f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @H f1 @ t DL ^ 2 D ; Plot @ Evaluate @ f1New @ t DD , 8 t, -2 Pi, 2 Pi <D ;

(1)

Lösungen

1 Remove @ **"Global`*"** D ;

Ÿ a Gerade Funktion ==> Cosinusreihe

f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @H f1 @ t DL ^ 2 D ; Plot @ Evaluate @ f1New @ t DD , 8 t, -2 Pi, 2 Pi <D ;

-6 -4 -2 2 4 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ b Die ersten 6 Fourierkoeffizienten, Graphik

T = Pi;

cc = 0;

f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @ f1 @ t D ^ 2 D

w = 2 Pi • T;

a @ 0 D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

a @ k_ D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D Cos @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; b @ k_ D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D Sin @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; c @ k_ D := 1 • T Integrate @ f1 @ t D E ^ H-I k w t L , 8 t, cc, cc + T <D ;

ffInf @ t_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, Infinity <D ; fFh @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; fFInf @ t_ D := Sum @ c @ n D E ^ H I n w t L , 8 n, -Infinity, Infinity <D ;

fFh @ t_, h_ D := Sum @ c @ n D E ^ H I n w t L , 8 n, -h, h <D ; fFh @ t, 6 D

€€€€ 2 p - 2 ã

^-2^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 2 ã

²^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 2 ã

^-4^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 2 ã

⁴^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 2 ã

^-6^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - 2 ã

⁶^ä^t

€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

^-8^ä^t

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

⁸^ä^t

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

^-10^ä^t

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

¹⁰^ä^t

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

^-12^ä^t

143 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

¹²^ä^t

143 p

(2)

% •• N

0.63662 - 0.212207 2.71828

^H^0.-2.^ä^L^t

- 0.212207 2.71828

^H^0.+2.^ä^L^t

- 0.0424413 2.71828

^H^0.-4.^ä^L^t

- 0.0424413 2.71828

^H^0.+4.^äL^t

- 0.0181891 2.71828

^H^0.-6.^äL^t

- 0.0181891 2.71828

^H^0.+6.^äL^t

- 0.0101051 2.71828

^H^0.-8.^äL^t

- 0.0101051 2.71828

^H^0.+8.^äL^t

- 0.0064305 2.71828

^H^0.-10.^äL^t

- 0.0064305 2.71828

^H^0.+10.^äL^t

- 0.00445189 2.71828

^H^0.-12.^äL^t

- 0.00445189 2.71828

^H^0.+12.^äL^t

fFh @ t_, 6 D :=

€€€€€ 2

p - 4 Cos @ 2 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 4 Cos @ 4 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 4 Cos @ 6 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - 4 Cos @ 8 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

63 p - 4 Cos @ 10 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

99 p - 4 Cos @ 12 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

143 p N @ % D

Plot @ fFh @ t, 6 D , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Plot @8 fFh @ t, 6 D , f1New @ t D< , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ c Die ersten 6 Fourierkoeffizienten von |Sin(t)| = "###################

Sin @ t D

²

= f[t] ( ==> dieselbe Funktion!! )

a @ 0 D • 2

€€€€ 2 p

a @ k D • . 8 Cos @ 2 k p D ® 1, Sin @ 2 k p D ® 0 <

4 Cos @ k pD

²

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ H 1 - 4 k

²

L p

(3)

b @ k D • . 8 Cos @ 2 k pD ® 1, Sin @ 2 k pD ® 0 <

0 fF2h @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; fF2h @ t, 6 D

€€€€ 2

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 2 t D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 4 t D

15 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 6 t D

35 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 8 t D

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 10 t D

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 12 t D 143 p

N @ % D

0.63662 - 0.424413 Cos @ 2. t D - 0.0848826 Cos @ 4. t D - 0.0363783 Cos @ 6. t D - 0.0202102 Cos @ 8. t D - 0.012861 Cos @ 10. t D - 0.00890377 Cos @ 12. t D Plot @ fF2h @ t, 6 D , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ d Gleiche Funktion

f3 @ t_ D := H Abs @ Sin @ t DD + Sin @ t DL • 2 Plot @ f3 @ t D , 8 t, 0, 4 Pi <D ;

2 4 6 8 10 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1

fF3h @ t_, h_ D := H fFh @ t, h D + Sin @ t DL • 2;

fF3h @ t, 6 D

€€€€ 1 2 J 2

€€€€ p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 2 t D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 4 t D 15 p - 4 Cos @ 6 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 8 t D

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 10 t D

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 12 t D

143 p + Sin @ t DN

(4)

