Übungsaufgaben zu Operations Research - Lösungen
l. Ein Betrieb produziert aus drei Rohstoffen die Produkte und . Aus den nach- stehenden Daten ist ein Produktionsprogramm anzugeben, das maximalen Gewinn
sichert. Man formuliere das lineare Programm und löse die Optimierungsaufgabe gra- phisch.
P1 P2
Verbrauch pro Einheit
P1 P2
verfügbare Rohstoffmenge Rohstoff 1
Rohstoff 2 Rohstoff 3
2 2 4
4 1 0
16 10
Gewinn 2 3 20
; 2
; 4 bei liegt Optimum Das
3 ; ) 2 , (
; 6 3
2
: 6 eicht hier viell wäre
Ergebnis das
für guter Wert Ein
passen.
Graphen des
ereich den Werteb in
möglichst
aber sollte Es rden.
gewählt we frei
kann 3
2 Funktion max.
zu der Ergebnis Das
8.
Ergebnis mögl.
das n, geschnitte 8
bei wird Achse - die
4, Ergebnis mögl.
das n, geschnitte 4
bei wird Achse - die d.h.
; 8
; 16 0 2
; 0
; 4
; 16 4
0
; 0 :
Zeile 1.
Beispiel
schneiden.
nachsen Koordinate
die Programms linearen
des Funktionen die
wo werden, abgelesen
schnell kann
so gesetzt, 0
auf x und x se wechselwei wird
Nun
3 2
: max
; 0
; 0
; 20 0
4
; 10 1
2
; 16 4
2
2 1
2 1 2
1
2 1
1 2
1 1
2
2 2
1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
=
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
∇
=
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
≤
≤
≤
⇒
≤ +
⋅
=
≤
⇒
≤
⋅ +
=
⋅ +
⋅
≥
≥
≤
⋅ +
⋅
≤
⋅ +
⋅
≤
⋅ +
⋅
x x
x x f x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x x
x
x x
x x
2. Ein Landwirt plant seinen Getreideanbau für die nächsten drei Jahre. Zu Beginn dieses Zeitraums stehen ihm M Zentner Getreide zur Verfügung; ein Zentner ausgesätes Ge- treide ergibt eine Ernte von λ Zentnern. Von dem Anfang des i-ten Jahres
( )
vorhandenen Getreide sollen jeweils Zentner ausgesät und der Rest zum voraus- sichtlichen Preis von DM/Zentner verkauft werden; zu Beginn des vierten Jahres wird alles noch vorhandene Getreide zum Preis abgesetzt. Man gebe ein lineares Programm zur Bestimmung der optimalen Anbaumengen an.
3 , 2 , 1
= i xi
pi
p4
3 2 1,x ,x x 1. Jahr:
1 1
1
1Zentneraussähen; M xZentner zup verkaufen Ernte: x
x − → λ⋅
2. Jahr:
2 2
2 1
2 Zentneraussähen; x x Zentnerzu p verkaufen Ernte: x
x λ⋅ − → λ⋅
3. Jahr:
3 3
3 2
3Zentneraussähen; x x Zentnerzu p verkaufen Ernte: x
x λ⋅ − → λ⋅
4. Jahr:
verkaufen p
zu Zentner
x3 4
λ⋅ Zielfunktion:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; 0 ,...,
0 0 :
min
max
; max )
(
3 1
3 2 2
3
2 1 1
2
1 3 1
3 4 3
2 3 2
1 2 1
3 3 4 2
2 3 1
1 2 1
4 3 3
3 2 2
2 1 1
1
≥
≤ +
⋅
−
⇔
⋅
≤
≤ +
⋅
−
⇔
⋅
≤
≤
≤
∈
⋅
⋅
− +
⋅
⋅
− +
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
=
⋅
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
=
→
x x
x x x
x
x x x
x
M x M
x IR
x
x p p
x p p
x p p
x p p x
p p x
p p p
M
p x p
x x p
x x p
x M x
f
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
r λ
3. Man löse das lineare Programm
. 0 ,
0 ,
0
6 4
3
4 2
2 :
4 2 max
3 2
1
3 2
3 2 1 3 1
3 2 1
≥
≥
≥
≤ +
≤ +
+
≤
∈
+ +
→
x x
x
x x
x x x x IR x
x x x
mit dem Simplex-Algorithmus von Seite 53.
