¨Uberabz¨ahlbarkeit der reellen Zahlen

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Uberabz¨ahlbarkeit der reellen Zahlen ¨

Mathematik M4 Dozentin: Dr. Regula Krapf

Jan Lukas Schallenberg Matr. Nr.: 214202241

November 2017

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Inhaltsverzeichnis

1 Dedekindsche Schnitte 3

2 Addition und Multiplikation Dedekindscher Schnitte 4

3 Additive Inverse 6

4 K¨orper 7

5 Vollst¨andigkeit von R 8

6 Uberabz¨¨ ahlbarkeit der MengeR der reellen Zahlen 10

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1 Dedekindsche Schnitte

Es ist m¨oglich reelle Zahlen mit Mengen von rationalen Zahlen, den Dedekind- schen Schnitten, zu konstruieren.

Definition:

Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Teilmengeα⊆Qmit folgenden Eigenschaf- ten:

(D1) α6= Ø undα6=Q

(D2) Fallsp∈αundq∈Qmitq < p, so folgtq∈α

(D3) αist nach oben unbeschr¨ankt, d.h.∀p∈α ,∃q∈αmitp < q Beispiel 1:

Man kann rationale Zahlenp∈Qin nat¨urlicher Weise als Dedekindschen Schnitt auffassen. Dazu setzt man

α_p:={q∈Q|q < p}.

Jetzt muss gezeigt werden, dass ap ein Dedekindscher Schnitt ist. Dazu wird eine feste rationale Zahlp∈Qgew¨ahlt und bewiesen, dassapdie Eigenschaften D1bis D3erf¨ullt.

D1 F¨ur festes p ∈ Q gilt αp 6= Ø, da Q nach unten unbeschr¨ankt ist. Das bedeutet es gibt mindestens eine rationale Zahlqmitq < p.

α_p6=Qist ebenfalls trivial, daQnach oben und unbeschr¨ankt ist und alle Elemente vonα_p kleiner alspsind.

D2 Seiq∈αp undr < q f¨ur einr∈Q. Dann folgt aufgrund der Transivit¨at von ’<‘-Relation auch r < p wegen r < q und q < p. Aus r < p folgt jedochr∈αp, womit D2 bewiesen ist.

D3 Es seiq∈α_p. Dann giltq < p. Nun definiert man das arithmetische Mittel r:= ^p+q₂ , welches sicher rational ist. Außerdem giltq <^p+q₂ =^p₂+^q₂ weil p > q. Zus¨atzlich gilt ^p+q₂ = ^p₂+^q₂ < p, dap > q.

Man erh¨alt also q < r < p. Hieraus folgtq < r∈αp.

Beispiel 2:

Es ist m¨oglich √

2 als Dedekindschen Schnitt darzustellen, obwohl √ 2 keine rationale Zahl ist. Sei

α:={p∈Q|p²<2∨p≤ −2}

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Um zu zeigen, dass es sich hierbei ebenfalls um einen Dedekindschen Schnitt handelt, muss man erneut die EigenschaftenD1bis D3beweisen.

D1 Offensichtlich.

D2 Seiq∈αundr < qf¨ur ein r∈Q. Dann folgt aufgrund der Transitivit¨at der ”<“-Relation auch r < √

2 und q < √

2. Aus r < √

2 folgt jedoch r∈α, womit D2 bewiesen ist.

D3 Seip∈α, alsop²<2.

Zu zeigen: Es existiert einq∈αmit p < q.

Wir setzen q =p+x und bestimmenx so, dass gilt p+x ∈α. Daraus folgt (p+x)²<2 ⇐⇒ p²+ 2px+x²<2. Also m¨ussen wirxso w¨ahlen, dass 2px+x²<2−p²gilt.

Daxsehr klein sein soll, setzen wirx < pund somit 3px≤2−p², da der Ausdruck 3px= 2px+px >2px+x²ist.

Wir w¨ahlen alsox=^2−p_p².

2 Addition und Multiplikation Dedekindscher Schnit- te

2.1 Addition der Dedekindschen Schnitte

Dazu definiert man zun¨achst die Addition der Dedekindschen Schnitteα, β∈R, wobeiRdie Menge aller dedekindschen Schnitte ist, durch

α+β :={p+q| ∀α, β∈Rp∈α, q∈β}

und zeigt, dass alle EigenschaftenD1bisD3bez¨uglich der Addition vonαund β gelten.