N @ % D

0.5 H 0.63662 - 0.424413 Cos @ 2. t D - 0.0848826 Cos @ 4. t D - 0.0363783 Cos @ 6. t D - 0.0202102 Cos @ 8. t D - 0.012861 Cos @ 10. t D - 0.00890377 Cos @ 12. t D + Sin @ t DL Plot @ Evaluate @ fF3h @ t, 6 DD , 8 t, 0, 4 Pi < , PlotRange ® 8 0, 1 <D ;

2 4 6 8 10 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ e

f4Dh @ t_, h_ D := D @ a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D , t D ; f4Dh @ t, 6 D

8 Sin @ 2 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 16 Sin @ 4 t D

15 p + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 24 Sin @ 6 t D

35 p + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 32 Sin @ 8 t D

63 p + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 40 Sin @ 10 t D

99 p + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 48 Sin @ 12 t D 143 p

N @ % D

0.848826 Sin @ 2. t D + 0.339531 Sin @ 4. t D + 0.21827 Sin @ 6. t D + 0.161681 Sin @ 8. t D + 0.12861 Sin @ 10. t D + 0.106845 Sin @ 12. t D Plot @ Evaluate @ f4Dh @ t, 6 DD , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

(5)

f4D @ t_ D := D @ Sqrt @ Sin @ t D ^ 2 D , t D ; Plot @ Evaluate @ f4D @ t DD , 8 t, 0, 4 Pi <D ;

2 4 6 8 10 12

-1 -0.5 0.5 1

2 Remove @ **"Global`*"** D ;

Ÿ a

T = 2;

cc = 0;

g1 @ t_ D := t;

w = 2 Pi • T;

a @ 0 D := 2 • T Integrate @ g1 @ t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

a @ k_ D := 2 • T Integrate @ g1 @ t D Cos @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; b @ k_ D := 2 • T Integrate @ g1 @ t D Sin @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

gG1h @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; gG1h @ t, 10 D

1 - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin p @p t D - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ p 2 p t D - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 3 p t D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 4 p t D

2 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 5 p t D

5 p -

Sin @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 7 p t D

7 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 8 p t D

4 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 9 p t D

9 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 10 p t D 5 p

N @ % D

1. - 0.63662 Sin @ 3.14159 t D - 0.31831 Sin @ 6.28319 t D -

0.212207 Sin @ 9.42478 t D - 0.159155 Sin @ 12.5664 t D - 0.127324 Sin @ 15.708 t D - 0.106103 Sin @ 18.8496 t D - 0.0909457 Sin @ 21.9911 t D -

0.0795775 Sin @ 25.1327 t D - 0.0707355 Sin @ 28.2743 t D - 0.063662 Sin @ 31.4159 t D

gG1hZ @ t_, 10 D := 1 - 2 Sin @p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - Sin @ 2 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - 2 Sin @ 3 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - Sin @ 4 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

2 p -

2 Sin @ 5 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5 p - Sin @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 2 Sin @ 7 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

7 p - Sin @ 8 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

4 p - 2 Sin @ 9 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p - Sin @ 10 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5 p

(6)

Plot @ gG1hZ @ t, 10 D , 8 t, -4, 4 <D ;

-4 -2 2 4

0.5 1 1.5 2

Ÿ b1 g2[t] = t^2

T = 2;

cc = 0;

g3 @ t_ D := t ^ 2;

w = 2 Pi • T;

a @ 0 D := 2 • T Integrate @ g3 @ t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

a @ k_ D := 2 • T Integrate @ g3 @ t D Cos @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; b @ k_ D := 2 • T Integrate @ g3 @ t D Sin @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

gG3h @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; gG3h @ t, 10 D

€€€€ 4

3 + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ p t D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 2 p t D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 3 p t D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 4 p t D

4 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 5 p t D 25 p

²

+ Cos @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 7 p t D

49 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 8 p t D

16 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 9 p t D

81 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 10 p t D 25 p

²

- 4 Sin @ p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 2 p t D

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Sin @ 3 p t D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 4 p t D

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Sin @ 5 p t D

5 p -

2 Sin @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Sin @ 7 p t D

7 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 8 p t D

2 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Sin @ 9 p t D

9 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 10 p t D 5 p

N @ % D

1.33333 + 0.405285 Cos @ 3.14159 t D + 0.101321 Cos @ 6.28319 t D +

0.0450316 Cos @ 9.42478 t D + 0.0253303 Cos @ 12.5664 t D + 0.0162114 Cos @ 15.708 t D + 0.0112579 Cos @ 18.8496 t D + 0.00827112 Cos @ 21.9911 t D + 0.00633257 Cos @ 25.1327 t D + 0.00500352 Cos @ 28.2743 t D + 0.00405285 Cos @ 31.4159 t D - 1.27324 Sin @ 3.14159 t D - 0.63662 Sin @ 6.28319 t D - 0.424413 Sin @ 9.42478 t D - 0.31831 Sin @ 12.5664 t D - 0.254648 Sin @ 15.708 t D - 0.212207 Sin @ 18.8496 t D - 0.181891 Sin @ 21.9911 t D - 0.159155 Sin @ 25.1327 t D - 0.141471 Sin @ 28.2743 t D - 0.127324 Sin @ 31.4159 t D

gG3hZ @ t_, 10 D := 4

€€€€ 3 + 4 Cos @ p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p

²

+ Cos @ 2 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p

²

+ 4 Cos @ 3 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ Cos @ 4 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

