Umdrucke Baustatik II - 2. Teil -
Ausgabe SS 2005 Stand 4.3.2005
FB02 Studiengang Bauingenieurwesen - Stahlbau und Gestaltungstechnik -
Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg
zu Kap. 6.5:
Symmetrieeigenschaften ebener Stabwerke,
deren symmetrische Belastung in der Tragwerksebene liegt
S : symmetrisch A : antimetrisch
Verlauf Stäbe in der SA
Auflagerkräfte S idR. ≠ 0
N S idR. ≠ 0
Q A = 0
M S = 0
Biegelinie S = 0
8. Drehwinkelverfahren als Spezialfall des allg. Weggrößenverf.
8.1 Prinzip
Grundlage : Kirchhoffscher Eindeutigkeitssatz
"Zu bestimmten Kraftgrößen eines Tragwerks gehören eindeutige Verschiebungsgrößen und umgekehrt zu bestimmten Verschiebungsgrößen eindeutige Kraftgrößen."
d.h. es gibt zu jeder Belastung nur eine einzige mögliche Verformung !
Kraftgrößenverfahren : Kraftgrößen als Unbekannte eingeführt und mit Hilfe von Formänderungsbedingungen berechnen.
Weggrößenverfahren : Verschiebungsgrößen als Unbekannte einführen und mit Hilfe von Gleichgewichtsbetrachtungen berechnen.
Allg. Weggrößenverfahren : Verformungen aus Momenten, Längs- und Querkräften werden berücksichtigt.
Werden Verformungen inf. Längs- und Querkräften weggelassen:
Drehwinkelverfahren (DWV). Nur sog. Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel werden als Unbekannte eingeführt. --> diese Vereinfachung gilt ab sofort
Welches Verfahren ist zweckmäßigerweise anzuwenden ? Zahl der Unbekannten Kraftgrößen n beim KGV bestimmen Zahl der unbekannten Winkel m beim DWV bestimmen.
n < m => KGV m < n => DWV
Falls Längskraft-, Querkraft-, oder Torsionsverformung eine Rolle spielt, ist das DWV ungeeignet.
Beispiele : a)
b)
Vorzeichenregel :
o Knotendrehwinkel: im Uhrzeigersinn positiv.
o Stabdrehwinkel: gegen Uhrzeigersinn positiv.
o Momenten:
am Stab: im Uhrzeigersinn pos.
am Knoten: im Gegenuhrzeigersinn pos.
8.2 Unterscheidung unverschieblicher und unverschieblicher Systeme
Verschiebliche Tw sind Tw, bei denen sich die Knoten nicht nur verdrehen, sondern auch (unter Verursachung von Schnittgrößen und Spannungen) verschieben können.
Verschiebliche Tw sind nicht mit unbrauchbaren Tw zu verwechseln.
Bsp.:
a b
a) Kno a,b und c sind unverschieblich => unverschiebliches Tw
b) Kno a und c können in x-Richtung verschoben werden => verschiebliches Tw
Unter "verschieblichen Tragwerken" werden solche brauchbaren statischen Systeme verstanden, deren Knoten sich unter Entstehung von Schnittgrößen verschieben können.
In der Praxis treten solche Tragwerke häufig auf. Beispiele :
Zusätzlich zu den Knotendrehwinkeln treten als Unbekannte des Drehwinkelverfahrens dann auch Stabdrehwinkel auf.
Ein Stabdrehwinkel liegt vor, wenn die Endknoten eines Stabes ungleiche Verschiebungskomponenten aufweisen.
8.3 Berechnung unverschieblicher Tragwerke mit dem DWV 8.3.1 Gleichungen für Stabendmomente
8.3.1.1 Beidseitig elastisch eingespannter, belasteter Stab :
gesucht : Stabendmomente Mab und Mba
=> Die Stabendmomenten bestehen aus 3 Anteilen:
1. Starreinspannmomente MAB und MBA, die sich bei zu 0 angenommenen Knotendrehwinkeln unter der äußeren Last einstellen. (Achtung : Vorzeichen)
2. Momente, die sich aus der Verdrehung des Knotens a bei festgehaltenem Knoten b ergeben
3. Momente aus der Verdrehung des Knotens b Berechnung des 2. Anteils:
Biegemomentenverlauf inf. der Verdrehung des Kno a :
Die Beziehung zwischen den Momenten und dem Knotendrehwinkel ϕa* läßt sich mit Hilfe der Mohrschen Analogie beschreiben (die Auflagerkraft der als Belastung angesetzten Momentenlinie entspricht dem 1/EI-fachen Drehwinkel).
ϕa* =
Mab,a=
Das Moment am anderen Stabende ist damit:
Mba,a =
Starreinspannmomente für das Drehwinkelverfahren Quelle: Schneider Bautabelle, 12. Auflage, S. 4.27
*) Ist die Einspannung rechts und das Loslager links angeordnet, sind die Werte M2
analog zu M1 zu bilden und mit (-1) zu multiplizieren.
Bsp.:
Der 3. Anteil (aus Verdrehung Kno b) ergibt sich sinngemäß:
Mba,b = Mab,b=
Die Summe aller 3 Anteile ergibt:
Mab= Mba =
Um nicht mit Zahlen in unpraktischen Größenordnungen rechnen zu müssen, wird ersetzt:
ϕa= 2 E ϕa* und ϕb= 2 E ϕb*
Außerdem wird eine verzerrte Steifigkeit definiert:
Damit wird:
Damit ist das Stabendmoment als Funktion der beiden Drehwinkel ϕa*, ϕb* und der äußeren Last bestimmt.
8.3.1.2 An einem Ende gelenkig angeschlossener Stab
a) Anteil 1: siehe Tabelle „Starreinspannmomente“#
b) Anteil 2 aus Knotenverdrehung ϕa*
c) Der 3. Anteil fällt weg, da Knoten b gelenkig ist und es daher dort keine Stabendmomenten gibt.
Die Summe ergibt:
Mab =
Mab =
8.3.2 Aufstellen der Knotengleichungen
Nachdem die Stabendmomenten als Funktion der noch unbekannten Knotendrehwinkel bestimmt wurden, wird nun die Bedingung formuliert, um diese Knotendrehwinkel zu bestimmen.
Die Bedingung ergibt sich aus der Gleichgewichtsbedingung am Knoten: ΣM=0 (die Summe aus den Schnittmomenten und einem ggf. als äußere Last angreifenden Moment ist 0). Diese Gleichung stellen wir für jeden Knoten des Systems auf und erhalten so einen Satz Gleichungen, aus denen sich die gesuchten Knotendrehwinkel bestimmen lassen.
