EINF ¨ UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK
FRITZ HAAKE
Vorwort
Das 1982 erschienene Buch ist l¨angst vergriffen. Der Nachfolger des dama- ligen Verlages ist an einer Neuauflage nicht interessiert. Der Anregung von Lesern und Kollegen folgend mache ich den Text nun frei zug¨anglich. Damit wird Wechselwirkung mit Nutzern m¨oglich. Mir mitgeteilte Druckfehler und Unstimmigkeiten werde ich laufend korrigieren. Auch Anregungen zu gr¨oßeren Anderungen und Anpassung an inzwischen ver¨anderte Bed¨¨ urfnisse der Lehrer- ausbildung sind mir willkommen.
Essen, Oktober 2002 Fritz Haake
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 5
1 Masse 11
1.1 Freie Teilchen . . . . 11
1.2 Tr¨age Teilchen . . . . 11
1.3 Ein Beispiel: konstante Kraft . . . . 12
1.4 Das Galileische Relativit¨atsprinzip . . . . 13
1.5 Schwere Teilchen . . . . 15
2 Schwingungen 19 2.1 Der harmonische Oszillator . . . . 19
2.2 Der Energieeigensatz . . . . 21
2.3 Der Energiesatz f¨ur beliebige konservative Kr¨afte . . . . 23
2.4 Der ged¨ampfte harmonische Oszillator . . . . 26
2.5 Resonanz . . . . 29
2.6 Antwort auf beliebige periodische Anregung (Fourierreihen) . . . 33
2.7 Antwort auf beliebige Anregung . . . . 35
2.8 Idealisierter Kraftstoß (Deltafunktion) . . . . 39
2.9 Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren . . . . 42
2.10 Der mechanische Energiesatz f¨ur Systeme vieler Teilchen . . . . . 45
2.11 Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden . . . . 48
2.12 Erzwungene Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden . . . . 51
2.13 Transversale Schwingungen der gespannten Saite . . . . 53
2.14 Theorie der D¨ampfung(Modell) . . . . 57
3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld 63 3.1 Das 1/r-Potential . . . . 63
3.2 Die Erhaltungss¨atze bei Bewegungen im 1/r-Potential . . . . 65
3.3 Die Bahnkurven . . . . 68
3.4 Das Zweik¨orperproblem . . . . 71
4 Statische wirbelfreie Felder 73 4.1 Wirbelfreie Vektorfelder . . . . 73
4.2 Quellen wirbelfreier Felder . . . . 76
4.3 Lokale Quellen . . . . 78
4.4 Elektrostatisches Potential . . . . 81
4.5 Geladenes Teilchen vor einem Leiter . . . . 83
4.6 Sph¨arische Ladungs- bzw. Massenverteilung . . . . 84 5
4.7 Monopole, Dipole, Multipole . . . . 86
4.8 Die Form der Erde . . . . 90
4.9 Die Energie eines Haufens von Ladungen . . . . 93
4.10 Die Energie eines Ladungshaufens in einem ¨außeren Feld . . . . . 95
5 Statische Magnetfelder 97 5.1 Das magnetische (Induktions-)FeldB(~x) . . . .~ 97
5.2 Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Drahtes . . . 99
5.3 Wirbel . . . . 99
5.4 Lokale Wirbel . . . 102
5.5 Magnetische Monopole . . . 104
5.6 Die Feldgleichungen . . . 105
5.7 Das Fernfeld station¨arer Str¨ome . . . 108
5.8 Magnetisches Moment und Drehimpuls . . . 111
5.9 Kraft und Drehmoment eines FeldesB(~x) auf einen magnetischen~ Dipol . . . 111
6 Das elektromagnetische Feld 113 6.1 Faradays Induktionsexperiment . . . 113
6.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom . . . 115
6.3 Die Maxwellschen Gleichungen . . . 116
6.4 Der Energieerhaltungssatz . . . 117
6.5 Die Wellengleichung f¨ur die Potentiale . . . 119
6.6 Ebene elektromagnetische Wellen im freien Raum . . . 120
6.7 Die retardierten Potentiale . . . 123
6.8 Elektrische Dipolstrahlung . . . 126
7 Elektromagnetische Felder in Materie 129 7.1 Polarisation und Magnetisierung . . . 129
7.2 Materialgesetze f¨ur Polarisation und Magnetisierung . . . 134
7.3 Wellen in linearen Dielektrika . . . 136
7.4 Modell eines Dielektrikums . . . 137
7.5 Ohmsches Gesetz . . . 138
7.6 Wellen in Leitern . . . 139
8 Symmetrien 141 8.1 Der Raum ist homogen . . . 141
8.2 Der Raum ist isotrop . . . 143
8.3 Die Zeit ist homogen . . . 150
8.4 Galileiinvarianz . . . 150
8.5 Lorentzinvarianz . . . 152
9 Spezielle Relativit¨atstheorie 155 9.1 Die Lorentztransformation der Koordinaten . . . 155
9.2 Relativit¨at der Gleichzeitigkeit . . . 158
9.3 Zeitdilatation . . . 158
9.4 L¨angenkontraktion . . . 161
9.5 Addition von Geschwindigkeiten . . . 162
9.6 Lorentzinvarianz der Maxwellschen Gleichungen . . . 163
9.7 Feld einer gleichf¨ormig bewegten Punktladung . . . 165
INHALTSVERZEICHNIS 7
9.8 Lorentzskalare und Lorentzvektoren . . . 166
9.9 Relativistischer Impuls und Viererimpuls eines Teilchens . . . 168
9.10 Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens im elektromagne- tischen Feld . . . 170
9.11 Bewegung im konstanten elektrischen Feld . . . 173