4 p

²

+ 4 Cos @ 5 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

25 p

²

+ Cos @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ 4 Cos @ 7 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

49 p

²

+ Cos @ 8 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

16 p

²

+ 4 Cos @ 9 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

81 p

²

+ Cos @ 10 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

25 p

²

- 4 Sin @p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - 2 Sin @ 2 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - 4 Sin @ 3 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - Sin @ 4 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p - 4 Sin @ 5 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5 p -

2 Sin @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 4 Sin @ 7 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

7 p - Sin @ 8 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

2 p - 4 Sin @ 9 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p - 2 Sin @ 10 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5 p

(7)

Plot @ gG3hZ @ t, 10 D , 8 t, -4, 4 <D ;

-4 -2 2 4

1 2 3 4

Plot @8 gG3hZ @ t, 10 D , t ^ 2 < , 8 t, 0, 2 <D ;

0.5 1 1.5 2

1 2 3 4

Ÿ b2 g2[t] = t^2 --- Achtung: Die folgende Mehtode ist trickreich:

gG2hZa @ t_, 10 D := 2 Integrate @ gG1hZ @ t, 10 D , t D ; gG2hZa @ t, 10 D •• Expand

2 t + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ p t D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 2 p t D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 3 p t D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 4 p t D

4 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 5 p t D 25 p

²

+ Cos @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 7 p t D

49 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 8 p t D

16 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 9 p t D

81 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 10 p t D 25 p

²

Hier stört der Term t, der nicht zu einer Fourierreihe gehört. Man kann ihn aber durch die ursprünlgiche Fourierreihe ersetzen:

gG2hZb @ t_, 10 D := H gG2hZa @ t, 10 D •• Expand L - 2 t ; gG2hZb @ t, 10 D

4 Cos @ p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 2 p t D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 3 p t D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 4 p t D

4 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 5 p t D 25 p

²

+ Cos @ 6 p t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 7 p t D

49 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 8 p t D

16 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 9 p t D

81 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 10 p t D

25 p

²

(8)

gG2hZ @ t_, 10 D := gG2hZb @ t, 10 D + 2 gG1hZ @ t, 10 D ; gG2hZ @ u, 10 D

4 Cos @ p u D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 2 p u D

p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 3 p u D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 4 p u D

4 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 5 p u D 25 p

²

+ Cos @ 6 p u D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 7 p u D

49 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 8 p u D

16 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 9 p u D

81 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 10 p u D 25 p

²

+ 2 J 1 - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @p u D

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 2 p u D

p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 3 p u D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 4 p u D

2 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 5 p u D

5 p -

Sin @ 6 p u D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 7 p u D

7 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 8 p u D

4 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 9 p u D

9 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 10 p u D

5 p N

N @ % D

0.405285 Cos @ 3.14159 u D + 0.101321 Cos @ 6.28319 u D +

0.0450316 Cos @ 9.42478 u D + 0.0253303 Cos @ 12.5664 u D + 0.0162114 Cos @ 15.708 u D + 0.0112579 Cos @ 18.8496 u D + 0.00827112 Cos @ 21.9911 u D + 0.00633257 Cos @ 25.1327 u D + 0.00500352 Cos @ 28.2743 u D + 0.00405285 Cos @ 31.4159 u D +

2. H 1. - 0.63662 Sin @ 3.14159 u D - 0.31831 Sin @ 6.28319 u D - 0.212207 Sin @ 9.42478 u D - 0.159155 Sin @ 12.5664 u D - 0.127324 Sin @ 15.708 u D - 0.106103 Sin @ 18.8496 u D - 0.0909457 Sin @ 21.9911 u D - 0.0795775 Sin @ 25.1327 u D -

0.0707355 Sin @ 28.2743 u D - 0.063662 Sin @ 31.4159 u DL Plot @ Evaluate @ gG2hZ @ u, 10 DD , 8 u, -4, 4 <D ;

-4 -2 2 4

1 2 3 4

Plot @ Evaluate @8 gG2hZ @ u, 10 D , u ^ 2 <D , 8 u, 0, 2 <D ;