Beispiel :
Gleichgewicht für Knoten a:
Für Knoten b läßt sich ebenfalls eine Gleichung aufstellen, die als Unbekannte ebenfalls ϕa
und ϕb enthält.
lineares Gleichungssystem: 2 Gleichungen, 2 Unbekannte
Nach der Lösung des GlSys liegen die Zahlenwerte für die Winkel vor. Durch Rückeinsetzung der Winkel in die entspr. Gleichungen erhält man Mab und Mba.
Die Knotengleichungen können direkt, ohne Umweg über die Stabendmomenten, bestimmt werden.
0 2⋅ ⋅
∑
+∑
⋅ +∑
+ Last,i =J IJ
j j ij
j ij
i k
ϕ
k M Mϕ
j: alle benachbarten Knoten, die stabmäßig mit i verbunden sind MLast,i ist das an Kno i angreifende äußere Moment
Der Vorteil der direkten Bestimmung der Knotengleichung ist die geringere Fehleranfälligkeit.
Bsp.:
Knoten a:
Knoten b:
Knoten c:
8.4 Ausnutzung von Symmetrie beim DWV
Tragwerk und Belastung sind symmetrisch -> M symmetrisch Q antimetrisch N symmetrisch
Verformungen: symmetrisch Siehe auch:
• Vorlesung Baustatik II, Kap. 6.5: „Symmetrie beim KGV“
Symmetrieausnutzung beim KGV:
+ Berechnungen am „halbierten Tragwerk“ durchführen
+ Verformungsbedingungen in der Symmetrieachse formulieren
Symmetrieausnutzung bei DWV Vorgehensweise:
o Anzahl der Unbekannten Winkel ohne Berücksichtigung der Symmetrie feststellen
o Feststellen, welche Stab- oder Knotendrehwinkel auf Grund der Symmetrie zu 0 werden.
o Feststellen, welche symmetrisch angeordneten Winkel auf beiden Seiten der Symmetrieachse betragsmäßig gleich sein müssen
o Zahl der übriggebliebenen Unbekannten Winkel feststellen.
o Gleichungen für die übriggebliebenen Größen anschreiben
=> Beim DWV ist die Ausnutzung der Symmetrie besonders lohnend!
Formelübersicht Drehwinkelverfahren – unverschiebliche Systeme
1. Knotengleichung Knoten i
0 2⋅ ⋅∑ +∑ ⋅ +∑ + Last,i =
J IJ j j ij
j ij
i k ϕ k M M
ϕ
j, J : sämtliche Knoten, die stabmäßig mit i verbunden sind l : alle biegesteife Knoten, die stabmäßig mit i verbunden sind k: alle gelenkigen Knoten, die stabmäßig mit i verbunden sind
2. Stabendmomenten bei unverschieblichen Systemen
• ... beidseitig elastisch eingespannte Stäbe
AB b
a ab
ab k M
M = ⋅(2ϕ +ϕ )+
BA b
a ab
ba k M
M = ⋅(ϕ +2ϕ )+
• ... einseitig gelenkig angeschlossener Stab
AB a
ab
ab k M
M = ′ ⋅2ϕ + ′ 3. Vorzeichendefinitionen
• Momenten MAB, Mab , MLast am Knoten: gegen Uhrzeigersinn pos.
• Momenten MAB, Mab am Stab: im Uhrzeigersinn positiv
• Knotendrehwinkel ϕ : im Uhrzeigersinn positiv 4. Bezeichnungen / Definitionen
ϕ bezogener Knotendrehwinkel E
2 /
* ϕ
ϕ = tatsächlicher Knotendrehwinkel
ab ab ab I l
k = / Steifigkeit des Stabes ab, beidseits elastisch eingespannt
ab ab
ab I l
k′ =0,75⋅ / Steifigkeit des Stabes ab, einseitig gelenkig angeschlossen
MAB Starreinspannmoment am beidseits el. eingespannten Stab; (Indizes: Großbuchstaben!) Vorzeichen : Stabanfang x = 0; meist links : MAB = MSchneider
Stabende x = l ; meist rechts : MBA = - MSchneider MAB′ Starreinspannmoment am einseitig gelenkig
angeschlossenen Stab;
(Indizes: Großbuchstaben!)
M´AB= MSchneider (bei A ist x = 0) M´AB = - MSchneider (bei B ist x = 0)
i
MLast, am Knoten i angreifendes äußeres Lastmoment
10 Torsion 10.1 Was ist Torsion ?
Torsionsbeanspruchung eines Trägers liegt dann vor, wenn Verdrehungen ϑ(x) um seine Längsachse auftreten, deren Größe sich mit der Längskoordinate x ändern.
Ein Beispiel für ein torsionsbeanspruchtes Bauteil ist eine Kardanwelle
Ein Balken wird auf Torsion beansprucht, wenn z. B. in der Ebene senkrecht zur Balkenachse ein Kräftepaar angreift (Bild rechts).
Über die äußere Belastung ist eine Torsionsbeanspruchung nicht immer eindeutig gekennzeichnet: Nicht nur Querlasten, die außerhalb des Schubmittelpunkts M angreifen, sondern auch Einzeltorsionsmomente oder – bei einem geknickten oder gekrümmten Träger –Achsialbeanspruchungen können einen Träger auf Torsion beanspruchen.
Schnittgrößen, die zur Torsion gehören:
• Torsionsmoment Mx
• Wölbbimoment Mw
Spannungen, die zur Torsion gehören:
• Schubspannungen τ (treten immer auf)
• Wölbnormalspannungen σ (treten nur in bestimmten Fällen auf) Verformungen, die zur Torsion gehören:
1. Auswirkung : Verwindung der Querschnitte um den Winkel ϑ(x)
Die Endquerschnitte eines Stabelements dx sind um den Winkel dϑ gegeneinander verdreht.
Die Veränderung des Drehwinkels ϑ wird als Verdrillung bezeichnet : Verdrillung= d = ′
dxϑ ϑ
2. Auswirkung der Torsion : Manche – nicht alle – Querschnitte verwölben sich, wenn sie tordiert werden. Die Querschnitte sind dann nicht mehr eben, es treten Dehnungen in Stablängsrichtungen εx auf.
Unterscheidung:
MT: Torsionsmoment als äußere Last Mx: Schnittgröße – Torsionsmoment
Während man nicht auf die Idee käme, Kraft F und Querkraft Q miteinander zu verwechseln, passiert dies bei MT und Mx häufig.
Voraussetzungen für Kapitel 10 „Torsion“
• Die Stabachse ist gerade
• Es treten nur Verdrehungen ϑ(x) des Stabes um seine Längsachse auf, wobei sich die Drehachse D frei einstellen kann. Die freie Drehachse geht durch den Schubmittelpunkt des Querschnitts.
• Verschiebungen v und w senkrecht zur Stabachse sind nicht vorhanden.