9.12 Eine bequeme Schreibweise . . . 174
10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld 179 10.1 R¨uckblick auf die Newtonsche Theorie . . . 179
10.2 Einsteins ¨Aquivalenzprinzip . . . 180
10.3 Die Viererkraft im Gravitationsfeld . . . 181
10.4 Lichtstrahlen im Gravitationsfeld . . . 184
10.5 Der metrische Tensor ist das Gravitationsfeld . . . 186
10.6 Der Newtonsche Grenzfall . . . 188
10.7 Frequenzverschiebung fallender Photonen . . . 190
10.8 Nochmal auf die rotierende Scheibe! . . . 192
10.9 Das statische isotrope Gravitationsfeld . . . 194
10.10Bewegungsgleichungen im statischen isotropen Feld . . . 196
10.11Periheldrehung der Planeten . . . 199
10.12Lichtablenkung durch die Sonne . . . 202
11 Quanten 205 11.1 Teilchen sind Wellen . . . 205
11.2 Heisenbergs Unsch¨arferelation . . . 210
11.3 Die Grundprinzipien der Quantenmechanik . . . 211
11.4 Die Schr¨odingergleichung . . . 212
11.5 Normierung der Wellenfunktion . . . 215
11.6 Mittelwerte . . . 216
11.7 Freie Pakete zerfließen . . . 218
11.8 Das Ehrenfestsche Theorem . . . 220
12 Quanten in K¨asten 223 12.1 Eindimensionale Potentialstufe . . . 223
12.2 Eindimensionaler Kasten mit starrem Rand . . . 226
12.3 Potentialtopf endlicher Tiefe . . . 229
12.4 Quanten durchdringen W¨ande . . . 232
13 Harmonisch gebundene Quanten 235 13.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator . . . 235
13.2 Die Orthogonalit¨at normierbarer Eigenfunktionen hermitescher Operatoren . . . 240
13.3 Die erzwungene Schwingung des harmonischen Oszillators . . . . 243
13.4 Die Umgebung bel¨asst nur den Grundzustand stabil . . . 245
14 Das Wasserstoffatom 253 14.1 Relativ- und Schwerpunktsbewegung . . . 253
14.2 Bewegung im Coulombfeld . . . 254
14.3 Der Bahndrehimpuls . . . 256
14.4 Kommutierende Operatoren haben gemeinsame Eigenfunktionen 257 14.5 Die Eigenwerte des Bahndrehimpulses . . . 259
14.6 Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses . . . 263
14.7 Das Radialproblem beim Coulombfeld . . . 266
14.8 Die Auswahlregeln . . . 270
14.9 Verwandte Zweik¨orpersysteme . . . 272
15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenme- chanik geladener Teilchen 275 15.1 Die Schr¨odingergleichung . . . 275
15.2 Die klassische Hamiltonfunktion . . . 277
15.3 Klassische (nichtrelativistische) Bewegung im konstanten Magnet- feld . . . 280
15.4 Geladenes Quant im konstanten Magnetfeld . . . 282
15.5 Eichinvarianz . . . 284
15.6 Zeemaneffekt beim Wasserstoffatom (ohne Spin) . . . 286
16 Spin 289 16.1 Der Spin des Elektrons . . . 289
16.2 Das magnetische Moment von Teilchen mit Spin . . . 292
16.3 Der anomale Zeemaneffekt beim H-Atom . . . 293
17 Grundbegriffe der Statistik 297 17.1 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen . . . 297
17.2 Diskrete eindimensionale Zufallsbewegung . . . 298
17.3 Die Binomialverteilung f¨ur großeN . . . 299
17.4 Eindimensionale Diffusion . . . 300
17.5 Der Zentrale Grenzwertsatz . . . 303
18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen 307 18.1 Ensembles . . . 307
18.2 Station¨are Ensembles . . . 308
18.3 Die Energieabh¨angigkeit der Zustandsdichte . . . 310
18.4 Das mikrokanonische Ensemble . . . 311
18.5 Das kanonische Ensemble . . . 313
18.6 Das großkanonische Ensemble . . . 317
19 Thermodynamische Variable 319 19.1 Entropie . . . 319
19.2 Temperatur . . . 322
19.3 Druck . . . 325
19.4 Chemisches Potential . . . 327
20 Ideale Gase 331 20.1 Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen . . . 331
20.2 Thermische Photonen . . . 334
20.3 Thermische Phononen in Festk¨orpern . . . 340
20.4 Das ideale Bosegas . . . 343
20.5 Bose-Einstein-Kondensation . . . 348
20.6 Das ideale Fermigas . . . 352
INHALTSVERZEICHNIS 9 21 Begr¨undung der Thermodynamik makroskopischer Systeme 359
21.1 Arbeit und W¨arme bei Zustands¨anderungen . . . 359
21.2 Erster Hauptsatz . . . 360
21.3 Entropie¨anderungen bei Zustands¨anderungen . . . 360
21.4 Zweiter Hauptsatz . . . 361
21.5 Unm¨oglichkeit des perpetuum mobile zweiter Art . . . 362
21.6 Unm¨oglichkeit des perfekten K¨uhlapparats . . . 364
21.7 Die Carnotmaschine . . . 364
21.8 Relaxation ins Gleichgewicht . . . 367
Abbildungsverzeichnis 371
Kapitel 1
Masse
1.1 Freie Teilchen
Das freie Teilchen ist eine n¨utzliche Idealisierung. Seine Freiheit ist eine Freiheit von Kr¨aften. Beispiele f¨ur n¨aherungsweise freie Teilchen kennen Sie vom Luftkissentisch und aus der Raumfahrt.