0.5 1 1.5 2

1 2 3 4

Man hat hier erst die Funktion bis auf die Integrationskonstante gefunden. Die Integrationskonstante muss noch bestimmt werden etwa durch Normierung der Funktion bei 1: gG2hZ[1,10] + c = 1

solv = Solve @H gG2hZ @ u, 10 D + c Š 1 L • . u ® 1, 8 c <D •• Flatten 9 c ® €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 5194387 - 1587600 €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ p

²

1587600 p

²

=

(9)

H c = c • . solv L •• N -0.668492

gG4hZ @ u_, 10 D := gG2hZ @ u, 10 D + c;

gG4hZ @ u, 10 D

5194387 - 1587600 p

²

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

1587600 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos p @p

²

u D + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ p 2

²

p u D + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 3 p u D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 4 p u D 4 p

²

+ 4 Cos @ 5 p u D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

25 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 6 p u D

9 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 7 p u D

49 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 8 p u D

16 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 9 p u D

81 p

²

+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Cos @ 10 p u D 25 p

²

+ 2 J 1 - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin p @p u D - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ p 2 p u D - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 3 p u D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 4 p u D

2 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 5 p u D

5 p -

Sin @ 6 p u D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 7 p u D

7 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 8 p u D

4 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Sin @ 9 p u D

9 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @ 10 p u D

5 p N

gG4hZ @ u, 10 D •• N

-0.668492 + 0.405285 Cos @ 3.14159 u D + 0.101321 Cos @ 6.28319 u D +

0.0450316 Cos @ 9.42478 u D + 0.0253303 Cos @ 12.5664 u D + 0.0162114 Cos @ 15.708 u D + 0.0112579 Cos @ 18.8496 u D + 0.00827112 Cos @ 21.9911 u D + 0.00633257 Cos @ 25.1327 u D + 0.00500352 Cos @ 28.2743 u D + 0.00405285 Cos @ 31.4159 u D +

2. H 1. - 0.63662 Sin @ 3.14159 u D - 0.31831 Sin @ 6.28319 u D - 0.212207 Sin @ 9.42478 u D - 0.159155 Sin @ 12.5664 u D - 0.127324 Sin @ 15.708 u D - 0.106103 Sin @ 18.8496 u D - 0.0909457 Sin @ 21.9911 u D - 0.0795775 Sin @ 25.1327 u D -

0.0707355 Sin @ 28.2743 u D - 0.063662 Sin @ 31.4159 u DL Plot @ Evaluate @8 gG4hZ @ u, 10 D , u ^ 2 <D , 8 u, 0, 2 <D ;

0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

(10)

3 Ÿ a

Aus Aufgabe 1 : È Sin H t L È = fF @ t D = 2

€€€€ p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 2 t D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 4 t D

15 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 6 t D

35 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 8 t D 63 p - 4 Cos @ 10 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 12 t D

143 p - ....

=== > 0 = Sin @ 0 D = 2

€€€€ p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 0 D

3 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 0 D

15 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 0 D 35 p - 4 Cos @ 0 D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 0 D

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 4 Cos @ 0 D

143 p - ....

=== > 2

€€€€ p = 4

€€€€ p J 1

€€€€ 3 + 1

€€€€€€€

15 + 1

€€€€€€€

35 + 1

€€€€€€€

63 + 1

€€€€€€€

99 + 1

€€€€€€€€€€

143 - .... N === >

€€€€ 1 3 + 1

€€€€€€€

15 + 1

€€€€€€€

35 + 1

€€€€€€€

63 + 1

€€€€€€€

99 + 1

€€€€€€€€€€

143 - .... = 1

€€€€ 2

=== > 1

€€€€€€€

15 + 1

€€€€€€€

35 + 1

€€€€€€€

63 + 1

€€€€€€€

99 + 1

€€€€€€€€€€

143 - .... = 1

€€€€ 2 - 1

€€€€ 3 = 1

€€€€ 6

Sum @ 1 • HH 2 k + 1 L H 2 k + 3 LL , 8 k, 1, Infinity <D

€€€€ 1 6

Ÿ b Sehr einfaches Beispiel mit nicht so rascher Konvergenz:

Gerade y = t mit den Grundbereich für die Periode von 0 bis 2 p

Remove @ **"Global`*"** D ;

(11)

T = 2 Pi;

cc = 0;

Gerade1 @ t_ D := t

w = 2 Pi • T;

a @ 0 D := 2 • T Integrate @ Gerade1 @ t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

a @ k_ D := 2 • T Integrate @ Gerade1 @ t D Cos @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; b @ k_ D := 2 • T Integrate @ Gerade1 @ t D Sin @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; c @ k_ D := 1 • T Integrate @ Gerade1 @ t D E ^ H-I k w t L , 8 t, cc, cc + T <D ;

