Vorbereitungshilfe zum Versuch Galvanometer

(1)

Vorbereitungshilfe zum Versuch Galvanometer

1. Die Schwingungsdifferentialgleichung des Galvanometers lautet:

GI GI

D R

R I G

G D

a G

ges + + =Θ

=Θ +Θ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +Θ

= + +

Θ

ϕ ρ ϕ ϕ ϕ

1

ρ

²

ϕ ϕ

ϕ

2

β ϕ ω

₀²

ϕ

&& & && &

&

&&

Darin bedeuten:

ϕ Drehwinkel

Θ Trägheitsmoment des schwingenden Systems

ρ mechanische Dämpfungskonstante (ohne elektrische Dämpfung) D Rückstellkonstante der Torsionsaufhängung

G Galvanometerkonstante ( = nAB = Gesamte Windungsfläche der Spule · Magnetfeldstärke) Iges Summe von Meßstrom I und von induziertem Strom Iind= −

(

G/R

) ϕ

^Ý mit R=RG +Ra

RG Galvanometer-Widerstand

Ra Widerstand im äußeren Schließungskreis

ϕ

_&&

Θ Trägheitsdrehmoment

ϕ

ρ

_& Dämpfungsdrehmoment (ohne elektrische Dämpfung)

D ϕ Torsionsdrehmoment

G Iges Gesamtes elektromechanisches Drehmoment

2. Der eingeschwungene Fall (d.h.

ϕ

_&=o ,

ϕ

_&&=0

,

Strom I):

I C DI G

= I

ϕ

ˆ= (C_I=StatischeStromempfindlichkeit)

3. Der Einschwingvorgang für den stromlosen Fall (I = 0).

0 2 + ₀² = +

β ϕ ω ϕ

ϕ

_&& _& . Der Ansatz

ϕ

=Ce^λ^t liefert

λ

_{1 ,2}= −

β

±

β

²−

ω

₀²

( ) ( )

( )

1 1 2 2

( )

1 1 2 2

2 1 2

1

0 0

2 1

C C e

C e

C t

C C e

C e C t

t t

λ λ ϕ λ

λ ϕ

ϕ ϕ

λ λ

+

=

⇒ +

=

+

=

⇒ +

=

&

3.1 Rückschwingen aus dem eingeschwungenen Fall mit Strom in die Ruhelage ohne Strom (

ϕ ( )

0 =

ϕ

ˆ),

( )

0 =0

ϕ

_&

)

λ ϕ λ ϕ λ

λ λ

λ

ˆ; ˆ

2 1

1 2 2 1

2

1 = −

−

= − C

C ;

( )

^t

(

1^e ²^t 2^e ¹^t

)

2 1

ˆ _λ _λ

λ λ λ

λ

ϕ ϕ

−

= −

; ( )

^t

(

^e ²^t ^e ¹^t

)

2 1

2

1 ˆ _λ _λ

λ λ

ϕ λ

−

= −

&

(2)

- 2 -

( )

t t t e ^β^t

( )

t

γ

te ^β^t

γ ϕ ω ϕ γ

γ γ ϕ β ϕ

γ β λ γ β λ ω

β γ ω β

−

− −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

−

= +

−

=

−

=

>

ˆ sinh

; cosh

ˆ sinh

;

reell;

;

2 0

2 1

2 0 2 2

0 2

&

Kriechfall

3.1.1

( ) ( )

^t

( )

^t

( )

^t

G gr

a a

G

e t t

e t e

t t

t t und

also t Mit

R D

R G aufgelöst D

R R

G

β ω

β

ϕ ω ϕ ϕ ω

β ϕ ϕ

γ γ γ γ

ρ ρ ω

β

−

− = + =−

+

=

→

− −

= Θ

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + +

= Θ

2 0 0

2 ,

2 0

ˆ

; ˆ 1

ˆ 1

: Formeln -

Kriechfall den

aus folgt 1 cosh sinh 1

, 0

2

:

2 ; 1

;

0 &

Grenzfall

3.1.2

( )

^t

( )

^t

o

e t t

t

i i

β

ω

ω ϕ ω ϕ ω

ω ω ϕ β ϕ

ω β λ ω β λ β

ω ω β ω

−

− −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

−

= +

−

=

−

=

>

ˆ sin

; cos

ˆ sin

;

reell;

;

2 0

2 1

2 2 0 2

2

&

l Schwingfal

3.1.3

3.2 Einschwingen aus der Ruhelage nach einem 'Stoß' (

ϕ ( )

0 =0;

ϕ

_&

( )

0 =

ϕ

_&0 )

( )

^t

(

^e ^t ^e ^t

) ( )

^t

(

^e ^t ^e ^t

)

C

C ¹ ² ₁ ¹ ₂ ²

2 1

0 2

1 0 2

2 1

0

1 ; ; ^λ ^λ ;