Es gilt also:

Lemma 1 F¨ur α, β∈Rgilt α+β ∈R.

Das bedeutet, es wird gezeigt, dass die Addition zweier Dedekindscher Schnitte α, βwieder ein Dedekindscher Schnitt ist.

Beweis:

Seienα, β∈R. D1 α, β6= Ø

Es gibt also einp∈αund einq∈β woraus folgtp+q∈α+β und daraus trivialerweise

α+β6= Ø.

Daα, β6=Q, gibt esr∈Q\αunds∈Q\β, also istr+s∈Q\(α+β).

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D2 Zum Beweisen von D2 seir∈α+β unds < r.

Es gibtp∈α, q∈β mitr=p+q.

Hieraus folgts < p+qund somitp > s−q.

Wegenp∈αund der G¨ultigkeit der Eigenschaft D2 f¨ur den Dedekindschen Schnittαgilt folglich s−q∈α.

Somit ist

s=s−q+q∈α+β wobeis−q∈αundq∈β gilt.

D3 Zum Beweis von D3 seir=p+q∈α+β, gem¨aß D3 f¨urαundβ gibt es p⁰∈αundq⁰∈β mit p⁰ > pundq⁰> q.

Hieraus folgtp⁰+q⁰> p+q=r.

Dap⁰+q⁰∈α+β gilt, ist die Eigenschaft D3 gezeigt.

Nach diesem Beweis der G¨ultigkeit der einzelnen Eigenschaften bei der Additi- on der Dedekindschen Schnitte wird nun die Multiplikation der Dedekindschen Schnitte eingef¨uhrt.

2.2 Multiplikation der Dedekindschen Schnitte

F¨ur zwei Dedekinsche Schnitteα, β mitα, β⊇α0 sei αβ:={pq| p∈α, q∈β}

ihr Produkt.

Es gilt:

Lemma 2 Das Produkt von Dedekindschen Schnitten α, β ∈R mitα, β ≥α₀ ist wiederum ein Dedekindscher Schnitt

Beweis:

Seienα, β∈Rmit α, β≥α0. D1 Es giltα, β6= Ø.

Daher gibt es Zahlenp∈α, q∈β, sodasspq∈αβ gilt. Also ist die Menge αβ nicht leer.

Weiterhin giltα, β6=Qundα, β⊆Q. OBdA gibt es Zahlenr, s∈Qmit r, s≥0 undr∈Q\αunds∈Q\β.

Hieraus folgtrs∈Q\αβ und somit gilt auchαβ6=Q. D2 Es seir∈αβ unds < rmit s∈Q.

Es gibt Elementep∈α, q∈β mitr=pq.

OBdA. k¨onnen wirq >0 annehmen.

Hieraus folgt insbesonderes < pqund somitp > ^s_q. Das bedeutet _q^s∈α.

Somit ist

s= s qq∈αβ wobei ^s_q ∈αundq∈β gilt.

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D3 Zum Beweis der Eigenschaft D3 f¨ur das Produkt sei r = pq ∈ αβ mit p∈α, q∈β.

Dann existieren, wegen Eigenschaft D3, Elementep⁰ ∈α, q⁰ ∈β mit p <

p⁰, q < q⁰.

OBdA. kann manp, q >0 annehmen.

Also gilt

r=pq < p⁰q⁰∈αβ

Es zeigt, dass auch die Eigenschaft D3 f¨ur die Mengeαβ erf¨ullt ist.

Anschließend l¨asst sich also festellen, dass das Produkt der Dedekindschen Schnitte α, β selber ein Dedekindscher Schnitt ist, da alle Eigenschaften D1 bis D3 gezeigt worden sind.

3 Additive Inverse

Zun¨achst beweist man, dass f¨ur jeden Dedekindschen Schnitt ein additives In- verses existiert. Dabei wirdαan der 0 gespiegelt und es entsteht

α:={−p|p∈α}

Das Problem ist, dass αkein Dedekindscher Schnitt ist, es ist nach unten unbeschr¨ankt anstelle nach oben. Deswegen betrachten wir die Menge

−a:=Q\α={q∈Q|q6=−p}={q∈Q| ∀p∈α, q <−p}={q∈Q| ∀p∈α, q+p <0}

Lemma 3 Es giltα+ (−α) = 0f¨ur alleα∈R.