4. Man versuche das lineare Programm
. 0 ,
0 ,
0 ,
0
1 0 3
12
0 9
8 :
6 20
max
4 3
2 1
3 4 3 21 2 1 21
4 3 2 4 1
4 1
4 3 21 2 1
43
≥
≥
≥
≥
≤
≤ +
−
−
≤ +
−
−
∈
− +
−
→
x x
x x
x x x x x
x x x x IR x
x x x x
mit dem Simplex-Algorithmus von Seite 53 zu lösen. Kommen dabei bei der Auswahl des Pivotelements (Eliminationsregel) mehrere Indizes s in Frage, so nehme man stets den kleinsten Index. Den jeweils neu in die Basis kommenden Index t (Aufnahmeregel) wähle man dabei gemäß
a) ct =min
{
c1 c1<0,l∈N}
b) t=min
{
l∈Nc1< 0}
.5. Gegeben sei das lineare Programm
; 0 ,
; 3 3
6
; 15 9
5
; 6 3
2 :
6 6 max
2 1
2 1
2 1
2 1
2
2 1
≥
≥ +
−
= +
−
≤ +
∈
+
−
x x
x x
x x
x x
IR x
x x r
a) Mittels Umformungen und Anwendung der M-Methode ermittle man eine zulässige Startbasis für dieses Programm.
; 0 ,...,
; 3 3
6
; 15 9
5
; 6 3
2
6 6 max
:
4 1
4 2
1
2 1
3 2 1
2 1
≥
=
− +
−
= +
−
= +
+ +
−
x x
x x
x
x x
x x x
x x
beseitigen gen
Ungleichun
(
6 11) (
6 12)
18; :; 3 15 3
9 6
6 5
6
: folgend Zeile
letzte die sich wandelt Somit
möglich.
durchaus Zeile
der Stelle anderer an
M´s der Auftauchen das
ist Dabei
en.
verschwind n)
Subtraktio fache
(M nen enoperatio Matrixzeil
durch Zeile momentanen der
Variablen Mx
die daß umformen, so
Zeile Letzte
; 0 ,...,
; 0 6
6
; 3 3
6
; 15 9
5
; 6 3
2
; : 6 6
:
7 4
2 1
7 4
2 2
2 1
1 1
6 1
7 6 5
2 1
6 4
2 1
5 2
1
3 2 1
7 2 1
M x
Mx x
M x
M
ssen zusammenfa neu
danach
M M
x Mx
x M x M x x
M x M x
x x
x Mx Mx
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x x
erweitern Methode
M mit Jetzt
−
= + +
−
− + +
−
−
= + +
−
−
− +
+
−
−
≥
= + +
+
−
= +
− +
−
= +
+
−
= +
+
= +
−
−
b) Man berechne von dieser Basis ausgehend die Optimallösung.
6. Der Tischproduzent aus dem Vorlesungsbeispiel (Seite 64f) überlegt, aus Marketing- Gründen die Verarbeitungsqualität des Tischtyps Tl durch Erhöhung des Arbeitsauf- wandes um ε in der Tischlerei zu verbessern. Wie groß kann er ε maximal wählen, so daß es immer noch optimal ist, ausschließlich die Tischtypen Tl und T4 zu produzieren
? Wie ändert sich für das maximale ε der Gewinn ?
