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In Analogie zum Vorgehen in der Vorlesung sollen Sie nun die massiven Darstellungen der N erweiterten Supersymmetriealgebra ohne zentrale Ladun- gen bestimmen. D.h. ausgehend von

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Academic year: 2021

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Einf¨ uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 3, Besprechung 17.5.06 ¨

Aufgabe 1: Massive Supermultipletts

In Analogie zum Vorgehen in der Vorlesung sollen Sie nun die massiven Darstellungen der N erweiterten Supersymmetriealgebra ohne zentrale Ladun- gen bestimmen. D.h. ausgehend von

[P

µ

, Q

Iα

] = 0

[M

µν

, Q

Iα

] = −i (σ

µν

)

αβ

Q

β

{Q

Iα

, Q ¯

Jβ˙

} = 2 (σ

µ

)

αβ˙

P

µ

δ

IJ

{Q

Iα

, Q

Jβ

} = 0 (1)

betrachten Sie ein massives Teilchen im Ruhesystem: P

0

= (m, 0, 0, 0) und zeigen, dass der Antikommutator {Q

α

, Q ¯

β˙

} auf ein System von 2N fermion- ischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren f¨ uhrt. Bestimmen Sie den Teilchengehalt der Multipletts mit maximalen Spin 1 f¨ ur N = 1 und N = 2.

Zeigen Sie, dass im Fall N = 4 ein massives Graviton auftauchen m¨ ußte.

Aufgabe 2: N = 2, massiv mit zentraler Ladung

Betrachten Sie nun den N = 2 Fall mit zentraler Ladung Z

IJ

=

IJ

q, d.h.

wir haben jetzt abweichend zur oberen Relation (1) die Beziehung {Q

1α

, Q

2β

} =

ab

q {Q

1α

, Q

1β

} = 0 = {Q

2α

, Q

2β

}

K¨ onnen Sie nun einen Satz von fermionischen Erzeugern und Vernichtern, die Vertauschungsrelationen der Form

{a

α

, a

β

} ∼ (2m + q) δ

αβ

{b

α

, b

β

} ∼ (2m − q) δ

αβ

besitzen, konstruieren? Wie vergleicht sich der Teilchengehalt dieser Super- multipletts zum Fall q = 0? D.h. was passiert insbesondere in den F¨ allen 2m = ±q?

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