Zeittafel. v.u.z. aus vier Grundelementen: Feuer, Wasser, Luft und Erde besteht.

~ 440 Empedokles nimmt an, daß die gesamte Welt v.u.Z. aus vier Grundelementen: Feuer, Wasser, Luft

und Erde besteht.

~ 400 Leukipp und sein Schüler Demokrit behaup- v.u.Z. ten, daß die Welt aus kleinsten unteilbaren Teil- chen, den Atomen, aufgebaut ist, die unzerstör- bar sind.

~ 360 Platon postuliert regelmäßige geometrische v.u.Z. Strukturen (Platonische Körper) als Bausteine

des Seins.

~ 300 Epikur schreibt den Atomen Schwere und Aus- v.u.Z. dehnung zu.

1661 Robe rt Boyle vertri tt in sei nem Buch "The Sceptical Chemist" entschieden die Atomvor- stellung, wonach die Materie aus Teilchen be- steht, die sich durch Größe und Form unter- scheiden. Er prägt die Begriffe chemisches Element und chemische Verbindung.

1738 David I. Bernoulli nimmt an, daß Wärme als Bewegung kleinster Teilchen aufzufassen ist und begründet damit die kinetische Gastheorie.

1803 John Dalton begründet in seinem Buch "A new System of Chemical Philosophy" die Atom- hypothese experimentell durch sein Gesetz der konstanten Proportionen. Jedes chemische Element besteht aus gleichartigen Atomen, die sich nach einfachen Zahlen verhältnissen zu Molekülen, den Bausteinen chemischer Ver- bindungen zusammensetzen.

1811 Amadeo Avogadro stellt auf der Grundlage der Arbeiten Gay-Lussacs die Hypothese auf, daß alle Gase unter gleichen Bedingungen gleich viele Teilchen pro Volumeneinheit enthalten.

1857 Rudo(f 1. E. Clausius entwickelt die von Ber- noulli begründete kinetische Gastheorie wei- ter. Er führt den Begriff der absoluten Tempe- ratur ein.

1865 1. Loschmidt berechnet die pro cm' eines Ga- ses unter Normalbedingungen enthaltene Zahl von Molekülen.

1869 Lothar Meyer und D.l. Mendelejew stellen das Periodensystem der chemischen Elemente auf.

1869 Joha/111 Wilhelm Hittoff" findet in Gasentladun- gen die Kathodenstrahlung.

1870 1. C. Maxwell baut die kinetische Gastheorie mathematisch aus und bezeichnet die Atome als "absolute, unveränderliche Bausteine der Materie".

1884 Ludwig Boltzmann entwickel taus statisti schen Überlegungen die Verteilungsfunktion für die Energie eines Systems von Atomen. Die Ste- fan-Boltzmann-Strahlungsformel wird aufge- stell t.

1885 Johann Jakoh Balmer findet die Balmerformel für die Spektrallinien des Wasserstotfatoms.

1886 Eugen Goldstein entdeckt die Kanalstrahlen.

1888 Philipp Lenard untersucht die Absorption von Kathodenstrahlen und findet den lichtelektri- schen Effekt.

1895 Wilhelm Conrad Röntgen entdeckt bei der Un- tersuchung der Kathodenstrahlen eine neue Art von Strahlen, die er X-Strahlen nennt.

1896 Henry Becquerel entdeckt die Radioaktivität.

1898 Marie Curie isoliert radioaktive Elemente (po- lonium, Radium) aus Mineralien.

1900 Max Planck trägt seine Theorie der Hohlraum- strahlung vor. "Geburtsjahr" der Quantentheo- rie.

1905 Alhert Einstein liefert durch seine Theorie der Brownschen Molekularhewegung einen direk- ten Beweis für die atomistische Struktur der Materie. Seine Theorie des lichtelektrischen Effektes verwendet die Plancksche Lichtquan- tenhypothese.

1909 Robert Millikan bestimmt die Elementarla- dung mit Hilfe der Öltröpfchenmethode.

1911 Ernest Rutherford untersucht die Streuung von

[l-Teilchen an Goldatomen und stellt sein Atommodell auf, das als Grundlage der moder- nen Atomphysik angesehen werden kann.

1913 Niels Bohr entwickelt aus dem Rutherford- Modell und der Planckschen Quantenhypothe- se sein neues Atommodell.

1913 James Franck und Gustav Hertz führen Versu- che durch, welche die Energiequantelung der Atomzustände mi t Elektronenstoßanregung be- stätigen.

1913 Henry Moseley bestimmt aus den von ihm ge- fundenen Gesetzmäßigkeiten in den Röntgen- strahlen der Atome die Kernladungszahlen.

1919 Arnold Sommerfeld faßt die bisher bekann- ten Fakten und Vorstellungen in seinem Buch

"Atombau und Spektrallinien" zusammen und erweitert das Bohrsche Atommodell.

1921 Dtto Stern und Walter Gerlach zeigen durch die Ablenkung von Atomstrahlen in Magnet- feldern die Richtungsquantelung.

1924 Louis de Broglie führt das Konzept der Mate- riewellen ein.

1925 S. A. Goudsmit und G. E. Uhlenbeck führen zur Erklärung des anomalen Zeeman-Effektes den Elektronenspin ein.

Wolfgang Pauli stellt aus Symmetrieüberle- gungen sein Ausschließungsprinzip (Pauliprin- zip) auf.

Erwin Schrödinger erweitert die Überlegun- gen von de Broglie über Materiewellen zu ei- ner Wellenmechanik, die durch die Schrödin- gergleichung beschrieben wird.

1927 W Pauli gibt eine mathematische Darstellung des Spins mit Hilfe zweireihiger Matrizen (Pau li -Matrizen).

Werner Heisenberg entwickelt mit Max Born und Pascual Jordan die Quantenmechanik und stellt die Unschärferelationen auf.

1928 Die von de Broglie aufgestellte Hypothese der Materiewellen wird von L. H. Germer und J. L.

Davisson experimentell durch Elektronenstreu- ung an dünnen Folien bestätigt.

Paul Dirac entwirft eine relativistische Theo- rie der Quantenmechanik.

Chandrasekhara Raman entdeckt die inelasti- sche Lichtstreuung durch Moleküle (Raman- Effekt).

1932 E. Ruska baut das erste Elektronenmi kroskop.

1936 I. Rahi entwickelt seine Hochfrequenz-Mole- kularstrahl-Methode zur Messung magneti- scher Momente.

1944 G. Th. Seaborfi identifiziert die ersten Trans- urane.

1948 Ausarbeitung der Quantenfeldtheorie durch 1. Schwinger, R. P Feynman und S. Tomonafia (Quantenelektrodynamik).

1950 Entwicklung der experimentellen Technik des -1960 optischen Pumpens durch A. Kastler und Bros-

seI.