Das freie Teilchen ¨andert im Lauf der Zeit seine Geschwindigkeit nicht. Es bewegt sich geradlinig und legt in gleichen Zeitabschnitten ∆tgleiche Wegst¨ucke
∆~x= (∆x,∆y,∆z) zur¨uck, so dass f¨ur seine Geschwindigkeit gilt
~v= (vx, vy, vz) = µ∆x
∆t, ∆y
∆t, ∆z
∆t
¶
= −−−→const. (1.1) Wenn ein Teilchen in einem Bezugssystem S frei ist, so auch in jedem an- deren,S0, das sich relativ zuS gleichf¨ormig und geradlinig bewegt. Alle diese Systeme heißenInertialsysteme. Es ist gleichg¨ultig, welches Inertialsysteme zur Beschreibung der Bewegung des freien Teilchens benutzt wird. Beispielsweise kann ein Ruhesystemgew¨ahlt werden, d. h. ein Koordinatensystem, bez¨uglich dessen das Teilchen unbewegt ruht. Jedenfalls gilt~v= −−−→const in allen Inertial- systemen.
Wenn sich zwei Teilchen mit gleichf¨ormiger Geschwindigkeit~v1 und~v2 be- wegen, so l¨asst sich aus Prinzip nicht entscheiden, welches von beiden ruht und welches in Bewegung ist. Im Ruhesystem eines der beiden bewegt sich das andere.
1.2 Tr¨ age Teilchen
Um die Geschwindigkeit eines Teilchens zu ¨andern, bedarf es einer Kraft K.~ Zur ¨Anderung|∆~v|=p
(∆vx)2+ (∆vy)2+ (∆vz)2in der Zeitspanne ∆tist eine um so gr¨oßere Kraft vonn¨oten, je tr¨ager ein Teilchen ist. F¨ur hinreichend kleine Zeitspannen ∆tund Geschwindigkeits¨anderungen ∆~vergibt sich im Experiment die Proportionalit¨at
∆~v
∆t ∼K .~ (1.2)
11
Der Proportionalit¨atsfaktor heißt die tr¨age Masse m des Teilchens. Je gr¨oßer sie ist, desto tr¨ager ist das Teilchen. F¨ur alle Teilchen gilt
m≥0, (1.3)
da erfahrungsgem¨aß die ¨Anderungsrate der Geschwindigkeit ∆~v ∆t und die KraftK~ gleichgerichtet sind.
Anstatt das Gesetz (1.2) f¨ur endliche aber hinreichend kleine Differenzen ∆t und ∆~vzu formulieren, f¨uhrt man den Differentialquotienten
∆t→0lim
∆~v
∆t =d~v dt =
µdvx
dt , dvy
dt , dvz
dt
¶
(1.4) ein und nennt den Grenzwertd~v/dtder ¨Anderung der Geschwindigkeit im be- liebig kleinen Zeitintervall die Beschleunigung des Teilchens. Mit Hilfe dieses Begriffes schreibt sich das Gesetz (1.2) in der wohlbekannten Form
K~ =m d~v
dt . (1.5)
Sie kennen (1.5) als eines der Newtonschen Grundgesetze der Mechanik. Es erlaubt, sobald die auf das Teilchen wirkende Kraft als Funktion der Koor- dinaten des Teilchens bekannt ist, die Berechnung der m¨oglichen Bahnkurven
~x(t) = (x(t), y(t), z(t)).
1.3 Ein Beispiel: konstante Kraft
Ich erinnere Sie an den einfachsten Fall einer nicht gleichf¨ormigen Bewe- gung: Ein Teilchen ist einer r¨aumlich und zeitlich konstanten Kraft ausgesetzt.
Beispiele solcher Kr¨afte sind - mit guter N¨aherung - die Schwerkraft nahe der Erdoberfl¨ache und die elektrische Kraft, die ein geladenes Teilchen zwischen den parallelen Platten eines ebenen Plattenkondensators erf¨ahrt.
Zur Beschreibung der Bahnkurve w¨ahlen wir das Koordinatensystem so, dass K~ = (0,0, K). Dann lautet das Grundgesetz (1.5)
dvx
dt = 0, dvy
dt = 0, dvz
dt = 1
m K . (1.6)
Die beiden ersten dieser Gleichungen besagen, dass diex- undy-Komponenten der Geschwindigkeit sich zeitlich nicht ¨andern, d. h. vx(t) = vx(0) = const und vy(t) = vy(0) = const. Es l¨asst sich dann ¨ubrigens immer ein Koordina- tensystem angeben, in dem vx = vy = 0 ist. Die letzte der drei Gleichungen besagt, dass die Beschleunigung des Teilchens in z-Richtung zeitlich konstant ist. Demnach gilt f¨ur die Geschwindigkeit
vz(t) = 1
m Kt+vz(0), (1.7)
1.4 Das Galileische Relativit¨atsprinzip 13
wobei die Integrationskonstantevz(0) die Bedeutung der anf¨anglichen Geschwin- digkeit inz-Richtung hat. Die drei L¨osungen der Gleichungen (1.6) lassen sich zu der Vektorgleichung
~v(t) =~v(0) + 1
m Kt~ (1.8)
zusammenfassen.
