Nachtrag: Elektromagnetische Welle in Materie

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Nachtrag: Elektromagnetische Welle in Materie

Elektronen der Atome in Materie verhalten sich wie gedämpfte Oszillatoren und Masse m (für kleine Auslenkungen gut erfüllt) und werden durch eine einlaufende elektromagnetische Welle zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Die Auslenkung der Elektronen ergibt zusammen mit der Elementarladung ein Dipolmoment. Über den Ausdruck für die Polarisation wurde für den Brechungsindex und den

Absorptionskoeffizienten in Nichtleitern gefunden:

Re( )n Re _r 2 Im _i c

   

Elektromagnetische Welle in elektrisch leitender Materie

Bei elektrisch leitender Materie (z.B. Metalle, andere Stoffe wie Graphit, Plasma) gibt es zwei Beiträge zum Brechungsindex, gebundene Elektronen und frei bewegliche Elektronen. Letztere bewirken einen Dämpfungsterm in der Wellengleichung. Angenommen, der Einfluss der freien Elektronen überwiegt.

Dann entfällt die Rückstellkraft und obiger Ausdruck wird zu

Konsequenzen (ohne Rechnung):

- die Dämpfung geschieht durch Stöße zwischen den Elektronen g = 1 / t (mittl. Zeit zwischen Stößen) - kleine Frequenz (Infrarot und sichtbar): starke Dämpfung, kleine Eindringtiefe in Nanometerbereich.

- hohe Frequenz (Vakuum-UV): oberhalb der Plasmafrequenz wird Metall durchsichtig.

(vgl. Ionosphäre/Heaviside-Schicht: bis einige MHz undurchsichtig, im sichtbaren Bereich durchsichtig).

2 2

0 0

/ 1

1 +i

r

e N V

n  m

    g

    

  

1 1

r 2

X X

    

2 2

2

2 2

0 2

0

/ 1

1 1

i i

P

e N V

n m

q n N

q e n

m V



   g   g

 

     

    

    

Plasmafrequenz:  Ladungsdichte

u.s.w.

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2 Nachtrag: Nichtlineare Optik

In der traditionellen Optik genügt es i.d.R., einen linearen Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischem Feld anzunehmen, z.B. in isotropen Medien:

(in anisotropen Medien wird aus der Suszeptibilität ein Tensor und die Polarisation ergibt sich durch Summieren über die drei Raumrichtungen). Seit dem Aufkommen von Strahlungsquellen mit sehr hohen elektrischen Feld (GV/m bis TV/m) wie gepulsten Hochleistungslasern oder Freie-Elektronen-Lasern ist es nicht mehr ungewöhnlich, dass auch Terme höherer Ordnung eine Rolle spielen:

Das elektrische Feld sei . Dann enthält der zweite Term einen Ausdruck

mit der doppelten Frequenz. Es ist gängige Praxis, Laserpulse durch ein Material mit geeignetem c⁽²⁾ zu schicken (z.B. BBO, Beta-Bariumborat), um die Frequenz des Lichts zu verdoppeln (SHG, second- harmonic generation), z.B. grüner Laserpointer mit diodengepumptem Festkörperlaser bei 1064 nm Wellenlänge und Frequenzverdopplung.

Der dritte Term der Reihenentwicklung ist proportional zu mit der Energiestromdichte . Damit werden Polarisation und Brechungsindex proportional zur Intensität von Laserstrahlung, oft beschrieben durch das sog. B-Intergal

Hier ist n² der nichtlineare Anteil des Brechnungsindex in m²/W, I(z) die Intensität in W/m² und l die Wellenlänge, und B gibt die Phasenverschiebung des Lichts durch den nichtlinearen Effekt (auch elektrooptischer Kerr-Effekt genannt) an. Zum Beispiel ist beim Durchgang eines Laserpulses mit gaußförmigen Profil die Verschiebung stärker als am Rand, was eine intensitätsabhängige Fokussierung bewirkt (Kerr-Linse).

P c0 E



⁽¹⁾ ⁽²⁾ ² ⁽³⁾ ³



P c0 Ec E c E 

 

x cos

E  t

 



 



cos2 t 1/ 2 1 cos 2 t

S E S ~ E²

2

2 ( )

B  n I z dz

 l



 

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Wiederholung: Geführte elektromagnetische Wellen

Ausbreitung elektromagnetischer Wellen - freie Ausbreitung im Raum

- entlang von Leitungen

... doppelter Draht (Lecher-Leitung) ... konzentrische Leitung (Koaxialleitung) ... Hohlleiter

Experiment: Lecher-Leitung

Dezimeterwellensender (f = 434 MHz, l = 69 cm),

Ende der Leitung gegenüber der Sendeantenne geschlossen, anderes Ende der Leitung offen oder geschlossen.

