenbedingungen . . . 14
10.4.8 Beispiel . . . 15
10.5 Vollst¨andiges Differential, Anwendungen . . . 16
10.5.1 Definition . . . 17
10.5.2 Beispiel . . . 17
10.5.3 Definition: Tangentialebene . . . 17
10.5.4 F¨ur implizit angegebene Funktionen . . . 18
10.5.5 Definition: Differentialform . . . 18
10.5.6 Satz . . . 18
10.5.7 Beispiele . . . 19
10.6 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient . . . 19
10.6.1 Satz: Kettenregel . . . 19
10.6.2 Beispiele . . . 20
10.6.3 Richtungsableitung . . . 20
10.6.4 Beispiele . . . 21
10.6.5 Definition: Gradient . . . 21
10.6.6 Satz . . . 21
10.6.7 Beispiel . . . 21
10.7 Die Taylorsche Formel . . . 22
10.7.1 Satz: Mehrdimensionale Taylorsche Formel . . . 22
10.7.2 Beispiel . . . 23
10.8 Implizite Funktionen . . . 24
10.8.1 Beispiele . . . 24
10.8.2 Satz . . . 24
10.8.3 Beispiel . . . 24
11 Integralrechnung der Funktionen mehrerer Variablen 26 11.1 Mehrfache Integrale . . . 26
11.1.1 Doppelintegrale . . . 26
11.1.2 Definition . . . 27
11.1.3 Satz . . . 27
11.1.4 Definition (Normalbereich) . . . 27
11.1.5 Satz . . . 28
11.1.6 Beispiel . . . 28
11.1.7 Satz . . . 28
11.1.8 Beispiele . . . 29
11.1.9 Dreifache Integrale . . . 29
11.1.10 Satz . . . 29
11.1.11 Beispiel . . . 30
11.1.12 Substitution der Variablen . . . 30
11.2 Anwendungen dreifacher Integrale . . . 31
11.2.1 Satz . . . 31
11.2.2 Beispiel . . . 32
12 Vektoranalysis 33
12.1 Skalar– und Vektorfelder . . . 33
12.1.1 Definition . . . 33
12.1.2 Beispiele . . . 33
12.1.3 Definition: Rotation . . . 34
12.1.4 Beispiele . . . 34
12.1.5 Definition: Divergenz . . . 35
12.1.6 Satz . . . 36
12.2 Kurvenintegrale . . . 36
12.2.1 Kurven im Raum (Wiederholung) . . . 36
12.2.2 Kurvenintegrale (Linienintegral) . . . 37
12.2.3 Satz . . . 38
12.2.4 Beispiel . . . 39
12.2.5 Satz . . . 39
12.3 Oberfl¨achenintegral . . . 40
12.3.1 Definition . . . 41
12.3.2 Berechnung eines Oberfl¨achenintegrals . . . 41
12.3.3 Beispiel . . . 42
12.4 Integrals¨atze von Gauß und Stoke . . . 42
12.4.1 Satz (Gaußscher Integralsatz im Raum) . . . 42
12.4.2 Satz (Stoke’scher Integralsatz) . . . 43
13 Unendliche Reihen 45 13.1 Zahlenreihen . . . 45
13.1.1 Definition . . . 45
13.1.2 Beispiele . . . 45
13.1.3 Definition: Konvergenz . . . 45
13.1.4 Beispiele . . . 46
13.1.5 Satz . . . 46
13.1.6 Beispiele . . . 47
13.1.7 Satz . . . 47
13.1.8 Satz: Majoranten– und Minorantenkriterium . . . 47
13.1.9 Beispiele . . . 48
13.1.10 Satz (Leibnitz) . . . 48
13.1.11 Definition: Absolute Konvergenz . . . 48
13.1.12 Satz (Wurzelkriterium) . . . 48
13.1.13 Beispiel . . . 49
13.1.14 Satz (Quotientenkriterium) . . . 49
13.1.15 Beispiel . . . 49
13.1.16 Einige ”ber¨uhmte“ Reihen . . . 49
13.2 Potenzreihen . . . 49
13.2.1 Definiton . . . 49
13.2.2 Satz . . . 50
13.2.3 Beispiele . . . 50
13.2.4 Eigenschaften von Potenzreihen . . . 51
13.2.5 Definition: Taylor–Reihe . . . 51
13.2.6 Beispiele . . . 51
13.3 Fourier–Reihen . . . 52
13.3.1 Einleitung . . . 52
13.3.2 Definition: Trigonometrische Reihe . . . 53
13.3.3 Satz . . . 53
13.3.4 Definition . . . 54
13.3.5 Satz . . . 54
13.3.6 Beispiele . . . 54
14 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen 56 14.1 Grundlegende Begriffe . . . 56
14.1.1 Beispiel: Schwingende Feder . . . 56
14.1.2 Definition . . . 56
14.2 Differentialgleichung 1. Ordnung . . . 58
14.2.1 Trennung der Ver¨anderlichen . . . 58
14.2.2 Substitution eines linearen Terms . . . 59
14.2.3 Gleichgradige Differentialgleichungen . . . 59
14.2.4 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung . . . 60
14.2.5 Satz . . . 61
14.2.6 Geometrische Deutung, Isoklinen . . . 62
14.2.7 Definition: Exakte Differentialgleichungen . . . 63
14.2.8 Satz . . . 63
14.2.9 Beispiel . . . 63
14.2.10 Integrierender Faktor . . . 64
14.2.11 Beispiel . . . 64
14.3 Physikalische Anwendungen . . . 65
14.3.1 Freier Fall aus großer H¨ohe (Fall ohne Reibung) . . . . 65
14.3.2 Radioaktiver Zerfall . . . 66
14.3.3 Newtonsches Abk¨uhlungsgesetz . . . 66
14.3.4 Bewegung mit Reibung . . . 67
14.4 Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . 67
14.4.1 Satz . . . 67
14.4.2 Satz . . . 68
14.4.3 Beispiele . . . 68
14.4.4 Satz . . . 68
14.4.5 Beispiele . . . 69
14.4.6 Satz . . . 70
14.4.7 Satz: Superpositionsprinzip . . . 70
14.4.8 Beispiel . . . 70
14.4.9 Energiemethode . . . 71
14.5 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung . . . 71
14.5.1 Satz . . . 71
14.5.2 Definition . . . 72
14.5.3 Satz . . . 72
14.5.4 Beispiel . . . 72
14.5.5 Satz . . . 73
14.5.6 Definition: Charakteristische Gleichung . . . 73
14.5.7 Die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung (14.6) 73 14.5.8 Beispiele . . . 73
14.6 Systeme linearer Differentialgleichungen . . . 74
14.6.1 Beispiel . . . 74
14.6.2 Definition . . . 74
14.6.3 Satz . . . 75
14.6.4 Satz . . . 76
14.6.5 Beispiel . . . 76
14.6.6 Satz (L¨osungsverfahren durch Diagonalisierung) . . . 76
14.6.7 Beispiel . . . 77
14.6.8 Satz (L¨osungsverfahren mit Exponentialansatz) . . . . 77
14.6.9 Beispiele . . . 78
14.6.10 Bestimmung einer speziellen L¨osung der Gleichung. . . 79
Kapitel 10
Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer
Variablen
10.1 Grundbegriffe
10.1.1 Der zweidimensionale Raum
Unter dem zweidimensionalen Raum R2 versteht man die Menge aller ge- ordneten Paare reeller Zahlen. Seine Elemente heißenPunkte.