Wenn wir beachten, dass die Geschwindigkeit des Teilchens die zeitliche Anderung der Ortskoordinaten gibt,¨
~v= lim
∆t→0
∆~x
∆t =d~x dt =
µdx dt, dy
dt, dz dt
¶
, (1.9)
so k¨onnen wir (1.8) als Differentialgleichungen f¨ur den Ortsvektor~x= (x, y, z) auffassen,
dx
dt =vx(0), dy
dt =vy(0), dz
dt =vz(0) + 1
mKt . (1.10) Durch Integration ¨uber die Zeit erhalten wir die Bestimmungsgleichungen der Bahnkurve
x(t) = vx(0)t+x(0)
y(t) = vy(0)t+y(0) (1.11)
z(t) = 1
2m Kt2+vz(0)t+z(0), die sich wieder zu einer Vektorgleichung vereinigen lassen,
~x(t) =~x(0) +~v(0)t+ 1
2m Kt~ 2 . (1.12)
Die drei Integrationskonstanten x(0), y(0), z(0) haben offensichtlich die Be- deutung der anf¨anglichen Koordinaten des Teilchens. Insgesamt treten in der Bahnkurve (1.11) sechs Integrationskonstanten auf, die drei anf¨anglichen Ge- schwindigkeitskomponenten neben den drei anf¨anglichen Koordinaten. Die Zahl der Integrationskonstanten erkl¨art sich dadurch, dass jede der drei Bewegungs- gleichungen (1.6) zweimal integriert werden musste, damit die L¨osung (1.11) entstand.
1.4 Das Galileische Relativit¨ atsprinzip
Uber das freie Teilchen hatte ich gesagt, es sei gleichg¨¨ ultig, von welchem Inertialsystem aus seine Bewegung beschrieben wird; in allen Inertialsystemen gilt~v= −−−→const. Wenn auf ein Teilchen eine KraftK~ wirkt, so gilt zwar in keinem Koordinatensystem, bez¨uglich dessen K~ 6= 0 konstatiert wird, ~v = −−−→const. Ich
zeige aber jetzt, zun¨achst f¨ur den eben betrachteten Spezialfall einer konstan- ten Kraft, dass zur Beschreibung der Bewegung immer noch alle gleichf¨ormig zueinander bewegten Koordinatensysteme gleichberechtigt sind.
F¨uhren wir insbesondere ein KoordinatensystemS0 ein, dessen Ursprung im bisher benutzten KoordinatensystemS die Koordinaten
~x0(t) =~x(0) +~v(0)t (1.13) hat und dessen Achsen zu den entsprechenden von S parallel liegen. S0 ist ein anf¨angliches Ruhesystem des Teilchens. Der Ursprung von S0 bewegt sich relativ zuS gleichf¨ormig mit~v(0); zur Zeitt= 0 liegt er bei~x(0), wo dann auch gem¨aß (1.12) das betrachtete Teilchen sitzt. Wenn die Uhren im S0 genauso laufen wie in K, was f¨ur hinreichend kleine Relativit¨atsgeschwindigkeit ~v(0) eine Erfahrungstatsache ist, so misst der das KoordinatensystemS0 benutzende Beobachter f¨ur die Koordinaten des Teilchen
x0(t) = 0, y0(t) = 0, z0(t) = 1
2m Kt2 (1.14)
bzw. in Vektorform
~x0(t) = 1
2m Kt~ 2 . (1.15)
Zwischen den Koordinaten des Teilchens inSundS0besteht der Zusammenhang
~x=~x0+~x(0) +~v(0)t, t=t0 , (1.16) der alsGalileitransformation bezeichnet wird.
Es ist wie gesagt gleichg¨ultig, ob die Bewegung des Teilchens unter dem Einfluss der Kraft K~ im Koordinatensystem S oder im KoordinatensystemS0 beschrieben wird. Zwar ¨andert sich unter der Galileitransformation (1.16) die Bahnkurve, und zwar von (1.12) zu (1.15); gleich bleibt jedoch inSundS0(und allen Inertialsystemen) das Grundgesetz K~ = md2~x/dt2. Denn wir erhalten durch zweimaliges Differenzieren nach der Zeit aus (1.15)
md2~x0
dt02 =md2 dt2
ÃKt~ 2 2m
!
=K~ und aus (1.12)
md2~x
dt2 =md2 dt2
ÃKt~ 2
2m +~v(0)t+~x(0)
!
=K ,~ also in beiden F¨allen dieselbe Differentialgleichung.
Was ich hier am Beispiel des speziellen Kraftgesetzes K~ =−−−→const vorgef¨uhrt habe, ist auch f¨ur andere Kraftgesetze K~ = K(~x) richtig: Das Grundgesetz~ K~ = md~v/dt gilt in gleicher Form in allen Inertialsystemen, d. h. allen Ko- ordinatensystemen, die durch die Galileitransformation (1.16)verkn¨upft sind.
1.5 Schwere Teilchen 15 Der Grund f¨ur die Invarianz (Unver¨anderlichkeit) des Grundgesetzes unter der Galileitransformation ergibt sich aus folgender ¨Uberlegung: einerseits ist die Be- schleunigung eines Teilchens in allen Inertialsystemen gleich. Wenn wir n¨amlich in (1.16)~xund~x0als zeitabh¨angige Ortsvektoren eines Teilchens ansehen, so gilt
d2~x dt2 =d2~x0
dt2 + d2
dt2(~x(0) +~v(0)t) = d2~x0 dt2 .
Andererseits sind Gr¨oße und Richtung der an einem Punkt im Raum auf das Teilchen wirkenden KraftK(~x) unabh¨angig davon, ob wir den Raumpunkt mit~ Koordinaten bez¨uglichS oder bez¨uglichS0 versehen.
Die Invarianz des Grundgesetzes unter der Galileitransformation (1.16)ist ei- ne wichtige Symmetrieeigenschaft des Grundgesetzes (1.5). Sie beinhaltet auch das wohlbekannte Additionsgesetz f¨ur Geschwindigkeiten. Hat ein Teilchen im SystemS0 zu einem bestimmten Zeitpunkt die Geschwindigkeit~v0 und bewegt sichS0 relativ zuS gleichf¨ormig mit ~u, so hat das Teilchen inS die Geschwin- digkeit
~v=~v0+~u .