Gerade1Gh @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; Gerade1Gh @ t, 100 D

p - 2 Sin @ t D - Sin @ 2 t D - 2

€€€€ 3 Sin @ 3 t D - 1

€€€€ 2 Sin @ 4 t D - 2

€€€€ 5 Sin @ 5 t D - 1

€€€€ 3 Sin @ 6 t D - 2

€€€€ 7 Sin @ 7 t D -

€€€€ 1

4 Sin @ 8 t D - 2

€€€€ 9 Sin @ 9 t D - 1

€€€€ 5 Sin @ 10 t D - 2

€€€€€€€

11 Sin @ 11 t D - 1

€€€€ 6 Sin @ 12 t D - 2

€€€€€€€

13 Sin @ 13 t D -

€€€€ 1

7 Sin @ 14 t D - 2

€€€€€€€

15 Sin @ 15 t D - 1

€€€€ 8 Sin @ 16 t D - 2

€€€€€€€

17 Sin @ 17 t D - 1

€€€€ 9 Sin @ 18 t D - 2

€€€€€€€

19 Sin @ 19 t D -

€€€€€€€ 1

10 Sin @ 20 t D - 2

€€€€€€€

21 Sin @ 21 t D - 1

€€€€€€€

11 Sin @ 22 t D - 2

€€€€€€€

23 Sin @ 23 t D - 1

€€€€€€€

12 Sin @ 24 t D - 2

€€€€€€€

25 Sin @ 25 t D -

€€€€€€€ 1

13 Sin @ 26 t D - 2

€€€€€€€

27 Sin @ 27 t D - 1

€€€€€€€

14 Sin @ 28 t D - 2

€€€€€€€

29 Sin @ 29 t D - 1

€€€€€€€

15 Sin @ 30 t D -

€€€€€€€ 2

31 Sin @ 31 t D - 1

€€€€€€€

16 Sin @ 32 t D - 2

€€€€€€€

33 Sin @ 33 t D - 1

€€€€€€€

17 Sin @ 34 t D - 2

€€€€€€€

35 Sin @ 35 t D -

€€€€€€€ 1

18 Sin @ 36 t D - 2

€€€€€€€

37 Sin @ 37 t D - 1

€€€€€€€

19 Sin @ 38 t D - 2

€€€€€€€

39 Sin @ 39 t D - 1

€€€€€€€

20 Sin @ 40 t D -

€€€€€€€ 2

41 Sin @ 41 t D - 1

€€€€€€€

21 Sin @ 42 t D - 2

€€€€€€€

43 Sin @ 43 t D - 1

€€€€€€€

22 Sin @ 44 t D - 2

€€€€€€€

45 Sin @ 45 t D -

€€€€€€€ 1

23 Sin @ 46 t D - 2

€€€€€€€

47 Sin @ 47 t D - 1

€€€€€€€

24 Sin @ 48 t D - 2

€€€€€€€

49 Sin @ 49 t D - 1

€€€€€€€

25 Sin @ 50 t D -

€€€€€€€ 2

51 Sin @ 51 t D - 1

€€€€€€€

26 Sin @ 52 t D - 2

€€€€€€€

53 Sin @ 53 t D - 1

€€€€€€€

27 Sin @ 54 t D - 2

€€€€€€€

55 Sin @ 55 t D -

€€€€€€€ 1

28 Sin @ 56 t D - 2

€€€€€€€

57 Sin @ 57 t D - 1

€€€€€€€

29 Sin @ 58 t D - 2

€€€€€€€

59 Sin @ 59 t D - 1

€€€€€€€

30 Sin @ 60 t D -

€€€€€€€ 2

61 Sin @ 61 t D - 1

€€€€€€€

31 Sin @ 62 t D - 2

€€€€€€€

63 Sin @ 63 t D - 1

€€€€€€€

32 Sin @ 64 t D - 2

€€€€€€€

65 Sin @ 65 t D -

€€€€€€€ 1

33 Sin @ 66 t D - 2

€€€€€€€

67 Sin @ 67 t D - 1

€€€€€€€

34 Sin @ 68 t D - 2

€€€€€€€

69 Sin @ 69 t D - 1

€€€€€€€

35 Sin @ 70 t D -

€€€€€€€ 2

71 Sin @ 71 t D - 1

€€€€€€€

36 Sin @ 72 t D - 2

€€€€€€€

73 Sin @ 73 t D - 1

€€€€€€€

37 Sin @ 74 t D - 2

€€€€€€€

75 Sin @ 75 t D -

€€€€€€€ 1

38 Sin @ 76 t D - 2

€€€€€€€

77 Sin @ 77 t D - 1

€€€€€€€

39 Sin @ 78 t D - 2

€€€€€€€

79 Sin @ 79 t D - 1

€€€€€€€

40 Sin @ 80 t D -

€€€€€€€ 2

81 Sin @ 81 t D - 1

€€€€€€€

41 Sin @ 82 t D - 2

€€€€€€€

83 Sin @ 83 t D - 1

€€€€€€€

42 Sin @ 84 t D - 2

€€€€€€€

85 Sin @ 85 t D -

€€€€€€€ 1

43 Sin @ 86 t D - 2

€€€€€€€

87 Sin @ 87 t D - 1

€€€€€€€

44 Sin @ 88 t D - 2

€€€€€€€

89 Sin @ 89 t D - 1

€€€€€€€

45 Sin @ 90 t D -

€€€€€€€ 2

91 Sin @ 91 t D - 1

€€€€€€€