• Querschnitte bleiben erhalten und unverformt
• Linear elastisches Werkstoffgesetz
• Verformungen bleiben klein
• Der Querschnitt des Trägers ist abschnittsweise konstant.
10.2 St. Venantsche Torsion für Vollquerschnitte 10.2.1 Kreisförmiger Vollquerschnitt
Stab mit Kreisquerschnitt, R=const., durch Mx =const. belastet.
Verdrehung dϑ der um dx benachbarten Querschnitte gegeneinander ( ϑ positiv rechts-drehend). Zwischen dϑ und dem Gleitwinkel γ besteht der Zusammenhang :
r dϑ = γ dx => γ = r · dϑ / d x (1)
Das Hook´sche Gesetz verknüpft den Gleitwinkel γ mit der Schubspannung τ.
τ = G ·γ = G ·r · dϑ / d x = G r ϑ´ (2) τ ist also proportional zum Abstand von der Stabachse.
τ verursacht ein Torsionsmoment, das genau dem im Schnitt wirkenden Torsionsmoment entsprechen muß :
Mx = ∫ r ·τ· dA Mit τ = G ·γ = G · r · ϑ´ :
Mx = G ·ϑ´ ·∫ r2 dA
= G ·ϑ ´ IT
Kreiswelle : IT= ∫ r2 · dA = π/2 · R4 Die Größe IT wird Torsionsträgheitsmoment genannt.
Allgemein gilt für die Verdrillung :
ϑ´ = Mx / G IT (3) Die Endverdrehung eines einseitig eingespannten Stabes der Länge l ist
T l x
l
l G I
l dx M
⋅
= ⋅
′ →
=∫ϑ ϑ
ϑ
0
Schubspannungsverteilung (aus umrahmter Formel ϑ´ eliminieren) (3) in (2)
T x T
x T
x
W M I
r M I
G r M G r
G = =
⋅ ⋅
′=
⋅
⋅
= ϑ
τ ;
T x
W
= M
τmax mit
R WT = IT
Der Größtwert tritt am Rand mit r = R auf .
Alle Formeln gelten auch für den Kreisringquerschnitt mit : IT = π Ra −Ri
2
4 4
( )
Bsp.:
geg.: Stabquerschnitt d = 100 mm ; Mx = 4 kNm ges : IT, τT
10.2.2 Nicht kreisförmige Vollquerschnitte
• Lösung durch eine „Potentialgleichung“ (Differentialgleichung) mit der Torsionsfunktion
• Ergebnis: umlaufende Schubspannungen τ im Querschnitt
• Eine Lösung ist mathematisch sehr aufwendig, sie wird daher hier aus Zeitgründen weggelassen
Das Seifenhautgleichnis
Die Profilform wird aus der Wand eines Kastens herausgeschnitten und mit Seifenhaut überspannt. Der dann aufgebrachte leichte Innenüberdruck hebt die Seifenhaut zu einem Hügel an. Beispiel:
• Die Höhenlinien des Seifenhaut-Hügels entsprechen den Schubspannungsrichtungen
• Die Größe der Schubspannungen ist proportional zur Querneigung des Hügels
• Die Torsionsträgheit IT ist proportional zum Volumen des Hügels.
Auch für nicht kreisförmige Vollquerschnitte gilt allgemein:
• ϑ´ = Mx / G IT
• max τ = Mx / WT Querschnittswerte IT , WT
• Aus IT – für den Kreisquerschnitt läßt sich eine Näherungsformel für allgemeine gedrungene Vollquerschnitte ableiten:
P T
I A r
A
r r I r
⋅
= ⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅ =
⋅
= ⋅
= ⋅
2 4 4
2 4
4 3
8 4 4
4 2 / 4
2 2
π π
π
π π π
Daraus folgt die Näherungsgleichung von St.Venant (Fehler ca. 7 %) (Quelle:
Schineis S. 6)
) (
40
4 z y
T I I
I A
+
≈ ⋅
10.3 St. Venantsche Torsion
für geschlossene, dünnwandige Profile 10.3.1 Einzellige Querschnitte
Annahmen : • Querschnitt konstant
• Mx = const.
• Wandstärke t(s) darf veränderlich sein (s=Umfangskoordinate)
• Außen- und Innenflächen des Hohlzylinders sind belastungsfrei
=> Spannungen an den Rändern verlaufen tangential.
• τ ist über die Wanddicke gleichmäßig verteilt
• Schubfluß T [Kraft / Länge] T = τ * t
• Gleichgewichtsbedingung am infinitesimalen Rechteck (Bild b):
ΣV = 0 : Schubfluß über x konstant ! (d Txs = d Tsx = 0)
ΣH = 0 Schubfluß an jeder Stelle s des Querschnittes ist gleich. (Txz = Tzx) (Normalspannungen treten bei primärer Torsion nicht auf!)
Berechnung der Schubspannung τ :
• Die Schubkraft T*ds des infinitesimalen Abschnitts hat bezüglich eines beliebigen Punktes 0 ein Moment
ds T r
dMx = ⊥⋅ ⋅ (1)
• Summiert man über alle Abschnitte, erhält man
∫ = ⋅∫ ⋅
= dM T r⊥ ds
Mx x (2)
• Das so berechnete Moment entspricht aus Gleichgewichtsgründen der Schnittgröße Mx !
• r⊥⋅dsist nun die doppelte Fläche des in Bild c schraffierten Dreiecks. Das Umlaufintegral errechnet sich damit zu:
Am
ds r ⋅ = ⋅
∫ ⊥ 2 (Am = von der Profilmittellinie umschlossene Fläche) (3)
• (3) in (1) : 1. Bredtsche Formel nach R. Bredt 1842 – 1900 :
t A M t
T
m x
⋅
= ⋅
= 2
τ (4)
• max τ tritt an der Stelle der kleinsten Wanddicke min t auf.
T T m
x
W M t
A M t
T =
⋅
= ⋅
=
min
max min 2
τ (5)
• analog zum Widerstandsmoment bei Biegung wird das Torsionswiderstandsmoment eingeführt: WT = 2 Am tmin
Berechnung der Verdrillung ϑ´
• Wie bei den Kreisquerschnitten gilt :
τ / G = γ = r ϑ´ (6)
• Multiplikation mit ds, Integration über den Umfang s :
(7)
• Für τ wird die 1. Bredt´sche Formel eingesetzt und nach ϑ´aufgelöst
⋅∫
⋅
= ⋅
′ t
ds A
G M
m x
4 2
ϑ (8)
• mit Einführung des Torsionsflächenmoments :
(2. Bredt´sche Formel) (9)
• wird daraus die bereits von den Vollquerschnitten herrührende Gleichung:
T x
I G
M
= ⋅
ϑ′ (10)
• Bei Stahlbauquerschnitten ist die Blechdicke ti i.d.R. abschnittsweise konstant, die 2. Bredtsche Formel lautet damit :
(11)
• Die Endverdrehung eines einseitig eingespannten Stabes der Länge l ist
T l x
l
l G I
l dx M
⋅
= ⋅
′ →
=∫ϑ ϑ
ϑ
0
(12)
10.3.2 Mehrzellige Querschnitte
Mehrzellige Hohlquerschnitte stellen ein statisch unbestimmtes Problem dar, das im folgenden gelöst wird.