Abbildung 1.1
Empirisch ist das soeben besprochene Additionstheorem f¨ur Geschwindig- keiten genau wie das Newtonsche Grundgesetz sch¨on abgesichert. Allerdings nur f¨ur Teilchen- und Relativgeschwindigkeiten, die allesamt klein gegen¨uber der Lichtgeschwindigkeitc≈300 000km/ssind. Sobald Geschwindigkeiten im Spiel sind, die betragsm¨aßig auch nur einige Prozent voncbetragen, werden so- wohl das Vektoradditionsgesetz f¨ur Geschwindigkeiten wie auch das Newtonsche Grundgesetz unrichtig. Die dann an ihre Stelle tretenden Gesetze besprechen wir im Kapitel 9. Vorl¨aufig beschr¨anken wir uns auf den”nichtrelativistischen“
Newtonschen Grenzfall|~v|/c¿1.
1.5 Schwere Teilchen
Die Wanderer und Bergsteiger unter Ihnen kennen den Unterschied zwischen leichten und schweren Rucks¨acken. Verschiedene Teilchen erfahren an der Erd- oberfl¨ache eine verschiedene Schwerkraft. Im durch die Abbildung 1.5 beschrie- benen Gedankenexperiment l¨asst sich die”Schwere“ eines K¨orpers quantitativ erfassen.
Je schwerer ein an einer Feder aufgeh¨angter K¨orper ist, desto weiter dehnt sich dieselbe aus. Nach geeigneter Eichung der Feder kann der Betrag der auf einen
Abbildung 1.2
aufgeh¨angten K¨orper wirkenden Schwerkraft aus der Verl¨angerung ∆zder Feder abgelesen werden.
Die Schwerkraft, die ein Probek¨orper an der Erdoberfl¨ache erf¨ahrt, ist stets zum Erdmittelpunkt hin gerichtet. Ihre Richtung ¨andert sich, wenn der fragli- che Probek¨orper auf der Erdoberfl¨ache bewegt wird. Folglich ist die Schwerkraft nicht eine Eigenschaft des Probek¨orpers allein, sondern eine gemeinsame Eigen- schaft desselben und der ihn anziehenden Erde.
Um die Schwere eines Probek¨orpers als richtungsunabh¨angige Eigenschaft seiner selbst zu charakterisieren, wird der Begriff derschweren Masseeingef¨uhrt durch
mschwer ∼ |K~schwer|. (1.17)
Wenn die schwere Masse in kg und die Schwerkraft|K~schwer|in Newton
(1 N = 1 kg·m·s−2) gemessen werden, so ergibt sich der Proportionalit¨atsfaktor
g=|K~schwer|/mschwer (1.18)
aus Messungen an der Erdoberfl¨ache zu
g= 9,81 m·s−2 . (1.19)
Allerdings verkleinert sich der Proportionalit¨atsfaktor f¨ur wachsende Entfernung vom Erdmittelpunkt.
Sie haben die Anziehungskraft zwischen zwei Teilchen mit den schweren MassenmschwerundMschwerim Labor gemessen und das ber¨uhmteNewtonsche Gravitationsgesetzgefunden. Dieses besagt:
- Die beiden Teilchen ziehen sich gegenseitig an.
- Die beiden Anziehungskr¨afte sind betragsm¨aßig gleich (actio = reactio) und einander entgegengerichtet; ihre Richtungen sind parallel zur Verbin- dungslinie der (Schwerpunkte der) Teilchen.
1.5 Schwere Teilchen 17 - Der Betrag der Gravitationskraft ist proportional zu den beiden schweren
Massen,
|K~ ∼mschwer und |K~| ∼Mschwer
- Mit wachsender Entfernungr der beiden Teilchen nimmt der Betrag der Gravitationskraft ab, u. z. umgekehrt proportional zum Quadrat der Ent- fernung,
|K~| ∼ 1 r2 .
Insgesamt l¨asst sich der Betrag der Gravitationskraft ausdr¨ucken als
|K~|=G mschwerMschwer
r2 , (1.20)
wobei
G= 6,67×10−11N m2kg−2 (1.21) die so genannteGravitationskonstanteist.
Jeder K¨orper ist zugleich tr¨age und schwer. Die Tr¨agheit wird quantifiziert durch die tr¨age Masse, die Schwere durch die Masse. Warum tragen beide Gr¨oßen den Namen Masse? Die Antwort begr¨undet sich in einem Messergebnis, das zuerst von Galilei (1564 - 1642) gefunden und seither immer wieder mit wachsender Genauigkeit nachgepr¨uft wurde: Das Verh¨altnis von schwerer Masse und tr¨ager Masse ist f¨ur alle Teilchen gleich. Der Zahlenwert des Verh¨altnisses h¨angt von der Wahl der Einheiten ab, hat also keine physikalische Bedeutung.
Es ist ¨ublich, sowohlmschwer als auchmtr¨age in kg zu messen. Dann gilt
mschwer=mtr¨age (1.22)
und daher heißen beide Gr¨oßen Masse. Meistens spricht man undifferenziert von der Masse eines K¨orpers, ohne besonders hervorzuheben, ob jeweils die Tr¨agheit oder die Schwere des K¨orpers zur Debatte steht.