7. Ein Mineralölunternehmen kann in einer bestimmten Periode bis zu 9000 Mengen- einheiten (ME) eines Kraftstoffes zu DM 190.- je ME absetzen. Der Kraftstoff muß jedoch eine Mindestoktanzahl von 90 aufweisen. Zu seiner Herstellung stehen drei Komponenten zur Verfügung, die entsprechend gemischt werden können. Sie haben unterschiedliche Beschaffungspreise und verschiedene Oktanzahlen. Ferner sind zwei von ihnen nur in der Menge von 4000 ME verfügbar. Nachfolgende Tabelle zeigt die genauen Problemdaten:
Preise (DM/ME) Oktanzahl Maximalmenge Kraftstoff
Komponente l Komponente 2 Komponente 3
190 180 210 140
90 87,5 100 75
9000 4000 4000∞
Formulieren Sie das lineare Programm zur Ermittlung der Mengen, die von den einzel- nen Komponenten in die Mischung eingehen, und die Mischungsmenge, die abgesetzt werden soll, damit ein maximaler Gewinn entsteht.
( )
; 0 ,...,
; 0 15 10
5 , 2
; 4000
; 4000
; 9000 :
50 20
10 :.
max
; 50 20
10
140 210
180 190
:
; 0 15 10
5 , 2
; 75 90
100 5
, : 87
.
; 4000
; 4000 :
; 9000 :
; 3 , 2 ,1 :
3 1
3 2
1 2 1
3 2
3 1
3 2
1
3 2
1
3 2
1 3
2 1
3 2
1
3 2 1
3 2
1 2 1
3 2 1
≥
≥
− +
−
≤
≤
≤ +
+
∈
−
−
−
−
⇔
−
−
− + +
⋅
−
≥
− +
−
⇔
+ ≥ +
+ +
≤
≤
≤ + +
=
x x
x x
x x x
x x
x IR x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
Kosten Umsatz
tion Gewinnfunk
x x
x
x x x
x x
zahl x Okt
x x Mengen Verfügbare
x x x atz
Maximalabs
i x n Komponente i
r
Übungsaufgaben zur Statistik - Lösungen
1. Die Verteilung der Religionszugehörigkeit in einem Berliner Stadtteilbezirk ergab: 7208 Christen, 10.368 Muslime und 3.114 Sonstige. Bestimmen Sie die relativen Häufig- keiten und erstellen sie ein Histogramm.
. ) (
74 Seite Script Siehe
nötig.
itt Rechenschr ein
noch ist 1 ite Klassenbre Falls
werden.
abgelesen
sofort Ergebnis das
kann somit 1, ite Klassenbre mit
HIER Histogramm :
Achtung
; 15 , 650 0 . 20
114 . 3
; 50 , 690 0 . 20
368 . 10
; 35 , 690 0 . 20
208 . h 7
Merkmal nominales
20.690
Sonstige 3.114
Muslime 368
. 10
Christen 7208
3 2 1
)!
( 3 2 1
ite Klassenbre h
h h
n n n n
i nummerisch nicht
≠
=
=
=
=
=
=
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
4 4 4 3 4
4 4 2 1
2. In der Marketingabteilung eines Unternehmens wurden die Wochenumsätze in TEUR bei zwei unterschiedlichen Werbestrategien beobachtet:
Strategie I 15 16 18 20 24 28 30 33 36 37 38 44 48 49 50 Strategie II 20 22 25 28 32 33 33 33 34 35 38 38 38 40 43
a) Bestimmen Sie Mittelwerte YI, YII und Mediane beider Beobachtungen.
b) Erstellen Sie Histogramme mit Reduktionslage 14.5, Variationsbreite 42 und Klas- senbreite 7.
c) Berechnen Sie jeweils empirische Varianz und Standardabweichung SI, SII
d) Wieviel Prozent der Daten liegen jeweils im Intervall
[
Y −SI,Y I+SI]
bzw.[
YII −SII,YII+SII]
?3. Sei Fˆ(x)die empirische Verteilungsfunktion der Strategie II aus der vorherigen Aufgabe.
a) Berechnen Sie Fˆ(32.4).
