Der Tr¨ agheitstensor J

Der Tr¨ agheitstensor J

Stellen wir uns einen Kreisel vor, der um eine beliebige Achse dreht. Gilt die Beziehung L~ = J~ω in jedem Bezugssystem?

Dazu betrachten wir nochmals die Bewegung eines starren K¨orpers. Er l¨asst sich ausdr¨ucken als ¨Uberlagerung einer Translationsbewegung mit einer Rotation, also

~vi = ~vS + ω~ × ~ri

f¨ur jeden gedachten Massenpunkt im K¨orper. Nun muss ja die kinetische Energie Ekin = P

i 1

2m~v² sein, also E_kin = X

i

1

2m_i³

~v_S² + 2~v_S · (~ω × ~r_i) + (~ω × ~r_i)²´ .

Nun sind ~v_S nd ω~ f¨ur alle Punkte im K¨orper gleich. Also lassen sich ~v_S und ~ω vor das Summenzeichen ziehen. Dazu nutzen wir die Eigenschaft des Spatproduktes aus (~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~a)), womit der zweite Term umgeformt wird in

X

i

mi~vS · (~ω × ~ri) = X

i

mi~ri · (~ω × ~vS) = (~ω × ~vS) · X

i

mi~ri.

Weil aber nach Definition des Schwerpunkts P

i mi~ri = 0, verschwindet dieses Glied. Damit bleibt nur noch

E_kin = (P

i mi)

2 ~v_S² + 1 2

X

i

m_i(~ω × ~r_i)² .

Nun verwenden wir die Vektoridentit¨at

³A~ × B~´

· ³

A~ × B~´

= A~²B~² − ³

A~ · B~´²

um den zweiten Term umzuschreiben E_kin = (P

imi)

2 ~v_S² + 1 2

X

i

m_i ³

ω²r_i² − (~ω ·~r_i)²´ .

Dies ist nat¨urlich das bekannte Resultat, dass sich die kinetische Energie als Summe aus translatorischer und rotatorischer Energie schreiben l¨asst.

Wir dr¨ucken dieses Resultat f¨ur die rotatorische Energie nun noch komplizierter aus, in sog. Tensorschreibweise, indem wir die Vektoren ~r und ~ω in Komponenten rj und ωj ausdr¨ucken (dabei unterdr¨ucken wir, um die entstehenden Ausdr¨ucke

zu vereinfachen, den Index i von ~r_i)

Erot = 1 2

X

i

mi

¡ω_j²r_l² − ωjrjωkrk

¢ ,

= 1 2

X

i

mi

¡ωjωkδjkr_l² − ωjωkrjrk

¢,

= 1

2ωjωk

X

i

mi

¡r²_lδjk − rjrk

¢,

wo δjk das sog. Kronecker-Delta ist und wir die sog. Einstein-Konvention vor- ausgesetzt haben, laut der ¨uber doppelt vorkommende Indizes summiert wird, also

~a ·~b = aibi .

= a1b1 + a2b2 + a3b3.

Wir definieren nun als Tr¨agheitstensor Jjk den Ausdruck J_jk .

= X

i

m_i¡

r²_l δ_jk − r_jr_k¢ ,

womit die kinetische Energie des starren K¨orpers in einem beliebigen Koordina- tensystem lautet

E_kin = (P

i mi)

2 ~v_S² + 1

2Jjkωjωk.

Aus seiner Definition sieht man leicht, dass er symmetrisch ist Jjk = Jkj.

Der Tr¨ agheitstensor J

Die fr¨uher hergeleitete Vektorgleichung L~ = J~ω z. B. lautet nun in Komponen- tenschreibweise

Lx = Jxxωx + Jxyωy + Jxzωz, Ly = Jyxωx + Jyyωy + Jyzωz, Lz = Jzxωx + Jzyωy + Jzzωz.

Die Komponenten Jjk des Tr¨agheitstensors sind gegeben durch:

J_xx = Z

dm(r² − x²); J_yy = Z

dm(r² − y²); J_zz = Z

dm(r² − z²);

J_xy = J_yx = − Z

dmxy; J_yz = J_zy = − Z

dmyz; J_xz = J_zx = − Z

dmxz.

Damit lautet der Tr¨agheitstensor ausgeschrieben

Jjk =





R dm(r² − x²) −R

dmxy − R

dmxz

−R

dmxy R

dm(r² − y²) −R

dmyz

−R

dmxz −R

dmyz R

dm(r² − z²)



 .

Die diagonalen Elemente ergeben sich aus der ¨Uberlegung, dass das Tr¨agheits- moment durch eine Rotation um die entsprechende Achse gegeben ist, Jxx = R dm(y² + z²) = R

dm(r² − x²). Die hier gegebene Form ist abh¨angig vom gew¨ahlten Bezugssystem (wo ist z. B. die x-Achse?), l¨asst sich aber in andere Bezugssysteme umrechnen.