46 Sin @ 92 t D - 2

€€€€€€€

93 Sin @ 93 t D - 1

€€€€€€€

47 Sin @ 94 t D - 2

€€€€€€€

95 Sin @ 95 t D -

€€€€€€€ 1

48 Sin @ 96 t D - 2

€€€€€€€

97 Sin @ 97 t D - 1

€€€€€€€

49 Sin @ 98 t D - 2

€€€€€€€

99 Sin @ 99 t D - 1

€€€€€€€

50 Sin @ 100 t D

(12)

Plot @ Evaluate @ Gerade1Gh @ t, 100 D •• N D , 8 t, 0, 4 Pi <D ;

2 4 6 8 10 12

1 2 3 4 5 6

Gerade1Gh @ Pi • 2, 100 D

- 1700302738232103222977436738340575176164

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

1089380862964257455695840764614254743075 + p

Es gilt: Gerade1Gh[p/2,100] ist ungefähr p/2. Die in der Reihe vorkommenden Sinus- und Cosinus-Werte lassen sich an der Stelle k/2 p alle exakt berechnen.

Es gilt dann: p/2 ist ungefähr Gerade1Gh[Pi/2,100]. Diese Approsimationsgleichung lässt sich algebraisch nach Pi auflösen:

piUngefaehr = -2 H Gerade1Gh @ Pi • 2, 100 D - Pi L 3400605476464206445954873476681150352328

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

1089380862964257455695840764614254743075

N @ % D 3.12159

Nicht sehr genau mit 101 Koeffizienten!!

Setzt man p/2 in die Sinusreihe ein, so bekommt man p/2. Die Sinuswerte werden dann 1 oder -1 oder 0. Damit lässt sich p approximieren.

4 H Sum @H -1 L ^ H k + 1 L • H 2 k - 1 L , 8 k, 1, Infinity <DL p

4 Ÿ a

Remove @ **"Global`*"** D ;

u @ t_, x_, c_, a_, b_ D := c E ^ H -a t L Sin @ b x D D @ u @ t, x, c, a, b D , 8 t, 1 <D

-a c ã

^{-a t}

Sin @ b x D

(13)

D @ u @ t, x, c, a, b D , 8 x, 2 <D -b

²

c ã

^{-a t}

Sin @ b x D

Solve @ Evaluate @ D @ u @ t, x, c, a, b D , 8 t, 1 <D == D @ u @ t, x, c, a, b D , 8 x, 2 <DD , 8 a <D 88 a ® b

²

<<

u @ t, 0, c, a, b D 0

u @ Pi, 0, c, a, b D 0

Die Funktion löst die Gleichung falls a = b

²

gilt .

Ÿ b

Eine Linearkombination von Lösungen ist wieder Lösung, da 1. der Differentaloperator ein linearer Operator ist und da

2. die Randbedingungen wegen dem Wert 0 bei Linearkombinationen erhalten bleiben.

Ÿ c

Bei fixem t gilt u[t,x,c,a,b] = c E^(-a t_fix) Sin[b x].

Falls die b natürliche Zahlen sind, so hat man eine Fourierreihe mit den Koeffizienten c E^(-a t_fix).

Die a wären damit Quadratzahlen von natürlichen Zahlen.

5 Remove @ **"Global`*"** D ;

h1 @ t_ D := UnitStep @ t + Pi • 2 D - UnitStep @ t - Pi • 2 D ; Plot @ h1 @ t D , 8 t, -3, 3 <D ;

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(14)

v1 @ t_ D := Cos @ t D h1 @ t D ; Plot @ v1 @ x D , 8 x, -3, 3 <D ;

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

v2 @ t_ D := Pi H UnitStep @ t + 1 D - UnitStep @ t - 1 DL ; Plot @ v2 @ x D , 8 x, -3, 3 <D ;

-3 -2 -1 1 2 3

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Ÿ a Achtung Faktor €€€€€€€€

_•!!!!¹

p

bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!