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für Fˆ(x) und stellen Sie die Funktion graphisch dar.
Achtung: Die Verbindungslinien zwischen den Punkten müssen gerade sein.
c) Ermitteln Sie mittels geeigneter Quantile einen Bereich, in dem 95% aller beobach- teten Werte liegen.
; 875 , 46
; 6 0 , 7 0
5 , 3 42
9 , 0 ) ˆ(
975 , 0
; 125 , 17
; 6 0 , 5 0 , 14 5 , 21
5 , ) 14
ˆ( 025 , 0
975 , 0
025 , 0
=
− ⋅ +
=
=
=
− ⋅
= −
=
x
x x F x
x x F
4. Bei der linearen Regression liefert die Lösung der Normalengleichung u.a. die Formel ˆ 2
x xy
S
b =S . Man zeige:
a) 2
1 1 2
2 X X
S
n
i n i
X =
∑
−=
b) S X Y XY
n
i i n i
xy =
∑
−=1 1
c) Die sogenannte Verschiebungsformel
2 1
2
ˆ 1
X n X
Y X n Y X
b n
i i n
i i i
−
−
=
∑
∑
=
= .
5. In untenstehender Tabelle wird der prozentuale Anstieg (gegenüber dem Vorjahr) der Verbraucherpreise in Deutschland mit dem durchschnittlichen Kapitalmarktzins für langfristige öffentliche Anleihen verglichen:
Jahr 19.. 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
Rendite % 8,50 10,40 9,00 7,90 7,80 6,90 5,90 5,80 6,10 7,09 8,88 8,63 7,96 Preisanstieg % 5,40 6,30 5,30 3,30 2,40 2,20 -0,10 0,20 1,30 2,80 2,70 3,50 4,00
Die Rendite sei die unabhängige Variable X und der Preisanstieg die abhängige Va- riable Y.
a) Berechnen Sie die MittelwerteX und Y .
b) Berechnen Sie die Regressionskoeffizientenb (Verschiebungsformel benutzen!) und . Wie lautet die Gleichung der Regressionsgeraden ?
ˆ aˆ
c) Prognostizieren Sie die Veränderung des Preisanstiegs bei einer Rendite von 6.5%.
d) Ermitteln Sie den zugehörigen Korrelationskoeffizienten. Besteht ein Zusammen- hang zwischen Rendite und Preisanstieg ?
e) Wie groß ist die Fehlerquadratsumme SˆE2?
6. Wir betrachten Permutationen von n Elementen:
a) Es sei n = 3 und zwei der drei Elemente seien gleich. Wieviele Permutationen gibt es dann ?
b) Unter den n Elementen seien genau Elemente gleich. Wieviele Permutationen
gibt es dann ? 1
n
c) Unter den n Elementen befinden sich jeweils gleiche Elemente (mit . Wieviele Permutationen gibt es jetzt ?
nk
n n1, 2,K, n
n n
n1 + 2 +K k =
7. a) Einer Warenlieferung von 12 Williamsbirnen soll zu Kontrollzwecken eine Stichpro- be von 3 Birnen entnommen werden. Wieviele unterschiedliche Stichproben sind möglich ?
b) Beim Pferdetoto gibt es eine Dreierwette: Der Zieleinlauf der ersten drei Pferde muß in der richtigen Reihenfolge getippt werden. Wieviele verschiedene Dreierwetten sind
beim Start von 10 Pferden möglich ?
c) An einem Tanzkurs nehmen 15 Damen und 20 Herren teil. Bei jedem Tanz müssen 5 Herren aussetzen, während die 15 übrigen mit den Damen tanzen. Wieviele ver- schiedene Tanzpaarungen sind möglich ?
