Vorbereitungshilfe zum Versuch „Vierpole und Leitungen“

(1)

Vorbereitungshilfe zum Versuch „Vierpole und Leitungen“

Phasengeschwindigkeit:

Lösungen der Wellengleichung

₂

2 2 2 2

v 1

dt u d dx

u

d = ⋅ (Beschränkung auf eine Raumrichtung) haben die Form

u(x,t) = u(x ± v·t ), z.B. 2 ( vt ) ˆ cos ( ) ˆ cos

) ,

( x t u x u kx t

u ω

λ

π _± ₌ _⋅ _±

⋅

= für eine harmonische Welle.

λ ist die Wellenlänge, die Länge jener Strecke, nach der sich zu einer festen Zeit t in Ausbreitungsrichtung x der gleiche Schwingungszustand wiederholt. Die räumliche Periode der Welle. k = 2π /λ wird - nicht ganz einsichtig - als Wellenzahl bezeichnet und ω = 2πv/λ als Kreisfrequenz. Die zeitliche Periode, die Frequenz f = ω/2π gibt die Anzahl zeitlicher Schwingungsperioden pro Einheitszeit an einem festen Ort an.

v = f·λ = ω/k ist die Phasengeschwindigkeit, jene Geschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung, die ein Beobachter haben müßte, um konstante Amplitude (x ± vt = const, konstante Phase) zu beobachten. Die Phasengeschwindigkeit ist je nach Medium unterschiedlich. Für elektromagnetische Wellen im Vakuum ist es die Lichtgeschwindigkeit c. Die Phasengeschwindigkeit kann frequenzabhängig sein. Bei der Ausbreitung im Vakuum ist das nicht der Fall.

Gruppengeschwindigkeit, Dispersion:

Die additive Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung, gleicher Amplitude u $ , jedoch verschiedener Kreisfrequenz (ω und ω ′ = ω + Δ ω ) und verschiedener Phasengeschwindigkeit ( v = ω / k und v ′ = ( ω + Δ ω ) /( k + Δ k ) ) ergibt

( )

{ ( ) }

( ) ( )

. 2 2 cos

2 cos 2

2 ˆ

ˆ cos ) ˆ cos(

) , (

x k t x

k k u t

x k k t u

kx t u

t x u

Δ

±

⋅ Δ Δ +

± Δ

⋅ +

=

Δ +

± Δ +

⋅ +

±

⋅

=

ω ω

ω

ω ω ω

Für geringen Kreisfrequenzunterschied ( Δ ω << ω ) und damit auch geringen Wellenzahlunterschied ( Δk << k ) folgt: u ( ) x , t ≅ 2 u ˆ ⋅ cos ( ω t ± kx ) ⋅ cos ( Δ ω ⋅ t ± Δ k ⋅ x ) . Die Einhüllende dieser Schwebung bewegt sich mit der sogenannten Gruppengeschwindigkeit v

_G

= Δ ω / Δ k . Dieses Ergebnis findet man auch für Superpositionen von mehr als zwei harmonischen Wellen verschiedener Amplituden bei geringen Frequenzunterschieden.

Ein äquivalenter Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit ist

( )

( ) λ λ

λ π

λ ω π

d d d

dk d

G

d

v v /

2 / v / 2

v = = = − ⋅

Er zeigt, daß die Gruppengeschwindigkeit immer dann von der Phasengeschwindigkeit abweicht, wenn die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig ist (bzw. von der Frequenz ), d.h. bei 'Dispersion'.

Werden durch das Ausbreitungsmedium Signale übertragen, z.B. Impulse unterschiedlicher Höhe (Spannung), Länge (Zeitdauer) oder Folge (Zeitpunkte des Auftretens), so können diese als Superposition von harmonischen Wellen sehr unterschiedlicher Frequenz (Fouriersumme) beschrieben werden. Ist die Ausbreitung dispersiv, haben also die Anteile unterschiedlicher Frequenz unterschiedliche Phasenge- schwindigkeiten, so 'zerfließen' die Signale. Sie ändern ihre Form, werden verzerrt.