Die Gleichheit von schwerer und tr¨ager Masse ist, nach unserem heuti- gen Verst¨andnis der Materie, von fundamentalerer Bedeutung als die beiden Newtonschen Gesetze K~ = md~v/dt und K = GmM/r2. Ersteres gilt nur n¨aherungsweise f¨ur Teilchen mit v ¿c, letzteres nur n¨aherungsweise f¨ur Teil- chen mit hinreichend kleinen Massen in hinreichend großen Entfernungen von- einander. Der Planet Merkur merkt imPerihel (Punkt kleinsten Abstands zur Sonne) seiner Bahn eine Abweichung der Anziehungskraft der Sonne von die- sem Gesetz. Einstein folgerte ausmschwer=mtr¨age eine Gravitationstheorie, die allgemeine Relativit¨atstheorie, die genauer ist als das Newtonsche Gesetz.
Kapitel 2
Schwingungen
2.1 Der harmonische Oszillator
Betrachten wir ein Teilchen der Massem, das l¨angs einer Geraden beweglich und durch eine harmonische R¨uckstellkraft an eine Gleichgewichtslage gebunden ist. Wenn wir die Auslenkung des Teilchens aus der Gleichgewichtslage mit der Koordinate xparametrisieren, so kommt die Harmonizit¨at der R¨uckstellkraft zum Ausdruck in der Linearit¨at der Kraft
K=−kx (2.1)
in der Auslenkungx. Der Proportionalit¨atsfaktorkwird zuweilen alsKraftkon- stantebezeichnet und ist als positiv definiert. Das Minuszeichen im Kraftgesetz (2.1) zeigt somit an, dass die Kraft der Auslenkung stets entgegenwirkt und tats¨achlich eine R¨uckstellkraft ist.
F¨ur das in Rede stehende Teilchen gibt das Newtonsche GesetzK~ =md~v/dt als Bewegungsgleichung die so genannteSchwingungsgleichung
m d2x
dt2 =−kx , (2.2)
aus der wir nun die Bahnkurvex(t) gewinnen wollen. Mit Hilfe von
ω2=k/m (2.3)
und d2x/dt2 = ¨x bringen wir die Bewegungsgleichung (2.2) zun¨achst in die sch¨onere Form
¨
x+ω2x= 0 . (2.4)
Eine L¨osung der Differentialgleichung (2.4) l¨asst sich sofort angeben,
x(t) = 0. (2.5)
19
Sie entspricht dem Ruhezustand des Teilchens in der Gleichgewichtslage und heißt die triviale L¨osung. Es muss zwei linear unabh¨angige nichttriviale L¨osungen geben, da die Differentialgleichung (2.4) von zweiter Ordnung ist. Ein m¨ogliches Paar solcher L¨osungen ist sinωt und cosωt. Wegen der Linearit¨at der Bewe- gungsgleichung gilt das Superpositionsprinzip. Die allgemeinste L¨osung ergibt sich daher als die Schwingung
x(t) =acosωt+bsinωt . (2.6) Die beiden Integrationskonstanten a und b k¨onnen durch Anfangsbedingun- gen festgelegt werden, z. B. durch die anf¨angliche Auslenkung x(0) und die anf¨angliche Geschwindigkeit ˙x(0). Dann entsteht aus (2.6)
x(t) =x(0) cosωt+ 1
ω x(0) sin˙ ωt. (2.7) Wir k¨onnen auch die Additionstheoreme f¨ur Sinus und Kosinus benutzen und schreiben
x(t) =xmax cos(ωt−ϕ) (2.8)
und die beiden Integrationskonstantenxmax, ϕdurchx(0) und ˙x(0) ausdr¨ucken.
Dabei finden wir f¨ur die Amplitudexmaxder Schwingung xmax=p
x(0)2+ ( ˙x(0)/ω)2 (2.9) und f¨ur die Phaseϕ
tanϕ= ˙x(0)/ωx(0). (2.10)
Es ist f¨ur viele, vor allem rechnerische Zwecke bequem, statt mit cosωt und sinωt mit Exponentialfunktionen zu arbeiten. Setzen wir zur L¨osung der Gleichung (2.4) an
x(t) = eλt, (2.11)
so erhalten wir aus (2.4) die Forderung
(λ2+ω2) eλt= 0. (2.12)
Der Ansatz (2.11) f¨uhrt offenbar zu L¨osungen f¨urλ=±iω. Diese lauten e±iωt, oder linear kombiniert,
x(t) =Ae−iωt+Be−iωt . (2.13)
2.2 Der Energieeigensatz 21
Die beiden IntegrationskonstantenAundB lassen sich wieder durchx(0) und x(0) ausdr¨˙ ucken
x(t) = 1 2
µ
x(0)− i ω x(0)˙
¶
eiωt+1 2
µ
x(0) + i ω x(0)˙
¶ e−iωt
= 1
2 µ
x(0)− i ω x(0)˙
¶
eiωt+c.c. . (2.14)
Offensichtlich giltA=B∗, und das muss auch so sein, damit x(t) reell bleibt.
Mit Hilfe von
eiα= cosα+ i sinα (2.15)
l¨asst sich die L¨osung (2.14) wieder auf die Form (2.7) oder (2.8) zur¨uckf¨uhren.
2.2 Der Energieeigensatz
Anstatt L¨osungen der Schwingungsgleichung zu raten oder durch Exponen- tialans¨atze zu suchen, k¨onnen wir sie auch durch zweimaliges Integrieren kon- struieren. Dabei finden wir nicht nur die bekannten L¨osungen, sondern auch, nach einer Integration, einen der wichtigsten S¨atze der Physik, den Energieer- haltungssatz.