1952 F elix Bloch demonstriert die Kernresonanz- Methode.

1953 F. H. Crick und 1. D. WatS()f1 bestätigen durch Röntgenbeugung die Doppelhelix-Struktur der DNS-Moleküle.

1954 Entwicklung der theoretischen Grundlagen des Maser-Prinzips durch Basow. Prochorow und Townes. angestoßen durch die Arbeiten von Kastler.

Erste experimentelle Realisierung des Ammo- niak-Masers durch Gon/on, Zeifier und Tow- nes.

1959 Arbeiten von A. Schawlow und Ch. Townes zur Erweiterung des Maserprinzips auf den opti- schen Bereich.

1960 Experimentelle Realisierung des ersten Lasers (Rubinlaser) durch Th. Maiman.

1966 Der Farbstofflaser wird von F. P Schäfer und PA. Sorokin entwickelt.

1971 Nobelpreis an G. Herzherg für seine umfassen- den Arbeiten über die Spektren und die Struk- tur von Molekülen.

1980 Optische Kühlung von Atomen durch Photo- nenrückstoß.

1982 Entwicklung des Tunnelmikroskops; Sichtbar- machung einzelner Atome auf Festkörperober- flächen.

1985 Nobelpreis an Ruska. Binnig und Rohrer für die Entwicklung des Raster-Tunnelmikroskops.

Erzeugung ultrakurzer Lichtpulse im Femtose- kundenbereich. Beobachtung einzelner Atome mit Hilfe der Laserspektroskopie.

1988 Nobelpreis an H. Michel, J. Deisenhofer, R. Hu- ber für die Aufklärung der Primärprozesse bei der Photosynthese mit Hilfe der Femtosekun- dentechnik.

1989 Nobelpreis an N. Ramsey, H. Dehmelt, W. Paul für die Speicherung von Neutronen, Ionen und Elektronen in elektromagnetischen Fallen.

1991 Puls-Fouriertransform-NMR -Spektroskopie;

Nobelpreis an Richard Ernst.

1992 Manipulation einzelner Atome mit Hilfe des Kraftmikroskops.

1995 Kühlung freier Atome in der Gasphase auf Temperaturen unter 100 nK. Beobachtung von Bose-Einstein-Kondensation.

Lösungen der Ubungsaufgaben

Kapitel 2

I. a) Der mittlere Abstand beträgt

- 3 I -8

JT

d = 2,6 . 1025 m = 10 m .

V 26

::::; 3 . 1 O-lJ m::::; 10 Atomdurchmesser.

b) Für den Raumausfüllungsfaktor TI ergibt sich

4 4

n = - nr' . n = - n· 10-³⁰ .26. 1025

" 3 3 '

= 1,1· 10-⁴ = 0,01%.

c) Die mittlere freie Weglänge beträgt A = ---=0---I

J2·n·(j

(j= n· (2r)2 = 4n? = 1,3. 1O-^1lJm² n = 2,6 . 1025m-³

'*

^{A= h} 1 m=2,2·1W 7m

v2· 3,3.10⁶

= 220 nm.

2. Die Massendichte ergibt sich zu

Qm = (0,78 . 28

+

0,21 ·32

+

0,01 ·40)

·nAME

IAME = 1 66· 10-

,

²⁷ kg

,

n = 26· 1025/m

,

³

'*

^{Qm = (21,8}

⁺

^6,72

⁺

^0,4)

·2,6· 1025 . 1,66· 10-27 kg/m³

= 1,25 kg/m³ 3. a) 1 g 12C

~ ~

mol

'*

^{N = 6 . 10}12 ^{23 / 12 = 5 . 1022 .}

10-³ b) I cm³ He

~

^{22,4 VM}

6 . 1023 . 10-³

---'- N = = 2 7 . 1019 •

--T 22,4 '

'*

N = 4,3 . 1025 Atome.

d) 10dm³ H2 bei 10⁶ Pa .:'- IOOdm³ bei lOS Pa

'*

^v

= -- ::::;

_22,4 100 ^{4,5 mol}

'*

^N

=

4,5 . 6 . 10²³

=

^{2,7 . 1024 .}

4. p=n·k·T;n=lcm-³ =10⁶m-³

'*

^{p = 106}.1,38.10- 23 . 10Pa

=

^{1,38 .1O-16Pa.}

Wegen der Wandausgasung und Gasrückströmung in Vakuumpumpen sind die tiefsten im Labor er- zielten Drücke etwa

p::::

^{10 -10} Pa (siehe Bd. 1.

Kap. 9).

5. 100 oN ~ 273 K

'*

^{I oN ~ 2,73 K.} Die mittlere Energie pro Atom und Freiheitsgrad muß unabhän- gig vom gewählten Maßsystem sein:

I I

'* 2:

^kB

h

=

2:

^{kN TN}

'*

^k _N

=

_1-273

,

k B

=

5 I . , 10-²⁴ J/"N .

Der Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck läge in der neuen Skala bei

100 0

Ts = 100

+ -

= 136.6 N.

2,73 .

6. Die Schallgeschwindigkeit VPh in einem Gas mit Druck p und Dichte [2 ist (siehe Bd. I, Kap. 10):

VPh =

VI(" p/

^{[2 mit I(' = CI'/C}v

=} V~h

=

^1('. p/ {!.

Allgemeine Gasgleichung (M = Moirnasse):

p' VM p M p . VM = R . T =} R = -T- =

Q . T '

=} V~h =I('·R·T/ M.

Für radiale akustische Resonanzen gilt:

n . A = ro =} VPh = v· A = (vn/n) . ro n · VPh

=} Vn

= - - .

ro

Die allgemeine Gaskonstante kann dann aus v~h·M v?;·Tö·M

R - - -- - ---,,-=--''-- - 1('. T - n2 . I(' . T

bestimmt werden (mit ^I(' = 5/ 3, M = 40 g/ mol für Argon), wenn die Eigenfrequenzen Vn mit n 1 , 2, 3, . . . gemessen werden.

7. Scheinbare Masse der Kolloidteilchen:

* 4 ³ 4 ³

m = m - - 7rr i?F1 = - 7rr (i?T - i?F1)

3 3

= 7,74 . 10-¹⁸ kg, m

=

4,76 · 10-¹⁷ kg.

Dichteverteilung:

n

=

no . e - m*gz/ kT

=} n(hl )

=

^e-m*gfkT(hj- h2)

n(h2 )

=} k = m*g· oh T · ln(nl / n2)

77· 10-¹⁸. 981 .6.10-⁵

= ' 290

.ln(~9/14)

^J/K

= ! ,25· 10-²³ J/ K.

Der heutige Bestwert ist:

k =

1,38 . 10-²³ J

/1<"

NA = R/k = 8,3 23 /mo! ;:::j 6,6· 10²³/mo!