• Schub in den Wandungen einer Zelle sei konstant
• In den Zwischenstegen überlagert sich der entgegengesetzt gerichtete Schub der benachbarten Zellen (wirksam ist die Differenz).
• Die n Einzelzellen übernehmen das Torsionsmoment Mxi; es gilt zusammen mit der 1. Bredtschen Formel:
∑ =∑ ⋅ ⋅
=
n xi n i mi
x M T A
M 2 (13)
• Durch Quersteifen wird der Querschnitt stabil gehalten. Die Verdrillung der Einzelzelle entspricht derjenigen des Gesamtquerschnitts und ergibt sich aus Gleichung 8 (si= Umfangkoordinate der Zelle i; Ami=Fläche Am der Zelle i):
∫ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
= ′
′
si
i mi ds
t T A
G 2 ϑ 1
ϑ (14)
bei konstanten Blechdicken ergibt sich pro Zelle als Summe über die a Bleche pro Zelle:
∑ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
′
a ia
ia ia mi
t s T A
G 2
ϑ 1 (15)
• Es stehen nun n+1 Gleichungen zur Verfügung (Gl. 13 und n * Gl. 15), um die n+1 Unbekannten (Verdrillung + n Schubflüsse, je 1 pro Zelle ) zu berechnen.
• Aus den Werten ϑ′und Mx kann nun das St. Venantsche Torsionsmoment zurückgerechnet werden:
ϑ′
= ⋅ G IT Mx
• Torsionsschubspannungen und Verdrillungen mehrzelliger Kästen lassen sich in erster Näherung gut berechnen, wenn die Zwischenstege einfach vernachlässigt werden. Im obigen Beispiel beträgt der Fehler dabei ca. 6%.
Beispiel:
Gesucht: max τ und ϑ’
10.3.3 Ersatz eines Fachwerks durch ein vollwandiges Blech
Fachwerkträger oder Vierendeel-Rahmen können hinsichtlich der Torsion berechnet werden, indem sie durch ein Blech mit der Dicke tE ersetzt werden.
(Quelle: Petersen, Stahlbau, T.27.1)
10.4 St. Venantsche Torsion für dünnwandige, offene Profile 10.4.1 Schmale Rechteckprofile
Schubspannungen fließen anders als bei geschlossenen Querschnitten
Der Querschnitt wird als die Summe einzelner sehr dünner Hohlquerschnitte aufgefaßt. Es wird – da alle Hohlquerschnitte die gleiche Verdrillung aufweisen - angenommen, daß die Schubspannungen von der Mitte aus linear mit y bis zum Maximalwert τ0 anwachsen.
2 ) /
( 0
t y =τ ⋅ y τ
Die Verhältnisse an den Blechenden dürfen vernachlässigt werden.
Für die von der Profilmittellinie überstrichene Fläche gilt:
h y y
Am( )=2⋅ ⋅
Der einzelne Hohlquerschnitt überträgt dann (siehe Gl. 4):
dy y t h dT
A
dMx =2⋅ m⋅ =8⋅τ0 ⋅ ⋅ 2
Durch Integration über den Querschnitt folgt daraus:
0 2 2
/
0 3
1 h t
dM
M t
y x
x = ∫ = ⋅ ⋅ ⋅
=
τ (16)
Formal ergibt sich aus der Definition:
T x
W
= M
τmax das Torsionswiderstandsmoment 2 3 1 h t WT = ⋅ ⋅
Analog ergibt sich aus der 2. Bredtschen Formel für den einzelnen Hohlquerschnitt mit der Dicke dy:
dy y h dy
h h
dIT y 2 8 2
2 ) 2 (
4 = ⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
Integration dieser Formel über y von y=0 bis y = t/2 liefert : t
W h t
IT = 3 = T ⋅ 3
1 (17)
Voraussetzung dieser Überlegungen ist: t << h
Der Fehler in der Formel für IT ist kleiner als 10%, wenn gilt: t<6*h
10.4.2 Aus schmalen Rechteckprofilen zusammengesetzte Querschnitte
• Torsionsträgheitsmoment ergibt sich als Summe der Werte aus den Einzelquerschnitten
(mit hi = Blechlänge, ti=Blechdicke) (18)
• Das Torsionsträgheitsmoment IT für Walzprofile kann Profiltabellen entnommen werden. Stehen diese einmal nicht zur Verfügung, läßt sich auch Formel (18) anwenden. Zur Berücksichtigung der Ausrundungen wird dann ein Korrekturwert ηhinzugefügt. Er beträgt für Winkelprofile 0,99 , für T- und U-Profile 1,12 und für I-Profile 1,30.(Quelle Script Minning, S.19)
• Die Spannungen im Blech i mit der Dicke ti ergeben sich zu:
T i i x
I t M ⋅ τ =
• mit WT = IT / tmax wird
T x T
x
I t M W
M max
max ⋅
=
τ = (19)
• Für die Verdrillung gilt weiterhin :
′ = ⋅
ϑ M
G I
T T
• Der von einem Blech i übernommene Anteil am Torsionsmoment ergibt sich aus:
T x Ti
xi I
M I
M = ⋅ (20)
Werden schmale Rechtecke wie unten dargestellt fest miteinander verbunden (Schweißung, GV-Verbindung), so darf in Gl. 18 der Wert (ta + tb) als Dicke t angesetzt werden.
Andernfalls sind beide Bleche als Einzelbleche zu behandeln, es gilt:
3 1
, ( 3 )
3
1 t t h
IT Gurt = ⋅ a + b ⋅ Beispiel:
HEB300; Flansch: 30*1,9 cm2; Trägerhöhe 30 cm; Stegdicke 1,1 cm;
Korrekturwert η=1,3
4 3
3 (30 2 1,1) 1,1 ) 1,3 194cm 9
, 1 30 2 3(
(1 ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ =
T ≈
I ; Profiltabelle: 186 cm4
10.4.3 Gekrümmte, offene Profile mit konstanter Wanddicke t
Wenn die Blechdicke t klein gegenüber dem Krümmungsradius r ist, kann mit der Abwicklungslänge s der Profile gerechnet werden.
s t IT = ⋅ 3⋅
3
1 ; WT = ⋅t2⋅s 3 1
10.4.4 Gemischt offen-geschlossene Profile
Berechnung von Profilen, die aus Hohlquerschnitte und Blechen bestehen, ohne daß sich mehrere Zellen berühren. Die Formtreue des Querschnitts wird vorausgesetzt.
