Orlicz-Räume
Toni Scharle
LMU München
Zillertal / 12.12.2013 15.12.2013
Motivation
Erinnerung:
u ∈ L
p(Ω) ⇔
ZΩ
|u(x)|
pd x
=
ZΩ
A (|u(x)|) d x < ∞ mit A :
R+0→
R+0t 7→t
pMögliche Verallgemeinerung: Ersetze A durch eine andere konvexe und monoton steigende Funktion!
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N-Funktionen
Deniere zunächst
a :
R+0→
R+0mit
•
a( 0 ) = 0, a(s ) > 0 für s > 0, lim
s→∞a(s) = ∞
•
a(t) ≥ a(s ) falls t > s
•
a ist rechtsstetig Dann nennen wir
A(t) =
Z t0
a(s ) d s
eine N-Funktion
Eigenschaften
•
A ist stetig
•
A(t) > A(s) für t > s
•
Es gilt mit r > (<) 1:
A(rt) =
Rrt0
a(s) d s = r
Rt0
a(rs) d s ≥ (≤)r
Rt0
a(s) d s = rA(t)
•
A ist konvex, denn: A(λs + ( 1 − λ)t) =
Rλs0
a(s ) d s +
R(1−λ)tλs
a(s ) d s ≤
A(λs) + A((1 − λ)t) ≤ λA(s ) + (1 − λ)A(t)
•
lim
t→0A(t)t
= 0 und lim
t→∞A(t) t= ∞
1t
Rt
0
a(s) d s ≤ a(t) und
1t Rt0
a(s) d s ≥
1t Rtt/2
a(s ) d s ≥
12a
t2Toni Scharle Orlicz-Räume 4/14
Komplementäre N-Funktion
Sei durch a(s ˜ ) = sup
a(t)≤st die Pseudo-Inverse zu a gegeben. Dann heiÿt A(t) = ˜
Z t
0
a(s ˜ ) d s die zu A komplementäre N-Funktion.
Beispiel: Für A(t) = t
p, also a(s ) = pt
(p−1)haben wir A(t) = ˜
1 −
1qq−1 1q
t
qmit
1p+
q1= 1.
Die Young'sche Ungleichung
Für komplementäre N-Funktionen A und A ˜ gilt:
s · t ≤ A(t) + ˜ A(s )
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Dominanz und Äquivalenz von N-Funktionen, die
∆
2-Bedingung
•
B dominiert A global (nahe unendlich), falls gilt:
∃k > 0 : ∀t ≥ 0(t
0) : A(t) ≤ B (kt)
•
B und A sind äquivalent falls A von B und B von A dominiert wird.
•
A erfüllt die ∆
2-Bedingung global (nahe unendlich), falls gilt:
∃k > 0 : ∀t ≥ 0 (t
0); A( 2 t) ≤ kA(t)
⇔, ∀r > 0 ∃k > 0 : ∀t ≥ 0 (t
0)A(rt) ≤ kA(t )
Beispiel: t
perfüllt die ∆
2-Bedingung global und dominiert t
qnahe
unendlich, aber nicht global falls q ≤ p .
Die Orlicz-Klasse K
AWir denieren K
A=
u : Ω →
C:
ZΩ
A (|u(x)|) d x < ∞
K
Aist dann aufgrund der Kovexität von A stets selbst konvex, im Allgemeinen aber kein Vektorraum.