Warum so kompliziert?

Wir betrachten nun die Rotationsenergie eines um eine beliebige Achse drehenden K¨orpers. F¨ur ein einzelnes infinitesimales Massenelement ∆mi gilt:

1

2∆miv_i² = 1

2∆mi(~ω × r~i) · (~ω × r~i)

= 1

2∆m_ih

~

ω²~r_i² − (~ω · r~_i)²i ,

wo wir die Vektoridentit¨at

³A~ × B~´

· ³

A~ × B~´

= A~²B~² − ³

A~ · B~´2

verwendet haben. Um die gesamte Rotationsenergie des K¨orpers zu finden inte- grieren wir nach dm.

Erot = ω² 2

Z

dmr² − 1 2

Z

dm (~ω · ~r)²

= ω_x² + ω_y² + ω_z² 2

Z

dm¡

x² + y² + z²¢

−1 2

Z

dm(ω_xx + ω_yy + ω_zy)²

= 1 2

¡ω_x²Jxx + ω_y²Jyy + ω_z²Jzz

¢

+ω_xω_yJ_xy + ω_xω_zJ_xz + ω_yω_zJ_yz.

Dieser komplizierte Ausdruck kann einfacher in Matrixschreibweise geschrieben

werden:

Erot = 1

2~ω^TJ~ω, was folgendes bedeutet

Erot = 1

2 (ωx, ωy, ωz)





J_xx J_xy J_xz Jyx Jyy Jyz

Jzx Jzy Jzz







 ω_x ωy

ωz



.

Alle Elemente des Tr¨agheitstensors tragen also zur Rotationsenergie bei, wenn der K¨orper um eine beliebige Achse rotiert!

Der Tr¨agheitstensor ist symmetrisch und daher diagonalisierbar. Bildlich kann man sich dies so vorstellen: Wir berechnen f¨ur eine Rotation um eine beliebige Achse ~ω durch einen Punkt P das Tr¨agheitsmoment J. Danach zeichnen wir auf der Achse einen Punkt im Abstand k/√

J =. Nun variieren wir die Achse und

wiederholen das Verfahren f¨ur alle m¨oglichen Achsen. Auf diese Weise bilden wir eine Fl¨ache entlang der R²J = k² = const. Diese Fl¨ache bildet ein Ellipsoid, das sog. Tr¨agheitsellipsoid.

Die l¨angste Hauptachse zeigt entlang der Achse mit dem kleinsten Tr¨agheits- moment. Die Hauptachsen des Tr¨agheitsellipsoids heißen Haupttr¨agheitsachsen und zeichnen genau das Koordinatensystem aus, in dem der Tr¨agheitstensor dia- gonal wird. Nach Konvention werden sie der Gr¨oße nach sortiert, Ja ≤ Jb ≤ Jc. K¨orper drehen sich stabil immer nur um die Achse mit dem gr¨oßten oder dem kleinsten Tr¨agheitsmoment.

Kreisel

Kreiselart Haupttr¨agheitsmomente asymmetrisch Ja 6= Jb 6= Jc

symmetrisch







Ja = Jb 6= Jc oder Ja 6= Jb = Jc oder

J_a = J_c 6= J_b Kugel- J_a = J_b = J_c

Kreiselbewegungen

Im System der Haupttr¨agheitsachsen lautet der Ausdruck f¨ur die kinetische Energie und den Drehimpuls

L² = L²_a + L²_b + L²_c = const.

E_rot = 1 2

¡ω_a²J_a + ω_b²J_b + ω_c²J_c¢

= L²_a

2J_a + L²_b

2J_b + L²_c 2J_c,

eine Gleichung f¨ur eine Kugel mit Radius L² und ein Ellipsoid mit Hauptachsen

√2Ja, √

2Jb und √

2Jb. Bei jeder Bewegung muss also der Drehimpulsvektor auf der Schnittmenge des Kreises mit dem Ellipsoid liegen.

Kreiselbewegungen II

Nutation

Kr¨aftefreier (“drehmomentfreier”) symmetrischer Kreisel (Bsp. Fahrradkreisel) M~ ≡ ~0 =⇒ L~ = const.

Allgemeinste Bewegung gegeben durch drei Achsen:

• raumfeste Drehimpulsachse L~

• momentane Rotationsachse ~ω (¨andert sich laufend!)