Dabei wird 0 mit dem Dedekindschen Schnittα0identifiziert, mit α0:={q∈Q|q <0}.

Beweis:

(i) Es giltα+ (−α)⊆α0:

Zum Beweis dieser Inklusion seip+q∈α+ (−α) mit p∈α, q∈ −α=Q\α=Q\ {−t|t∈α}.

Hieraus folgt offenbarp+q <0 und somitα+ (−α)⊆α0, dap∈αund q∈ −αbeliebig gew¨ahlt worden war.

(ii) Es giltα0⊆α+ (−α):

Seir∈α₀. Dann gibt es einp∈αmitp−r=p+ (−r)6∈αundq=r−p.

Wir zeigen:q∈ −α, d.h. wir zeigen

∀s∈α:q+s <0.

Es gilt q+s < q+ (p−r) = (r−p) + (p−r) = 0, dabei gilt die zweite Ungleichung, da p−r gr¨oßer als jedes Element von α ist. Somit folgt q+s <0.

Aus (i) und (ii) folgt die behauptete Indentit¨atα0=α+ (−α).

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4 K¨ orper

Im folgenden Kapitel wollen wir zeigen, dass die Dedekindschen Schnitte alle Körperaxiome erfüllen und somit zeigen, dass die Dedekindschen Schnitte einen Körper bilden.

Satz 1 Die MengeRder Dedekindschen Schnitte mit der gezeigten definierten additiven und multiplikativen Verkn¨upfung ist ein K¨orper.

Beweis:

Abgeschlossenheit:

Die Abgeschlossenheit vonRbzgl. der additiven und multiplikativen Ver- knüpfung wurde bereits in Lemma 1 und Lemma 2 gezeigt. Für alle α, β, γ∈Rsind offenbar diese Rechenoperationen auch assoziativ. Es gilt nämlich

(α+β) +γ=α+ (β+γ) und

(αβ)γ=α(βγ) Assoziativit¨at:

Zum Beweis der additiven Verkn¨upfung seiα, β, γ∈R. Dann gilt offenbar (α+β)+γ={p+c|p∈α+β, c∈γ}={p1+p2+c|p1∈α, p2∈β, c∈γ}

={p1+d|p1∈α, d∈β+γ}=a+ (β+γ)

Die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation lässt sich völlig analog beweisen.

Neutrales Element der Addition:

Offenbar bezeichnetα0 das neutrale Element vonRbzgl. der Addition.

Es gilt n¨amlich einerseits

α₀+α={p+q|p∈α₀, q∈α}={p+q|p <0, q∈α} ⊆α (α∈R) Da wegen der EigenschaftD2die Addition einer negativen Zahl zu einem Element q des Dedekindschen Schnittes α ∈ R nicht aus diesem heraus f¨uhrt. Anderseits gilt auch f¨ur alleα∈R

α⊆α₀+α

Zum Beweis dieser Inklusion seiα∈Rundp∈α. Dann gibt es wegen der Eigenschaft D3ein q∈αmit p < q; also gilt auchp−q <0 und somit p−q∈α0.

Man erh¨alt also p=p−q+q,

wobeip−q∈α0 undq∈α.

Es folgt die Inklusion α⊆α0+α.

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Aus beiden Inklusionen ergibt sich die Identit¨at f¨ur alleα∈R α0+α=α.

Also istα0 das neutrale Element vonRbzgl. der Addition.

Inverses Element:

Aus Lemma 3 folgt nun sofort, dass der Dedekinsche Schnitt−αdas zu α∈Rinverse Element bzgl. der Addition ist.

Kommutativit¨at:

Da sich auch das Kommutativgesetz α+β = β+α(α, β ∈R) sich als triviale Folgerung aus dem f¨ur Q geltenden Kommutativgesetz ableiten l¨asst, ist nun bewiesen, dass die Menge R der Dedekindschen Schnitte eine additive Abelsche Gruppe bildet.