R2={(x, y) :x∈R, y∈R} x und y : kartesische Koordinaten
(r, ϕ) : Polarkoordinaten,r≥0, 0≤ϕ≤2π Es gilt:
x=r·cosϕ y=r·sinϕ r=p
x2+y2 tanϕ= yx (x6= 0) ϕ= π2 wennx= 0, y >0 ϕ= 3π2 wennx= 0,y <0
Abstand des Punktes P(x, y) vom Nullpunkt (0,0,0):
|P|=p
x2+y2 Abstand der PunkteP1(x1, y1) undP2(x2, y2):
|P1−P2|=p
(x1−x2)2+ (y1−y2)2
Es sei P0 ∈R2 und ε >0. Die Menge Uε(P0) =
P ∈R2 :|P −P0|< ε
heißt die (offene) ε–Umgebung des Punktes P0 (Kreis- scheibe ohne Berandung).
&%
'$
Pq ε
Es sei D⊂R2. Der Punkt P ∈R2 heißt
(a) innerer Punkt von D, wenn es eine Umgebung Uε(P) gibt, die inDliegt (z.B. P1)
(b) Randpunkt vonD, wenn in jeder UmgebungUε(P) sowohl ein Punkt von Dals auch vonR2rD liegt (z.B.P2)
D
P1r rP2
Die Menge aller Randpunkte heißt der Rand von D. Die Menge D heißt offen, wenn jeder PunktP ∈Dein innerer Punkt ist.Dheißtabgeschlossen, wennR2rDoffen ist.
Beispiele
D1 ={(x, y) : 1< x <3, −1< y <2} ⊂R2 (2,1) : innerer Punkt
(1,1) : Randpunkt, (1,1)6∈D1 D1 ist offen
- 6
−1 1 2
y
1 2 3
D2 ={(x, y) : 1≤x≤3, −1≤y≤2}
D2 ist abgeschlossen
- 6
−1 1 2
y
1 2 3
D3 ={(x, y) : 1≤x <3, −1< y ≤2}
D3 ist weder abgeschlossen noch offen
- 6
−1 1 2
y
1 2 3
D⊂R2heißtbeschr¨ankt, wenn es eine ZahlAgibt, so daß f¨ur alleP ∈D gilt|P| ≤A, andernfalls heißtDunbeschr¨ankt.
10.1.2 Der drei– und der n–Dimensionale Raum
Unter dem dreidimensionalen Raum R3 versteht man die Menge aller ge- ordneten Tripel reeller Zahlen.
R3 ={(x, y, z) :x∈R, y∈R, z ∈R} Abstand der PunkteP1= (x1, y1, z1) und P2 = (x2, y2, z2):
|P1−P2|=p
(x1−x2)2+ (y1−y2)2+ (z1−z2)2
Die Definitionen aus 10.1.1. lassen sich einfach aufR3 ¨ubertragen (ε–Umge- bung, innerer Punkt, . . . ).
Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) Es sei P = (x, y, z)∈R3.
Dann bezeichnen:
r den Abstand des Punktes P von der z–
Achse. r=p
x2+y2
ϕ den Winkel der Strecke von (0,0,0) nachP0 = (x, y,0) gegen die positive Richtung der x–Achse, im mathema- tisch positiven Sinn mit 0≤ϕ≤2π.
z wie bei den kartesischen Koordinaten
H HH
HH H j
6
HH H
HH
x y
z
q q
P0(x, y,0) P(x, y, z)
y x
ϕ r r
Umrechnungsformeln x=r·cosϕ
y=r·sinϕ z=z
Kugelkoordinaten (r, ϕ, ϑ) Es sei P = (x, y, z)∈R3. Dann bezeichnen:
r den Abstand des PunktesP vom Ursprung (0,0,0).
ϕ wie bei den Zylinderkoordinaten
ϑ der Winkel, den die Strecke vom Ursprung (0,0,0) nach P 6= (0,0,0) mit der positiven Richtung derz–Achse bildet, wobei 0≤ϑ≤π.
Das sind die sogenannten astronomischen Kugelkoordinaten. Geographische Kugelko- ordinaten:ϑ= π2 −ϑ.
Umrechnungsformeln x=r·cosϕ·sinϑ y=r·sinϕ·sinϑ z=r·cosϑ r=p
x2+y2+z2
H HH
HH H j
6
HH
HHH
x y
z
q q
P0(x, y,0) P(x, y, z)
y x
ϕ
r·sinϑ
ϑ r
10.1.3 Beispiele (a) Die Kreisscheibe
D=
(x, y) :x2+y2<9 wird in Polarkoordinaten durch
0≤r <3 0≤ϕ <2π beschrieben.
- 6
&%
'$
3 3
x y
(b) 2< r≤5 0< ϕ < π
2 5 y
x (c) Die Menge {(x, y, z) : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 4} ist ein
Quader.
- 6
1
3/3
-
1/0
4
6
? z
y x
(d) Der Kreiszylinder ist durch ein System von Ungleichungen zu beschrei- ben.
Z =n
(x, y, z) :p
x2+y2 ≤R, 1≤z≤4o Z =
n
(x, y, z) :−R ≤x≤R, p
R2−x2≤y≤p
R2−x2 o
- 6
y z
x
R q q
In Zylinderkoordinaten:
0≤r ≤R, 0≤ϕ <2π, 1≤z≤4
(e) Der Kegel ist in Zylinderkoordinaten zu beschreiben
- 6
y z
x
qR 0≤r≤R 0≤ϕ <2π h
R ·r=z≤h
(f) Eine Kugel vom RadiusR mit Mittelpunkt (0,0,0) wird in Kugelko- ordinaten (r, ϕ, η) durch
a≤r≤R, 0≤ϕ <2π, 0≤η <2π beschreiben.