Beispiele: Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen längs inhomogener Leitungen (z.B. Vierpolkette) ist dispersiv, desgleichen auch die Ausbreitung von Oberflächenwellen auf Flüssigkeiten. Besonders bekannt ist die Dispersion eines Glasprismas für das sichtbare Licht. Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist dagegen dispersionsfrei. Auch die Ausbreitung von Kompressionswellen längs langer, dünner Stäbe und die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen längs homogener, verlustfreier Leitungen (z. B.

ideales Koaxialkabel) ist dispersionsfrei.

(2)

Vierpole, Vierpolkette (speziell Drosselkette):

Ganz allgemein nennt man ein Netzwerk elektrischer Bauelemente mit einem Eingangs- und einem Ausgangsklemmenpaar elektrischer Vierpol. Der hier betrachtete Vierpol sei ein Element einer idealen Drosselkette, also ein π-Glied mit einer Längsinduktivität L (Impedanz Z

L

= iωL) und zwei gleichgroßen Querkapazitäten C/2 (Impedanz jeweils Z

C

= (iωC/2)

^-1

). Die Verlustwiderstände realer Spulen und Kondensatoren bleiben unberücksichtigt. An den Ausgang sei eine Lastimpedanz Z

A

(Arbeitswiderstand, Abschlußwiderstand; nicht notwendigerweise ein ohmscher Widerstand) angeschlossen, und gefragt sei nach dem Zusammenhang zwischen den Ausgangsgrößen u

1

und i

1

und den Eingangsgrößen u

0

und i

0

.

Aus

₀ ⁰ ¹

i

₁

Z i u und Z i

i u

C L L C

+

= +

= (Knotenregel) und u

₀

= Z

_L

i

_L

+ u

₁

(Maschenregel) folgt

1 1

0 1 1

0

1 1

2 1 i

Z u Z Z Z

i Z i Z Z u

u Z

C L C

C L L

C

L

⎟⎟ ⎠ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⋅ +

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

Die Eingangsimpedanz u

0

/i

0

hängt von der Größe der angeschlossenen Lastimpedanz Z

A

= u

1

/i

1

ab. Bei einer speziellen Lastimpedanz, der charakteristischen Impedanz Z

0

des Vierpols, gilt

0 0 1

1

0

i

u i

Z = u = .

Man findet durch Einsetzen in obige Formeln

C LC

Z L 2

mit 1

/

₀

2

0

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ω

ω

ω .

Die charakteristische Impedanz (auch Wellenwiderstand) ist demnach frequenzabhängig. Nur im Bereich ω << ω

0

gilt: Z

₀

= L / C . Das ist beim Experimentieren mit unterschiedlichen Frequenzen zu beachten.

Mit Z

0

kann man für den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen des Vierpols schreiben:

1 2 1

0 0 1 1

0

1 1 i

Z u Z Z i Z i Z Z u

u Z

C L L

L C

L

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

⋅

=

⋅ +

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

Oder aufgelöst nach u

1

, i

1

und in Matrixschreibweise:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ ⋅

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+

−

= +

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅

₀ ₀

0 0

0 1

1 /

/

/ 1

/

i Z

u Z

Z Z Z

Z i Z

u

C L L

L C

L

In den Vektoren wurden die Ströme mit dem Faktor Z

0

versehen, weil dann die Vektoren dimensionsgleiche Größen enthalten, die resultierende Übertragungsmatrix symmetrisch ist, die Determinante den Wert 1 hat und sich die Substitution Z

_L

/ Z

_C

+ 1 = cosh γ ⁼ ( ^e

^γ

⁺ ^e

⁻^γ

) ^/ ² ^und ^Z

L

/ Z = sinh γ = ( e

^γ

− e

⁻^γ

) ^{/ 2}

anbietet. Das Argument γ ist eine komplexe Größe γ = α + i β . Die Bildung einer Matrixpotenz, für die es im allgemeinen Fall keine geschlossene Formel gibt, die aber im nächsten Schritt erforderlich ist, wird damit sehr einfach. Bei der Frequenz ω = ω

₀

= 2 / LC (später 'Grenzfrequenz') ergibt sich die Über- tragungsmatrix ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− 1 0

0 1 .

