7.2 Differentialgleichungssysteme
7.2.1 Allgemeine Theorie
System von Differentialgleichungen erster Ordnung
u0(t) =f(t, u(t)), u= (u1, . . . , un)t, f :R×Rn→Rn Anfangsbedingung: u(t0) = a
autonomes System: f =f(u)
Transformation eines Differentialgleichungssystems auf Standardform
Differentialgleichung n-ter Ordnung
y(n)(t) =g(t, y(t), . . . , y(n−1)(t)) Elimination h¨oherer Ableitungen via u(t) = (y(t), . . . , y(n−1)(t))
¨aquivalentes System erster Ordnung
u01 = u2 ...
u0n−1 = un
u0n = g(t, u(t))
Satz von Peano
f in einer UmgebungD von (t0, a)∈R×Rn stetig
=⇒ Existenz mindestens einer L¨osung des Anfangswertproblems u0(t) =f(t, u(t)), u(t0) = a in D
Lemma von Gronwall
ϕ stetig,c, L ≥0,
0≤ϕ(t)≤c+L Zt
t0
ϕ(x)dx, t0 ≤t ≤t1
=⇒ ϕ(t)≤cexp(L(t−t0)) insbesondere: ϕ= 0 f¨ur c= 0
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Eindeutigkeit der L¨osung eines Differentialgleichungssystems f(t, u) in einer UmgebungD∈R×Rn von (t0, a) Lipschitz-stetig bzgl.u
=⇒ eindeutige L¨osung des Anfangswertproblems
u0(t) =f(t, u(t)), u(t0) = a in D
Abh¨angigkeit von Anfangsbedingungen f Lipschitz-stetig
u0k =f(t, uk), k = 1,2
=⇒
|v(t)−w(t)| ≤ |v(t0)−w(t0)|exp(L(t−t0)) stetige Abh¨angigkeit von den Anfangswerten
Ableitung nach Anfangsbedingungen
u0 =f(t, u), u(t0) = a partielle Ableitung nach den Anfangsbedingungen (a1, . . . , an)t
Differentialgleichungssystem f¨ur die Jacobi-Matrix
u0a=fu(t, u)ua, ua(t0) = E , mit der Einheitsmatrix E und
ua= ∂u
∂a1
, . . . , ∂u
∂an
Abh¨angigkeit von der rechten Seite f Lipschitz-stetig in D,
u0 =f(t, u), v0 =g(t, v), u(t0) =v(t0)
=⇒
|u(t)−v(t)| ≤ε(t−t0) exp(L(t−t0)), mit ε = max(s,w)∈D|f(s, w)−g(s, w)| und u(t), v(t)∈D
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