λ

^λ

λ

^λ

λ λ ϕ ϕ λ

λ ϕ ϕ λ λ

ϕ λ

λ

ϕ

−

= −

− −

− =

= −

= − &

&

3.2.1 Kriechfall, wie unter 2.1.1

( )

t

γ

te ^β^t

ϕ γ

ϕ

= 1sinh ⁻

&0 ;

( )

t t

γ

t e ^β^t

γ γ β ϕ

ϕ

_⎟⎟ ⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= &₀ cosh sinh

&

Maximal erreichte Amplitude? Dann ist ;

ϕ

_&

( )

t =0

⇒

β γ

t=

γ

tanh ;

0

sinh

ω

γ

t=

γ

( / ) tanh( / )

0 0 max

1 _β _γ _γ _β

ϕ ω

ϕ

= & e⁻ ^arc

3.2.2 Grenzfall, wie unter 2.1.1

( )

t

ϕ

₀te ^β^t

ϕ

₀te ^ω⁰^t

ϕ

=& ⁻ ≡& ⁻ ;

ϕ

&

( )

t =

ϕ

&₀

(

1−

β

t

)

e⁻^β^t≡

ϕ

&₀

(

1−

ω

₀t

)

e⁻^ω⁰^t

( )

0 (

0 0

max = t =

e

ϕ ω

ϕ ϕ

^& _&

, wenn ω

₀t=1

)

3.2.3 Schwingfall, wie unter 2.1.1

( )

t

ω

te ^β^t

ϕ ω

ϕ

= 1sin ⁻

&0 ;

( )

t t

ω

t e ^β^t

ω ω β ϕ

ϕ

⎟ ⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= &₀ cos sin

&

( ^/ ) ^tan⁽ ^/ ⁾

0 0 max

1 _β _ω _ω _β

ϕ ω

ϕ

= & e⁻ ^arc

(3)

- 3 -

4. Der Einschwingvorgang im Stromfall ( I≠0) aus der stromlosen Ruhelage (

ϕ ( )

0 =0;

ϕ

_&

( )

0 =0) Die Differentialgleichung und ihre Lösungen ergeben sich aus dem stromlosen Fall mit der Transformation

ˆ− ₌0

= _I

I

ϕ ϕ

ϕ

4.1 Kriechfall (wie 3.1.1)

( )

t t t e ^β^t

( )

t

γ

te ^β^t

γ ϕ ω ϕ γ

γ γ ϕ β

ϕ

⁻ ⎟⎟ = ⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= ˆ 1 sinh cosh ; ˆ sinh

2

& 0

4.2 Grenzfall (wie 3.1.2)

( )

^t

ϕ

ˆ

(

1

( ω

0^t 1

)

^e ^ω⁰^t

)

;

ϕ ^{( )}

^t

ϕ

ˆ

ω

0²^t^e ^ω⁰^t

ϕ

= − + ⁻ & = ⁻

4.3 Schwingfall (wie 3.1.3)

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= t t e⁻ ^t

t

ω ω

^β

ω ϕ β

ϕ

ˆ 1 sin cos ;

( )

t

ω

te ^β^t

ω ϕ ω

ϕ

= ˆ sin ⁻

2

& 0

5. Einschwingen aus der Ruhelage nach ballistischer Erregung (

ϕ ( )

0 =0,

ϕ

_&

( )

0 =0

)

Stromstoß Q: Strom I(t) während der Zeit 0 bis τ ('Stoßdauer'). Differentialgleichung über die Stoßdauer integriert:

ϕ τ

Ý

( )

⁺²

^{β ϕ τ} ( )

⁺

^ω

0 2

ϕ ( )

t

0

∫

τ ^dt ⁼ ^G_Θ 0^I^(t)^dt

∫

τ ^.

Sei

τ

<< 2

π ω

0

⇒

ϕ τ ( )

≅0 ;

ϕ τ

Ý

( )

≅ G

Θ I(t)dt = G

0 Θ

∫

τ ^Q

5.1 Kriechfall (wie 3.2.1) ⁽ ⁾ Q

G R Q R

e G Q

G arc _G + _a

Θ ≅ Θ ≅

= ⁻

β

ϕ ω

^β ^γ ^γ ^β

2

) / tanh(

/ 0

max für

β

>>

ω

₀

5.2 Grenzfall (wie 3.2.2)

e Q G

0

max

ω

ϕ

=Θ

5.3 Schwingfall (wie 3.2.3)

0 ) / tan(

) / ( 0

max

ω ω

ϕ

G Qe ^β ^ωarc ^ω ^β ^G ^Q

≅Θ

=Θ ⁻ für

β

<<

ω

₀

(W. Jüngst, 3/85)

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Version: Juli 10