Die Ausgangsgrößen weisen also bei ω = ω

₀

gegenüber den Eingangsgrößen die Phasenverschiebung π auf.

(3)

Eine Vierpolkette - in unserem Fall eine ideale Drosselkette - entsteht, wenn mehrere gleiche Vierpole hintereinandergeschaltet werden:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ ⋅

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ ⋅

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅

₀ ₀

0 0

0

sinh cosh

cosh sinh

sinh cosh

i Z

u n

n

n n

i Z

u i

Z

u

ⁿ

n n

γ γ

Als Spannungsübertragung ergibt sich γ n γ

u Z i u n

u

_n

sinh cosh

0 0 0 0

⋅

−

= .

Mit der speziellen Lastimpedanz

₀

0

Z

i u i Z u

n n

A

= = = folgt:

β α

γ

ⁿ ⁿ ⁱⁿ

n

n n e e e

u

₋ ₋ ₋_⋅

⋅

=

−

= cosh sinh

0

.

Liegt am Eingang eine sinusförmige Spannung, ^u

₀

( ) ^t = ^u ˆ

₀

⋅ ^e

ⁱ^ω^t

, so ergibt sich u

n

( ) t = u ˆ

₀

⋅ e

ⁱ⁽^ω^t⁻ⁿ^β⁾

⋅ e

⁻ⁿ^α

. Demnach ist nα die Dämpfungskonstante und nß die Phasenkonstante der Vierpolkette.

Die Übertragungseigenschaften der Drosselkette:

Aus der Substition cosh = + 1

C L

Z

γ Z folgt

0 2

2

0

sinh 2

ω ω ω

ω

γ ₌ _⋅

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

= i

Z Z

C

L

.

Andererseits gilt

sin 2 cosh 2 cos 2

sinh 2 sinh 2

sinh γ 2 α β ₌ α _⋅ β ₊ _⋅ α _⋅ β

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ + i i

. Also sind die beiden Gleichungen 0

cos 2 sinh α 2 ⋅ β =

und

2

0

2 sin

cosh ω

ω β α _⋅ ₌

simultan zu erfüllen.

Für ω <ω

0

ist die Lösung α = 0 und

0

arcsin

2 ω

β = ⋅ ω ,

für ω > ω

0

ist die Lösung β π ω

α = ⋅ h ω und =

0

arccos

2 _.

Das bedeutet, daß die Drosselkette die Eigenschaft eines Tiefpasses hat. Die ideale Drosselkette (deren Kondensatoren und Spulen verlustfrei sind) ist für Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz ω

0

verlustfrei, e

^-nα

=1. Oberhalb der Grenzfrequenz ω

0

zeigt sie eine mit der Frequenz steil ansteigende Dämpfung.

Beispiel: n = 21; ω/ω

0

= 1,01; e

^-nα

= 2,6·10-3 .

Die Vierpolkette kann man als eine sehr inhomogene Leitung auffassen. Hat die Kette aus n Gliedern die

Länge l und schreibt man l l

l t k

t n n

t − β = ω − β ⋅ = ω −

ω , so folgt als Phasengeschwindigkeit

β ω ω

n k

= l

=

v .

(4)

Im Durchlaßbereich (ω < ω

0

) hängt die Phasengeschwindigkeit von der Frequenz ab:

0 0 0

arcsin ) 2

( v

ω ω ω

ω ω

β

ω = ω = ⋅ n n

l

l , ( )

n 0 2

v ω

⁰

l

= , ( )

π n ω

₀

ω

⁰

^l

v =

Wegen der Frequenzabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit stimmen Gruppen- und Phasengeschwin- digkeit - außer bei kleinsten Frequenzen - nicht überein. Die Drosselkette ist ein 'dispersives Medium'. Für die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich:

( ) ( ) (

0

)

¹

1 1

G

) / ( arcsin )

/ 2 / (

v

− −

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ω

ω ω ω

β ω

ω ω

d n d d

n d d

dk dk

d l l

( )

²

0 0

G

1 v 2 ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⋅

= ω

ω ω ω

n

l , ( ) ^, ^v ⁽ ⁾ ⁰

0 2

v

_G

= ω

⁰ _G

ω

₀

= n

l _.

