ˆ/UL⋅. Die Stromamplitude ist daher ˆˆ/

1

WECHSELSTROM Fortsetzung von W1 …

e) Spannung- und Stromverlauf bei Widerstand R , Kondensator C und Spule L.

Die Spule mit der Selbstinduktivität L:

Im Arbeitsblatt EM4 haben wir gelernt, dass die tatsächliche Spannung U an einer Spule, welche nach dem Ohmschen Gesetz letztlich für die Stromstärke verabtwortlich ist, eine Überlagerung der Spannung U_SQ der Spannungsquelle und der durch die Selbstinduktion entstandenen Gegen- spannung U_ind ist. Es gilt also U =U_SQ+U_ind. Die induzierte Spannung U_ind ergibt sich aus der Änderung Φɺ des magnetischen Flusses. Da die Querschnittsfläche A der Spule aber konstant ist, beruht Φɺ nur auf der Flussdichtenänderung Bɺ. Die Flussdichte B wiederum ist proportional zur Stromstärke I durch die Spule. Daher haben wir letztlich eine Proportionalität zwischen der indu- zierten Spannung U_ind und der Änderung Iɺ der Stromstärke. Der Proportionalitätsfaktor heißt L = Selbstinduktivität. Die Lenzsche Regel bringt ein Minuszeichen. Daher ergibt sich letztlich Uind = − L I⋅ɺ. Die Selbstinduktivität hängt von der Bauform ab. Es gilt L=µ µ_r⋅ ₀⋅n²⋅A l/ . Die Gleichung U =U_SQ+U_ind geht also über in U =U_SQ− L I⋅ɺ_{. Mit U =R I⋅} folgt dann

R I⋅ =USQ− L I⋅ɺ. Für die ideale Spule ist nun aber R=0. Damit haben wir 0=U_SQ− L I⋅ɺ_. Nun wurde gesagt, dass die Spannung U_SQ nicht zwingend von einer Spannungsquelle, sondern auch von einem anderen Bauteil kommen kann. Deshalb wurde U_SQ durch U_L ersetzt, um anzu- deuten, dass U_L die an L angeschlossene Spannung ist. Entsprechend wurde die Stromstärke I als

IL bezeichnet. Damit gilt für die ideale Spule 0=U_L− L I⋅ɺ_L bzw. U_L = L I⋅ɺ_L . Hier darf man nichts verwechseln, denn U_ind =− L I⋅ɺ und U_L = +L I⋅ɺ_L. Nun wird die Wechselspannung

ˆ sin

UL=U ωtan die Spule angeschlossen. Also gilt L I t⋅ɺ_L( )=Uˆsinωt. Gesucht ist der Stromver- lauf ( )I t_L . In Arbeitsbl. EM4 war gezeigt, durch Integration ergibt sich ˆ

( ) cos ( )

L

I t U t

L ω

= −ω ⋅ . - Der Faktor vor der Kosinusfunktion ist Uˆ /ω⋅L. Die Stromamplitude ist daher ˆI =Uˆ /ω⋅L . - Die Minus-Kosinuskurve startet eine Viertel Periode später als die Sinuskurve.

Je größer die Frequenz f, desto größer der induktive Widerstand X_L .

Der Grund: Bei hoher Frequenz muss das Magnetfeld permanent auf- und abgebaut werden.

Beide Vorgänge stellen wegen der Lenzschen Regel eine Behinderung des Stromflusses dar.

Daraus erklärt sich, dass der induktive Widerstand X_L für f → ∞ ebenfalls gegen ∞ strebt.

Weil der Ohmsche Widerstand der idealen Spule R=0 ist, fließt ohne die Gegenspannung der Induktion ein unendlich großer Strom. Das geschieht für f →0 bzw. ω→0.

Daraus erklärt sich, dass der induktive Widerstand X_L für f →0 ebenfalls gegen null strebt.

