Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Anwesenheitsaufgabenblatt II

Diese ¨Ubung hat zum Inhalt das aus der Vorlesung bekannte Jeans Kriterium f¨ur Gravitationsin- stabilit¨at ¨uber einen St¨orungsansatz herzuleiten.

Aufgabe 2:

Sir James Hop- wood Jeans (1877 – 1946) hat auch Artikel und B¨ucher zu Mechanik, Elek- trodynamik und Quantentheorie publiziert.

Die urspr¨ungliche Herleitung des Jeans-Kriteriums ist mittels St¨orungs- rechnung erfolgt. Bevor diese im Folgenden reproduziert werden soll, gilt es zun¨achst zu kl¨aren ob eine Gaswolke (RadiusRw = 1 pc, Teilchenzahl- dichten_w = 10 cm⁻³) sich ¨uberhaupt ¨uber die Hydrodynamik beschreiben l¨asst.

(a) Zwecks dieser Vor¨uberlegung soll die mittlere freie Wegl¨ange l = (√

2σ n)⁻¹ der Wasserstoffatome (Radius R_H = 5.3 cm⁻⁹) in der Gaswolke mit der Ausdehnung der Gaswolke verglichen werden.

Der totale (geometrische) Wirungsquerschnitt σ is gegeben ¨uber die Trefferfl¨ache zweier Wasserstoffatome (unter Vernachl¨assigung jeglicher Kr¨afte).

Die im Folgenden ben¨otigten hydrodynamischen Grundgleichungen sind die Kontinuit¨atsgleichung

∂ρ

∂t +∇ ·~ (ρ~u) = 0 (Massenbilanz), die Impulsgleichung

ρ∂~u

∂t +ρ(~u·∇)~ ~u=−∇p~ +ρ ~∇V (Impulsbilanz), und die Poissongleichung

∆V =−4π Gρ ~∇V (Gravitationsfeld),

mit der Massendichte ρ, Str¨omungsgeschwindigkeit ~u, Druck p, (Selbst-)Gravitationspotential V. Zudem wird noch die Zustandsgleichung p = c²_sρ ben¨otigt, mit der Schallgeschwindigkeit c_s = p

k_BT_w/(µ m_H) = konst unter der Annahme einer isothermen Zustands¨anderung (T_w = konst).

(b) Verwenden Sie des St¨orungsansatzes X = X₀+X₁, mit X ∈ {ρ, ~u, p, V} und kX₁k kX₀k und zeigen Sie dass f¨ur~u₀ = 0 und unter Linearisierung

∂²ρ1

∂t² − 4πGρ_wρ1+c²_s∆ρ1

= 0,

folgt, wobei ρ0 =ρ_w.

(c) Verwenden Sie den ebenen-Wellen-Ansatz f¨ur den St¨ortermρ₁ und zeigen Sie, dass

R_w >

s

πk_BT_w Gµm_Hρ_w

falls Sie eine mit der Zeit anwachsende St¨orung fordern und die Wellenzahl zuk '2π/R_w absch¨atzen.

(d) Vergleichen Sie mit dem aus der Vorlesung bekannten Wert f¨ur den JeansradiusR_J. (e) Zeigen Sie, dass aus der in der Vorlesung angegeben Beziehung f¨ur die sogenannte Jeans-

Masse

M_J = 5 r15

4π

kB

Gµm_H

3/2s T_w³ ρ_w folgt, dass M_J ∼ Pw^3/2

G^3/2ρ²_w wobei P_w = n_wk_BT_w der thermische Druck der Wolke sei mit der Teilchenzahldichten_w =ρ_w/(µm_H).

(f) Berechnen Sie die Jeans-Masse f¨ur drei verschiedene Molek¨ulwolken mit den Dichten n_w = 1cm⁻³, 10²cm⁻³ und 10⁴cm⁻³, jeweilsT_w = 100 K. Ber¨ucksichtigen Sie, dass µ= 2 f¨ur H₂-Wolken.