Da die Länge l der sehr inhomogenen Leitung, Vierpolkette, von der Anordnung der diskreten Bauelemente und der recht willkürlichen Länge der Verbindungsdrähte abhängt, mag es zweifelhaft sein, ob Phasenge- schwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit einer solchen Kette relevante Größen sind. Zweifellos aber ist das Verhältnis von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, das die Länge l nicht enthält, eine relevante Größe.

0 2

0 0 G

arcsin 1

/ )

( v

) ( v

ω ω ω

ω ω ω ω

ω

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= .

Die reale Drosselkette:

Die unvermeidlichen Verluste der realen Drosselkette können pro π-Glied durch einen Widerstand R in Reihe mit der Induktivität L und zwei Leitwerte G/2, jeweils parallel zu den Kapazitäten C/2, in den Ansätzen berücksichtigt werden. Die resultierenden Formeln werden hier nicht angegeben. Die Verluste bei den im Praktikum verwendeten realen Drosselketten sind nicht sonderlich groß, und die Formeln für die ideale Drosselkette sind gute Näherungen.

Die homogene Leitung:

Bei einer üblichen homogenen Leitung sind Induktivität und Kapazität homogen über die Leitungslänge verteilt. Man gibt die Induktivität L' pro Längeneinheit und die Kapazität C' pro Längeneinheit an.

Beim Koaxialkabel gilt:

1 0

0

ln ; 2 ln

2

−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

′ =

⋅

′ =

i a i

a

r C r

r

L r πεε

π μ

μ mit dem Innenradius ri und dem

Außenradius ra. Wenn man L = ′ L ⋅ l / n und C = ′ C ⋅ l / n in ω

₀

im Ausdruck für die Phasengeschwin- digkeit der Drosselkette einsetzt, so folgt

n C n L

arcsin 2 2

) (

v ′ ′

⋅

= l

l ω

ω ω .

Beim Grenzübergang zur homogenen Leitung (n → ∞ ) ergibt sich

ω εμ ^c

C

L =

′

= 1 ′ ) (

v . Demnach ist die

verlustfreie homogene Leitung dispersionsfrei.

Es gibt aber keine ganz verlustfreie Leitung. Die Leiter haben ohmschen Widerstand, das Dielektrikum

isoliert nicht perfekt und bewirkt Umpolarisierungsverluste (dielektrische Verluste). Bei der homogenen

Leitung werden diese Verluste durch einen auf die Länge bezogenen Widerstand R' in Serie mit L' und durch

einen auf die Länge bezogenen Leitwert G' parallel zu C' berücksichtigt. Für nicht zu große Dämpfung gilt

(5)

dann: ^α ^≅ ( ^R ^′ ^C ^′ ⁻ ^G ^′ ^L ^′ ) ^⋅ ^v ^/ ² für die Dämpfungskonstante,

/

2

v 1

ω G R C

L ′ ′ − ′ ′

≅ für die

Phasengeschwindigkeit, v

_G

≅ 1

′

L C ′ ⋅ v für die Gruppengeschwindigkeit und

v ) /

0

( α ω

ω ω

i L i Z R

+ + ′

≅ ′ für die charakteristische Impedanz.

Die verlustbehaftete homogene Leitung ist dispersiv, d.h. Signale werden nicht völlig unverzerrt übertragen.

Reflexionen:

Im Ausdruck für die Spannungsübertragung der Drosselkette tritt die Summe ωt - nβ auf, nicht aber ωt + nβ.

Es gibt nur eine hinlaufende (vom Kettenanfang zum Kettenende) aber keine rücklaufende Welle. Das liegt daran, daß bei der Herleitung als Abschlußwiderstand die charakteristische Impedanz der Kette gewählt wurde (Z

A

= Z

0

, 'Anpassungsfall').