Erfüllt A aber die ∆
2-Bedingung global, so gilt für u ∈ K
A:
RΩ
A (|λu(x)|) d x ≤ k (|λ|)
RΩ
A (|u(x)|) d x < ∞ und K
Awird zum Vektorraum. Ist |Ω| < ∞ , so genügt die Erfüllung der ∆
2-Bedingung nahe unendlich:
Z
Ω
A (|λu(x)|) d x =
Zu(x)≤t0
A (|λu(x)|) d x +
Zu(x)>t0
A (|λu(x)|) d x
≤ A(λt
0)|Ω| + k
ZΩ
A (|λu(x)|) d x < ∞
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Orlicz-Raum L
Aund Luxemburg-Norm
Wir denieren L
A=
LH(K
A) und statten den Raum mit der Norm
||u||
A= inf
k > 0 :
ZΩ
A
|u(x)|
k
d x ≤ 1
aus. Das Inmum wird angenommen, denn mit monotoner Konvergenz und der Stetigkeit von A haben wir:
Z
Ω
A
|u(x)|
||u||
Ad x =
ZΩ
k&||u||
lim
AA
|u(x)|
k
d x
= lim
k&||u||A
Z
Ω
|u (x)|
k
d x ≤ 1
Eigenschaften
•
(L
A, ||.||
A) ist ein Banachraum.
(Beweis analog zur Vollständigkeit von L
p)
• R
Ω
|u(x)v(x )| d x ≤ 2 ||u||
A||v||
A˜für komplementäre N-Funktionen A und A ˜ , denn
Z
Ω
|u(x)| |v(x)|
||u||
A||v||
A˜d x ≤
ZΩ
A
|u(x)|
||u||
A+ ˜ A
|v(x)|
||v ||
A˜d x ≤ 2 Beispiel: Für A(t) = t
phaben wir K
A= L
A= L
pund ||.||
A= ||.||
p, denn
||u||
p= inf
k > 0 :
ZΩ
|u(x)|
p≤ k
pToni Scharle Orlicz-Räume 10/14
Einbettung
L
B, → L
A⇔ A dominiert B ⇐ : 1 ≥
Z
Ω
B
|u(x )|
||u||
Bd x ≥
ZΩ
A
|u(x)|
k||u||
Bd x
⇒ ||u||
A≤ k||u||
BFür ⇒ betrachten wir eine Folge k
nmit B (nk
n) < A(k
n) und denieren u
n= k
NX
Ωnwobei |Ω
n| = (B (nk
n))
−1ist und es gilt:
Z
Ωn
A (k
n) d x >
Z
Ωn
B (nk
n) d x = 1
⇒
||u
n||
A> 1 ∧ ||u
n||
B= 1 n
⇒ id: L
B, → L
Aist nicht stetig
Der Raum E
AE
A:= {u : Ω →
K| ||u||
∞< ∞, supp u ⊂ B ( 0 , R)}
||.||AEs gilt E
A⊂ K
A: ( ||v ||
∞< ∞, supp v ⊂ B ( 0 , R) , u ∈ E
A, ||u − v ||
A<
12) 1
|| 2 u − 2 v||
A ZΩ
A(| 2 u − 2 v|) d x ≤
ZΩ
A
| 2 u − 2 v |
|| 2 u − 2 v||
Ad x ≤ 1
⇒ ((2u − 2v ) ∈ K
A∧ 2v ∈ K
A) ⇒ u = 1
2 (2u − 2v) + 1
2 (2v) ∈ K
AE
Aist damit ein Untervektorraum von K
A.
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E
Aist sogar der maximale Unterraum von K
A, denn wir denieren:
u
j(x ) =
(
u(x) ,falls |u(x)| ≤ j und |x| ≤ j 0, sonst
und haben, falls u in einem beliebigen Unterraum von K
Aliegt, mit majorisierter Konvergenz für j groÿ genug:
Z
Ω
A
|u
j(x) − u(x)|
ε
≤ 1
Damit konvergiert u
jin Norm gegen u und u liegt auch in E
A.
Falls A also die ∆
2-Bedingung erfüllt, gilt L
A= E
A= K
A.
Ausblick
•
Auf L
Alässt sich durch ||u||
(A)= sup
||v||A˜≤1|
Ruv | eine weitere Norm, die Orlicz-Norm, denieren und wir haben ||u||
A≤ ||u||
(A)≤ 2 ||u||
A.
•
Es gilt (L
A, ||.||
A)
∗= (E
A˜, ||.||
( ˜A))
•
Analog zu den L
p-Räumen können auch für Orlicz-Räume Sobolev-Räume deniert werden.
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