1,25· 10- .

M = NA . m = 6,6.10²³4,76.10-¹⁴ g/ mol

= 3 . 10¹⁰ g/mol.

Wenn ein Kolloidmolekül eine Massenzahl von 10⁴ hat, bestehen die Kügelchen aus etwa 3 . 10⁶ Mole- külen.

8. a) Wenn die erste Beugungsordnung bei ßI = 87°

liegen soll, kann der Einfallswinkel a aus der Git- tergleichung (siehe Bd.2, Abschn. 10.5) bestimmt werden zu (siehe Abb. L.I):

A 'i. 10-¹⁰

sina= - +sinßI = -a 0,83.10-( +0,99863 ¹

= 0,99923

=}

a

= 87,75° .

Normale

Abb. L.I. Zu Lösung 2.8a)

Die zweite Beugungsordnung erscheint dann bei

2A °

sin ß2 = sin a -

d

= 0,99803 =} ß2 = 86,40 . Der Winkel unterschied ist nur !Jß = 0,6^0• Für a =

88,94° wäre!Jß = 0,75°.

b) Bragg-Bedingung:

2d· sin a = A

A 2.10-¹⁰

=} d = m

2 . sin

a

2 . 0,358

= 2,79 . 10-¹⁰ m.

r

^a

^{T __}

--:"'---tI...._- __

11 ^~ ________

Abb. L.2. Zu Lösung 2.8b)

Dies ist die halbe Länge der kubischen Elementar- zelle =? a = 0,58 nm. Da NaCI kubisch ftächen- zentriert ist, gehören 4 NaCI-Moleküle zu einer Elementarzelle (Abb. L.2). Die Molekularmasse von NaCI beträgt 23

+

35 ⁼ 58 Dalton, die Zahl

der Atome pro m³ .

4 -3 28 -3

N

=

5 8

,

3 . 10-30 m

=

2,30 . 10m , Masse eines Moleküls:

() 2,1.10³ -26

mNaCi

= IV =

2 54 . 102X kg

, =

9, I . 10 kg.

In 58 g (l mol) NaCI sind NA NaCI-Moleküle 5 8· 10-²

=? N _A

='

8. 10-26 mol-I

=

64.10' ²³ mol-I c) Aus der Bragg-Bedingung

2d . sin 73 = m . A.

ergibt sich für m

=

I die Kantenlänge a

=

2d der Elementarzelle des kubisch-ftächenzentrierten Git- ters zu

A. -10

a

= --:--:a =

6,6 . 10m.

Slnu

Der Radius ro der Kugeln ist nach Abschn. 2.4.3 ro =

~

.

Vi·

a = 233.10-¹⁰ m

4 '

=? V

=

4

3"Jrr6 =

53· 1O-³⁰m^{3 .}

9. Van-der-Waals-Gleichung für I mol:

(VM = Molvolumen). AusmultipIizieren:

a ab

p . VM - pb

+ - - -

= R . T.

VM V~

P . VM ausklammern:

p,VM

(l_~+al;_a'blp)=R'T,

ViM V,-_M

v,3

_M

P . VM (I - x) = R . T (x« I) .

Dividieren:

- -I ~ 1

+x

I-x

( b alp ablP )

=? p . VM = R . T I

+

^{ViM -}

v.2 + V,3

M M

Virialgleichung (vires = Kräfte): Die Konstanten B(T), C(T) geben Informationen über Wechsel wir- kungen zwischen Molekülen. Sie beschreiben Ab- weichungen vom idealen Gas, wo die Kräfte Null sind.

Vergleich:

p.

V

M = R . T

(1 +

^B(T)

+

^C(T))

VM V~

=? B(T) = b = 4-faches Eigenvolumen aller Mo- leküle in VM ; hängt nur schwach von T ab, weil Streuquerschnitt ^(J etwas von v abhängt.

C(T) = - - , a p

a

=

Maß für Wechselwirkung, alV~

=

Binnen- druck. Der Term C IV~ gibt also das Verhältnis von Binnendruck zu Außendruck an.

10. a) Wenn ein paralleler Atomstrahl von N Ato- men A pro sund m2 auf ruhende Teilchen B trifft (Abb. L.3), ist der Streuquerschnitt ^(J = Jr(rl +r2)2.

Für gleiche Atome A

=

Bist rl

=

r2 =? ^(J

=

Jr. D2 mitD

=

2r.

f-- dx -+l Abb. L.3. Zu Lösung 2.10

N Dichte n

Abnahme der Teilchen durch Streuung:

dN = -N . n . ^(J. dx

(n

=

Teilchendichte der Atome B)

=?

N(x)

=

No . e-

nax .

Wie in Bd. I, Abschn. 7.3.6 gezeigt wird, ist x (n . CJ) -I gleich der mi ttleren freien Weglänge A

=} A=--. I n·CJ

b) In einem Gas im thermischen Gleichgewicht ha- ben die Teilchen eine isotrope Maxwellsche Ge- schwindigkeitsverteilung. Die mittlere Zeit zwi- schen zwei Stößen ist dann:

T= ---;---;-I n ·CJ·

lVI'I

(lvI'I

ist der Betrag der mittleren Relativgeschwin- digkeit).

VI' = VI - v2

o ry 7

=}

V7-

=

VI + V2 -

2vI .

V2

=}

(V;') = (VT) + (vi),

^weil

^{(V2' V2! =}

⁰

= 2

(v

^{2 ), weil A = B,}

(vT)

⁼

(V~)

I

=} T = --==---==

12 .

^{n . CJ·}

vi

(02

! '

A =

r{0i)

I l2·n·CJ·

11. a) Längsfeld B mit Länge L = 4f, Beschleuni- gungsspannung U. Nach Bd. 2, (3.34) gilt:

e 16n.2 U

m VB2'

=} 8(e_elm

l

_m)::::

12&1

_L

⁺ 128B

_B ^I

⁺ 18U

_U ^I

=4.10-

³

+2.10-

⁴

+

1.10 4

= 4,3 . 10-¹

aus der Ungenauigkeit der Messung von L, Bund U, wenn die Brennweite

f

= LI4 gen au eingestellt werden könnte.

Wie kommt die Ungenauigkeit von

f

zustande?

Annahme: Maximale Auslenkung von Achse sei

Cl = 5 mm (Abb. LA).

L = 100mm

=} sin a ::::: -5 = 0.2 rad.

25

1~'---L= 4f---~

Abb. L.4. Zu Lösung 2.1 1

Wenn die Lage des Fokus sich um iJ.L verschiebt.

wird der Radius des Bündels auf ro

+

iJ.L . tg a anwachsen. Wenn der Strom I durch die Blende mit Radius ro = 0,5 mm auf 10-³ genau gemes- sen werden kann, merkt man, wenn die Fläche des Strahlenbündels auf mindestens Jrr6( I

+

10 3) an- steigt.