(siehe Schineis S. 9)
Das Torsionsträgheitsmoment ergibt sich also Summe der Einzelwerte der i=1,n Teilquerschnitte:
∑=
= n
i Ti
T I
I
1
(21) Der Anteil Torsionsmoment, der von jedem einzelnen Teilquerschnitt i
übernommen wird, ergibt sich zu:
T x Ti
xi I
M I
M = ⋅ (22)
10.5 Querschnittswerte der Wölbkrafttorsion 10.5.1 Wölbkrafttorsion
Den Kapiteln 1.2 bis 1.4 liegt die Annahme zu Grunde, daß entweder ein wölbfreier oder quasi-wölbfreier Querschnitt vorliegt oder aber die Verwölbung nicht behindert wird.
Ist nicht mindestens eine der beiden genannten Voraussetzungen gegeben, tritt Wölbkrafttorsion auf, wie in den folgenden Beispielen
Beispiel: nicht wölbfreier Querschnitt und ....
• Bild a: Mx ≠const infolge einer Torsionslast MT. Verwölbungsbehinderung liegt bei nicht wölbfreien Querschnitten stets vor, wenn das Torsionsmoment Mx nicht konstant ist.
• Bild b: Mx ≠const infolge einer verteilten Torsionslast mT
• Bild c: Verwölbungsbehinderung liegt bei nicht wölbfreien Querschnitten stets vor, wenn an den Trägerenden – z.B. durch eine Kopfplatte – die Ausdehnung in Stablängsrichtung behindert ist.
Wölbfreie, quasi-wölbfreie und nicht wölbfreie Querschnitte
(Quelle: Schineis, Torsion, FH München 1971)
Da es bei wölbfreien Querschnitten keine Verwölbung gibt, kann die (nicht vorhandene) Verwölbung auch nicht behindert sein; in diesem Fall tritt nur primäre, St. Venantsche Torsion auf.
Es werden wölbfreie quasi-wölbfreie und nicht wölbfreie Querschnitte unterschieden (siehe Bild oben)
In diesem Abschnitt geht es darum, die für die Wölbkrafttorsion notwendigen Querschnittswerte zu berechnen.
Was bedeutet Wölbkrafttorsion?
• Verwölbung bedeutet Verformung u in Stablängsrichtung x und damit Normalspannungen σx, die zur Unterscheidung von Biegespannungen und Normalspannungen aus Längskräften mit σw bezeichnet werden (w steht für Wölbkraft) (Bild unten, a).
• Die Wölbnormalspannungen σw sind den Verwölbungen u im Querschnitt proportional.
• σw ändert sich über die Stablänge. Beispiel siehe erstes Bild im Unterkapitel, oben rechts: Die Verwölbung ist an der Kopfplatte 0, die Zwängungsspannungen aus verhinderter Verwölbung maximal; Am rechten, freien Trägerende ist die Verwölbung maximal, aber die Wölbnormalspannungen sind 0, da sich die Verwölbung an dieser Stelle unbehindert einstellen kann. Bild unten b zeigt, daß sich wegen der veränderlichen Spannung σw aus Gleichgewichtsgründen auch Wölbschubspannungen (sekundäre Schubspannungen) einstellen müssen.
• Diese im Querschnitt wirkenden sekundären Schubspannungen ergeben das sog. sekundäre Torsionsmoment Mxs (Bild oben c), das ein Anteil des gesamten Torsionsmoment Mx ist. Es gilt:
xs xp
x M M
M = + (1)
mit:
+ Mxp = primäres Torsionsmoment, aus dem sich nach den Abschnitten 1.2 bis 1.4 die primären St. Venantschen Torsionsschubspannungen berechnen lassen (Bild unten a).
+ Mxs = sekundäres Torsionsmoment, aus dem sich nach Abschnitt 1.7 die sekundären Torsionsschubspannungen berechnen lassen (Bild unten b).
• Das Bild zeigt den Verlauf der primären und sekundären Torsionschubspannungen im Querschnitt. Während τp an der einen Blechseite hin- und an der anderen Blechseite zurückfließt, ist τs über die Blechdicke konstant. In sehr vielen Fällen, wenn die sekundären und die primären Torsionsmomente eine gleiche Größenordnung haben, können die sekundären Torsionsschubspannungen vernachlässigt werden, da wegen des viel größeren Hebelarms h viel kleinere Schubspannungen τs nötig sind, um das sekundäre Torsionsmoment Mxs zu erzeugen als ein gleich großes primäre Torsionsmoment (ähnlich dem Vergleich von Torsionsschubspannungen von offenen und geschlossenen Profilen).
• Wölbkrafttorsion ist ein äußerst komplexes Problem, dessen ausführliche Behandlung den Rahmen dieser Vorlesung sprengen würde. Im folgenden wird nur das Basiswissen wiedergegeben
10.5.2 Querschnittswerte der Wölbkrafttorsion bei offenen dünnwandigen Querschnitten
10.5.2.1 Einheitsverwölbung, Hauptverwölbung
• Als Querschnittsverwölbung u wird die Verwölbung der Profilmittellinie angesehen. u wird als über die Blechdicke konstant angenommen.
• Aus der primären Torsion ergibt sich für die Profilmittellinie τp=0. Die sekundären Schubspannungen sind aus o.g. Grund so klein, daß sie vernachlässigt werden können. Damit gilt für die Profilmittellinie:
≈0 +
=τp τs τ
daraus folgt dann nach dem Hookeschen Gesetz, daß die zugehörige Gleitung γ ebenfalls mit 0 angenommen werden kann.
Damit ist die Verwölbung u dann ausschließlich von der Verdrehung des Stabes abhängig. Als Verwölbungszuwachs im Bereich ds erhält man:
ds r du = ⋅′ D⋅
− ϑ (2)
mit: rD = Lot von der Profilmittellinie auf den Drehpunkt.
• Einheitsverwölbung w: Verwölbungszustand bei Verdrillung ϑ′=1; w ist ein reiner Querschnittswert, Einheit: [cm2];
w ist abhängig von der Querschnittsform und der Drehachse.
Mit (2) gilt dann : dw = - rD * ds
• Bezogen auf einen beliebigen Drehpunkt D erhält man für die Stelle s die Einheitsverwölbung:
=∫
+
= +
⋅
−
= s
s D D D D
D s r ds w w s w
w
0 * 0
0 ( )
)
( mit ∫
=
=
⋅
− s
s rD ds wD s
0
* ( ) (3)
(aufgetragen ist –wD)
• Die Grundverwölbung w*D(s)entspricht dem doppelten Inhalt der vom Fahrstrahl auf dem Integrationsweg 0 bis s überstrichenen Fläche Am.