Neutrales Element und inverses Element der Multiplikation:

In weitgehend analoger Weise wie f¨ur die Addition, l¨asst sich auch zeigen, dass der Dedekindsche Schnitt

α1={p∈Q|p <1}

das neutrale Element von R bzgl. der definierten Multiplikation f¨ur alle α∈Rbeschreibt.

Daher existiert gleichzeitig das Inverse Element.

Kommutativit¨at:

Es gilt offenbar auch das Kommutativgesetzαβ=βαf¨ur alleα, β∈R. Distributivit¨at:

Da offenbar auch das Distributivgesetzα(β+γ) = (αβ) + (αγ) gilt, sind sämtliche Körperaxiome für die Menge der Dedekindschen Schnitte für alleα, β, γ∈Rerfüllt.

5 Vollst¨ andigkeit von R

Es ist bekannt, dass√

2 nicht inQliegt, wir haben aber√

2 als Dedekindschen Schnitt konstruiert. Daraus folgt, dass es in Q ”Lücken“ gibt. Diese Lücken werden gefüllt, indem wir R aus Q konstruieren. Dies führt zum Begriff der Vollständigkeit.

Wir k¨onnen Dedekindsche Schnitte in nat¨urlicher Art und Weise anordnen, durch

α≤β ⇐⇒ α⊆β.

Definition:

SeiX⊆Reine Menge von reellen Zahlen undα∈Reine Zahl, dann heißtα

• obere Schranke vonX, fallsx≤αf¨ur allex∈X

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• Maximum vonX, fallsαeine obere Schranke von X ist mitα∈X. Die

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ubliche Schreibweise lautet:

α= maxX

• Supremum vonX, falls

a= min{β|β ist eine obere Schranke vonX} Die ¨ubliche Schreibweise heißt in diesem Fall:

α= supX

Das bedeutet, dass das Supremum die kleinste obere Schranke vonX ist.

X heißt nach oben beschr¨ankt, sobaldX eine obere Schranke besitzt.

Beispiel 3:

1. Die MengeNhat weder Supremum noch ein Maximum, sie ist also unbeschr¨ankt.

2. Das Intervall [−1,2] hat ein Maximum und es gilt max[−1,2] = 2.

3. Das Intervall [−1,2) hingegen hat kein Maximum, daf¨ur jedoch ein Supre- mum und es gilt sup[−1,2) = 2.

Beispiel 4:

Als n¨achstes betrachten wir, wie schon in Beispiel 2, die Menge X :={p∈Q|p²<2∨p≤ −2}

X ist in Q zwar beschr¨ankt, allerdings besitzt X in Q kein Supremum. In R wissen wir existiert das Supremum

supX =√

2. Der Unterschied zwischenQ undR liegt wie dieses Beispiel ver- anschaulicht darin, dass inRjede nach oben beschr¨ankte Menge ein Supremum besitzt im Gegensatz zuQ.

Theorem 1 Die reellen Zahlen R sind vollst¨andig, d.h. jede nach oben beschr¨ankte Teilmenge vonRbesitzt ein Supremum.

Beweis:

Wir betrachten eine nach oben beschr¨ankte TeilmengeX 6= Ø von R, das bedeutet, dass die Elemente vonX Dedekindsche Schnitte sind. Wir setzen

β := [

α∈X

α={p∈Q| ∃α∈X :p∈α}

Nun beweisen wir, dass auchβ ein Dedekindscher Schnitt ist.

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D1 Offensichtlich giltβ 6= Ø, daX 6= Ø undα6= Ø f¨ur jedesα∈X.

Als n¨achstes ist zu zeigen, dass

β6=Q

gilt. Aufgrund der Tatsache, dass die MengeX nach oben beschr¨ankt ist, existiert eine rationale Zahl q ∈ Q mit p < q f¨ur alle p ∈ β. Somit ist q∈Q\β.

D2 Seip∈β undp < q, dann existiert einα∈X mitp∈α. Da allerdingsα ein Dedekindscher Schnitt ist und somit D2 erf¨ullt, folgtq∈α⊆β.

D3 Seip∈ β, dann existiert einα∈ X mit p∈α. Daα ein Dedekindscher Schnitt ist gibt es einq∈αf¨ur das gilt:p < q. Daα⊆β, folgtq∈β.