• Figurenachse

prolater Kreisel oblater Kreisel

Gangpol- kegel (k¨orper- fest) Rastpol-

kegel

(raumfest) Gangpol-

kegel (k¨orper- fest) Rastpol-

kegel

(raumfest)

L~

~ ω

Figuren- achse L~

~ ω

Figuren- achse

Pr¨ azession

Greift an einem Kreisel ein Drehmoment an, so ist er nicht mehr kr¨aftefrei (drehmomentfrei) und der Drehimpuls ist nicht mehr eine erhaltene Gr¨oße:

dL~

dt = M .~

Dieses Drehmoment f¨uhrt zum Auftreten der Pr¨azession.

kr¨aftefreier Kreisel Nutation angreifendes Drehmoment Pr¨azession

F~ = m~g

~r L~

M~ = ~r × F~ = ^d_d^L~_t

L~

M~ dt = dL~

L~⁰

Das w¨ahrend einer kurzen Zeit angreifende Drehmoment M~ bewirkt eine kleine

Anderung des Drehimpulses¨ dL~ k M~

L~⁰ = L~ + M~ dt z

Die Pr¨azession f¨uhrt zu einer Drehung um die Achse z mit der Pr¨azessionsgeschwindigkeit ωP = |^d_dt^L~| |_L~¹| = ^{|M~ |}

|L|~

Pr¨ azession II

Versucht man den Radkreisel entlang seiner Pr¨azessionsbewegung zu beschleu- nigen, so erf¨ahrt er ein Drehmoment, welches nach oben zeigt. Das Rad muss sich also aufrichten. Versucht man den Kreisel entlang der Pr¨azessionsbewegung abzubremsen, so sinkt er. Dies erkl¨art, warum sich Spielkreisel aufrichten.

L~

F~ = m~g ungest¨ort

L~

F~ = m~g

nach hinten beschleunigt F~₂

M~ = ~r × F~₂

~r

Aufrichten eines Kinderkreisels

Die Reibungskraft im Punkt B f¨uhrt zu einer Beschleunigung in Richtung der Pr¨azessionsbewegung. Der Kreisel richtet sich auf.

B L~

Ohne etwas Reibung kein Aufrichten, bei zu viel Reibung verlangsamt sich der Kreisel aber zu schnell.

Der Kreiselkompass

Der Kreiselkompass soll immer die Nordrichtung angeben. Dazu kann die Erdanziehung ausgenutzt werden, die immer zum Erdmittelpunkt zeigt. Patent:

Ansch¨utz Kiel.

A A

~ B FG

Start Reise

W O

Die Erdanziehung F~_G zeigt immer

zum Erdmittelpunkt. Dadurch erf¨ahrt der Kreisel ein Drehmoment, welches die Kreisel- richtung um genau den Winkel verdreht, der notwendig ist, um den Kompass wieder nach Norden zeigen zu lassen.

Der Kreiselkompass von Ansch¨ utz

Auf Schiffen ist die Halterung/Lagerung ein Problem. Dieses wurde hier in Kiel durch Ansch¨utz gel¨ost.

Der Kreiselkompass von Ansch¨ utz II

Auch ber¨uhmte Leute waren mit von der Partie. . . A. Einstein war am Patent beteiligt und besuchte deswegen mehrmals Ansch¨utz in Kiel.

Pr¨ azession der Erdachse

Erdrotation −→ Zentrifugalbeschleunigung ~a = ω²Rcosφ ≈ 3.4 cosφ cm/s².

~a

~a_r

~a_t

F~₁

F~₂ R

φ

Die Tangentialkomponente f¨uhrt zur Ausbildung von “W¨ulsten” entlang des Aquators. Diese werden verschieden stark von der Sonne angezogen, was einem¨ Drehmoment auf die Erde gleichkommt. Folge: der Drehimpuls der Erde bleibt nicht konstant. Die Erdachse pr¨azessiert einmal in ca. 26’000 Jahren.

Der Unterschied in der Anziehung verschwindet im Fr¨uhling und im Herbst und ist auch im Sommer und Winter nicht gleich stark. Diese Unterschiede f¨uhren, zusammen mit dem Einfluss des Mondes, zu kleineren Schwankungen des Drehimpulses, welche in der Astronomie “Nutation” genannt werden, auch wenn es sich streng genommen nicht um eine Nutation handelt.

Rotierende Bezugssysteme: Die Corioliskraft

in der S¨udhalbkugel wird nach rechts abgelenkt;

In der Nordhalbkugel wird

nach links abgelenkt.

Antizyklonen.

Ursprung von Zyklonen und Abnutzung von Bahngeleisen.

Corioliskraft

Corioliskraft II

B B

~v

A

Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer rotierenden Scheibe von A aus mit der Geschwindigkeit ~v

nach B hin. Infolge der Rotation erreicht er aber nach einer Zeit t den Punkt B⁰. F¨ur mitrotierende

Beobachter scheint der Massenpunkt also einer Kraft ausgesetzt, die w¨ahrend der Zeit t gewirkt hat.