(g) Kugelausschnitt mit dem ¨Offnungswinkel π2
- 6
y z
x
0≤r≤R, 0≤ϕ <2π, 0≤η≤ π 4
10.1.4 Definition
Unter demn–Dimensionalen Raum (n= 1,2, . . .) versteht man die Menge aller geordnetenn–Tupel (x1, . . . , xn) reeler Zahlen. Die Zahl
|P −Q|=p
(x1−y1)2+· · ·+ (xn−yn)2
heißt derAbstand der PunkteP = (x1, . . . , xn) undQ= (y1, . . . , yn). Man
¨ubernimmt die Bezeichnungen aus dem dreidimensionalen Fall.Uε(P) heißt eine (n–dimensionale)Kugel vom Radius εmit MittelpunktP.
Es sei Pk =
x(k)1 , . . . , x(k)n
, k = 1,2, . . . eine Punktfolge in Rn und P = (a1, . . . , an) ∈ Rn. Die Punktfolge
n Pk
o∞
k=1 heißt konvergent gegen den PunktP wenn lim
k→∞|Pk−P|= 0.
Schreibweise: lim
k→∞Pk =P Man kann zeigen:
k→∞lim Pk =P ⇔ lim
k→∞x(k)i =ai (i= 1, . . . , n) 10.1.5 Beispiele
(a)
Pk=
k
k+1, 23k
, 2k
∈R3 (k= 1,2,3, . . .)
y
y
y P =
1 , 0 , 0
k→∞lim Pk= (1,0,0) (b) Pk=
1 k, k
∈R3
nicht konvergent (die PunktePk liegen auf der Hyperbely= x1).
{Pk} ist unbeschr¨ankt.
(c) Pk= (cosk, sink)∈R2
|Pk|= 1 Punkte liegen auf Einheitskreis.
Man kann zeigen: {Pk} ist nicht konvergent.
10.2 Stetige Funktionen mehrerer Variablen
Im Folgenden:Df ⊂Rn : Definitionsbereich der Funktion f :Df −→R 10.2.1 Beispiele
(a)
f(x, y, z) =x+ y·z y+z
Df ={(x, y, z) :y+z6= 0}=R3r{die Ebeney+z= 0}
(b)
f(x, y) = (x−2)2+ 2y Df =R2 (c)
f(x, y) = x·y
x2+y2 Df =R2r{(0,0)}
Mit Polarkoordinaten (r, ϕ):
x=r·cosϕ, y=r·sinϕ, r2 =x2+y2 f(x, y) = r·cosϕ·r·sinϕ
r2 = cosϕ·sinϕ= 1
2 ·sin 2ϕ
⇒ |f(x, y)| ≤ 12 ⇒ f ist beschr¨ankt. Funktionswert unabh¨angig vom Abstand zu (0,0,0).
10.2.2 Definition
Eine Funktion f heißt im Punkt P ∈ Df stetig, wenn f¨ur jede gegen P konvergierende Punktfolge{PK} gilt:
K→∞lim f(PK) =f(P)
f heißt in Df stetig, wennf in jedem PunktP aus Df stetig ist.
Aquivalente Definition: Zu jedem¨ ε > 0 existiert ein δ > 0, so daß f¨ur alle PunkteQausUδ(P)∩Df gilt:
|f(P)−f(Q)|< ε 10.2.3 Beispiele
(a) Die Funktionf(x, y, z) =x ist aufR3 stetig.
Die Funktionf(x, y) =x·y ist aufR2 stetig.
(b) Die Funktionf(x, y) = xy
x2+y2 (x, y)6= (0,0)
0 (x, y) = (0,0) ist im PunktP(0,0) nicht stetig.
W¨ahle PK= 1k, k1
die gegen (0,0) konvergiert. Dann ist f(PK) =
1 k·k1
1 k
2
+ 1k2 = 1
2 6= 0 =f(0,0) W¨ahle PK= 1k, ka
,y=ax. Dann ist f(PK) =
a k2 1
k2 ·(1 +a2) = a
(1 +a2) = 1
2 6= 0 f¨ura6= 0 (c) Die Funktion f(x, y) =
( (xy)2
x2+y2 (x, y)6= (0,0)
0 (x, y) = (0,0) ist stetig aufR2. W¨ahle PK= (xk, yk) beliebig.
xklim, yk→0
(xkyk)2
xk2+yk2 = lim
xk, yk→0
1 1
xk
2
+ 1
yk
2 = 0
10.2.4 Satz (f, g:Rn−→R)
(i) Sind f und g stetig im Punkt P, so sind auch f +g, f ·g und c·g (c∈R) in P stetig.
(ii) Istg(P)6= 0, dann ist auch fg inP stetig.
(iii) Ist die FunktionF :R−→RaufRstetig, so ist auchF(f) inP stetig.
Beispiele:
ex2+y2 ist stetig aufR2
sin(x2+y2+ez) ist stetig aufR3 10.2.5 Definition: Beschr¨anktheit
Die auf Df ⊂Rn definierte Funktionf heißt beschr¨ankt, wenn es eine Zahl Agibt, so daß f¨ur alle P ∈Df gilt:
|f(P)| ≤A Beispiele:
(a) f(x, y) = sin(x+exy) |f(x, y)| ≤1⇒f ist beschr¨ankt (b) Die Funktionf(x, y) = x2xy+y2 Df =R2r{0,0}
f(x, y) = ˜f(r, ϕ) = r2cosϕsinϕ
r2(cos2ϕ+ sin2ϕ) = cosϕ·sinϕ= 1 2sin 2ϕ
10.2.6 Satz
Der Wertebereich einer auf einer abgeschlossenen beschr¨ankten Menge ste- tigen Funktion ist beschr¨ankt. Die Funktion nimmt auf dieser Menge ihr Maximum und auch ihr Minimum an.
Beispiel: Die Funktionf(x, y) = 1
x+yist auf der MengeDf ={(x, y) : 0<
x≤2, 0≤y≤1} stetig aber nicht beschr¨ankt, daDf nicht abgeschlossen ist.
10.2.7 H¨ohenlinien (Niveaulinien), Niveaufl¨achen
(a) f(x, y) = (x−2)2+ 2y Df =R2
In derx–y–Ebene markieren wir alle Punkte mit gleichem Funktionswertc.