1 • H 2 Pi L Integrate @ Cos @ t D E ^ H-I W t L , 8 t, -Pi • 2, Pi • 2 <D - Cos @ €€€€€€

^{p W}₂

D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ p H-1 + W

²

L

Mit andererem üblichen Normierungsfaktor

FourierTransform @ v1 @ t D , t, wD •• Simplify

- "###### €€€€

²_p

Cos @ €€€€€€

^{p w}₂

D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

-1 + w

²

Ÿ b Siehe Skript Mathematik II, z.B. deutsche Version Seite 121

Dort findet man eine ähnliche D'Gl., in der sich v2[t] nur um den Faktor p unterscheidet: v2[t] = p f[t]. Multipliziert

man die dortige Lösung mit p, so erhält man die Lösung zum vorliegenden Problem.

(15)

Ÿ Hier mit der symmetrischen Faktornormierung:

FourierTransform @ v2 @ t D , t, w D •• Simplify

•!!!!!!!! 2 p Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w

H FourierTransform @ y ' @ t D , t, wD + FourierTransform @ y @ t D , t, wDL • . FourierTransform @ y @ t D , t, wD -> Y @wD

Y @ w D - ä w Y @ w D

Solve A Y @ w D - ä w Y @ w D ==

•!!!!!!!! 2 p Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w , 8 Y @ w D<E •• Flatten 9 Y @wD ® €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ •!!!!!!!! 2 p w Sin @wD €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w + ä

²

+ w •!!!!!!!!

⁴

2 p w

²

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ Sin @wD =

InverseFourierTransform A •!!!!!!!!

2 p w Sin @wD + ä •!!!!!!!!

2 p w

²

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w

²

+ w

⁴

, 8w< , 8 t <E •• Simplify

€€€€€€€€€ 1

2 ã H p H ã Sign @ 1 - t D + ã Sign @ 1 + t D +

2 H Cosh @ t D - Sinh @ t DL Hã

²

UnitStep @-1 + t D - UnitStep @ 1 + t DLLL

pl1 = Plot A 1

€€€€€€€€€

2 ã Hp Hã Sign @ 1 - t D + ã Sign @ 1 + t D +

2 H Cosh @ t D - Sinh @ t DL Hã

²

UnitStep @-1 + t D - UnitStep @ 1 + t DLLL , 8 t, -3, 2.4 <E ;

-3 -2 -1 1 2

0.5 1 1.5 2 2.5

Ÿ Lösung aus dem Skript auf elementare Weise:

H * Remove @ **"Global`*"** D * L s @ x_ D := 0 • ; x < -1;

s @ x_ D := H 1 - E ^ H-H x + 1 LLL Pi • ; HH x ³ -1 L && H x < 1 LL ; s @ x_ D := H E ^ H 1 - x L - E ^ H - H x + 1 LLL Pi • ; H x ³ 1 L ;

? s Global`s

s

@

x_

D

:= 0

•

; x

< -1

s

@

x_

D

:=

H

1

- ã^-Hx+1LLp•

; x

³ -1 && x<

1 s

@

x_

D

:=

Hã^1-x- ã^-Hx+1LLp•

; x

³

1

(16)

ta = Table @8 x, s @ x D •• N < , 8 x, -2, 5, 0.1 <D •• Chop

88 -2, 0 < , 8 -1.9, 0 < , 8 -1.8, 0 < , 8 -1.7, 0 < , 8 -1.6, 0 < , 8 -1.5, 0 < , 8 -1.4, 0 < , 8 -1.3, 0 < , 8 -1.2, 0 < , 8 -1.1, 0 < , 8 -1., 0 < , 8 -0.9, 0.298962 < , 8 -0.8, 0.569474 < ,