AB = vt, ferner BAB⁰ = ωt

Mit s = ¹₂avt² ist also BB⁰ = ωvt² = ¹₂avt², ωt

BAB⁰ = BB⁰/AB also BB⁰ = ωvt² also av = 2ωv.

Bewegungen in rotierenden Bezugssystemen

Betrachte zwei Bezugssysteme K und K⁰, deren Ursprung zusammenf¨allt, K⁰ aber gegen K rotiert, also kein Inertialsystem sei. Wie wir bereits gesehen haben, l¨asst sich jede Bewegung eines starren K¨orpers, also insbesondere eines als starr vorausgesetzten Bezugssystems, als ¨Uberlagerung einer Translation und einer Rotation darstellen. Also lautet der Zusammenhang zwischen zwei Geschwindigkeiten ~v und ~v⁰ gemessen in K bzw. K⁰

~v = ~v⁰ + (~ω × ~r), (1) wobei ~v die Geschwindigkeit ist, die in K⁰ gemessen wird, wenn man die Rotation nicht ber¨ucksichtigt. Die Beschleunigung ~a erhalten wir durch Ableitung nach der

Zeit

~a = d~v

dt = d~v⁰ dt +

µ

~

ω × d~r dt

¶ ,

weil ja ~ω = const. Wir bestimmen nun d~v⁰/dt im Koordinatensystem K, aber in Koordinaten von K⁰ ausgedr¨uckt. Dabei muss ber¨ucksichtigt werden, dass sich nicht nur die Geschwindigkeit ¨andert, sondern auch die das Bezugssystem aufspannenden Einheitsvektoren ~eˆ⁰_x,~eˆ⁰_y,~eˆ⁰_z. Also

d~v⁰ dt =

µ

~eˆ⁰_xdv_x⁰

dt +~eˆ⁰_ydv_y⁰

dt +~eˆ⁰_zdv_z⁰ dt

¶ +



 d~eˆ⁰_x

dt v_x⁰ + d~eˆ⁰_y

dt v_y⁰ + d~eˆ⁰_z dt v_z⁰



 = ~a⁰+(ω × ~v⁰).

Einsetzen liefert

~a = d~v

dt = ~a⁰ + (~ω × ~v⁰) + (~ω ×~v).

Nun setzen wir den allgemeinen Ausdruck f¨ur die Geschwindigkeit ~v ein, Glg. 1,

~a = ~a⁰ + 2 (~ω × ~v⁰) + ~ω × (~ω × ~r) .

Diesen Ausdruck k¨onnen wir nun endlich aufl¨osen nach der Beschleunigung ~a⁰, welche im rotierenden Bezugssystem K⁰ gemessen wird

~a⁰ = ~a + 2 (~v⁰ × ~ω) + ~ω × (~r × ~ω)

= ~a +~a_C +~a_Z

Coriolisbeschleunigung ~aC = 2 (~v⁰ × ~ω) Zentrifugalbeschleunigung ~aZ = ~ω × (~r × ~ω)

Im beschleunigten Bezugssystem wirken zwei Scheinkr¨afte, die Corioliskraft und die Zentrifugalkraft!

Nachweis der Erdrotation - Das Foucault’sche Pendel

R

~ ω_⊥

~

ω_k ~ω

~ ω

Der Erdboden im Punkt P rotiert mit ~ω_⊥ = ω sinφ

um eine Achse senkrecht zum Erdboden und mit ~ω_k = ω cos φ um eine Achse parallel zu ω~_k.

In Kiel (φ ≈ 54^◦) dreht sich die Erde mit ca. 12^◦ unter einem Foucault’schen Pendel weg.

P

Die Rotation der Erde macht sich in einem Punkt P be- merkbar als eine ¨Uberlagerung einer Rotation der Ebene um ~ω_⊥ und eine weitere Rotation um ~ω_k.

φ

Beispiele

• Eisenbahn: Auf der Nordhalbkugel nutzen sich die rechte Schiene und die rechten R¨ader schneller ab.

• Zyklone und Antizyklone auf den beiden Hemisph¨aren drehen sich im gegenl¨aufigen Sinne

• Passatwinde

• Flussl¨aufe auf der Nordhalbkugel sollen rechts h¨ohere Ufer aufweisen als links.

Umgekehrt auf der S¨udhalbkugel.

• Der Wirbel in der Badewanne wird allerdings durch andere Effekte wesentlich st¨arker beeinflusst, weshalb hier die Voraussage nicht erf¨ullt wird.