L¨ohr/Manger/Winter Sommersemester 2011
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I ¨
Ubungsblatt 8¨
Integrationstheorie
Bemerkung:f: [a, b]→Rist Riemann-integrierbargenau dann, wenn f beschr¨ankt und in Lebesgue-fast allen Punkten von [a, b] stetig ist. Ist f: [a, b] → R Riemann-integrierbar, so ist f auch Lebesgue-integrierbar und die Integrale stimmen ¨uberein.
f: [a,∞[ → R heißt uneigentlich Riemann-integrierbar falls f f¨ur alle b > a auf [a, b]
Riemann-integrierbar ist und limb→∞
Rb
af(x) dx=:R∞
a f(x) dx existiert.
Aufgabe* 8.1 (Riemann-integrierbarkeit). (4 Punkte) (a) Gib eine beschr¨ankte Funktion f: [0,1] → R an, die Lebesgue-, aber nicht Riemann-
integrierbar ist.
(b) Zeige, dass Z ∞
0
1
xsin(x) dx
als uneigentliches Riemann-, nicht jedoch als Lebesgue-Integral existiert.
Aufgabe* 8.2 (Dominierte Konvergenz und Lemma von Fatou). (4 Punkte) (a) Finde integrierbare, nicht-negative Funktionen fn, f: [0,1] → R+ mit fn → f punkt-
weise und
nlim→∞
Z 1 0
fn(x) dx >
Z 1 0
f(x) dx.
(b) Kann in (a) auch ,,<” gelten?
(c) Finde integrierbare Funktionen fn, f: [0,1]→R mitfn→f punktweise und
nlim→∞
Z 1 0
fn(x) dx <
Z 1 0
f(x) dx.
(d) Sei (Ω,A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum undfn: Ω→R+,n∈ N, nicht-negativ und integrierbar. f(ω) := limn→∞fn(ω) existiere fast sicher, und R
fndµ konvergiere f¨ur n→ ∞ gegenI ∈R. Zeige, dass dann f integrierbar ist und
nlim→∞
Z
|fn−f|dµ = lim
n→∞
Z
fndµ− Z
f dµ ≥ 0.
Aufgabe 8.3 (Transformationssatz). (4 Punkte) Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraumn und X: Ω → E eine Zufallsvariable mit Werten in einem messbaren Raum (E,E). Zeige: F¨ur jede messbare Funktion f:E → R ist f ◦X genau dann integrierbar, wennf bez¨uglichPX integrierbar ist, und in diesem Falle gilt
Z
Ω
f ◦XdP = Z
E
f dPX.
Aufgabe 8.4 (H¨older- und Minkowski-Ungleichung). (4 Punkte) Sei (Ω,A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum,p, q∈[1,∞] mit 1p +1q = 1.
(a) Sei f ∈Lp,h∈Lq. Zeige dieH¨older-Ungleichung kf hk1 ≤ kfkp· khkq.
Hinweis: Benutze f¨ur 1 < p < ∞ die Young’sche Ungleichung: ab ≤ app + bqq f¨ur a, b≥0.
(b) Sei f, g∈Lp. Zeige dieMinkowski-Ungleichung (Dreiecksungleichung in Lp) kf+gkp ≤ kfkp+kgkp.
Hinweis: Benutze die H¨older-Ungleichung.
Mit * gekennzeichnete Aufgaben sind besonders zur Abgabe empfohlen (Hausaufgaben) Abgabe in der ¨Ubung oder in den Briefkasten bei T03 R03 D89