Offenes Ende: Strom null

Geschlossenes Ende: Spannung null (keine Potenzialdifferenz)

Durch Überlagerung der Welle entlang der Leitung und der am Ende reflektierten Welle entsteht eine stehende Welle, wenn die

Länge L der Leitung und die Wellenlänge l zu den Randbedingungen passen: beide Enden geschlossen L = n∙l/2

ein Ende geschlossen, anderes Ende offen L = n∙l/2± l/4 Glühlampe mit geschlossener Schleife zeigt Stromverteilung, Glühlampe mit offenen Enden zeigt Spannungsverteilung.

Produkt aus Frequenz und Wellenlänge = Lichtgeschwindigkeit c Abschluss der Lecherleitung mit 75 Ohm: keine stehenden Wellen.

Ernst Lecher

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4 Wiederholung: Impedanz einer Leitung

Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung:

Ziel: Berechnung der Impedanz dieser Leitung, die im allgemeinen Fall frequenzabhängig ist:

L´dx R´dx

C´dx 1/G´dx

x

  I Z_L  U

Auf Länge bezogene Größen ("Beläge"):

R´: Widerstand / dx L´: Induktivität / dx C´: Kapazität / dx G´: Leitfähigkeit / dx Änderung der Spannung entlang dx :

Änderung des Stroms entlang dx :

Beide Gleichungen kombiniert:

mit dem allgemeinen Ansatz für die Spannung:

Damit gilt auch

durch Vergleich mit oben d

d

U dI dI

R I L L

x       dt    dt

d d

I dU dU

G U C C

x       dt    dt

2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

d d

d d d

d d d d

d d d d d 0

U I

x L t x

I d U U U U

C L C L C U

x t dt x t x 

  



    

         



 

  

^ ^



1exp i 2exp i

U a tkx a tkx

(Verluste vernachlässigt)

(Q = CU und G vernachlässigt)

  

2

2 2 2

2

d 0 i i

d

U k U k L C k L C

x             

(5)

Strom:

 

  

^ ^



 

  

 

 

 

^ ^

 

 

  

^ ^



  ^

^ ^

^ ^

^ ^

^

1 2

1 1

exp i exp i

i

i i

exp i exp i

i

exp i exp i exp i exp i

I dU a k t kx a k t kx

i L dx L

L C

I a t kx a t kx

L

a a

I C a t kx a t kx t kx t kx

L Z Z

 



   

          

 

      



            

 Z L

C

 



Impedanz einer Leitung nach Feynman II Ch. 22-6:

Netzwerk aus vielen (aber endlichen) seriellen und parallelen komplexen Widerständen L/2 und C:

ergibt eine Impedanz von

Grenzfall L → 0 und C → 0 ergibt

2  

1 2

1

d

( )

R

R R

R

L l I l B r r

U Q E r dr

C l

      

  





L' und C' für Koaxialkabel vgl. Skript 08.06.:

2 2

0 / / 4

Z  L C L

0 /

Z  L C

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6 Wiederholung: Schwingkreis

Widerstand R (falls 0: ungedämpft) Induktivität L

Kapazität C

Es gibt zwei Energiespeicher: Kondensator (Spannung → E-Feld), Spule (Strom → B-Feld)

vgl. mechanisches Pendel: Spannung entspricht potentieller Energie, Strom entspricht kinetischer Energie, Widerstand entspricht Reibung. Daher ist die Mathematik ähnlich und es gibt eine Schwingung mit einer charakteristischen Frequenz und eine zeitlichen Abnahme der Amplitude.

Zwei Szenarien:

(i) der Schwingkreis schwingt frei mit Frequenz ₀ (rechte Seite der folgenden Gleichungen = 0) (ii) es gibt einer anregende Wechselspannung mit Frequenz _E

Ansatz: Maschenregel

Ausdrücke eingesetzt Diese Ausdrücke verbinden die Spannung mit den Eigenschaften der Elemente: R, L, C Umformen mit

Die Diffentialgleichung mit Q(t) beschreibt einen gedämpften harmonischen Oszillator (vgl. Mechanik).

Alternativ kann man das durch I(t) ausdrücken, weil das eher eine messbare Größe ist. Also ableiten:

 

0exp

L R C E

U U U U i t

 

0exp _E

LI RI Q U i t

C 

  

I Q

 

/ 0exp _E

LQRQ Q C U i t

 

0

/ exp

1 exp

E E

E

LI RI I C U i i t i

I R I I U i t

L LC L

 

  

(7)

Zwei Möglichkeiten:

1) Differentialgleichung umschreiben in

und aller Ergebnisse aus der Mechanik verwenden oder

2) Neu ausrechnen: Lösungsansatz und zunächst freie Schwingung betrachten

mit pq-Formel

ergibt sich die allgemeine Lösung zu

g ist reell und beschreibt eine Dämpfung, d kann reell oder imaginär sein. Im letzteren Fall liegt eine Schwingung vor. Man unterscheidet 3 Fälle:

a) Kriechfall: Große Dämpfung, d reell:

Lösung hängt von den Anfangsbedingung ab, z.B. Schalter wird umgelegt

 

2

0 0

2 i ^E exp _E

I I I U i t

L

g   

  

 

( ) exp

I t  A lt l² 2gl  ₀² 0

2 2

1,2 0

l   g g    g d

 

  

^ ^



1 2

( ) exp exp

I t  A   g d t A   g d t

2

2 2

0 2

1 4

R

L LC

g   

   

0 1 2 2 1

0

0 0 2 2 2

(0) 0 0

(0) 0

2

I I A A A A

I I I g d A g d A A I

d

      

       

         

0 1 0

( ) exp exp exp exp sinh

2

I I

I t gt d t d t gt dt

d d

             

(8)

8

b) Aperiodischer Grenzfall:

Zum Beispiel

2 2

0 2

0 1

4 R

L LC

d  g   

 

0 0 0 0 ( ) 0 exp

I  I   I t   I t gt c) Gedämpfte Schwingung: ist von größerer Relevanz

Allgemeine Lösung

Hier wird die Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen gerne so ausgedrückt:

wobei a und b von den Anfangsbedingungen abhängen und  die Schwingungsfrequenz ist.

Sie ist etwas niedriger als die ungedämpfte Frequenz und geht für g → 0 in diese über.

Die Schwingung nimmt nach der Zeit T = 1/g um den Faktor e ab.

2

2 2

0 2

1

4 i R

L LC d   g   

  1   2  

( ) exp exp exp

I t  gt A  i t  A  i t 

   

1 2 ( ) 2 exp cos

A  a ib A  a ib  I t  A  gt   t

2 2

tan /

A  a b  b a

2 2 2 2

0 0

d i  g     g

Gedämpfte erzwungene Schwingung:

Schwingung mit konstanten Amplituden U₀ und I₀ (nach Einschwingvorgang) und Erregerfrequenz 

 

^ ^

0

2 2

2 2 0

0

2 2

0

( ) ( ) cos ( ) tan 2

2 2

E

E E

R

I t A   t  A A  g

 

  g

  g

     

  

  Resonanzfrequenz

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Gedämpfte erzwungene Schwingung:

Wirkleistung im Widerstand R :

Wechselstromwiderstände

Kondensator: Strom eilt Spannung voraus Spule: Spannung eilt Strom voraus



 



² ²

2

0 0

2 0

2 max

2

cos 1 1

1 2

U t U

P I R U R R P

Z R LC

R L

C

  

 

          

 

  

1 1

Z R i L R i L

i C C

 

 

       

Wiederholung: Elektromagnetische Felder an Grenzflächen

1 2 1 1 2 2

B^  B^   H^  H^

2 B1 1 B2 H1 H2

      

|| 1 ||

V D V D

E E D D

   

V r D V D

E^   E^  D^  D^ senkrecht auf Grenzflächen parallel zu Grenzflächen

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10 Wiederholung: Hilfsfelder D und H

Dielektrika:

Elementare el. Dipole vorhanden (Orientierungspolarisation) oder induziert (Verschiebungspolarisation) Gesamtes E-Feld

Polarisationsladungen generell nicht bekannt, D-Feld (Verschiebungsdichte) hängt nur von freien

Ladungen ab. Das ist bequem, verlagert aber nur das Problem, wenn man das E-Feld wissen will. Oft stellt sich diese Problem nicht, da nicht Ladungen, sondern Spannungen an metall. Leitern vorgegeben sind.

Beispiel: Unendlich langer Draht mit linearer Ladungsdichte l, der von einem Isoliermaterial mit Radius R umgeben ist.

im Außenraum: im Isoliermaterial:

0 0

divE_D ^f ^p div( E_D P) divD _f

 



     

2 2

f r

A

D da Q D r L L D e

r

 l l

          





0 r

D    E

2 0

E r

l

  

  E 2 ₀ _r

r l

  

   

r 1 c  

Dia/Para/Ferromagnete:

Elementare el. Dipole vorhanden (Paramagnetismus) oder induziert (Diamagnetismus) Gesamtes B-Feld

Das H-Feld (magnetische Erregung) hängt nur von den freien Strömen ab. Diese Größe ist von praktischer Relevanz, da magentische Felder oft durch Ströme gegeben sind.

Beispiel: Eisenkern mit Gesamtlänge l und Luftspalt der Höhe h, Spule mit n Windungen

  ¹ ₂

D  m   ¹

H  m

0

rot B  (j_f j_m) rot 1 B M rot H j_f H ds I_f



 

         

 



m 1

c  

Fe Luft

0

( )

H ds l h H h H n I

n I n I

H B

h  h

       

 

   

0



1

r

H B

  



wenn H_Fe sehr klein, nicht immer! im Eisen und an Luft