(x−2)2+ 2y=c ⇒ y=−12(x−2)2+2c
y
-x
6
1 3
−2 2
c=0 c=1 c=2 c=3
(b) (f(x, y, z) , c ∈ R) Die Menge aller Punkte (x, y, z) ∈ Df = R3 f¨ur dief(x, y, z) =cist, heißtNiveaufl¨ache.
Beispiel:f(x, y, z) = 1
[(x+ 2)2+ (y+ 3)2+z2]2 =c c >0 (x−2)2+ (y+ 3)2+z2=
q1
c : Kugelfl¨ache vom Radius 1c14
um den Mittelpunkt (2,−3,0).
Im Fallc≤0 ist die Niveaufl¨ache die leere Menge.
10.3 Partielle Ableitungen
Graphische Darstellung einer Funktion f von einer Variablen: Kurve mit den Punkten (x, f(x)), x∈Df.
Graphische Darstellung einer Funktion von zwei Variablen: Fl¨ache mit den Punkten (x, y, f(x, y)) ∈ Df. Die Frage
”Welche Steigung hat die Fl¨ache an der Stelle (x, y, f(x, y)) = (P0, f(P0))?“ ist sinnlos, denn die Steigung h¨angt von der Richtung ab, in der man sich von (P0, f(P0)) aus bewegt. Sinnvoll ist aber die Frage
”Welche Steigung hat die Fl¨ache in Rich- tung derx–Achse und welche in Richtung der y–Achse?“ oder
”In welcher Richtung ist der Anstieg am gr¨oßten?“
10.3.1 Definition
Es sei f eine auf der offenen Menge Df ∈ R2 definierte Funktion und im Punkt P0(x0, y0)∈Df gegeben.
Die Funktionf heißt in diesem PunktP0 nachx partiell differenzierbar, wenn die Funktion x → f(x, y0) im Punkt x0 differenzierbar ist. Deren Ableitung heißt partielle Ableitung von f nach xim Punkt P0.
Schreibweise: fx(P0) oder ∂f
∂x Bemerkung:
(a) fx liest man
”f partiell nachx“ oder
”f nach x“
(b) fx(x0, y0) = lim
h→0
f(x+h, y0)−f(x, y0) h
fy(x0, y0) = lim
h→0
f(x0, y+h)−f(x0, y) h
10.3.2 Definition
Es sei f eine auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definierte Funktion, P0 = (u1, u2, . . . , un)∈Df.
f heißt im PunktP0nachxipartiell differenzierbar, wennx−→f(u1, u2, . . . , ui−1, ui, ui+1, . . . , un) an der Stelle ui differenzierbar ist. Ihre Ablei- tung an der Stelle ui heißt dann die partielle Ableitung von f nach xi im Punkt P0.
Schreibweise:fxi(P0) = ∂f
∂xi(P0) 10.3.3 Beispiel
f(x, y, z) = sin2x+z·ey·√ x+ 23 fx(x, y, z) = 2 sinxcosx+z·ey ·1
2
√1 x fy(x, y, z) = z·ey·√
x fz(x, y, z) = ey·√
x 10.3.4 Definition
f sei eine auf der offenen MengeDf ⊂Rndefinierte Funktion und dort nach xpartiell differenzierbar. Wennfxi inP ∈Df nachxipartiell differenzierbar ist, so heißt diese Ableitung diezweite partielle Ableitung vonf nachxi, xj
im PunktP. Schreibweise: fxixj(P) =∂x∂2f
i∂xj(P).
10.3.5 Beispiel
Gegeben sei die Funktion:f(x, y, z) =x2y+z·sin(x+y2) Erste partielle Ableitungen:
fx(x, y, z) = 2xy+z·cos(x+y2)·1 fy(x, y, z) =x2+z·cos(x+y2)·2y fz(x, y, z) = 0 + cos(x+y2)
Zweite partielle Ableitungen:
fxy = 2x−2yz·sin(x+y2) fyx = 2x−2yz·sin(x+y2)
fxy =fyx
fzz = 0 10.3.6 Satz
Die Funktionf sei auf der offenen MengeDf ⊂Rndefiniert und dort m¨ogen s¨amtliche partielle Ableitungen bis zur Ordnungkexistieren und stetig sein.
Dann h¨angen die partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ k nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab.
10.3.7 Satz (Leibnitzsche Regel) Sei Df = {(x, t) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, α ≤ t ≤ β}undg eine aufDdefinierte stetige Funktion, gx auf D stetig. Ferner seien u und v auf [a, b]
stetig differenzierbare Funktionen und f¨ur alle x ∈ [a, b] sei α ≤u(x) ≤β und α ≤v(x) ≤β.
Dann wird durch
6
a b -
α β
u(x) v(x)
x
t D
f(x) =
v(x)
Z
u(x)
g(x, t)dt
eine auf [a, b] differenzierbare Funktion definiert. Weiterhin gilt f0(x) =
v(x)
Z
u(x)
g(x)(x, t)dt+g(x, v(x))·v0(x)−g(x, u(x))·u0(x) (x∈[a, b])
Spezialf¨alle
dxd Rd
c
g(x, t)dt=
d
R
c
gx(x, t)dt
dxd Rx
c
g(x, t)dt=
x
R
c
gx(x, t)dt+g(x, x)·1
10.3.8 Beispiel
f(x) =
x2
Z
x
e(x−t)2dt f0(x) =?
f0(x) =
x2
Z
x
2·(x−t)·e(x−t)2
| {z } Subst.y=x−t
dt+e(x−x2)·2x−1 [. . .]
= (2x−1)·e(x−x)2
10.4 Extrema der Funktionen mehrerer Variablen
10.4.1 Definition
Die Funktionf sei aufDf ⊂Rn definiert undP0 ∈Df. Wennf(P0)≥f(P) (i) f¨ur alleP ∈Df gilt, so sagt man,f habe inP0 einabsolutes Maximum.
(ii) f¨ur alleP ∈Df∩U gilt, wobeiU eine geeignete Umgebung vonP0 ist, so sagt man,f habe inP0 ein lokales (relatives) Maximum.
Die Zahlf(P0) ist dann (absolutes oder relatives) Maximum von f.
Absolutes Minimum, lokales Minimum analog.
Beispiel
f(x, y) = (x−3)2+y4 Df ∈R2 f(x, y)≥0 (∀x, y), f(3,0) = 0
⇒ absolutes Minimum im PunktP0= (3,0) 10.4.2 Satz
Die Funktion f sei auf der offenen Menge Df ⊂ Rn definiert und besitze in P ∈ Df ein relatives Extremum. Wenn die partielle Ableitung fxi in P existiert, so ist sie Null.