IL

UL

t Ergebnisse:

1) An der Spule hinkt der Strom der Spannung um eine vier- tel Periode nach.

2) Zu Uˆ gehört die Stromamplitude Iˆ=Uˆ /ω⋅L.

3) Der induktive Widerstand beträgt U Iˆ ˆ/ = X_L =ω⋅L . Die Maßeinheit von X_L ist wiederum Ω (Ohm).

Der induktive Widerstand X_L ist prop. zu ω und zu L.

https://roter-faden-physik.de/ W2 von 5  Copyright Dr. Ortwin Fromm

2

1) Messung der Induktivität L einer Spule.

einstellen. Das Amperemeter wird auf „Wechselstrom“ eingestellt. Man ließt dann den Effek- tivwert I_eff des Stromes ab. Wegen U_eff =Uˆ / 2 und I_eff =Iˆ / 2 , erhält man den indukti- ven Widerstand X_L =U Iˆ ˆ/ =U_eff ⋅ 2 /I_eff ⋅ 2 nicht nur als Quotient der Amplituden, son- dern auch als Quotient der Effektivwerte. Durch Einsetzen der Messergebnisse erhält man also

L eff / eff

X =U I . Die Induktivität L der Spule ergibt sich dann durch L= X_L / ω. Beispiel: Die Spannungsquelle (der Frequenzgenerator) ist auf U_eff =100V und

2 2000 1

f = kHz= s⁻ eingestellt. Am Amperemeter ließt man I_eff =4, 2mA ab.

Dann folgt 1 eff eff

L U ω I

= ⋅ 100₁

1,89 4,7

(2 2 000 ) 0, 0042

V V s

s A A H

π ⁻

= = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

B)Zeigerdarstellung von Wechselspannung und Wechselstrom 1) Problemstellung

Das gelingt am ein einfachsten mit der Zeigerdarstellung der Wechselgrößen.

2) Grundlagen

b) Für eine phasenverschobene Sinuskurve, welche ihren ersten Nulldurchgang bei t₀ hat, muss der Zeiger zum Zeitpunkt t=0 in Richtung des Winkels 360 ₀

T t

ϕ = ^°⋅ zeigen.

L Die Induktivität L einer Spule ermittelt man experimentell durch

Messung des induktiven Widerstandes X_L =ω⋅L.

An einem Frequenzgenerator (Wechselspannungsquelle) lässt sich (1) die Frequenz f und (2) der Effektivwert U_eff der Spannung

Ieff

Wird eine Schaltung durch eine Wechselspannung der Frequenz f angesteuert, so stellen sich innerhalb der Schaltung Spannungen und Ströme ein, die sämt- lichst auch Wechselgrößen der Frequenz f sind.

Doch stimmen im Allg. weder die Amplituden noch die Phasen mit denen der eingespeisten Größe über- ein. Zur Berechnung müssen Summen von Wechsel- größen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher

Amplitude und Phase gebildet werden. Summe von zwei Sinusfkt gleicher Frequenz

t

1( ) U t

2( ) U t

1( ) 2( )

U t +U t U

a) Dreht man einen Nullpunkts- pfeil, auch Zeiger genannt, der Länge ˆy während der Schwingungsdauer T einmal in mathematisch positivem Sinn um 360°, so liefert die Projektion der Kreisbewegung den Graphen einer Sinusfunk- tion mit der Amplitude ˆy.

Deshalb lässt sich die Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger ersetzen. Der Zeiger ist ein zweidimensionaler Vektor.

Um Platz zu sparen schreiben wir die Komponenten neben und nicht untereinander. Die Schreibweise für einen Spannungszeiger ist daher

(

^{x y}

)

U = U U und für einen Stromzeiger ^{I =}

(

^{Ix Iy}

)

^.

x

y y

t

t₀ Zeiger yˆ

ˆ y

Uy

y

x Ux

U ^positiver

Drehsinn

3

c)

3)

Ergebnis:

- Soll ein Zeiger ^P=

(

^{x y}

)

um + 90° (vor)gedreht werden, so muss man y in – y umschrei- ben und die Komponenten anschließend vertauschen.