Nach dem Beweisen der EigenschaftenD1bisD3, wissen wir nun, dassβ∈R. Da allerdings α ⊆ β für alle α ∈ X gilt, muss β eine obere Schranke für X sein. Als nächstes gilt es zu zeigen, dass β die kleinste obere Schranke von X ist. Dazu nehmen wir anγ sei eine weitere obere Schranke von X mit γ < β also ist γ echte Teilmenge von β (γ ⊂ β). Dann gäbe es ein p∈ β \γ. Nach Definition vonβ gibt es allerdings einα∈X mitp∈α. Also folgtα6⊂γ. Somit ist bewiesen, dassRkeine

”L¨ucken“ enth¨alt.

6 Uberabz¨ ¨ ahlbarkeit der Menge R der reellen Zahlen

In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Menge R der reellen Zahlen nicht abz¨ahlbar ist.

Satz 1 Die MengeRder reellen Zahlen ist nicht abz¨ahlbar.

Beweis:

Es ist bereits bekannt, dass jede TeilmengeN einer abz¨ahlbaren Menge M ={m1, m2, m3, ...}

höchstens abzählbar ist. Das bedeutet, wenn wir die MengeRder reellen Zahlen betrachten und eine Teilmenge vonRfinden, welche nicht abzählbar ist, wissen wir, dass generell die Menge R der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Daher betrachten wir nun die Teilmenge vonR, gegeben durch das Intervall [0,1) aller reellen Zahlenrmit 0≤r <1.

Wir nehmen an, dass die Menge [0,1) abz¨ahlbar und eine Aufz¨ahlung{r1, r2, .., rn} ist.

Als n¨achstes betrachten wir jedesr_n als die eindeutige nicht-endende Dezimal- entwicklung (also in eine unendliche Folge von Nullen am Ende):

rn = 0, an1, an2, an3, ...

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Mitαni∈ {0,1, ..,9} f¨ur allenundi.

Als n¨achstes wird das unendliche Schema betrachtet:

r₁= 0, a₁₁a₁₂a₁₃, ...

r2= 0, a21a22a23, ...

. . .

rn= 0, an1an2an3, ...

Nun betrachten wir die reelle Zahl

y= 0, y0y1y2...

Mit

yn =

(0, xnn∈ {1,2, ..,9}

1, x_nn= 0

Dann gilt immer yn 6= xnn, das heißt y 6= xn f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen n.

Hieraus folgt, dassy nicht auf der Liste aller Zahlen in [0,1) erscheint und das ist ein Widerspruch.

Satz 2 Die Menge R² aller geordneten Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Gr¨oße wie R.

Hierbei wird ebenfalls das Intervall [0,1) betrachtet. Wenn der Satz f¨ur ein Intervall aus den reellen Zahlen gilt, dann gilt dies auch f¨ur die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Beweis:

Wir wollen zeigen, dass die Menge aller Paare (x, y) mit 0< x, y ≤1 bijektiv auf das Intervall (0,1] abgebildet werden kann. Dazu wird das Paar (x, y) betrachtet undx, yihrer eindeutigen undendlichen Dezimaldarstellung wie in dem Beispiel zugeschrieben.

x= 0,3 01 2 007 08 ...

y= 0,009 2 05 1 0008 ...

Die Ziffern vonx und y wurden, wie unschwer zu erkennen, in Gruppen auf- geschrieben; die Gruppen sind so angeordnet, dass alle Ziffern zusammen geschrieben werden, bis die erste Ziffer 6= 0 erscheint. Wir assoziieren zu (x, y) die Zahlz∈(0,1] indem wir die erste x-Gruppe hinschreiben, danach die ers- tey-Gruppe, dann die zweitex-Gruppe, usw. In unserem Beispiel erhalten wir nun:

z= 0,30090122050071080008

Wederxnochy enthalten ab einem gewissen Punkt nur noch Nullen, daher ist der Ausdruck f¨ur z wieder eine nicht-endende Dezimaldarstellung. Umgekehrt ist es m¨oglich aus zdas Urbild (x, y) abzulesen.

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Literatur

[AZH15] Aigner, Martin ; Ziegler, G¨unter M ; Hofmann, Karl H.: Das BUCH der Beweise. Bd. 4. Springer, 2015

[Kra17] Krapf, Regula: Skript: Elementarmathematik vom h¨oheren Stand- punkt. 2017