Jr[(ro

+

iJ.r)2 -

rill ::::

^{10 3}JrrB I

=} iJ.r

:s ^{'2 .}

^{10\0 = 5 . 10-4 mm ,}

iJ.r ^ccc iJ.L· tg a

=} iJ.L:::: 5 . 10 4 mm/0,2

=2,S·IO.lmm.

Die Unsicherheit von iJ.L auf Grund der Einstellun- genauigkeit des Fokus ist daher von gleicher Grö- ßenordnung wie die geometrische Meßgenauigkeit von L. Der maximale Fehler für el m ist dann etwa 7.10-3 .

b) Die maximale Ablenkstrecke von der Sollgera- den muß 8x

<

10 .1. h sein, da der Strom durch die Blende mit der Breite h auf 10-.1 genau gemessen werden kann. Die Auslenkung in x-Richtung ist

I I

mit a=-(eE,-e·v·B,)=-F,. _{m . m} Wegen I = L/u und (12 = 2eU

Im

^folgt

I L

x = -F·--- 2'\ 2eU

äx s: ax s: ax s:

=} 8x = ä-:--F_x uF,

+ -::;-

uL uL

+ -;::;-

uU uU

=}

I~xl

⁼

I~xl +21~1 ⁺ I~~I·

MitbL/L = 2.10-3 , OFx/Ft = OEx/Ex

+

OBy/By

=

2· 10-4 ,

oV /V =

10-⁴ folgt . . 8x =43.10-

,

³

x

=? Ox = 4,3 . 10-⁴ mm

für x = h = 0, I mm. Die Unsicherheit Ox

<

10 ³ h

= I . 10-⁴ mm auf Grund der Ungenauigkeit der Strommessung ist hier kleiner als die auf Grund der Unsicherheit in den Werten von E, Bund V. Das Verhältnis e/m kann dann wegen

e E² m 2VB2

=?

O~1~n)

^{= 21}

~

¹

⁺

¹

~

¹

⁺

²¹

~

¹

:S

^{5 . 10-4}

auf mindestens 5 . 10-4 genau gemessen werden.

12. Aus mvz /R

=

e· v· Bund fa

=

^R/ sin<p folgt

m·v m·v 1

B = -~ = J2m . e . V.

e . R e · Jo sin <p ej() sin <p

Mite·V

=

10³ eV

=

1,6.10-¹⁶ J, m

=

40AME

=

40· 1,66 . 10-²⁷ kg, sin <p

=

sin 60°

= ! J3,

^fo

=

0,8 m folgt B = 4,2· 10-² Tesla.

13. Nach (2.64) gilt für die Brennweite:

. 4·

JifO

²

Jf/Jr.)/a

j = ~o = -~-o --'---'----

J

^2adz

r

^dz

()

^J(/!o+a~2 z'co

J(I/!ofa)+z2 2JI/Jo/a

[I

^{n z}

⁺ J

^{((Po / a)}

+ Z2]

^;)0

2JI/Jo/a

In

(zo+~)'

~

14. Ein Ion, das am Ort x erzeugt wird, legt den Weg s im elektrischen Feld E = V / d bis zur Blende 2 zurück (Abb. L.5).

1 .

s = -atT mit a = e· E/m 2

=? tl = J2ms und e· E

VI =(e·E/m)tl =V~'

~

I I I

b 2 3

I I

I I

I I I I I

s

-+--- _- -i- D

--- ~ -

I : : 0

I I I

I I I

:- d = 3cm .. :.. L= lm . : Abb. L.S. Zu Lösung 2.14

Die Driftzeit im feldfreien Raum zwischen Blende 2 und 3 ist

t2 = L/vi = L·

J

_2eEs ^{m .}

Gesamtfiugzeit:

{i;

^2s+L

T = tl

+

^t2 = - - . - - e·E

.J2S

Die Flugzeitdifferenz LJT für Ionen, die bei SI =

(d +b)

/2

^{bzw. S2 = (d -b} )/2 (d.h. an den Rändern des Ionisierungsvolumens) gebildet werden, ist

~ ffi ^{(2.1'1 + L 2.1'2 + L)}

LJT1 ^~ - --~ - --~

eE

J2sI J2S2

=

jm (d ⁺ b ⁺ L _ d - b ⁺ L)

V-;;E

Jd+b Jd-b

Für m

=

100 AME

=

1,66 . 10-²⁵ kg erhält man für b

=

2 mm, d

=

30 mm, L

=

1 m

LJTI = 1,018.10-5 . (5,769 - 6,143) s

= -3,811 /ls.

Die Ionen mit .I' = (d

+

b)/2 haben eine kürzere Laufzeit als die von .I' = (d - h)

/2,

weil sie eine größere Geschwindigkeit haben.

Zwei Ionen aus der Mitte des Ionisierungsvolu- mens (.I' = d /2) mit den Massen m I und m2 haben die Flugzeitdifferenz

LJT2 = d+L ~. (yIml -

fol2) .

vedE

Einsetzen der Zahlenwerte für ml = 110 AME, m2 = 100 AME liefert

LJTz = 1,49 . 108 . 2 . 10-14 S

~ 3J..ls.

Das Massenauflösungsvermögen ist nur m/ ,1m ~ 10, kann aber durch die McLaren-Anordnung sehr erhöht werden.

b.a) Zur Anordnung siehe Bd. 2, Abb. 3.27.

h2 = hl

+ - . 2m

,1v eB

m. v² m·v

- -=q·v·B

R ^=';> R=--

q·B m 2

2V = q. U =';> R=

~V2u.m

B

q

R²B²q

=,;>m=--.

2U

b.ß) Um zwei Massen ml und m2 noch aufzulösen, muß 2(R I - R2)

>

b2 sein. Massenauflösung:

m _{- - .} R2B²q 2U ,1m 2U B2q(RT - RD

R2 Rm

R2 _ R2

I 2 2(R I -R2 )

mit

Rm

=

"2(R I +R2). 1

Wegen 2(RI - R2 )

>

b2 folgt

15. a) Stoßparameter nach (2.126):

q. Z· e

b = 2 cotg( 19/2) , 4nEo,uvo

q = 2e, Z = 79, Eo = 8,85 . 10-¹² As/Vm,

cotg45° = 1,

~v6

= 5 MeV = 8.10-¹³ J

=';> b = 2,27· 1O-¹⁴m = 22,7 Fermi .

b) Für Rückwärtsstreuung gilt am Umkehrpunkt ,u 2 q. Ze

-vo =

2 4nEorOlin

q. Z· e -14

=';> r Olin = 2 = 4,54 . 10m.

