Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen ∈ℕ , ∈ℕ , ∈ℕ und ∈ℕ . Falls jener nicht existiert, begründen Sie dies!

KOMPLEXE ZAHLEN – TUTORIUM HÖHERE MATHEMATIK I TUTORIUM 3 Juli 2013 3 Juli 2013

HÖHERE MATHEMATIK I

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen _∈ℕ , _∈ℕ , _∈ℕ und _∈ℕ . Falls jener nicht existiert, begründen Sie dies!

a) = ^{( )} c) = (−1) _{( )}

b) = + 1 d) = 7 ^! _² ^"#

Aufgabe 2:

Konvergieren die folgenden Reihen unter Verwendung der Folge _∈ℕ aus Aufgabe 1?

a)

' ( ) *

+ ,

b)

' ( 2 5*

+ ,

c) '

+

,

Aufgabe 3:

Gegeben seien folgende Reihen 1)

' (1 − /) 4

+ ,

2)

' 2 (32)

+

mit den Parametern /, 2 ∈ ℝ und 2 ≠ 0 . ,3

a) Um welchen Typ Reihe handelt es sich?

b) Für welche Werte / und 2 ist die Reihe konvergent und für welche divergent?

c) Bestimmen Sie den Wert der Reihe für / = 0 und 2 = 1.

Aufgabe 4:

Untersuchen Sie folge Reihen auf Konvergenz und begründen Sie Ihre Aussagen. (Verwenden Sie geeignete Kriterien!)

a)

' 8 ( 3 8*

+ ,

c)

' 3

√)

+ ,

e)

' (1 + 3 )²*

+ ,

g)

'(−1) )

) + 1

+

b) ,

' ( 3) − 2 8) + 3*

+ ,

d)

' )³ ( 3 9*

+ ,

f)

' 4() − 1) 4 ∙ 3

+ ,

h)

'(−1) 1 ln ())

+

,

Aufgabe 5:

Gegeben seien die Matrix A und der Vektor BC mit den Parametern /, 2 ∈ ℝ : D = E 1 −2 3

2 1 1

1 / 2 F , BC = E −4

−2 2 F

a) Für welche Parameter / und 2 besitzt das lineare Gleichungssystem DGC = BC genau eine (unendlich viele oder keine) Lösung?

b) Berechnen Sie die Determinante von A.

c) Berechnen Sie für / = 3 und 2 = 1 die Lösung des linearen Gleichungssystems DGC = BC mit

Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.