Am ist abhängig vom Anfangspunkt der Integration und vom Drehpunkt. Bei der Drehung des Fahrstrahls im Gegenuhrzeigersinn entstehen negative Werte w*D(s), bei Drehung im Uhrzeigersinn positive Werte.
• wD0 ist als Integrationskonstante die zur Drehachse D gehörige
Einheitsverwölbung am Startpunkt der Integration. Sie soll jetzt bestimmt werden:
• Die Wölbnormalspannung σw ist im Querschnitt proportional zu wD(s).
Da es keine Längskräfte gibt, muß gelten: ∫σwdA=0. Damit gilt dann auch: ∫ ⋅ =
AwD(s) dA 0 Mit (3) ergibt sich nun:
A w dA s w dA
w s
w D
A D
A∫ D + D ⋅ = = ∫ * ⋅ + 0⋅
* ( ) 0) 0 ( )
(
Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für wD0:
∫
∫ ⋅ =− ⋅ ⋅
−
=
A D A D
D w s t ds
dA A s A w
w 1 ( )
)
1 * ( *
0 (4)
• Symmetrische Querschnitte: Drehpunkt und Integrationsanfangspunkt auf die SA legen, dann wird der w*D(s)-Verlauf antimetrisch und es gilt: wD0 =0
• Im Normalfall ist der Schubmittelpunkt M der Drehpunkt. (Ausnahme: es wird ein anderer Drehpunkt konstruktiv erzwungen). Die Einheitsverwölbung mit M als Drehpunkt wird als Hauptverwölbung wM bezeichnet. Es gilt analog zu (3): wM(s)=w*M(s)+wM0
Analog zu (4) gilt: =− ∫ ⋅
A M
M w s dA
w A1 * ( )
0
• Beispiele für die Berechnung der Hauptverwölbung bei vorgegebenem Schubmittelpunkt M, wenn der Integrationsanfangspunkt auf die
Symmetrieachse gelegt wird: mit wM0=0 entspricht die Hauptverwölbung der doppelten vom Fahrstrahl überstrichenen Fläche Am
(Achtung: wM mit falschem Vorzeichen aufgetragen)
• Umrechnung der Einheitsverwölbung in die Hauptverwölbung:
y z z z y y s w s
wM ( )= D( )+( M − D)⋅ −( M − D)⋅ (4b)
10.5.2.2 Wölbfläche, Wölbwiderstand
Zur Bestimmung der Verwölbungsspannungen müssen Wölbfläche Aw und Wölbwiderstand Iw bekannt sein. Der Wölbwiderstand wird zuweilen auch als CM bezeichnet.
• Wölbfläche: = ∫ ⋅
A M
w s w s dA
A ( ) ( ) [cm4] (Funktion über s) (5)
• Wölbwiderstand: = ∫ ⋅
A M
w w s dA
I 2 ( ) [cm6] (Querschnittswert) (6) Beispiel: Für den geg. I-Querschnitt ist der Aw-Verlauf und Iw gesucht.
(Achtung: wM mit falschem Vorzeichen aufgetragen) 4
/ b h wM =± ⋅
Aw1=0; 2 2,4 3645cm4 4
30 2
135
270+ ⋅ ⋅ =
w =
A ; usw.
Iw kann mit (6) berechnet werden:
Mit wM = ⋅h⋅y 2
1 und dA=t ds wird
24 8
8 6 3
2
2 4 2 3 3 2 3
2 /
2 / 3 2 2
2 /
2 /
2 h t y h t b b h t b
ds t h y
I
b
b b
w b = ⋅ ⋅
+
= ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
− ∫ −
mit 12 2 t b3
Iz ≈ ⋅ ⋅ wird daraus:
4 h2
I Iw = z⋅
10.5.2.3 Schubmittelpunktsberechnung mit der Wölbmethode
Die Schubkräfte haben gegenüber dem Querschnitt des Querschnitts ein Moment. Wenn die Querkraft im Schwerpunkt angreift, ist sie deshalb nicht äquivalent zu den Schubkräften.
Der Schubmittelpunkt M ist derjenige Punkt, an dem die Querkraft angreifen muß, damit das durch die Schubkräfte verursachte Torsionsmoment Mx gleich dem Torsionsmoment Mx aus der Querkraft ist.
Verformung des U-Querschnitts, wenn Q im SPkt angreift :
Die natürliche Drehachse eines Querschnitts liegt im Schubmittelpunkt M. Die Lage dieses Punktes muß bekannt sein, damit die oben beschriebenen Berechnungen ausgeführt werden können.
Grundsätzlich liegt M auf einer Symmetrieachse. D.h.: bei doppeltsymmetrischen Profilen liegt M im Schwerpunkt. In allen anderen Fällen sind Berechnungen notwendig.
M kann auf zweierlei Art bestimmt werden:
• Mit der Querkraftmethode; siehe Vorlesung TM/Baustatik 2. Semester
• Mit der Wölbmethode. Letztere hat u.a. bei unsymmetrischen Profilen den Vorteil, daß eine Umrechnung auf die Hauptachsen unterbleiben kann.
Da keine Biegemomente wirken, muß aus Gleichgewichtsgründen gelten:
∫σw⋅z⋅dA=0 und ∫σw⋅y⋅dA=0 (y,z: Hauptachsen des Querschnitts) Wegen der Proportionalität von σw und wD(s) gilt deswegen auch:
∫ ⋅ ⋅ =
AwD(s) z dA 0 und ∫ ⋅ ⋅ =
AwD(s) y dA 0
Mit der Umformungsgleichung (4b) erhält man durch Multiplikation mit z und Integration über A:
∫ ⋅ ⋅ =∫ ⋅ ⋅ + − ⋅∫ − − ⋅∫ ⋅ =
AwM z dA wD z dA (yM yD) z2dA (zM zD) yz dA 0 (7) Nach Multiplikation mit y und Integration ergibt sich:
∫ ⋅ ⋅ =∫ ⋅ ⋅ − − ⋅∫ + − ⋅∫ ⋅ =
AwM y dA wD y dA (zM zD) y2dA (yM yD) yz dA 0 (8) Nach Ersatz der entsprechenden Integrale durch Iy, Iz und Iyz=0 (y,z: Hauptachsen!) Und nach Definition:
∫ ⋅ ⋅
= w z dA
RD,y D und RD,z =∫wD⋅y⋅dA (9)
wird aus (7):
0 0 ) (
)
,y +( M − D ⋅ y − M − D ⋅ =
D y y I z z
R
y D y
M D y
I y =−R +
⇒ , (10)
aus (8) wird:
0 0 ) (
)
,z −( M − D ⋅ z + M − D ⋅ =
D z z I y y
R
z D z
M D z
I z = R +
⇒ , (11)
Gültigkeitsvoraussetzungen für (10) und (11):
• y, z sind Hauptachsen
• D ist eine beliebige Drehachse.