Beweis: f hat in P = (a1, . . . , an) ein relatives Extremum ⇒ g(x) = (a1, . . . , ai−1, x, . . . , an) hat an der Stelle ai ein relatives Extremum
⇒g0(ai) = 0 =fxi(a1, . . . , an)
10.4.3 Beispiel
Gesucht sind die Extrema der Funktionf(x, y) = 2x3−3x2+y2. fx = 6x2−6x= 0⇒x= 0 oder x= 1
fy = 2y= 0⇒y= 0
Die beiden L¨osungen P1 = (0,0) und P2 = (1,0) sind Kandidaten f¨ur relative Extrema.
10.4.4 Satz
Die Funktion f sei auf der offenen Menge Df ⊂ R2 definiert, im Punkt P ∈ Df seien alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig, ferner seifx(P) =fy(P) = 0 und ∆(P) =fxx(P)·fyy(P)−fxy(P)2. Dann gilt:
(i) Ist ∆(P) > 0, so besitzt f in P ein relatives Extremum, und zwar ein relatives Maximum, wenn fxx(P) < 0 (bzw. fyy(P) < 0) ist, ein relatives Minimum, wennfxx(P)>0 (bzw.fyy(P)>0) ist
(ii) Ist ∆(P)<0, so hatf inP kein Extremum
(iii) Im Fall ∆(P) = 0 kann ein Extremum vorliegen oder nicht.
10.4.5 Beispiele f aus 10.4.3
fxx = 12x−6, fyy= 2, fxy = 0 ⇒∆(x, y) = 24x−12
∆(0,0) =−12<0 ⇒ keine Extremstelle
∆(1,0) = 12>0, fyy(1,0) = 2>0 ⇒ rel. Maximum 10.4.6 Anwendung: Ausgleichsrechnung
Gegeben seien n Produkte Pi = (xi, yi) i = 1, . . . , n (n > 1) die xi seien nicht alle einander gleich. Es soll eine Gerade g : y = ax+b durch diese Punkte so gelegt werden, daß sie
”m¨oglichst gut“ hindurch geht.
- 6
5 10 15 20 25
5 10 15 20 25 30 y
x q q
q q
q d3
P1
P2 P3
P4
P5
Der Punkt Pi hat in y–Richtung den Abstand di = |axi +b−yi| von g.
”M¨oglichst gute“ Ann¨aherung heißt, die Summe
n
X
i=1
di2 =
n
X
i=1
(axi+b−yi)2=f(a, b)
soll klein sein, d.h. a und b sollen so bestimmt werden, daß f(a, b) das absolute Minimum annimmt (Methode der kleinsten Quadrate).
Notwendige Bedingung: fa(a, b) = 0 fb(a, b) = 0)
fa(a, b) =
n
X
i=1
2(axi+b−y)·xi= 2
"
a·
n
X
i=1
xi2+b·
n
X
i=1
xi−
n
X
i=1
xiyi
#
= 0
fb(a, b) = 2
n
X
i=1
(axi+b−y) = 2
"
a·
n
X
i=1
xi+n·b−
n
X
i=1
yi
#
= 0
⇒ lineares Gleichungssystem f¨uraund b. L¨osung:
a= n
n
P
i=1
xi·yi− n
P
i=1
xi
· n
P
i=1
yi
n·Pn
i=1
xi2− n
P
i=1
xi 2
Beispiel: An eine Feder h¨angt man ein Gewicht, sie wird gedehnt. Die L¨angey der Feder wird in Abh¨angigkeit vom Gewichtx gemessen.
Hooksches Gesetz:y =ax+b Anzahl der Messwerte:n= 6 P1 P2 P3 P4 P5 P6
x 5 10 15 20 25 30
y 34 52 66 79 97 110
⇒a≈3,02 und b≈20,2 P
di2 = 9,37 10.4.7 Extrema mit Nebenbedingungen
Ein Punkt bewege sich in der Ebene x+y +z = 0, sein Abstand zum Nullpunkt betrageA. Welches ist sein kleinst– bzw. gr¨oßtm¨oglicher Abstand von derz–Achse?
Abstand von derz–Achse:p
x2+y2 Aufgabe: f(x, y, z) =p
x2+y2 −→ Maximum, Minimum Nebenbedingungen: x+y+z= 0 und x2+y2+z2−1 = 0
Allgemeine Berechnung
Aufgabe: f(x1, . . . , xn)−→ Extremstellen berechnen Nebenbedingungen:
g1(x1, . . . , xn) = 0 ...
gk(x1, . . . , xn) = 0 L¨osungsmethode
(Multiplikatorenregel von Lagrange) 1. Man setzt
F(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk) =f(x1, . . . , xn) +
k
X
j=1
λj ·g(x1, . . . , xn) 2. Dann wird das Gleichungssystem
∂F
∂xi(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk) = 0 (i= 1, . . . , n)
∂F
∂λi(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk) = gj(x1, . . . , xn) = 0 (j= 1, . . . , k) gel¨ost.
3. An den gefundenen Stellen (x1, . . . , xn) k¨onnen die Extremstellen lie- gen.
10.4.8 Beispiel wie oben:f(x, y, z) =p
x2+y2=r fx = 1
2(x2+y2)−12 ·3x= x
r fy = y
r fz= 0
F(x, y, z) =f(x, y, z) +λ1(x2+y2+z2+ 1) +λ2(x+y+z) Es ergibt sich das Gleichungssystem:
Fx= x
r + 2xλ1+λ2 = 0 (a) Fy = y
r + 2yλ1+λ2 = 0 (b) Fz = 0 + 2zλ1+λ2 = 0 (c) x2+y2+z2−1 = 0 (d) x+y+z = 0 (e)
L¨osung des Gleichungssystems:
(a)·y−(b)·x: (y−x)·λ2= 0⇒λ2= 0 oder y=x
(1) λ2 = 0: A aus (c) folgt dann:z·λ1 = 0⇒λ1 = 0 oder z= 0 (1.1) z= 0 dann folgt aus
(e)⇒x=−y (d)⇒x=±
√ 2 2
=⇒P1√
2 2 ;−
√ 2 2 ; 0
P2
−
√ 2 2 ;
√ 2 2 ; 0 (1.2) λ1 = 0 dann folgt aus
(a) und (b)⇒x=y= 0
(e)⇒z= 0 dann ist aber (d) nicht erf¨ullt!