Im allgemeinen Fall treten am Kettenende (am Ende jeder Übertragungsleitung) Reflexionen auf. Dort ist das Amplitudenverhältnis von reflektierter zu ankommender Welle der sogenannte Reflexionsfaktor

0 0

Z Z

A A

+

= −

ρ _.

Vollständige Reflexion erfolgt demnach mit Vorzeichenumkehr (ρ = -1) im Kurzschlußfall (Z

A

= 0) und ohne Vorzeichenumkehr (ρ = 1) bei offenem Kettenende (Z

A

= ∞). Dazwischen gibt es je nach Wahl von Z

A

alle Fälle mit -1 < ρ < 1 .

Reflexionen bei der Aufnahme der Durchlaßkurve:

Wird bei der Aufnahme der Durchlaßkurve (|u

a

/u

e

| = |u

n

/u

0

| über ω aufgetragen) einer Drosselkette der Lastwiderstand konstant gelassen, z.B. Z

A

= Z

0

(0), und der eingangsseitige Abschluß der Kette mög- licherweise gar nicht beachtet, so treten wegen der Frequenzabhängigkeit der charakteristischen Impedanz Vielfachreflexionen zwischen Kettenanfang und Kettenende auf. Je nach relativer Phasenlage überlagern sich die Wellen am Kettenende mehr oder weniger destruktiv. Das führt zu einer 'welligen' Durchlaßkurve anstelle des bei Reflexionsfreiheit im ganzen Durchlaßbereich konstant (|u

a

/u

e

| = 1) erwarteten Verlaufs. Für eingangs- und ausgangsseitigen Abschluß der verlustfreien Drosselkette mit jeweils Z

0

(0) wurde von Ch.

Weddigen die Superposition der reflektierten Wellen am Kettenende berechnet. Das Ergebnis für eine 6-

gliedrige Kette ist im folgenden Diagramm ( |un/u0| über ω/ω 0 ) dargestellt:

(6)

Die experimentell ermittelte Durchlaßkurve mit Z

A

=Z

0

(0) wird etwas anders aussehen, weil dabei eingangs- seitig wahrscheinlich der Generatorinnenwiderstand (≠ Z

0

(0)) als Abschlußwiderstand wirkt und weil bei der realen Kette die Verlustwiderstände zunehmende Abschwächung der vielfach reflektierten Wellen bewirken und auch die Phasenlagen modifizieren.

Drosselketten-Beispiel:

l / n = 2,0 cm ; n = 6 ; L = 96 μ H ; C = 2,2 nF;

G = 8,5⋅ 10

⁻¹³

S ; R = 3,9 Ω (ohne Wechselstromverluste)

⇒ ω

₀

= 4,35 ⋅ 10

⁶

s

⁻¹

; f

₀

= 693 kHz

Z

₀

= 209 Ω ; Z

₀

(0,5 ω

₀

) = 240Ω ; Z

₀

(0, 95 ω

₀

) = 668Ω

v(0) = v

_G

(0) = 43520 ms

⁻¹

; v( ω

₀

) = 27705 ms

⁻¹

v

_G

( 0,5 ω

₀

) ⁼ ^{1,103 ;} ^v

v

_G

( 0, 95 ω

₀

) ⁼ ^2,428

Diagramme:

Folgende Frequenz-Abhängigkeiten von Eigenschaften einer Drosselkette sind - unabhängig von der speziellen Dimensionierung - im obigen Diagramm über ω/ω

0

dargestellt:

Kurve Z:

2 1 2

0 0

0

( ) / ( 0 ) 1

−

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ω

ω Z ω

Z Kurve v:

0 0

arcsin / ) 0 ( v / ) (

v ω

ω ω

ω = ω

Kurve vG:

2 1 2

0 G

G

( ) / v ( 0 ) 1

v ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ω

ω ω Kurve β:

0

arcsin 2

)

( ω

ω ω

β = ⋅

(7)

Das obige Diagramm stellt - unabhängig von der speziellen Dimensionierung - das Dispersionsdiagramm einer Drosselkette dar: ω/ω

Vorbereitungshilfe zum Versuch „Vierpole und Leitungen“