- Soll ein Zeiger ^P=

(

^{x y}

)

um - 90° (zurück) gedreht werden, so muss man x in – x um- schreiben und die Komponenten anschließend vertauschen.

C)Zeigerdiagrame von Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis.

1) Widerstand R

2) Kondensator mit der Kapazität C.

Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um eine viertel Periode voraus .

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

U1

U2

1 2

U +U

t Den Zeiger der Überlagerungsschwingung erhält man graphisch oder rechnerisch durch Vektor- addition

(

^{U1,x U1,y}

) (

^{+ U2,x U2,y}

) (

^{= U Ux y}

)

so ist die Summe wieder eine Sinusschwingung mit dieser Frequenz.

Überlagern sich zwei Sinusschwingungen gleicher Frequenz, ^y

1 x U

U2 U₁+U₂

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( 3 2 )

P′ − P(2 3)

Drehung des Zeigers ^P=

(

^{x y}

)

um + 90° : ^P=

(

^{x y}

)

^{→P'= −}

(

^{y x}

)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(2 3) P

(3 2 ) P′ −

Drehung des Zeigers ^P=

(

^{x y}

)

um - 90°: ^P=

(

^{x y}

)

^→P'=

(

^{y −x}

)

Legt man die Spannung ( ) ˆsin

U t =U ωt an einen Wider- stand R, so fließt der phasenglei- che Strom I t( )= ⋅Iˆ sinωt. Die Stromamplitude folgt aus dem Ohmschen Gesetz

ˆ ˆ /

I =U R bzw. U^ˆ =R I⋅^ˆ

IC

UC

früher t später

Zeitfunktion I_C( )t eilt U_C( )t um 90° voraus Zeigerdarstellung: ^∡

(

^UC,IC

)

^{= +90°}

Zeitfunktion I_R( )t und U_R( )t in t IR

UR

Zeigerdarstellung:

(

^UR,IR

)

^{= °0}

∡

Phasenverschiebung von ± T / 4 ≙ in der Vektordarstellung einer Drehung um ± 90°

UC

IC

y

x

Strom eilt Spannung um 90° voraus.

UR

IR

y

x

Strom und Spannung sind

„in Phase“.

4

3) Spule mit Selbstinduktivität L

An der Spule hinkt der Strom der Spannung um eine viertel Periode nach .

4) Aufgaben

(1) Gegeben ist jeweils nur ein Zeiger bei R, C bzw. L. Zeichne den fehlenden Zeiger ein.

(2) äopj Lösung:

(1)

Zusammenfassung

Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz

Verallgemeinerter

Widerstand Phasendifferenz ϕ

∆ gemessen von U nach I

Widerstand ˆ ˆ

R R R

U =X ⋅I bzw.

, ,

R eff R R eff

U =X ⋅ I X^R =R ^∡

(

^UR,IR

)

^{= °0}

Kondensator ˆ ˆ

C C C

U = X ⋅I bzw.

, ,

C eff C C eff

U =X ⋅ I

Kapazitiver W. 1 XC

ωC

= ^∡

(

^UC,IC

)

^{= +90°}

Spule ˆ ˆ

L L L

U = X ⋅I bzw.

, ,

L eff L L eff

U =X ⋅ I

Induktiver W.

XL =ωL ^∡

(

^UL,IL

)

^{= −90°}

Zeitfunktion I t_L( ) hinkt U t_L( )um 90° nach Zeigerdarstellung: ^∡

(

^UL,IL

)

^{= −90°}

IL

UL

t

IL

UL

y

x

Strom hinkt Spannung um 90° nach.

UR

y

x

IC

y

x

y

x IL

y

x 60°

UC

UR

y

x

IR UC

IC

y

x

y

x 60°

UC

90°

UL

y

x IL