Wenn y,z ein beliebiges Schwerachsensystem ist, aber nicht das Hauptachsensystem, lauten (10) und (11) (ohne Herleitung)
D yz
z y
yz z D z y
M D y
I I I
I R I
y R +
−
⋅
⋅
−
− ⋅
= , 2, und D
yz z y
yz y D y z
M D z
I I I
I R I
z R +
−
⋅
⋅
−
= , ⋅ ,2 (12), (13)
10.5.2.4 Vorgehensweise bei der Berechnung von Querschnitten mit der Wölbmethode Geg.: beliebiger dünnwandiger, offener Querschnitt, Schwerpunktlage, Iy, Iz, Iyz
a) Berechnung des Schubmittelpunkts
1. Der Querschnitt wird durch seine Mittellinien ersetzt. Es wird ein Anfangsdrehpunkt D gewählt, zweckmäßigerweise – falls vorhanden – im
Schnittpunkt mit einer Symmetrieachse (SA). Ist keine SA vorhanden, bietet sich ein Schnittpunkt mehrerer Bleche an.
2. Die Mittellinien werden als Rinnen aufgefaßt. In D sei eine Quelle, in den freien Enden seine Abflüsse. Die Strömungsrichtung gibt die Richtung der wachsenden Wegkoordinate s an.
3. Bestimmung von rD : Länge des Lots der Koordinatenrichtung s auf den Drehpunkt. (nur Betrag)
4. Grundverwölbung wD*(s) bezogen auf den gewählten Drehpunkt D berechnen (=doppelter Inhalt der vom Fahrstrahl überstrichenen Fläche Am, positiv im Uhrzeigersinn).
=∫
⋅
−
= s
s D
D s r ds
w
0
* ( )
5. RD,y-Wert bestimmen aus der Grundverwölbung w*D
∫
∫
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅= w z dA w z t ds RD,y D* D*
Integration kann mit Hilfe der Koppeltafeln vorgenommen werden.
z ist die Schwerpunktskoordinate
6. RD,z-Wert bestimmen aus der Grundverwölbung w*D
∫
∫
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅= w y dA w y t ds RD,z D* D*
Integration kann mit Hilfe der Koppeltafeln vorgenommen werden.
y ist die Schwerpunktskoordinate.
7. Schubmittelpunktslage bezogen auf den Schwerpunkt:
D yz
z y
yz z D z y
M D y
I I I
I R I
y R +
−
⋅
⋅
−
− ⋅
= , 2, und D
yz z y
yz y D y z
M D z
I I I
I R I
z R +
−
⋅
⋅
−
= , ⋅ ,2
yD, zD: Koordinaten des gewählten Drehpunkts im Schwerpunktskoodinatensystem
yM, zM: Koordinaten des SMP im Schwerpunktskoodinatensystem
b) Berechnung der Hauptverwölbung 1. bis 4. wie unter a)
5. Integrationskonstante wD0 berechnen (Koppeltafeln verwenden)
∫ ⋅ ⋅
−
=
A D
D w s t ds
w A1 * ( )
0 wD*(s) aus Schritt 4
6. Einheitsverwölbung, bezogen auf den gewählten Drehpunkt D, berechnen
* ( ) 0
)
( D D
D s w s w
w = +
7. Hauptverwölbung, bezogen auf den SMP, berechnen und auftragen.
y z z z y y s w s
wM( )= D( )+( M − D)⋅ −( M − D)⋅
c) Berechnung des Wölbwiderstands Iw
1. bis 7. wie unter b)
8. Iw : Integral mit Hilfe der Koppeltafeln berechnen
∫ ⋅ ⋅
=
A M
w w s t ds
I 2 ( ) 10.5.2.5 Beispiele a) Zeta-Pfette
b) Kammquerschnitt geg.: Iy = 20930 cm4
Iz = 147024 cm4
Iyz = -3977 cm4 A = 215 cm2
10.5.3 Querschnittswerte der Wölbkrafttorsion bei einzelligen Hohlprofilen 10.5.3.1 Rechnerischer Weg
Wir haben es mit einem statisch unbestimmten Problem zu tun.
Aufgabe: Berechnung der Einheitsverwölbung für einen beliebigen Drehpunkt D Zustand I: Punkt a festgehalten, Grundverwölbung
• a) Man stelle sich den einzelligen Hohlquerschnitt an der Stelle a aufgeschnitten als offenen Querschnitt vor und belaste ihn durch ein Torsionsmoment. Als Drehpunkt D kann z.B. der Kastenmittelpunkt verwendet werden.
=∫
⋅
−
= s
s D
D s r ds
w
0
) (
Es tritt eine Klaffung der Schnittkante auf, d.h.
Ende D Anfang
D w
w , ≠ ,
• b) Diese Klaffung kann in Wirklichkeit nicht auftreten, da der Querschnitt ja geschlossen ist. Es muß gefordert werden:
, 0
,Anfang = DEnde =
D w
w
Also muß ein gleichmäßig umlaufender
Schubfluß so wirken, daß die Klaffung wieder zu 0 wird.
Die Verschiebung in Stablängsrichtung sei u. Es gilt:
τ ϑ
γ ⋅ = ⋅ ′
= ⋅
⋅
=
⋅
= ds dw
t G ds T ds G
du
Der erste Teil der Formel enthält die Definition der Gleitung γ, der letzte Teil ergibt sich daraus, daß die Verwölbung die Verformung in Stablängsrichtung für die Verdrillung ϑ´=1 ist.
ϑ′
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
=∫GTt ds GT ∫t ds w
u s s
0 0
1 => w=GT⋅ ′⋅∫st⋅ds
0
1 ϑ
• Beide Verwölbungen werden überlagert:
∫
∫ ⋅ + ⋅ ′⋅
−
= s D s
D t
ds G
ds T r s
w
0 0
)
( ϑ (1)
Es muß jetzt für den Endpunkt gelten: w=0
∫
∫ ⋅ + ⋅ ′ =
−
= 0
, t
ds G
ds T r wDEnde D
ϑ mit ∫rD⋅ds =2Am
daraus ergibt sich der notwendige Schubfluß, um die Schnittufer zusammenzuhalten:
ϑ′
⋅
⋅
=
∫
G t ds
T 2Am (2)
(2) wird jetzt in (1) zurück eingesetzt:
∫ ∫
∫ ⋅ + ⋅
−
= s D m s
I
D t
ds t
ds ds A
r s
w
0
, 0 2
)
( (3)
Man beachte in (3) den Unterschied des Umlaufintegrals (=Konstante) zum Integral (=Variable, die für jeden Querschnittspunkt einen eigenen Wert annimmt). Die „I“ im Index bedeutet: Zustand I.