8. In einer Studiengruppe von 25 Studenten/innen sind 10 Frauen. In der Gruppe sind insgesamt 15 katholisch und 8 evangelisch. 6 der Frauen sind katholisch, der Rest der Frauen ist evangelisch. Eine Person wird nun beliebig ausgewählt.
a) Wir betrachten die Ereignisse , die dafür stehen, daß die ausgewählte Per- son weiblich (w) bzw. männlich (m) ist. Mittels Abzählregel bestimme man die
Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.
m
w G
G ,
b) Nun betrachten wir die Ereignisse , die dafür stehen, daß die ausgewählte Person katholisch (k), evangelisch (e) bzw. "sonstige'' (s) ist. Mittels Abzählregel bestimme man die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.
s e
k R R
R , ,
c) Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Gi⋅Gj mit und .
m w i= , s
e k j= , ,
d) Sind die Eigenschaften “Geschlecht“ und “Religionszugehörigkeit“ in der Studien- gruppe unabhängig?
e) Ohne Verwendung der Abzählregel bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person weiblich oder evangelisch ist.
Diese Zuteilung wird solange zyklisch fortgesetzt, bis beide Programme beendet sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass P nach dem ersten Schritt beendet ist, beträgt 0.3. Ist
on mehr als 3 Zutei-
0. Auf einem Volksfest wird an einer Bude das Spiel Chuck-a-luck angeboten: Der Spieler
rscheinlichkeit er 3, 2, l Euro tarereignisse
jedoch noch nicht beendet, so ird es im zweiten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit 1
von 0.7 beendet. Waren die beiden ersten Zuteilungen nicht ausreichend, so wird P1 im dritten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8 beendet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bis zum Programmende v
P1
w
P1
lungen notwendig ? 1
darf eine der Zahlen l, 2,... 6 als Glückszahl wählen und dann 3 Würfel werfen (=Ele- mentarereignis). Für jeden Würfel, der seine Zahl zeigt, erhält er vom Schausteller l Euro. Erscheint seine Zahl nicht, so muß er l Euro zahlen.
Der Spieler interessiert sich nun dafür, mit welcher Wah gewinnt bzw. l Euro verliert.
a) Wie können die Klemen ωi, spezifiziert werden ? Wieviele Elemente reignisraum ?
b) aß r Spieler die 6 als Glückszahl gewählt hat. Führen Sie eine ertetabelle
c) Ereignissen zusammen, so
hat der E
Wir nehmen an, d de Ω
Zufallsvariable X :ΩaIR ein, die den "Gewinn" des Spielers angibt. Deuten Sie die zugehörige W von X an.
Fassen Sie die Elementarereignisse zu E−1,E1,E2,E3 daß X
( )
ω =−1 für ω∈E−1 bzw. X( )
ωi = i für ωi∈Ei gilt.d) he Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für die oben definierten Ereignisse nach
e) inlichkeit dafür, nicht zu verlieren ? Geben Sie zwei Be-
f) ngig ?
ö lichkeits- und Verteilungsfunktion auf.
11. egeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Erwartungswerten Welc
dem Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit ? Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten mit 3 Nachkommastellen an !
Wie groß ist die Wahrsche rechnungsmöglichkeiten an ! Sind die Ereignisse Ei unabhä
g) Stellen Sie die zugeh rige Wahrschein
G µX, µYund
Kovar als
Varianzen σ 2,σ 2 . Analog zur empirischen Kovarianz definieren wir die ianz von X und YX σYXY =Cov
[
X,Y]
= E[ (
X −µX)(
Y−µY) ]
a) Zeigen Sie, daß σXY = E
[
X,Y]
−µXµY gilt.ufallsvariable Z
b) Sei Z die neue Z =aX +bYmit a,b∈IR Zeigen Sie, daß dann
[ ]
Z a X b YE = µ + µ und Var
[ ]
Z =a σ + lt.nn
2 2 2σX2 +2ab XY b σY gi
c) Die Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, we E
[
X ⋅Y] [ ] [ ]
=E X ⋅EY . Berechnen Sie in diesem Fall σXY.Zeigen Sie, daß für unabhän e
d) gig Zufallsvariablen Var
[
X +Y]
=Var[ ]
X +Var[ ]
Ygilt.
2. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit n gleichwahrscheinlichen Werten x1,K, x . 1
a) Geben Sie möglichst einfache Formeln für E
[ ]
X und Var[ ]
X an.b) Ausgehend von den drei gleichwahrscheinlichen Umweltkonstellationen Rezession (A), unverändertes ökonomisches Umfeld (B), Hochkonjunktur (C) legen die Akti- enanalysten einer Bank für zwei zu betrachtende Aktien folgende Renditeprognose vor:
Szenario Rendite Aktie l Rendite Aktie 2 A B
C
15 9 3
10 l 19
chnen Sie jeweils die erwartete Rendite (=Erwartungswert) und das Risiko Bere(=Varianz) der Aktien.
c) Aus den beiden Aktien wird ein Portefeuille P gebildet, indem das vorhandene Kapital zu X1 = 32 in Aktie l und zu X2 = 31 in Aktie 2 investiert wird. Berechnen Sie erwartete Rendite und Risiko des Portefeuilles.
13. egeben seien m unabhängige, diskrete Zufallsvariablen , die den Wert 0 inlichkeit
X1,K Xm
G
mit Wahrscheinlichkeit l - p und den Wert l mit Wahrsche p annehmen. Die Summe dieser Zufallsvariablen sei die neue VariableX = X1,K, Xm
a) Sind die X, alle binomialverteilt mit Parameter p und n = l ?
b) Berechnen Sie Erwartungswert E
[ ]
Xi und Varianz Var[ ]
Xi (Hinweis: !).ialverte
i
i X
X 2 = c) Zeigen Sie, daß X mit Parameter p und n = m binom ilt ist.
d) Zeigen Sie, daß E
[ ]
X =mp und Var[ ]
X =mp(
1− p)
gilt (Hinweis: verwenden Sie14. an eine
Teil b) !!).
zeige: Ist X
M N
(
µ,σ2)
-verteilte Zufallsvariable, dann gilt(
X −µ <σ)
≈68.2700 ,P P
(
X −µ <2σ)
≈95.4500,(
µ <3σ)
≈99.7300 . 5. Gegeben seien die historischen Renditen zweier Aktien:6
− X P
1
Monat l 2 3 4 5
Aktie l Aktie 2 25
- -1 10 35 13
10 0
15 5 5
5 20 25
Berechnen Sie jeweils Schätzwerte für die erwartete Rendite und das Risiko der Aktien.
6. D
vall für die durchschnittliche Brenndauer der ie durchschnittliche Brenndauer von Glühbirnen betrage 240 Stunden bei einer Stan- 1 dardabweichung von 20 Stunden. Der Hersteller behauptet nun aufgrund eines neuen Verfahrens die durchschnittliche Brenndauer (bei gleicher Abweichung) erhöht zu ha- ben. Eine Zufallsstichprobe ergibt: 267, 232, 275, 271, 229, 213, 267, 248, 266 und 232 Stunden.
a) Berechnen Sie das Stichprobenmittel.
b) Ermitteln Sie das 95%-Konfidenzinter neuen Birnen.
c) Wie lautet das 90%-Konfidenzintervall ?
d) Kann man die Hypothese H :µ =240 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%
12.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 11
1. Im ökonomischen Beispiel von Abschnitt 8.7.2 (Seite 21) soll an die Stelle der Gewinn- maximierung das Ziel der Erlösmaximierung unter Einhaltung eines Mindestgewinns
treten. Wie lassen sich Zielfunktion und Nebenbedingungen formulieren ? Gmin
2. Ein rechteckiges Haus mit maximalem Volumen und einer Oberfläche von genau 10m2 soll errichtet werden. Bestimmen Sie mittels Kuhn-Tucker-Gleichungen die Seitenlängen x, y und z .