(2) y=x dann folgt aus (e) und (d)⇒x=y=±
√6
6 ; z=∓
√6 3
=⇒P1√
6 6 ;
√ 6 6 ;−
√ 6 3
=⇒P2
−
√ 6 6 ;−
√ 6 6 ;
√ 6 3
f(P1) =f(P2) = 1 f(P3) =f(P4) =
√ 3 3
Aus geometrischen Gr¨unden ist klar: P1 und P2 haben den gr¨oßten Abstand,P3 und P4 haben den kleinsten Abstand.
10.5 Vollst¨ andiges Differential, Anwendungen
In diesem Abschnitt:Df ⊂Rn ist offen, fxi stetig.
Im Abschnitt 5.3. haben wir gesehen:
f(x−h)−f(x)≈f0(x)·h
(h ”klein“),f0(x)·h : Differential vonf an der Stelle x zum Zuwachsh.
Jetzt werden wir die Differenz (nbeliebig)
f(x1+h1, . . . , xn+hn)−f(x1, . . . , xn) absch¨atzen (h
”klein“).
10.5.1 Definition
Es sei P = (x1, . . . , xn)∈Df. Man nennt
df(P) =fx1(P)·h1+· · ·+fxn(P)·hn
vollst¨andiges (odertotales) Differential vonf an der StelleP zum Zuwachs (h1, . . . , hn). Oft schreibt man dxi anstelle vonhi:
df(P) =fx1(P)·dx1+· · ·+fxn(P)·dxn
Sind die Zuw¨achsedxi klein, so gilt:
f(x1+dx1, . . . , xn+dxn)−f(x1, . . . , xn)≈df(P) oder
f(x1+dx1, . . . , xn+dxn)≈f(x1, . . . , xn) +df(P) 10.5.2 Beispiel
(a) f(x, y) = 2x2+xy2 P = (3; −1) Vollst¨andiges Differential im Punkt P:
df(P) =fx(P)dx+fy(P)dy= 13dx+ 6dy (fx= 4x+y2 fy = 2xy)
(b) Man berechne n¨aherungsweise: 1,002·2,0032·3,0043 Ansatz:f(x, y, z) =x·y2·z3
x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 ⇒ P = (x0, y0, z0) = (1,2,3) f(P) = 1·22·33 = 108
dx= 0,002, dy = 0,003, dz= 0,004⇒f(x0+dx, y0+dy, z0+dz) f(1,002,2,003,3,004)≈f(P) +fx(P)dx+fy(P)dy+fz(P)dz = 108 +y02·z03·dx+ 2x0·y0·z03·dy+ 3x0·y02·z02·dz= 108,972 Analog kann man n¨aherungsweise p
1,023+ 1,973 (x0 = 1, y0 = 2) oder 0,971,05 (x0 =y0 = 1) berechnen.
10.5.3 Definition: Tangentialebene Die EbeneE mit der Gleichung
z=f(P0) +fx(P0)(x−x0) +fy(P0)(y−y0) (P0 = (x0, y0)∈Df) heißt dieTangentialebene, die durchz=f(x, y) definierte Fl¨ache im Fl¨achen- punkt (x0, y0, f(x0, y0)
| {z }
z0
).
Die Tangentialebene geht durch einen Punkt (x0, y0, z0) und ber¨uhrt die Fl¨ache im folgenden Sinne: Jede zurxy–Ebene senkrechte EbeneSdurch den Punkt P0 = (x0, y0, z0) schneidet die Tangentialebene E in einer Geraden, die Tangente an die Schnittkurve vonS mit der Fl¨ache ist (z.B. die Ebenen x=x0 oder y=y0).
Beispiel
z=f(x, y) = 2x2+xy2 P(3,−1, f(3,−1)) = (3,−1,21) fx= 4x+y2 ⇒ fx(3,−1) = 13
fy = 2xy ⇒ fy(3,−1) =−6
Tangentialebene: z= 21 + 13·(x−3)−6·(y+ 1) = 13x−6y−24 10.5.4 F¨ur implizit angegebene Funktionen
Oft ist eine Fl¨ache in der impliziten Form F(x, y, z) = 0 gegeben. Zum Beispiel: Kugelfl¨ache (Radius 1): F(x, y, z) = x2+y2+z2−1 = 0. Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x0, y0, z0):
(x−x0)·Fx(x0, y0, z0) + (y−y0)·Fy(x0, y0, z0) + (z−z0)·F(x0, y0, z0) = 0 Beispiel: F wie oben, (x0, y0, z0) beliebig. Tangentialebene:
(x−x0)·2x0+ (y−y0)·2y0+ (z−z0)·2z0= 0 Speziell: x0 = 1, y0 =z0 = 0 : 2(x−1) = 0 oder die Ebenex= 1.
10.5.5 Definition: Differentialform
Es seienQ1, . . . , Qn auf der offenen Menge D⊂Rn definierte stetige Funk- tionen. Dann heißt der Ausdruck
Q1(x1, . . . , xn)·dx1+· · ·+Qn(x1, . . . , xn)·dxn
eine Differentialform (ein vollst¨andiges Differential ist zum Beispiel eine Differentialform). Eine wichtige Frage: Unter welchen Bedingungen ¨uber Qi ist eine Differentialform vollst¨andiges Differential einer Funktionf (d.h.
Q1=fx1, . . . , Qn=fxn)?
10.5.6 Satz
Wenn die Funktionen Q1, . . . , Qn stetige partielle Ableitungen besitzen, so ist Q1·dx1+· · ·+Qndxn genau dann vollst¨andig differenzierbar, wenn
∂Qi
xj = ∂Qj
xi (i, j = 1, . . . , n) erf¨ullt ist.
10.5.7 Beispiele (a) (y+ cosx)
| {z }
P
·dx+ (x+ 2y)
| {z }
Q
·dy
Py =Qx = 1⇒Differentialform ist ein vollst¨andiges Differential, d.h.
es exisitertf mitfx =P und fy =Q.
Bestimmung vonf:fx =y+ cosx⇒ Integration nachx ergibt f =yx+ sinx+c(y), einsetzen in fy =x+ 2y:
x+c0(y) =x+ 2y
c0(y) = 2y⇒c(y) =y2+c0 ⇒f(x, y) =yx+ sinx+y2+c0
(b) 2xy
|{z}
P
·dx+ y
|{z}
Q
·dy Py = 2x6=Qx= 0
⇒kein vollst¨andiges Differential
10.6 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient
Wir setzen stets voraus:Df ⊂Rn ist offen, fxi existiert und ist stetig (i= 1, . . . , n).
