Dienstag, 29.(2. Hälfte) und 06.06.; Montag, 05.06.; Mittwoch, 07.06.2012

Potenz- und Fourierreihen

Tutorien Höhere Mathematik II

Dienstag, 29.(2. Hälfte) und 06.06.; Montag, 05.06.; Mittwoch, 07.06.2012

1. Bestimmen Sie Konvergenzradius und Konvergenzintervall zu folgenden Potenzreihen.

a)

∞

P

n=1 x

n b)

∞

P

n=1 (x+3)

n

c)

∞

P

n=1

x ⁽ⁿ

⁾ d)

∞

P

n=1 x

n

e)

∞

P

n=1

n! · x ⁿ

2. Entwickeln Sie die folgenden reellen Funktionen um die Stelle x 0 = 0 in Potenzreihen, und geben Sie deren Konvergenzradius an.

a) f 1 (x) = _1+x ¹

b) f 2 (x) = 1 + x ² + e ^2x c) f 3 (x) = _1+x ^1−x

d) f 4 (x) = ln(1 + x) 3. Bestimmen Sie die ersten vier Koeffizienten der Taylorreihen (Entwicklungspunkt x 0 = 0) von

a) f ₁ (x) = tan x b) f ₂ (x) = _cos ^x _x c) f ₃ (x) = √ 1 + x

Hinweis: Es gelten sin x = x − _3! ¹ x ³ + _5! ¹ x ⁵ − _7! ¹ x ⁷ + . . . und cos x = 1 − _2! ¹ x ² + _4! ¹ x ⁴ − _6! ¹ x ⁶ + . . . 4. Geben Sie für folgende Potenzreihen die Summenfunktion sowie das Konvergenzintervall an.

a)

∞

P

n=1 x

n! b)

∞

P

n=0 x

n! c)

∞

P

n=1 x

n! d)

∞

P

n=0

x ⁿ e)

∞

P

n=0 x

2

f)

∞

P

n=1 (x−2)

3

g)

∞

P

n=1

x ²ⁿ h)

∞

P

n=1

(−1) ⁿ x ⁿ i)

∞

P

n=1 n+1

n! x ⁿ

Hinweis: Nutzen Sie bekannte Potenzreihenentwicklungen.

5. Durch

f (x) :=

x + π, für − π ≤ x ≤ 0;

π − x, für 0 < x < π.

und

g(x) := x ² (−π < x ≤ π)

seien zwei 2π-periodische Funktionen f, g : R → R definiert. Entwickeln Sie diese jeweils in eine Fourierreihe.

6. Gegeben ist eine 2π−periodische Funktion f : R → R mit

f (x) :=

π, für − π < x ≤ 0;

x, für 0 < x ≤ π.

Ihre Fourierreihe werde mit f ˆ (x) bezeichnet. Geben Sie f ˆ (3π) und f ˆ (4π) an.

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