Zustand II: Punkt a loslassen (Integrationskonstante, Einheitsverwölbung)
• Problem: die Annahme, daß Punkt a keine Verformung in Stablängsrichtung macht, ist nicht korrekt: Deshalb muß jetzt die Festhaltung in Punkt a gelöst werden. Die Stablänge darf sich wegen N=0 nicht ändern, die einzelnen Querschnittspunkte können sich jedoch in Stablängsrichtung verschieben. Es muß daher verlangt werden:
=0
⋅
∫wII ⋅t ds
• Die Verwölbung aus Zustand I ist daher mit einem konstanten Wert wa zu überlagern, so daß die obige Gleichung erfüllt ist.(Minning,S.52ff; Schineis, Kap. 10.3)
Die Einheitsverwölbung, bezogen auf den Kastenmittelpunkt D, ist:
a m s
s D II
D w
t ds t
ds ds A
r s
w =− ⋅ + ⋅∫ +
∫ ∫
0
, 0 2
)
( mit wa =−A1 ⋅∫wD,I ⋅t⋅ds (4)
Schubmittelpunkt (yM , zM) kann mit den Formeln aus Kapitel 1.5.2.4 a) 5.-7. und der oben bestimmten Grundverwölbung wD,II wie bei den offenen Profilen über RD,y
und RD,z berechnet werden.
Hauptverwölbung wM nach 1.5.2.4 b) 7. berechnen
Wölbwiderstand Iw kann wie in 1.5.2.4 c) beschrieben berechnet werden.
Beispiel: Kastenprofil
Geg: einfachsymmetrisches Kastenprofil Iy = 892800 cm4
Gesucht: Schubmittelpunkt (yM , zM) Wölbwiderstand Iw
10.5.3.2 Abschätzung mit grafischer Methode
Bei Kastenprofilen kann die Lage des
Schubmittelpunktes M grafisch leicht eingegrenzt werden. Die Wandstärken werden dabei als Kräfte aufgefaßt, deren Resultierenden M eingrenzen. In dem dargestellten Beispiel muß M
• im schraffierten Bereich liegen
• und zusätzlich auf der hier vorhandenen eingezeichneten Symmetrieachse.
• Und zusätzlich weiter außen zum dickeren Steg hin als der Schwerpunkt
Das Verfahren ist nützlich für Vorberechnung und Kontrolle.
Wenn sich übrigens alle 4 Resultierenden in einem Punkt schneiden, liegt ein wölbfreies Profil vor.
10.5.4 Mehrzellige Hohlprofile
Mehrzellige Kästen sind so oft aufzuschneiden, bis ein offener
Querschnitt ohne geschlossene Teile entsteht. Für jeden Kasten ist ein umlaufender Schubfluß zu ermitteln, der die Klaffung der Schnittkanten wieder zu 0 macht.
Es entsteht ein Gleichungssystem, dessen Lösung die statisch unbestimmten Schubflüsse liefert.
1.5.5 Tabellierte Torsionskennwerte von Walzprofilen
10.6 Schnittgrößen: primäres und sekundäres Torsionsmoment und Wölbbimoment 10.6.1 Auflagerungen
• Gabellager (siehe Bild) : Torsionsmomente Mx werden aufgenommen, die Verwölbung des Querschnitts ist nicht behindert
• Torsionseinspannung: wie Gabellagerung, zusätzlich ist auch die Verwölbung vollständig behindert. Eine dicke Kopfplatte am Trägerende kann als Torsionseinspannung gewertet werden. Tatsächlich ist eine vollständige Einspannung kaum zu 100%
realisierbar, meistens gibt es noch Verformungen in Trägerlängsrichtung. In solchen Fällen müßte zutreffender von einer Wölbfeder gesprochen werden. Der Grad der Wölbbehinderung ist oft nur schwer abschätzbar.
10.6.2 Statisch bestimmte Systeme
Während wir uns in den Abschnitten bis 1.6 mit der Querschnittsberechnung beschäftigt haben, werden nun die Schnittgrößen aus Wölbkrafttorsion berechnet.
Das Torsionsmoment setzt sich aus primärer und sekundärer Torsion zusammen.
xs xp
x M M
M = + (14)
Für das primäre Torsionsmoment gilt (Kap. 1.6, (1)):
) (x I
G
Mxp = ⋅ T ⋅ϑ′ (15)
Für das sekundäre Torsionsmoment gilt (ohne Herleitung):
) (x I
E
Mxs =− ⋅ w⋅ϑ ′′′ (16)
eingesetzt ergibt sich:
) ( )
(x E I x
I G
Mx = ⋅ T ⋅ϑ′ − ⋅ w⋅ϑ ′′′ (17)
Nach Einführung des Abklingfaktors
w T
I E
I G
⋅
= ⋅
λ (18)
folgt daraus die gewöhnliche, inhomogene Differentialgleichung 3. Ordnung:
) ( )
2 (x x
I E
M
w
x =−λ ⋅ϑ′ +ϑ ′′′
− ⋅ (19)
Der Lösungsansatz dafür lautet:
w x
I E
x A M
x A
x A
x ⋅ ⋅
+ ⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅
= 1 sinh( ) 2 cosh( ) 3 2 )
( λ λ λ
ϑ (20)
Die Konstanten A1 bis A3 lassen sich durch Rand- und Übergangsbedingungen ermitteln. Die Ableitungen von ϑ(x) lassen sich dann in (15) und (16) einsetzen, um Mxp und Mxs anzugeben.
sinh = sinus hyperbolikus ; cosh = cosinus hyperbolikus Wölbbimoment
Analog zur Biegung wird das Wölbbimoment Mw aus den Wölbnormalspannungen definiert:
∫ ⋅ ⋅
−
=
A w M
w w dA
M σ in [kNcm2] (21)
Wegen des Zusammenhangs zwischen den Wölbnormalspannungen σw und den sekundären Torsionsschubspannungen τs besteht zwischen dem Wölbbimoment und dem sekundären Torsionsmoment die Beziehung:
w Mxs
dx
dM = (22)
Das Wölbbimoment Mw ist nur schwer anschaulich nachvollziehbar. Es läßt sich bei einem I-Profil als ein inneres Doppelkräftepaar ansehen, das die Flansche entgegengesetzt in ihrer Ebene beansprucht (siehe Abbildung).
(22) mit (16) gleichsetzen liefert:
) (x I E Mw =− ⋅ wϑ′′
Für einige Trägersysteme und Lastfälle sind die Lösungen in der nachstehenden Tabelle angegeben.