3. Ermitteln sie die Extremwerte f
(
x,y,z)
= x+y+zunter den Nebenbedingungen x2 + y2 = 2 und x + z = l .4. Wir betrachten das Problem
, 0 0 :
min
2 3 2 1 2 2
2 1
≤
−
≤ +
−
∈
+
→
x a x x IR x
x x
wobei a∈IRein beliebiger Parameter sei.
a) Stellen Sie für das Problem die Kuhn-Tucker-Gleichungen auf und lösen sie diese (Hinweis: Fallunterscheidung a = 0 bzw.a≠0).
b) Bestimmen Sie graphisch die Optimallösung des Problems. Was fällt auf ?
5. Ein Unternehmer stellt quaderförmige Geschenkkisten, die oben offen sind, her. Diese Kisten müssen ein Volumen von 32 cm3 haben und sollen aus ästhetischen Gründen doppelt so breit wie hoch sein. Da die Oberfläche der Kiste mit sehr hochwertigen Stoff verkleidet wird, ist der Unternehmer daran interessiert, die Oberfläche zu minimieren.
a) Formulieren Sie das zu lösende Optimierungsproblem.
b) Der Unternehmer ermittelt, daß die Ausmaße 4cm x 4cm x 2cm die minimale Oberfläche liefern. Berechnen Sie durch Lösen der Kuhn-Tucker-Gleichungen die zu diesem Minimum gehörenden Lagrange-Multiplikatoren. Welchen Optimalwert hat die Zielfunktion ?
c) Der Unternehmer verzichtet auf die ästhetische Form der Kisten. Wo liegt das neue Minimum ?
d) Das Volumen der Kisten soll auf 33 cm3 bzw. 62,5 cm3 geändert werden. Berechnen Sie jeweils eine Schätzung des neuen Optimalwertes der Zielfunktion im Sinne der Sensitivitätsanalyse.
6. Gegeben seien 3 Aktien, deren Renditeprognosen für drei gleichwahrscheinliche Um- weltkonstellationen durch folgende Tabelle gegeben sind:
Szenario Aktie l Aktie 2 Aktie 3 A
B
C 3
9 15
13 12 11
=
=
= R R R
4 10 16
23 22 21
=
=
= R R R
19 10 1
33 32 31
=
=
= R R R
a) Man berechne Erwartungswert, Varianz, Kovarianz und Korrelation der Aktien.
b) Man zeige die Formel (11.21) der Vorlesung
∑ ∑
∑
= = = ≠+
= N
i N
i k k
k ik i N
i
i i
P X X X
1 1, 1
2 2
2 σ σ
σ für den Fall N = 3.
c) Ein Portefeuille P bestehe zu jeweils 1/4 aus Aktie l und Aktie 2 sowie zur Hälfte aus Aktie 3. Man berechne die zu erwartende Rendite und das Risiko von P.
Aktie Rendite Risiko A B
C
14 8 20
6 3 15
Korrelation B C A B 0.5 0.2 0.4
7. Wir betrachten einen Aktienmarkt, der aus 3 Aktien A, B und C besteht. Die Aktien seien durch folgende Daten charakterisiert:
a) Unter Annahme einer risikolosen Rendite von 6 % (d.h.RF = 6) berechne man das optimale Portefeuille P.
(Hinweis: Die zu den KT-Gleichungen gehörenden Lagrange-Multiplikatoren erge- ben sich zu λ1 =λ3 =0 und λ2 =5/8.)
b) Man berechne Rendite und Risiko des Optimalportefeuilles P und trage A, B, C und P in ein
(
µ,σ)
- Koordinatensystem ein (Einheitenlänge: 0.25cm).8. Gegeben sei ein Aktienmarkt mit N Aktien. Ein Investor möchte das beste Portefeuille P ermitteln, das eine fest vorgegebene Rendite von RPverspricht. Formulieren Sie das Optimierungsproblem, das der Investor lösen muß.
