Konforme Zeit und Friedmann-Gleichung f¨ ur κ 6= 0
Kurzreferat von Daniel Durzinsky
Erinnerung: In dem Kapitel ”Rotverschiebung und Skalenfaktor” der Vorlesung wird der Weg eines Lichtsignals durch Gleichung (3.23) beschrieben, wobei die Zeit- und Ortskoordinaten getrennt sind:
c Z t0
t1
dt a(t) =
Z r0
r1
R0dr (1−κr2)12
(0.1) Da die rechte Seite nicht zeitabh¨angig ist, lassen sich die Differentiale zur Jetztzeit t0 und zu einer beliebigen fr¨uheren Zeitt1 gleichsetzen. Hieraus folgt:
δt0
a(t0) = δt1
a(t1) (0.2)
Konforme Zeit: Die konforme Zeit wird in der Kosmologie folgendermaßen beschrieben:
dη= dt
a(t) (0.3)
Die konforme Zeit wird zum besseren Verst¨andnis auch konformer Abstand bezeich- net, wobei der Unterschied nur aus der Konstanten c besteht. Der konforme Abstand beschreibt den Abstand zwischen Galaxien bevor man den Skalenfaktor a(t) mitein- bezieht. Der konforme Abstand zwischen Galaxien ¨andert sich nicht, sondern die Dis- tanz nimmt zu, da der Raum expandiert. Die konforme Zeit ist der konforme Abstand geteilt durch c. Aus Gleichung (0.2) sieht man, dass η mit dem Lichtweg bzw. mit dem mitbewegten Abstand zusammenh¨angt und zwar folgendermaßen:
r=c Z t
0
d`t
a(`t) =cη (0.4)
L¨osung der 2. Friedmann-Gleichung f¨ur κ6= 0: Die 2. Friedmann-Gleichung (2.14) f¨urκ6= 0 l¨asst sich nun mit Hilfe der konformen Zeit l¨osen. Man erh¨alt mitdt=a(η)dη aus (0.3):
a˙2+c2κ
R20a2 = 8πG
3 ρa4 (0.5)
Nun ersetzt man c2κ
R20 =k, differenziert nachη und teilt durcha. Es folgt 2a¨˙a
a + 2ka˙ = 8πG
3 [4ρa2a˙+ ˙ρa3] (0.6) Nun ersetzt man ˙ρ mit Hilfe von
ρ˙=−3a˙
a(c2ρ+p) (0.7)
1
Man erh¨alt nun folgende Differentialgleichung:
a¨+ka= 4πG
3 (c2ρ−3p)a3 (0.8)
L¨osung f¨ur ein Strahlungsuniversum mit ρ=ργ und p= 13c2ρ: Es folgt f¨ur Gle- ichung (0.8):
a¨+ka= 0 (0.9)
Diese Gleichung kann nun gel¨ost werden f¨ur κ=−1,0,+1 in c2κ
R20 =k. Diese L¨osungen lassen sich leicht erkennen. Sie lauten:
a(η) = 1
2amsinh(η) (0.10)
a(η) =amη (0.11)
a(η) =amsin(η) (0.12)
Gleichung (0.10) f¨ur κ =−1, (0.11) f¨ur κ = 0 und (0.12) f¨ur κ= +1. Hier ist am eine Integrationskonstante und f¨ur alle drei L¨osungen wurde als Anfangsbedingung a(η = 0) = 0 gew¨ahlt. Zur Findung der L¨osungen m¨ussen die Ableitungen vonsinhund cosh bekannt sein. Nun l¨asst sich aus dt=a(η)dη die Zeit f¨ur jede L¨osung durch Integration berechnen f¨ur κ=−1,0,+1.
t=tm(cosh(η)−1) (0.13)
t=tm
1
2η2 (0.14)
t=tm(1−cos(η)) (0.15)
L¨osung f¨ur ein Materie gef¨ulltes Universum mit p= 0 und ρMa3 =const.: Es folgt f¨ur Gleichung (0.8):
¨a+ka=C (0.16)
Hier istC = 4πG3 c2ρ2Ma3 =const.. Nun wird auch diese Differentialgleichung gel¨ost f¨ur κ=−1,0,+1. Die L¨osungen lauten:
a(η) = 1
2am(cosh(η)−1) (0.17)
a(η) =amη2 (0.18)
a(η) = 1
2am(1−cos(η)) (0.19)
F¨ur jede L¨osung kann nun die Zeit wieder berechnet werden, analog zum Vorgehen beim obigen Strahlungsuniversum.
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Quellen:
Anhang 7 zur Vorlesung: ”Konforme Zeit, Friedmann-Gl. f¨ur κ6= 0”
www.physicsforums.com
W. Gebhardt: Skript zur Vorlesung Kosmologie. Anhang A.7.
A. Liddle : An Introduction to Modern Cosmology. 2nd edition Wiley 2007
V. Mukhanov: Physical Foundations of Cosmology. Ch. 1.3.4. Cambridge University Press 2005
A. Liddle, D.H. Lyth: Cosmological Inflation and Large Scale Structure Cambridge Uni- versity Press 2000
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