Multiplizieren wir n¨amlich beide Seiten der Schwingungsgleichung (2.2) mit der Geschwindigkeit ˙x, so l¨asst sich die entstehende Gleichung,
mx¨˙x+kxx˙ = 0 , (2.16) als das Verschwinden einer totalen Zeitableitung schreiben,
d dt
µ1
2 mx˙2+1 2 kx2
¶
= 0. (2.17)
Folglich bleibt die Gr¨oße 1
2 mx˙2+1
2 kx2=E ≥0 , (2.18)
dieEnergiedes Oszillators, zeitlich konstant. Sie besteht aus zwei nichtnegati- ven additiven Anteilen, derkinetischen Energie
T =m
2 x˙2 (2.19)
und derpotenziellen Energie
U = k
2 x2 . (2.20)
Wenn U zunimmt, d. h. wenn die Auslenkung |x| w¨achst, muss T abnehmen, d. h. die Geschwindigkeit|x˙| sich verkleinern, U ist maximal,Umax=E, wenn T = 0, d. h. wenn das Teilchen ruht. Ein solcher Momentanzustand liegt immer in den Umkehrpunkten
±x=xmax=p
2E/k (2.21)
vor. Dagegen hat die Geschwindigkeit den Maximalwert
±x˙ = ˙xmax=p
2E/m (2.22)
jedesmal, wenn das Teilchen die Gleichgewichtslage bei x= 0 durchl¨auft, denn dort hat die potenzielle Energie den kleinstm¨oglichen Wert U = 0 Abbildung (2.1).
Die potenzielle Energie l¨asst sich durch die Kraft ausdr¨ucken und umgekehrt.
Sie verifizieren leicht, dass die Kraft der negativen Ableitung der potenziellen Energie gleich ist,
K=−kx=− d dx
µk 2 x2
¶
=− d
dx U , (2.23)
Abbildung 2.1
und die potenzielle Energie dem negativen Integral ¨uber die Kraft,
2.3 Der Energiesatz f¨ur beliebige konservative Kr¨afte 23
U = + Zx 0
dx0kx0 =1
2 kx2=− Zx 0
dx0K(x0). (2.24)
Man sagt auch, dass beim Vergr¨oßern vonxgegen die KraftK Arbeit geleistet wird. Dabei wird die Arbeit als potenzielle Energie gespeichert.
Die Begriffsbildungen Energie, kinetische Energie und potenzielle Energie werden wir sp¨ater vertiefen. Vorl¨aufig konzentrieren wir uns auf die Aufgabe, die Bahnkurvex(t) des Oszillators zu konstruieren. Zu diesem Zweck l¨osen wir den Energiesatz (2.18) nach der Geschwindigkeit auf,
˙ x(t) =
s 2 m
µ E−k
2 x2
¶
= dx
dt , (2.25)
und integrieren. Wir erhalten
x(t)Z
x(0)
q dx
2 m
¡E−k2 x2¢ = Zt 0
dt=t , (2.26)
wobei jetzt x(0) als zweite Integrationskonstante neben E auftritt. Gleichfalls m¨oglich und sogar ein wenig bequemer ist es, statt der anf¨anglichen Auslenkung x(0) die gr¨oßte Amplitude,xmax=p
2E/k, als Integrationskonstante zu w¨ahlen und einen der (∞vielen) Zeitpunkte, an denenx= +xmaxvorliegt, alstmaxzu bezeichnen. Mit Hilfe vonω=p
k/merhalten wir dann statt (2.26) Zx(t)
+xmax
p dx
x2max−x2 =ω(t−tmax). (2.27) Das links stehende Integral hat den Wert −arccos (x(t)/xmax). Damit ist die aus 2.1 bekannte L¨osung
x(t) =xmax cosω(t−tmax) (2.28) wiedergefunden. Diesmal, wohlgemerkt, nicht durch gescheites Raten sondern durch direkte Integration der Bewegungsgleichung.
2.3 Der Energiesatz f¨ ur beliebige konservative Kr¨ afte
Beim Integrieren der Bewegungsgleichungm¨x+kx= 0 zum EnergiesatzE= mx/2 +˙ kx2/2 war gar nicht wesentlich, dass die Kraft linear inxist; vielmehr nur, dass K = K(x) nur von x abh¨angt und nicht etwa auch von ˙x,x¨ etc.
Kr¨afte, die eindeutige Funktionen einer Koordinatexsind, heißen konservativ (konservativ = erhaltend; Energieerhaltung). Wirkt eine beliebige derartige Kraft auf ein Teilchen, so lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung
m¨x−K(x) = 0. (2.29) Durch Multiplikation mit der Geschwindigkeit ˙xentsteht hieraus
mx¨˙x−xK(x) = 0˙ . (2.30)
Schreiben wir die Kraft als negative Ableitung einer FunktionU(x) K(x) =− d
dx U(x) =−U0(x), (2.31) so l¨asst sich (2.30) offenbar wieder als der Erhaltungssatz
d dt
µ1
2 mx˙2+U(x)
¶
= 0 (2.32)
oder
1
2 mx˙2+U(x) = const =E (2.33) schreiben. Dabei istU(x) die potenzielle undT = 12 mx˙2 wieder die kinetische Energie.
Wie schon beim harmonischen Oszillator erlaubt der Energiesatz (2.33) vor jeder weiteren Rechnung qualitative Einblicke in den Ablauf der Bewegung des Teilchens. Wenn etwa die potenzielle Energie den in Abbildung 2.2 skizzierten Verlauf hat, so gilt f¨ur die Energie
E≥Umin , (2.34)
da die kinetische Energie nicht negativ sein kann. Durch den Wert der Energie sind zwei Umkehrpunkte x1(e) und x2(E) festgelegt, in denen das Teilchen momentan ruht und die die Aufenthaltsm¨oglichkeit des Teilchens einschr¨anken,
x1(E)≤x≤x2(E). (2.35)
Die Teilchenkoordinate schwingt dann zwischen den beiden Umkehrpunkten hin und her. Allerdings verl¨auft die Schwingung nicht harmonisch, d. h. sinus- oder kosinusf¨ormig mit einer Frequenz ω, es sei denn, U(x) habe genau die Form einer quadratischen Parabel. Man spricht von einer nichtlinearen oder anharmonischen Schwingung.
