Ein Datenbank-Problem

(1)

Datenstrukturen und Algorithmen

Christian Sohler

FG Algorithmen & Komplexität

(2)

Ein Datenbank-Problem

Problem:

• Gegeben sind n Objekte O ,.., O mit zugehörigen Schlüsseln s(O )

Operationen:

• Suche(x); Ausgabe O mit Schlüssel s(O) =x;

nil, falls kein Objekt mit Schlüssel x in Datenbank

• Einfügen(O); Einfügen von Objekt O in Datenbank

• Löschen(O); Löschen von Objekt O mit aus der Datenbank

1 n

i

(3)

Ein Datenbank-Problem

Binäre Suchbäume:

• Ausgabe aller Elemente in O(n)

• Suche, Minimum, Maximum, Nachfolger in O(h)

• Einfügen, Löschen in O(h)

Frage:

• Wie kann man eine „kleine“ Höhe unter Einfügen und Löschen garantieren?

(4)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Bäume

• Ein Baum heißt AVL-Baum, wenn für jeden Knoten gilt:

Die Höhe seines linken und rechten Teilbaums unterscheidet sich höchstens um 1.

(5)

Ein Datenbank-Problem

Satz 21

Für jeden AVL-Baum der Höhe h mit n Knoten gilt:

(3/2) ≤

^h

n ≤ 2 -1

^h+1

(6)

Ein Datenbank-Problem

Satz 21

Für jeden AVL-Baum der Höhe h mit n Knoten gilt:

(3/2) ≤ n ≤ 2 -1

Korollar 22:

Ein AVL-Baum mit n Knoten hat Höhe Θ(log n).

h h+1

(7)

Ein Datenbank-Problem

Rotationen:

y

x

A B

C

C A

B x

Rechtsrotation(T,y) y

Linksrotation(T,x)

(8)

Ein Datenbank-Problem

Beispiel 1:

7

20 9

15

17

19 27

21

7

20 9

15

17 21

19

27 Rechtsrotation(T,y)

y x

x y

(9)

Ein Datenbank-Problem

Beispiel 2:

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y Linksrotation(T,x)

9

20 15

21

7 17

19

27 x

y

(10)

Ein Datenbank-Problem

Linksrotation(T,x) 1. y ← rc[x]

2. rc[x] ← lc[y]

3. if lc[y]≠nil then p[lc[y]] ← x 4. p[y] ← p[x]

5. if p[x]=nil then root[T] ← y

6. else if x=lc[p[x]] then lc[p[x]] ← y 7. else rc[p[x]] ← y

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

(11)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

Annahme: x hat rechtes Kind.

(12)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

(13)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y

(14)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y

(15)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y

(16)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y nil

(17)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y nil

root[T]

(18)

Ein Datenbank-Problem

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

19 27

21 x

y nil

root[T]

(19)

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

Ein Datenbank-Problem

7

20 9

15

17

27

19

21 x

y nil

root[T]

(20)

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

Ein Datenbank-Problem

7

20 9

15

17

27

19

21 x

y nil

root[T]

(21)

Ein Datenbank-Problem

21

2. rc[x] ← lc[y]

8. lc[y] ← x 9. p[x] ← y

7

20 9

15

17

27

19

21 x

y nil

root[T]

Laufzeit:

^O(1)

(22)

Ein Datenbank-Problem

Dynamische AVL-Bäume

• Operationen Suche, Einfügen, Löschen, Min/Max, Vorgänger/Nachfolger,… wie in der letzten Vorlesung

• Laufzeit O(h) für diese Operationen

• Nur Einfügen/Löschen verändern Struktur des Baums

Idee:

• Wir brauchen Prozedur, um AVL-Eigenschaft nach Einfügen/Löschen wiederherzustellen.