8 -0.7, 0.814244 < , 8 -0.6, 1.03572 < , 8 -0.5, 1.23612 < , 8 -0.4, 1.41745 < ,

8-0.3, 1.58152 < , 8-0.2, 1.72998 < , 8-0.1, 1.86432 < , 8 0, 1.98587 < , 8 0.1, 2.09585 < , 8 0.2, 2.19536 < , 8 0.3, 2.28541 < , 8 0.4, 2.36689 < , 8 0.5, 2.44061 < , 8 0.6, 2.50732 < , 8 0.7, 2.56768 < , 8 0.8, 2.62229 < , 8 0.9, 2.67171 < , 8 1., 2.71642 < , 8 1.1, 2.45792 < , 8 1.2, 2.22402 < , 8 1.3, 2.01238 < , 8 1.4, 1.82087 < , 8 1.5, 1.64759 < , 8 1.6, 1.49081 < , 8 1.7, 1.34894 < , 8 1.8, 1.22057 < , 8 1.9, 1.10442 < , 8 2., 0.999317 < , 8 2.1, 0.904219 < , 8 2.2, 0.818171 < , 8 2.3, 0.740312 < , 8 2.4, 0.669862 < , 8 2.5, 0.606116 < , 8 2.6, 0.548437 < , 8 2.7, 0.496246 < , 8 2.8, 0.449022 < , 8 2.9, 0.406292 < , 8 3., 0.367628 < , 8 3.1, 0.332644 < , 8 3.2, 0.300988 < , 8 3.3, 0.272346 < , 8 3.4, 0.246428 < , 8 3.5, 0.222978 < , 8 3.6, 0.201759 < , 8 3.7, 0.182559 < , 8 3.8, 0.165186 < , 8 3.9, 0.149466 < , 8 4., 0.135243 < , 8 4.1, 0.122373 < , 8 4.2, 0.110727 < , 8 4.3, 0.10019 < , 8 4.4, 0.090656 < , 8 4.5, 0.0820289 < , 8 4.6, 0.0742228 < , 8 4.7, 0.0671596 < , 8 4.8, 0.0607685 < , 8 4.9, 0.0549856 < , 8 5., 0.049753 <<

pl2 = ListPlot @ ta, PlotJoined ® True D ;

-2 -1 1 2 3 4 5

0.5 1 1.5 2 2.5

Ÿ Vergleich beider Plots: die Plots decken sich

Show @ pl1, pl2, PlotRange ® 8 0, 2.7 <D ;

-2 2 4

0.5 1 1.5 2 2.5

6 Die Antworten auf die gestellten Fragen finden sich dargestellt im Skript Mathematik II,z.B.deutsche Version Seite 111.

f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @H f1 @ t DL ^ 2 D ; Plot @ Evaluate @ f1New @ t DD , 8 t, -2 Pi, 2 Pi <D ;

Lösungen

1

Remove @ "Global`*" D ;

Ÿ a Gerade Funktion ==> Cosinusreihe

f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @H f1 @ t DL ^ 2 D ; Plot @ Evaluate @ f1New @ t DD , 8 t, -2 Pi, 2 Pi <D ;

-6 -4 -2 2 4 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ b Die ersten 6 Fourierkoeffizienten, Graphik

T = Pi;

cc = 0;

f1 @ t_ D := Sin @ t D ; f1New @ t_ D := Sqrt @ f1 @ t D ^ 2 D

w = 2 Pi • T;

a @ 0 D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D , 8 t, cc, cc + T <D ;

a @ k_ D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D Cos @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; b @ k_ D := 2 • T Integrate @ f1 @ t D Sin @ k w t D , 8 t, cc, cc + T <D ; c @ k_ D := 1 • T Integrate @ f1 @ t D E ^ H-I k w t L , 8 t, cc, cc + T <D ;

ffInf @ t_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, Infinity <D ; fFh @ t_, h_ D := a @ 0 D • 2 + Sum @ a @ n D Cos @ n w t D + b @ n D Sin @ n w t D , 8 n, 1, h <D ; fFInf @ t_ D := Sum @ c @ n D E ^ H I n w t L , 8 n, -Infinity, Infinity <D ;

fFh @ t_, h_ D := Sum @ c @ n D E ^ H I n w t L , 8 n, -h, h <D ; fFh @ t, 6 D

€€€€ 2 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - 2 ã

€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

63 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

99 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

143 p - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 ã

143 p

% •• N

0.63662 - 0.212207 2.71828

- 0.212207 2.71828

- 0.0424413 2.71828

- 0.0424413 2.71828

- 0.0181891 2.71828

- 0.0181891 2.71828

- 0.0101051 2.71828

- 0.0101051 2.71828

- 0.0064305 2.71828

- 0.0064305 2.71828

- 0.00445189 2.71828

- 0.00445189 2.71828

fFh @ t_, 6 D :=

€€€€€ 2

p - 4 Cos @ 2 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

3 p - 4 Cos @ 4 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

15 p - 4 Cos @ 6 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

35 p - 4 Cos @ 8 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

63 p - 4 Cos @ 10 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

99 p - 4 Cos @ 12 t D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

143 p N @ % D

Plot @ fFh @ t, 6 D , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Plot @8 fFh @ t, 6 D , f1New @ t D< , 8 t, 0, 2 Pi <D ;

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ c Die ersten 6 Fourierkoeffizienten von |Sin(t)| = "###################

Sin @ t D

= f[t] ( ==> dieselbe Funktion!! )

a @ 0 D • 2

€€€€ 2 p

a @ k D • . 8 Cos @ 2 k p D ® 1, Sin @ 2 k p D ® 0 <

4 Cos @ k pD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ H 1 - 4 k

L p

b @ k D • . 8 Cos @ 2 k pD ® 1, Sin @ 2 k pD ® 0 <

Remove @ **"Global`*"** D ;

Remove @ **"Global`*"** D ;