Die Berechnung der Bahnkurve x(t) kann f¨ur die nichtlineare Schwingung bis auf eine Quadratur genauso durchgef¨uhrt werden wie f¨ur die harmonische Schwingung. Durch Aufl¨osen des Energiesatzes (2.33) nach der Geschwindigkeit erhalten wir wieder (2.25), also
2.3 Der Energiesatz f¨ur beliebige konservative Kr¨afte 25
Abbildung 2.2
dx dt =±
r2
m(E−U(x)) (2.36)
und hieraus durch Integration nach der Zeit t=±
rm 2
Z
dx(E−U(x))−1/2+ const. (2.37) Zur Gewinnung der Bahnkurve ist nur die eine in (2.37) offene Quadratur aus- zuf¨uhren.
F¨ur die Dauer einer Schwingung ergibt sich aus (2.37) das Resultat
T =
rm 2
x2
Z
x1
dx(E−U(x))−1/2−
x1
Z
x2
dx(E−U(x))−1/2
= √
2m
x2
Z
x1
dx(E−U(x))−1/2 . (2.38)
Im allgemeinen wird die Dauer einer nichtlinearen Schwingung von der Energie E abh¨angen. Als kleine ¨Ubung bleibt Ihnen, durch Ausf¨uhren des Integrals in (2.38) f¨ur den Fall der harmonischen Bindung,U =kx2/2, das altbekannte Resultat T = 2πp
m/k = 2π/ω zu gewinnen. Beachten Sie, dass T in diesem Spezialfall von der Energie E der Schwingung (u. somit auch von der Schwin- gungsamplitude) unabh¨angig ist.
Die eben gegebene Diskussion l¨asst sich leicht verallgemeinern auf potenzielle EnergienU(x), die komplizierter verlaufen als in Abbildung 2.2 veranschaulicht.
Ein interessanter Fall ist in Abbildung 2.3 dargestellt.
Abbildung 2.3
Wenn die Energie des Teilchens wie in der Skizze eingetragen im Intervall
U2< E < U4 (2.39)
liegt, so kann sich das Teilchen wegenE=T+U ≥U im Bereich
x1≤x≤x3 (2.40)
aufhalten und dort eine nichtlineare Schwingung der oben beschriebenen Art ausf¨uhren; es kann sich aber auch im nach rechts unbegrenzten Intervall
x5≤x <∞ (2.41)
befinden und wird sich dann f¨urt→ ∞ins Unendliche verfl¨uchtigen.
Zur ¨Ubung bleibt Ihnen die qualitative Diskussion der Teilchenbahn in den F¨allenE > U4, E =U4, E ≤U2. Im ¨ubrigen sollten Sie auch bei Ihrer n¨achsten Fahrt auf der Achterbahn an den Energiesatz denken.
2.4 Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator
Nicht alle Kr¨afte sind konservativ. Als ein Beispiel einer nichtkonservativen Kraft betrachten wir die in der Teilchengeschwindigkeitlineare Reibungskraft
K~ =−α~x ,˙ α >0 . (2.42) Derartige Reibungskr¨afte wirken z. B. auf makroskopische K¨orper, die sich durch viskose Fl¨ussigkeiten bewegen.
2.4 Der ged¨ampfte harmonische Oszillator 27 Zur Illustration behandeln wir hier den Einfluss der Reibung auf die eindi- mensionale harmonische Schwingung. Wenn wir neben einer linearen R¨uckstell- kraft auch die Reibungskraft (2.41) in Rechnung stellen, so finden wir als New- tonsche Bewegungsgleichung eines Teilchens der Massem
m¨x+αx˙+kx= 0. (2.43)
Da nun die gesamte auf das Teilchen wirkende Kraft geschwindigkeitsabh¨angig ist, gilt der Energiesatz in der bisherigen Form nicht mehr. Anf¨anglich im Oszillator steckende Energie geht demselben im Laufe der Zeit verloren: ein ged¨ampft schwingendes Pendel kommt nach einer Weile zur Ruhe. Sie wissen, dass die Oszillatorenergie inW¨armeverwandelt wird, d. h. sich in ungeordneter Bewegung der Teilchen im reibenden Medium wiederfindet. Wir werden diesen Dissipationsprozess in 2.13 im Einzelnen diskutieren.
Da die Bewegungsgleichung (2.43) linear ist, l¨asst sie sich ebenso wie die des unged¨ampften harmonischen Oszillators in 2.1 durch den Exponentialansatz
x(t) = eλt (2.44)
l¨osen. F¨ur den Parameterλerhalten wir aus (2.43) die Forderung (dieS¨akular- gleichung)
mλ2+αλ+k= 0 , (2.45)
die durch die beiden Werte (dieEigenwerte) λ± =−
( α
2m±r³ α 2m
´2
− k m
)
(2.46) befriedigt wird. Bequemlichkeitshalber f¨uhren wir wieder die Frequenz der un- ged¨ampften Schwingung
ω0= rk
m (2.47)
ein und zus¨atzlich die so genannteD¨ampfungskonstante γ= α
2m . (2.48)
Damit schreiben sich die beiden Eigenwerte λ±=−γ±q
γ2−ω20 . (2.49)
Die beiden gefundenen L¨osungen (2.44) mit (2.49) der Bewegungsgleichung (2.43) ergeben nach Superposition die allgemeine L¨osung
x(t) =Ae−(γ−√
γ2−ω02)t+Be−(γ+√
γ2−ω02)t . (2.50)