2nEo,uvo

Der minimale Abstand bei der Rückwärtsstreuung ist also doppelt so groß wie der Stoßparameter b bei Streuung um lJ = 90°. Der minimale Abstand für ä = 90⁰ ist aber größer als rmin ( 19 = ISOO).

c) Der Stoßparameter für 19 = 90° ist bo = 2,27 . 10 14 m. Alle Teilchen mit b

-S

ho werden in den Winkelbereich ä

>

90° gestreut. Um den maxima- len Stoßparameter (d.h. minimalen Ablenkwinkel lJ_{min )} zu bestimmen, setzen wir b_max gleich dem halben mittleren Atomabstand

h

/2 der streuenden Goldatome.

Die Zahl der Goldatome pro cm³ ist mit (! = 19,3 g/cm3, NA = 6 . lO23 /mol, M = 197 g/mol

(j·NA 2)

Ilv = - - = 6 . 10 - / cm . M

Die Zahl der Atome pro cm² in der Goldfolie mit Dicked = 5·10 6m istllF = I1V·d = 3.10¹⁹ /cm2 .

Mitbmax = lO-H cm wird der Wirkungsquerschnitt jedes Atoms für 0

-S

180⁰ dann

b' ,., 10-¹⁶ '

a = n ;nax ^{~ _1 •} cm- .

Der Bruchteil der in den Winkelbereich 19

>

^90°

gestreuten a-Tei lchen ist

N(ä2900) nhÖ (2,27'10 14 )2

N( 19

-S

ISOo) = nb~lax ⁼ 10- 10

=5·IO-X •

d) h( ä = 45°) = a . cotg 22,5" = 2,71 a mit a =

qZe/(4nEo,uv6), a = 2,27· 10-¹⁴ m.

N(45°

:S

ä

-S

90°) n [(2,71?a2 -

a2l

N( ä

-S

18(0 ) nh~ax

6,340² 6,34 . 2,272 . 10-2H =:cl. 10-7

b~ax 1 0 ^{-20 - .}

16. Die Zahl N( ä) d19 der vom Detektor erfaßten Teil- chen, die in den Winkclbereich 191 bis ~ gestreut wurden, ist für die Rutherford-Streuung

1J:z

( ) I

^sinlJdO

N 19 . ,119 :x --;-4--

. sin ä/2

ä[

0.

=

J

^{2cos 0/2 dä}

sin³ lJ/2

6[

[ 2

J~

sin² ä/2 ä[ .

Daraus berechnet man den Quotienten N(I^O

±

O,so) = 46689 = 218.

N(So

±

O,so) ^214,4

Für das Thomson-Modell ergibt sich bei einem mittleren Streuwinkel

lJ

= 2 . 10-⁴ rad und einer mittleren Zahl m von Streuungen in der Goldfolie gemäß den Zahlenergebnissen aus Aufgabe ISc:

m = np· () = 3 .10¹⁹ .3.10-16 ;::::; 10⁴

=} (iJ) =

Vm . lJ

^{= 2· 10-4 . 102 rad}

= 2 . 10-2 rad;::::; 1,2° ,

l~

N(iJ)!J.iJ cx

J

^{sin iJ·} e-(ä/(ä))2 diJ 61

;::::; J

iJ· e-(ä/(6))2 diJ

~

^[(

~2

,-("/1"))'

r:

Damit erhält man N(I^O

±

O,so) N(So

±

O,so)

e-O,17 _e-1.56

e-₁₄ -e -21;::::; 7,S .105 .

Man sieht daraus, daß die Streurate N( iJ) mit stei- gendem iJ für iJ

>

1⁰ beim Thomson-Modell we- sentlich stärker abfällt als beim Rutherford-Modell.

17. a) Jivo 2

2 4nEbr min '

rmin=S·IO-¹⁵m, Z=29, 1·63

Ji

= - -

=098AME

64 '

Ji 2 29.1,62 . 1O-^3x

=} -vo 2

=

4n· 8,8S . 10-12 . S . 10-¹⁵ J

= 1,33.10-¹² J

=}

~V6

= 1,36.10-¹² J = 8,S . 10⁶ eV

= 8,SMeV.

b) Für iJ

<

180⁰ gilt:

Mit rmin = S· 10 ¹⁵ m folgt h = 1,77S· 10-¹⁵ m Ze²

=} cotgiJj2=bja mit a = --_;c 4nEoJiv6

Kapitel 3

1. Mit der de-Broglie-Beziehung ..1,= -b

p

h 6,63 . 10-³⁴ m

=} v

= - - =

-~---c=-

m· ..1, 10-¹⁰.1,67.10-27 S

= 3,97 . 10³

mjs

Thermische Neutronen hätten bei T = 300 Keine mittlere Geschwindigkeit

v

= 2,2 . 10³

mj

s. Die kinetische Energie der Neutronen ist

Ekin =

~v2

= 1,31.10-²⁰ J = 82 meV . 2. a) Energiesatz:

h· v = !J.Ek!n (I)

~ ^{",,0' [VI}

^_l

vllC2 -

(2)

(3)

Andererseits folgt durch Quadrieren von (1) h²

v

²

= m6

^{c4 [} _{1 - vUc2} ¹

+ _---,I~_;c

_{1 - v~jc2}

⁽⁴⁾

-V(1- '~/C:)(1 ^{- "l/c 2 J .}

Vergleich von (3) und (4) liefert nach Umordnen

Eine Photonenabsorption durch ein freies Elek- tron ist also nicht möglich. Bei der Absorption ei- nes Photons durch ein Atomelektron nimmt das Atom den Rückstoß auf (siehe Abschn. 12.4). Beim Comptoneffekt übernimmt das gestreute Photon die Energie h . Vs und den Impuls nks .

b) Für den Photonenimpuls gilt:

Ipphot I = -(-. h·v

h . v

=

0,1 eV

=

1,6· 10-²⁰1 1,6 . 10-²⁰ 1s -29

=?Pphot= 3.108 m=5,3.IO N·s h· v = 2eV =? Pphot = 1,07· 10-²⁷ Ns h· v = 2 MeV =? Pp hot = 1,07.10-21 Ns Ein Wasserstoffatom hätte die Geschwindigkeiten

VI =

E

= 3,2· 10-² m/s für hv = 0,1 eV, m

V2 =

E

= 6,4· 10-¹ m/s für hv = 2 eV.

m

V3 =

E

= 6,4· 10⁵ m/s für hv = 2 MeV.

m

3. Das erste Beugungsminimum erscheint bei einem Winkel a, für den gilt:

. ..1. h h

sma= - = - - = .

b b . P h . j2mEkin

Die volle Fußpunktsbreite des zentralen Maxi- mums ist:

2D·h

B

=

2D . sin a

=

^~

>

b h· y2mEkin

=? b

< (

2D· h ) 1/2 j2mEkin

Für D = I mund Ekin = I keV = 1,6 . 10 -¹⁶1 wird

[ 2·66·10-34 ]1/2

bmax

= '

m

y!2.9,ll.1O-³¹ ·1,6· 10-¹⁶

= 8,81· 10-⁶ m = 8,81 /lm.