(23)

Ein Datenbank-Problem

Dynamische AVL-Bäume

• Operationen Suche, Einfügen, Löschen, Min/Max, Vorgänger/Nachfolger,… wie in der letzten Vorlesung

• Laufzeit O(h) für diese Operationen

• Nur Einfügen/Löschen verändern Struktur des Baums

Idee:

• Wir brauchen Prozedur, um AVL-Eigenschaft nach Einfügen/Löschen wiederherzustellen.

Nach Korollar 22 gilt h = Θ(log n)

(24)

Ein Datenbank-Problem

Definition:

• Ein Baum heißt beinahe-AVL-Baum, wenn die AVL-

Eigenschaft in jedem Knoten außer der Wurzel erfüllt ist und die Höhe der Unterbäume der Wurzel um höchstens 2 unterscheidet.

(25)

Ein Datenbank-Problem

Problem:

• Umformen eines beinahe-AVL-Baums in einen AVL- Baum mit Hilfe von Rotationen

• O.b.d.A.: Linker Teilbaum der Wurzel höher als der rechte

(26)

Ein Datenbank-Problem

Fall 1:

y

x

A B

C H-1

H oder H H-1

(27)

Ein Datenbank-Problem

Fall 1:

x

y

B C A

y

x

A B

C

Rechtsrotation(T,y)

H-1 H

H oder H-1

H-1 H oder

H H-1

(28)

Ein Datenbank-Problem

Fall 2:

y

x

A B

C H-1

H-1 H

(29)

Ein Datenbank-Problem

Fall 2:

y

x

A B

C H-1

H-1 H

(30)

Ein Datenbank-Problem

Fall 2:

y

x

A

C H-1

H-1 H

z

B‘ B‘‘

H-2 oder

H-1 H-2

oder

(31)

Ein Datenbank-Problem

Fall 2:

y

x

A

C

H-1

H-1 H

z

B‘ B‘‘

H-2 oder

H-1 y

C z

B‘‘

x

H-1 A B‘

H-2 oder

H-1

H-2 oder

H-1

H-2 oder

H-1 Linksrotation(T,x)

(32)

Ein Datenbank-Problem

Fall 2:

H-1

H-2 oder

H-1 y

C z

B‘‘

x

H-1 A B‘

H-2 oder

H-1

z

y

C x

B‘‘

B‘

A Rechtsrotation(T,x)

(33)

Ein Datenbank-Problem

Balance(T) 1. t ← root[T]

2. if h[lc[t]] > h[rc[t]]+1 then

3. if h[lc[lc[t]]]< h[rc[lc[t]]] then 4. Linksrotation(lc[t])

5. Rechtsrotation(t)

6. else if h[rc[t]]> h[lc[t]]+1 then 7. if h[rc[rc[t]]]< h[lc[rc[t]] then 8. Rechtsrotation(rc[t])

9. Linksrotation(t)

y

x

A B

C H-1

H oder H H-1

(34)

Ein Datenbank-Problem

9. Linksrotation(t)

y

x

A B

C H-1

H oder H H-1

(35)

Ein Datenbank-Problem

9. Linksrotation(t)

y

x

A B

C H-1

H oder H H-1

h gibt Höhe des Teilbaums an.

Dies müssen wir zusätzlich in unserer Datenstruktur aufrecht

erhalten.

(36)

Ein Datenbank-Problem

9. Linksrotation(t)

y

x

A B

C H-1

H oder H H-1

(37)

Ein Datenbank-Problem

9. Linksrotation(t)

y x

A

B C

(38)

Ein Datenbank-Problem

9. Linksrotation(t)

y x

A

B C

(39)

Ein Datenbank-Problem

Kurze Zusammenfassung:

• Wir können aus einem beinahe-AVL-Baum mit Hilfe von maximal 2 Rotationen einen AVL-Baum machen

• Dabei erhöht sich die Höhe des Baums nicht

Einfügen:

• Wir fügen ein wie früher

• Dann laufen wir den Pfad zur Wurzel zurück

• An jedem Knoten balancieren wir, falls der Unterbaum ein beinahe-AVL-Baum ist

(40)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Einfügen(t,x) 1. if t=nil then