10.6.1 Satz: Kettenregel
(i) v1, . . . , vn seien auf dem Intervall (a, b) definierte und differenzierbare Funktionen und f¨ur allet∈(a, b) sei (v1(t), . . . , vn(t))∈Df. Dann ist die Funktiong(t) =f(v1(t), . . . , vn(t)) auf (a, b) differenzierbar mit
g0(t) =
n
X
i=1
fxi(v1(t), . . . , vn(t)) t∈(a, b)
(ii) v1, . . . , vn seien auf der offenen MengeM ⊂Rk definierte und partiell stetig differenzierbare Funktionen und f¨ur alle (t1, . . . , tk) = P ∈ M sei (v1(P), . . . , vn(P))∈Df. Dann ist die Funktion
h(P) =f(v1(P), . . . , vn(P)) nachtj (j= 1, . . . , k) aufM differenzierbar und es gilt:
∂h
∂tj(P) =
n
X
i=1
fxi(v1(P), . . . , vn(P))·∂vi
∂tj P ∈M
Merkregel
(i) df dt =
n
X
i=1
∂f
∂xi
·dxi
dt (ii) ∂f
∂tj
=
n
X
i=1
∂f
∂xi
·∂xi
∂tj
(t= 1, . . . , k)
10.6.2 Beispiele
(a) f(x, y) beliebig (z.B.f(x, y) =p
x2+y2) v1(t) =t2, v2(t) =t3 ⇒g(t) =f(t2, t3) g0(t) =fx(t2, t3)·2t+fy(t2+t3)·3t2
(b) f(x, y) beliebig, v1(t1, t2) =t1+t2,v2(t1, t2) =t1·t2 h(t1, t2) =f(t1+t2, t1·t2)
∂h
∂t1 =fx(t1+t2, t1·t2)·1 +fy(t1+t2, t1·t2)·t2
∂h
∂t2 =fx(t1+t2, t1·t2)·1 +fy(t1+t2, t1·t2)·t1 10.6.3 Richtungsableitung
f(x1, . . . , xn), P0(x1, . . . , xn)∈Df, ~a= (a1, . . . , an)T, |~a|= 1
Parameterdarstellung der Geraden mit der Richtung~a, die durchP0 geht:
P0+t·~a= (x1+t·a1, . . . xn+t·an) t∈R Wir betrachtenf nur auf dieser Geraden:
g(t)Def=.f(x1+t·a1, . . . , xn+t·an) t∈R
Definition: Unter der Richtungsableitung von f im Punkt P0 in Richtung
~amit|~a|= 1 versteht man die Zahlg0(0) (f¨urt= 0 erhalten wir dem PunktP0)
Schreibweise: ∂f
∂~a(P0) Nach der Kettenregel
g0(t) =fx1(x1+ta1, . . . , xn+tan)·a1+. . .+fxn(x1+ta1, . . . , xn+tan)·an
⇒ ∂f
∂~a(P0) =fx1(P0)·a1+. . .+fxn(P0)·an
Ist ein beliebiger Richtungsvektor |~a| 6= 0 gegeben, so ersetzen wir~adurch
~a
|~a| (= normierter Vektor).
∂f
∂~a(P) = 1
|~a|·(fx1(P)·a1+. . .+fxn(P)·an)
10.6.4 Beispiele
(a) ~a= (1,0,0, . . .)T |a|= 1
∂f
∂~a =fx1(P)
(b) f(x, y) =x·y+x2 P0= (1,2)
fx=y+ 2x ⇒ fx(P0) =fx(1,2) = 4 fy =x ⇒ fy(P0) =fy(1,2) = 1
~a= (1,1)T |~a|=√
2 ⇒ ∂f∂~a(P0) = √12(4·1 + 1·1)≈3,535
~a= (5,1)T |~a|=√
26 ⇒ ∂f∂~a(P0) = √1
26(4·5 + 1·1)≈4,118 10.6.5 Definition: Gradient
Der Vektor (fx1(P), . . . , fxn(P))T heißt Gradient von f im Punkt P. Bezeichnung: gradf(P)
Bemerkung: ∂f
∂~a(P) = 1
|~a|·~a·gradf(P) 10.6.6 Satz
(i) Der Vektor gradf(P) zeigt in die Richtung des st¨arksten Anstiegs von f im PunktP.−gradf(P) zeigt in die Richtung des st¨arksten Gef¨alles.
(ii) |gradf(P)|gibt den gr¨oßten Anstieg im Punkt P an.
10.6.7 Beispiel
In jedem K¨orper, in dem kein Temperaturgleichgewicht herrscht, treten W¨armestr¨omungen auf. Der W¨armefluß im Punkt P wird durch einen Vek- tor ~q(P), dessen Richtung die der W¨armestr¨omung, und dessen L¨ange die Intensit¨at ist dargestellt. Es sei T(P) die Temperatur im PunktP.
Es zeigt sich, daß
(i) Der W¨armefluß hat die Richtung des st¨arksten Gef¨alles der Tempera- tur inP und
(ii) die St¨arke des W¨armeflusses ist proportional zum Temperaturgef¨alle.
Der Vektor −gradT(P) hat diese Eigenschaften ⇒ Grundgesetz der W¨armeleitung.
~
q(P) =−λ(P)·gradT(P) wobeiλ(P) die W¨armeleitf¨ahigkeit ist.
10.7 Die Taylorsche Formel
Zur Erinnerung: Taylorsche Formel (f :R→R):
f(x0+h) =
n
X
k=0
f(k)(x0)
k! ·hk+Rn(x0)
| {z }
Restglied
Mit∇(Nabla-Operator) bezeichnen wir den formalen Ausdruck
∇= ∂
∂x1 +· · ·+ ∂
∂xn T
Ist f(x1, . . . , xn) eine Funktion (f¨ur die alle partiellen Ableitungen existie- ren), so sei
∇f(P) = ∂f
∂x1
(P) +· · ·+ ∂f
∂xn
(P) T
(formale Multiplikation des
”Vektors“ ∇ mit dem Skalar f). Bemerkung:
gradf =∇f. Mit∇rechnet man ¨ahnlich mit einem Vektor, einige Formeln lassen sich mit diesem Operator ¨ubersichtlicher darstellen. Sei z.B. h = (h1, . . . , hn)∈Rn. Dann ist
(h·∇)f(P) =
h1· ∂
∂x1 +· · ·+hn ∂
∂xn
·f(P) =h1·fx1(P)+· · ·+hn·fxn(P) (das Differential vonf im PunktP zum Zuwachs h).