4. Die Bahnradien sind:

n-7

rn=Z·a

o.

a) Für n = I. Z

=

I folgt r

=

ao = 5,29 . 10 11 m.

b) Für n = 1. Z = 79 folgt r = 6,70· 1- um.

Die Geschwindigkeiten des Elektrons sind nach ei- ner klassischen Rechnung:

h Z·Ji

v= 2mne . r II1c . 1/0 a) Z = I:

1.054 . 10 34 m v= 9,11.10-³¹ ·5,29·10 11 s

=2,19·1({'m/s=7,3.lo-³c.

b) Z = 79:

v = 1,73· JOXm/ s = 0,577c.

Im Falle b) muß man relativistische Effekte berück- sichtigen. Die klassische Rechnung ist zu ungenau:

o R\"*

= -E_n = Z~ . - ' - 0

fl-

=?v=c· I ( moc"

)2

- moc²

+

^EI

moc² = 0,5 MeV, 79" . 13,5

E = eV = 0,084 MeV I

=? v=c. _{I -} ( 0,5 _0,584

)2

= C· }0,267 = 0,517 c .

5. Nach der Zeit r ist die Zahl der Neutronen auf

1/

e gesunken, nach der Zeit r· In 2 auf 1/2.

h h

..1.= - - =? 71=--

m·7J lJl'A

h· r· In2 x

=

v . r· In 2

= - - -

m'A

6,62 . 10- 34 . 900 . 0,69 _ 2 4 5

----~~-~- m - . . 10m.

1,67 . 10-^{27 .} 10-⁹

6. Lyman-a-Linie:

h. v = h . c _A = Rv* _.

(1 _ ^~)

₄

1 3 .

*/

=} -A

= -

4 Rv ^~ mit Rv .

=

Rv ^~ hc . a)

RyeH) = RyDO .

3...-

^mit

me

DO mK

=Ry . - - - me +mK

x 1

=Ry 1+ mc/mK

mc I

mK 3·1836

=} RyeH) = 0,999818· RyDO

me ·mK f.1=--- me +mK

= 1,0971738.107 rn-I.

b) Für Positronium wird

f.1 = me/2 =} Ry(ee+) =

~RYx

^.

7. Bei Zimmertemperatur ist nur der Grundzustand besetzt. Die Absorption startet daher vom Grund- zustand mit n

=

I. Die benachbarten Linien gehö- ren dann zu Übergängen

,1E" = a

(I -

^{n12 ) ,}

,1E^n-t I

=

a

(I -

(n

~ ^{1)2 )}

=} hV2

= \~

^C

⁼

^a

(I - ^~2

⁾

\1

^{c = a (I - (n}

^~

^{1)2 )}

AI I - l/n2 97,5

=} A2 =

l-l/(n+

1)2 = 102,8 =0,9484.

Für n = 2 wird AI/A2 = 0,843, für n = 3 wird AI/A2 = 0,948 =} n = 3.

Aus

~2=~·(I-nI2)

hc·9 6,63· \0-34·3· IOR·9

=} a = A2. 8 = 102,8 . 10-9 . 8 J

=2,177.10 ^IXJ=Ry*.

Es handelt sich also um Übergänge im H-Atom mit 2=1.

8. Für die Bahnenergie gilt:

h· v

=

Ry*

(~- ~)

_{22 n2} ^.

Die Energiedifferenz zweier benachbarter Über- gänge ist:

* (

I I)

h . ,1v = Ry n2 - (n

+ 1)2

I I I

4 -

~ IA

I I = ,1A

~ - (n+I)2 v

n² - 4

=} :::; 5 . 105

4 - 4 (_" _/1-,-1

)2

(n

+

2)(n - 2)(n

+

1)2 'l

=} 4(2n

+

I) :::; 5 10-

=}

n:::;

158,

wie man durch Einsetzen ganzer Zahlen für n schnell findet.

Ein alternativer Lösungsweg ist der folgende: Aus

folgt für große n, wo wir die Funktion v(n) prak- tisch als kontinuierlich ansehen können:

Mit,1n = I folgt

v /13

-=5.10⁵

>-

,1v - 8

=} n :::; \/4· \06 = 158,7.

9. Bei einer Ortsunschärfe a ist die kinetische Energie des Elektrons

Seine potentielle Energie im Abstand a vom Kern des He+ -Ions mit der Ladung +2e ist

2e² Epot = - - - .

4JrEoa

Die Gesamtenergie ist dann n,2 2e²

E > - - - - . - 2ma² 4JrEa

Aus dE / da = 0 erhält man den Abstand amin mit der minimalen Energie

Eoh² aO

amin = 2Jrme2 =

2

4e²

=} Epnt = - - - 4JrEoao

= -4· Epnt(H-Atom, n = 1)

= -108eV,

Ekin

=

^-2Epnt 1

=

^+54eV.

Kapitel 4

l. Geht man mit dem Ansatz lJf(r, t) = g(t) . f(r) in die zeitabhängige Schrödingergleichung (4.7b) ein, so erhält man nach Division durch g(t) . f(r) . I ug(t) n.² I

In· - . - -

= - - - -·l1f(r) = c.

g(t) ut 2m f(r)

Da die linke Seite nur von t und die rechte Seite nur von r abhängt, müssen beide Seiten gleich ei- ner Konstanten c sein. Die rechte Seite entspricht der zeitunabhängigen Schrödingergleichung (4.6) für c = E - Epot . Dann ergibt die linke Seite

ug(t) = E-.Epot g(t)

ut

In

=} g(t) = go' e-iEkin/nt .

Für ein freies Teilchen ist Epo^! = 0 und Ekin = E.

Die Funktion g(t) stellt dann den Phasenfaktor g(t) = go . e-iE/not = go . e-iw/

mit

nm =

^{E dar.}

2. Die Reflexionswahrscheinlichkeit R = 1 --T kann aus (4.22a) berechnet werden. Dabei ist

E 0,4 - = - =0.8 Eo 0,5 -

r:---c---c-

J2m(Eo --E) a = - - ' - - - -

n

2· / 1,67 . 10 V 27 00,1 . 1,6 . 10 22 rn-I 1,05· 10-³⁴

= 2,20· 10') rn-I

a = 10-⁹ m =} a· a = 2,20 0,2

=} T

= "

²

=

0,126, 0,2 + 0,3125 . smh 2,20

d.h. 12,6% aller Teilchen werden transmittiert, 87,4%

reflektiert.