2. t ← new node(x); return

3. else if key[x]<key[t] then AVL-Einfügen(lc[t],x) 4. else if key[x]>key[t] then AVL-Einfügen(rc[t],x) 5. else return ¾ Schlüssel schon vorhanden 6. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

7. Balance(t) ⁸

5 9

3 6

(41)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t) ⁸

5 9

3 6

Einfügen 2

(42)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t) ⁸

5 9

3 6

(43)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t) ⁸

5 9

3 6

Einfügen 2

(44)

Ein Datenbank-Problem

3

7. Balance(t) ⁸

5 9

6

(45)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6 Einfügen 2

(46)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6

(47)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6 nil Einfügen 2

(48)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6

Neuen Knoten erzeugen.

Zusätzlich noch Zeiger lc[t] und rc[t] auf nil setzen, sowie p[t] und

den Zeiger von p[t]

setzen.

(49)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6 Einfügen 2 2

h[nil] definieren wir als 0.

(50)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6

(51)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6 2 Einfügen 2

(52)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6

(53)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3

8

5 9

6 2 Einfügen 2

(54)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

3 8

5

6 9 2

(55)

Ein Datenbank-Problem

7. Balance(t)

Laufzeit:

• O(h) = O(log n)

3 8

5

6 9 2

Einfügen 2

(56)

Ein Datenbank-Problem

Korrektheit(Skizze):

• Induktion über die Länge des Suchpfads (startend vom eingefügten Blatt):

• Einfügen in einen leeren Baum funktioniert

• T nicht leer, dann wird x in einen der beiden Teilbäume eingefügt

• Nach Ind. Ann. sind diese Teilbäume bereits AVL- Bäume und unterscheiden sich nur um maximal 2 in ihrer Höhe

• Falls die AVL-Eigenschaft nicht erhalten bleibt,

(57)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

1. if k<key[t] then AVL-Löschen(lc[t],x) 2. else if k>key then AVL-Löschen(rc[t],x)

3. else if t=nil then return ¾ x nicht im Baum 4. else if lc[t]=nil then ersetze t durch rc[t]

5. else if rc[t]=nil then ersetze t durch rc[t]

6. else u=MaximumSuche(lc[t])

7. Kopiere Informationen von u nach t 8. AVL-Löschen(key[u],lc[t])

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t) ³ ⁸

5

6 9

(58)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

5 k bezeichnet Schlüssel

des zu löschenden Elements.

Löschen(3)

(59)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

5

6 9

Löschen(3)

(60)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

5

Löschen(3)

(61)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t) ⁸

5

6 9

Löschen(3)

nil

Und die anderen Zeiger aktualisieren

(62)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t) ⁸

5

Löschen(3)

nil Oder h[t]=0,

falls t=nil

(63)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t) ⁸

5

6 9

Löschen(3)

nil Nichts zu tun,

da Baum leer.

(64)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t) ⁸

5

Löschen(3)

(65)

Ein Datenbank-Problem

AVL-Löschen(t,x)

9. h[t] = 1 + max{h[lc[t]], h[rc[t]]}

10.Balance(t)

8

5 9

6

Löschen(3)

(66)

Ein Datenbank-Problem

Korrektheit:

• Ähnlich wie beim Einfügen

Satz 23:

Mit Hilfe von AVL-Bäumen kann man Suche, Einfügen,

Löschen, Minimum und Maximum in einer Menge von n Zahlen in Θ(log n) Laufzeit durchführen.

(67)

Ein Datenbank-Problem

Zusammenfassung und Ausblick:

• Effiziente Datenstruktur für das Datenbank Problem mit Hilfe von Suchbäumen

• Kann man eine bessere Datenstruktur finden?

• Was muss man ggf. anders machen?

(untere Schranke für vergleichsbasierte Strukturen)