Weitere Beispiele:
(h· ∇)2·f(P) =
h1· ∂
∂x1
+· · ·+hn· ∂
∂xn
2
·f(P) =
n
X
i,j=1
hi·hj·fxixj(P)
mit h
hi·∂x∂
i ·hj·∂x∂
j =hi·hj ∂2
∂xi·∂xj =fxixj·hi·hj
i Oder:∇ · ∇f = ∂x∂2f
12 +· · ·+∂x∂2f
n2
∇ · ∇wird auch mit ∆ bezeichnet und heißt Laplace-Operator.
10.7.1 Satz: Mehrdimensionale Taylorsche Formel
Die Funktionf sei auf der offenen MengeDf ∈Rn(n+1)–mal stetig partiell differenzierbar nach allen Variablen.
Es seih ∈Rn, x0 ∈Df und x=x0+h ∈Df. Dann existiert eint∈(0,1) so, daß
f(x0+h) =
n
X
k=0
1
k!(h· ∇)kf(x0) + 1
(n+ 1)! ·(h· ∇)n+1f(x0+t·h)
10.7.2 Beispiel f(x, y) =ex·siny
Taylorentwicklung an der StelleP = (0,0) bis zu Gliedern dritter Ordnung.
k= 0 :
f(P) =f(0,0) = 0 k= 1 :
fx=ex·siny fx(P) = 0 fy =ex·cosy fy(P) = 1 k= 2 :
fxx=ex·siny fxx(P) = 0
fxy =ex·cosy fxy(P) =fyx(P) = 1 (2×) fyy=ex·siny fyy(P) = 0
k= 3 :
fxxx=ex·siny fxxx(P) = 0
fxxy=ex·cosy fxxy(P) =fxyx(P) =fyxx(P) = 1 (3×) fxyy =ex·siny fxyy(P) =fyxy(P) =fyyx(P) = 0 (3×) fyyy=ex·cosy fyyy(P) =−1
Mitx0 =y0 = 0,h1 =x−x0=x,h2 =y−y0=y gilt:
f(x, y) = 0
|{z}
k=0
+ 1
1!·0·x+ 1 1!·1·y
| {z }
k=1
+1 2!
0·x2+ 2·1·x·y+ 0·y2
| {z }
k=2
+
+3!1 ·
0·x3+ 3·1·x2·y+ 3·0·x·y2+ (−1)·y3
| {z }
k=3
+R3 f(x, y) =y+xy+16·(3x2y−y3) +R3
Bemerkung: In diesem Spezialfall h¨atten wir auch die Taylorentwicklung der Funktionenex und siny multiplizieren k¨onnen.
10.8 Implizite Funktionen
Wir betrachten die Aufl¨osbarkeit einer Gleichung F(x, y) = 0 nach einer Variablen.
10.8.1 Beispiele
(a) F(x, y) =ax+by+c= 0
Aufl¨osung nachy genau dann m¨oglich, wenn b6= 0.
y=f(x) =−ab ·x−cb Bemerkung:b=Fy
(b) F(x, y) =x2+y2+ 1 = 0
Nur eine sogenanntelokale Aufl¨osbarkeitin einer Umgebung einer Stelle (xy.y0).
Wenny0 >0, danny=f1(x) =√ 1−x2 Wenny0 <0, danny=f2(x) =−√
1−x2
6
&%
'$
- q
q q
(x0,y0)
@
@
@
@ x y
In den Punkten (±1,0) ist eine lokale Aufl¨osung nicht m¨oglich! In diesen Punkten ist die Tangente parallel zur x–Achse.
Die y–Koordinate des Gradienten (Fx, Fy) = (2x,2y) verschwindet in diesen Punkten.
10.8.2 Satz
SeiF(x, y) stetig nachxundydifferenzierbar,F(x0, y0) = 0 undFy(x0, y0)6=
0. Dann existiert eine UmgebungU von x0, f¨ur die gilt: Es gibt genau eine Funktion y=f(x) auf U mit
F(x, f(x)) = 0 x∈U
Die Funktionf ist dann differenzierbar undf0(x) =−Fx(x, f(x)) Fy(x, f(y)) Beweis der letzten Gleichung: h(x) =F(x, h(x)) = 0⇒h0(x) = 0
dh
dx =Fx·1 +Fy·f0(x) = 0 (Kettenregel) 10.8.3 Beispiel
F(x, y) =x3+y3−3axy, (a6= 0),
”Kartesisches Blatt“
Wir bestimmen diejenigen Kurvenpunkte, f¨ur die Fy = 0 wird:
q
P1=(0,0)
qP2
(1) F(x, y) =x3+y3−3axy= 0
(2) Fy(x, y) = 3y2−3ax= 0 ⇒ x= ya2 in (1)
⇒ y6
a3 +y3−3y3 = 0
y6 = 2a3y3 / :y3 (f¨ury6= 0) ⇒ y3 = 2a3 ⇒ y=√3 2a
⇒P1 = (0,0), P2=a·(413,213) Verallgemeinerung
Aufl¨osbarkeit aus Gleichungssystemen:
F1(x1, . . . , xn, y1, . . . ym) = 0 ...
Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . ym) = 0
nach den Variableny1, . . . , ym aufl¨osen, d.h.
y1=f1(x1, . . . , xn) ...
ym=fm(x1, . . . , xn)
Kapitel 11
Integralrechnung der Funktionen mehrerer Variablen
11.1 Mehrfache Integrale
11.1.1 Doppelintegrale
Es sei G ⊂ R2 eine beschr¨ankte abgeschlossene Menge und f eine auf G definierte beschr¨ankte Funktion. Es sei f(P)≥ 0 (P ∈ G). Wir wollen das Volumen desjenigen K¨orpers bestimmen, der durch die Menge
(x, y, z)∈R3: (x, y)∈G, 0≤z≤f(x, y) definiert ist.
1. Zsei eine Zerlegung vonGinnTeilmengeng1, . . . , gnf¨ur die folgendes gilt:
(a) Jede Teilmengegi hat einen Fl¨acheninhalt ∆gi (b) Die Vereinigung allergi ist G
(c) Die gi sind disjunkt
(d) Sei δi = sup{|P −Q| : P, Q ∈ gi} (Durchmesser von gi) und
∆(Z) = max{δ1, . . . , δn} (Feinheit der Zerlegung) 2. (a) In jeder Mengegi wird ein
”Zwischenpunkt“ Pi ∈gi gew¨ahlt und das Produktf(Pi)·∆gi gebildet (Volumen der
”S¨aulen“) (b) Es wird die Zwischensumme
S(Z) =
n
X
i=1
f(Pi)·∆gi gebildet (N¨aherung f¨ur das gesuchte Volumen).