3. Mit dem Ansatz

-tj;1 = A . e^ikJx

+

^{B· e-ikJx )}

·tj;2 = C· e^ik2X

+

D· e-ihx ,

tj;3 = A' . e^ik1X mit

/ 2 1/2

k] = (2mE 11. ) - ,

k2 = (2m(E - Eo)/h) 1/2 = i . a

erhält man aus den Randbedingungen (4.21) die Relationen

A+B=C+D, Ceik2a

+

De- ik2" = A'CikJII ,

kl (A - B) = k2(C - D) , k₂

(c.

^{eik2{/ -- D· e ik2}

a)

^{= klA'e ikJ "}

Dies ergibt

A = [COSk ₂

a -

^{i kT} _{2k] k}

+ k~

^sink

a]

^eikJII ·A'

2 ^{2 ,}

k² _ k^{2 0}

B = i . _2 _ _ 1 sin k7([ • e1kJ ([ . A' . 2k[k

z -

Der Reflexionskoeffizient ist dann wegen cos² x = I - sin² x

Der Transmissionskoeffizient ist

Man sieht, daß R + T = 1 ist. Mit ky = (2mE/h2 )

und ki = 2m(E - Eo)/h^{2 folgt}

T = 4E(E - Eo)

4E(E - Eo) + E6 sin² [J2m(E - Eo) .

*] ,

(I) was bei Kürzen durch 4E· Eo ^für E

<

_Eo in (4.22c) übergeht. Für E

>

Eo ^{wird T = 1 für}

J2m(E - Eo) . a/h = n . ^Ir

h 2a

=} A = n = 1,2, ...

J2m(E - Eo) n

Für einen Potential topf der Tiefe E

o

^{ist Epot}

<

0, wenn wir Epot =

°

außerhalb des Topfes Null wäh- len. In der Transmissionsformel (1) bzw. (4.22c) muß dann das Vorzeichen vor E

o

geändert werden.

So erhält man mit den Daten der Aufgabe 2 (E =

0,4 eV, Eo = -0,5 meV, a = I nm) aus (4.22c) 1+ O,S

T=~~~~~~~~~~~

1 + O,S + 0,31· sin²

(a.

^{J2m. 0,9 meV}

/n)

1,S . 2 = 0,994 I,S+0,31,sIn (6,46)

wobei sin ix = i . sinhx verwendet wurde.

4. In der Näherung des unendlich hohen Topfes sind die möglichen Energiewerte:

h² ~ 2

Eⁿ = 2m a2 n

:S

Eo .

Einsetzen der Zahlenwerte gibt:

I I . 10-⁴⁹

En = ' n²J:Sl,6.1O-¹⁸J.

m

a) Elektronen mit m = 9,1 . 10-³¹ kg:

En = 1,2· 1O-¹⁹n² J

2 1,6.10-¹⁸

=} n

:S

1,2.10-19 = 12,9 =} n:S3.

Es gibt drei Energieniveaus.

b) Protonen mit m

=

1,67· 10-²⁷ kg:

=} En = 6,59 . 10-²³ J . n²

=} n²

:S

2,4.10⁴

=} n

:S

155.

5. Bei der Nullpunktsenergie E(v = 0)

=

2hJD/m 1

ist das Teilchen auf das Raumgebiet Llx beschränkt, das zwischen den Schnittpunkten

XI,2 = ±(2Epot/D)I/2

des Parabelpotentials mit der Energiegeraden E( v =

0) liegt. Deshalb ist

Llx=2·

(n.

^{JD/m/ D)I/2}

=2.

(n/~)1/2

6. Für die x-Komponente von

L

erhält man

Lx

= -i

h (Y! - ^{z . ~ )}

o or

^{0 013 0}

orp

⁰

- = - - + - - + - -

oz oz or oz

⁰¹³

oz orp

=}

Lx ⁼

^-in

[(Y' or oz oy or _ zor) ~ + (/13 _

_OZ ^z(13)

_oy

₀₁₃

^~

+ (/rp oz _ z orp) oy orp ~]

r-c----,---,-

r

= J

^x

² + y2 + Z2

or Z or y

=} - -

OZ r

oy

r

0= arccos (

Jx 2 +~2

⁺

^Z2)

00 (Z2/~)

-

I

=} OZ

Jx

²

+ y2

00 Z· y/~

oy Jx

²

+y2 rp = arctg~

^=}

orp

x

oy

^{x2 +y2' X}

Einsetzen ergibt:

L, , = -ih [ ( ) O· - - --;=== y 8 ()r Jx²

+

^{y2 86}

x

2;c

~xy2 ~qJ ^J

. , [ . () .G 8

J

= +IIL sm qJ ()6 + cotg uCos qJ 8qJ

Eine völlig analoge Rechnung liefert die anderen bei den Gleichungen in (4.87).

Um den Ausdruck (4.88) für L~ ,0 zu erhalten, müssen

,2 '0 '2 A2

wir die Relation L = L~ + L, + L_z ausnutzen.

AO 2

(8 8 )

L;

= - h sin qJ 86 + cotg 6cos qJ 8qJ

( 8 () )

. sin qJ 8lj + cotg 6cos qJ ()qJ ,

wobei die Ditferentiationo /86 auf alle Funktionen von 6, die nach dem Ausmultiplizieren hinter dem Operator 8/86 stehen, wirkt.

Dies ergibt die vier Terme

Ähnliche Terme ergeben sich für l~ und

n.

^Addi-

tion ergibt dann (4.88), wobei man"noch nir cotg

lJ~

^{+ 82 = _1_}

~

^(sin

lJ~)

8lJ

8&

sin 60lJ 8lJ schreiben kann.

7. Die Wellenfunktion im Bereich x

<

0 bzw. x

> (/

ist

Die Wahrscheinlichkeitsdichte

I1/JI

² sinkt auf I/e des Wertes für 8x = 0 für

8x = ---;===;====~ h J2m(Eo - E)

Beispiel: ^In = 9.1 . 10 31 kg. E = ~Eo, E

o

^{= I eV}

= 1.6.10-¹⁹1

1,06. 10-³⁴

=} 8x = m

11.82. JO-jo. 0.8· 10-¹⁹

= 0,28.10 9 m.

8. a) Aus (4.22a) ergibt sich für E

=,

~Eo

T = 0,5

0,5 + 0.5 sinh² 2TC

= 1,4· 10-5 .

F·· _ur E _{= '\} ^IE · _{~o Ist}

T = _ _ _ _ 2_/_3 ---;~____,__

2/3+ 3/4· sinh² (2TCv2)

=5.1·IO-R .

Mit der Näherungsformel (4.22h) erhält man für E ⁼ 0,5Eo:

T

=

4 . e-⁴;r

=

1,395 . JO .')

Maximale Transmission T = I wird erreicht für E> Eo, ^{wenn sin2(i .} a· a) = 0 wird. Es folgt a· J2m(E - Eo) = 11 • TCIL = - . n h

2

=}a/A=2'

11

wobei

,1= --;==== h J2m(E - Eo)

die de- Broglie-Wellenlänge des Teilchens während des Überfliegens der Barriere ist.

b) E = 0,8eV, Eo = 1 eV ^=} E/Eo = 0,8.

12.291.10-³¹ .02.16.10-¹⁹

a- V , " rn-I

- 1,06. 10-34

= 2,28.10<) rn-I

a = 10-⁹ m =} sinh² a· a = 24,4 T = 0,2 - 0,28 . 24,4 0,2 ^:::0;

°

,-

^m

Für E = 1,2 eV folgt

T = -02 ' .' 2 = 0,625 . -0,2 - 0,208 . smh 228

9. Die Energieni veaus im quadratischen Kastenpoten- tial sind nach (4.45)

h2,,2 2 2

E(n" n,) _. = - - 2 _2ma (nx

+

^nJ _. ^{<::: Ernax .}

Einsetzen der Zahlenwerte:

m = 9, I . 10 31 kg , a=10 ⁷m,

Ernax = leV = 1,6·1O-¹⁹J ergibt die Bedingung (n~

+

n~) <::: 2,66.104 .

Im Quadranten n,

>

0, n,

> °

gibt es ungefähr ,,/4·2,66· 10⁴ = 2,08 : 10⁴ Zustände, die die- ser Bedingung genügen. Davon sind einige energe- tisch entartet. Dies sind alle die, für die

n; ⁺

^{n~ den}

gleichen Wert hat.

Kapitel 5

I. Der Erwartungswert von r ist definiert als (r) = ./ 1j;*nIJdr

mit dr = ~ sin zJdrdzJdcp. Im Is-Grundzustand des H-Atoms ist

,/ I . r/ao

'~J = r;;. 1,/2' e y". ao

xc

=} (r) =

_1_ ,4,,'/

^{e 2r/a(j. r3 dr}

"a

³ _{o 0}

4 3! 3

ab .

(2/ao)4 =

lao.

Der Erwartungswert von ^I' ist also größer als der Bohrsche Radius ao! Der Erwartungswert von 1/1' ist

,x;

/

~)

=

_1_ . 4"}'

^{e 2r/aü • rdr}

\ I' "a³

o

0

4 a² o I

a6' 4

^ao

Für den 2s-Zustand ist

1j; =

1 (2 _ !...)

^e-r/2ao

4. 0a~/2

ao

:xc 2

(1') = 16 . 2" .

4" ./ (2 a6

_o

_!...) ao

^{e·-r / aür3 dr}

DO

=

~

_{8aö o}

J ^[4r

¹

^e

^{r/ao _ 4r}_ao ^{4 e -r/ao}

+ r:

^{e-r/ao] dr}

(/0

=

~

^[24a0 - 96a0

+

^l20a6]

8(/0

= 6ao·

Eine analoge Rechnung liefert für (1/1') 4ao

2. Die Anregungsenergie Ea = 13,3 eV erlaubt die Besetzung von Termen mit der Energie

En <::: Ea -IP

=-2

Rv* _n

R * 13.6

=} n²

<

Y

- IP - E_a - - - ' - - = 45,3 13,6-13,3

=} n <::: 6.

Man beobachtet daher Fluoreszenz auf den Über- gängen

6s -+ 5p, 4p, 3p, 2p, 6p -+ 5s, 4s , 3s , 2s , I s , 6d -+ 5p, 4p, 3p, 2p, 6

f

-+ 5d , 4d , 3d , 6g -+ 5f, 4f·

Da alle Terme mit gleichem j energetisch entartet sind, fallen eine Reihe dieser Linien zusammen.

3. Im Grundzustand (n = I) ist r = a(J.

a) Führt man die Energie 12,09 eV zu, so wird die Termenergie

En = (12,09-13,599)eV= -1,5IeV

= -Ry*

/n

²

2 13,599

=} n =~=9 =} n=3.

Da r IX n² ist, wird r(n = 3) = 9ao.

b) In diesem Falle gilt:

En = (13,387 - 13,599)eV = -0,212eV

= -Ry*

/n

²

=} n2 = 13,599 = 64 1

0,212 ' =}n=8.

r(n

= 8) =

64ao.

4. In der Bohr-Theorie ist JLe = -e/(2me)l, so daß JLell = -e/(2me) konstant und unabhängig von der Hauptquantenzahl n ist. In der Quantenmecha- nik treten die Erwartungswerte

an die Stelle der klassischen Vektorrelationen . Auch sie sind im Coulombfeld unabhängig von n.

5. a) Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der tief- sten Bohrschen Bahn ist v( I s) = 7,3· 10 3. c (siehe Aufgabe 3.4). Es folgt

m(J

(I 2)

m(v) = !1fi5 ~ mo' I+-ß

yl-ß2 2

=mo(1 +2,66·10-s).

Seine Massenzunahme ist dann Llml = 2,55·

lO-smo. Für n = 2 ist 11(2.1') ~ 3,65 . 10-3c (weil

11 IX l/n)

=} m(v) = mo

((1

^{+ 6,6.10-6 )}

=} Llm2

=

^6,6· 1O-6mo =} 8m

=

Llml - Llm2

=

^2,0· 10-smo

=

^1,8· 10-3s kg.

b) Die Energieditlerenz ist LlE = E(2s) - E( 1.1') = 10 eV = 1,6· 10 1 X J. Ihr entspricht eine Massen- differenz

Llm = ml - m2 = LlE/c"

= -1,8 . 10 35 kg .

Beide Etlekte ergeben die gleiche Massendiffe- renz, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen.

6. a) Der Drehimpuls ist (siehe Bd. I, Kap. 5)

Für r = 1,4· 10-¹⁵ m, lI1e = 9.1 . 10 ³¹ kg folgt v = 1,8· 10" m/s »c Widerspruch!

Für r = 10- IX m folgt v = 2,5.10¹⁴ m/s. Man darf also zur Erklärung des Elektronenspins kein klassi- sches Modell verwenden.

b) Die Rotationsenergie beträgt

Für r = 1,4·10 15m folgtErot = 6·10 <) J, vergli- chen mit der Ruheenergie Eo ⁼ mec² = 8· 10-¹⁴ J.

Man sieht hier, daß das Elektron keine geladene Kugel sein kann mit Radius r und mechanischem Drehimpuls Is 1 .

7. DieZeeman-Aufspaltung des 2 2SI/2-Zustandes ist nach (5.69) und (5.71)

LlE, = gi . JiB . B

mit gj = g, ~ 2. Für den 3 2PI/2-Zustand gilt:

mit

-2 3