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Ein besonderer Schnittpunkt im Dreieck

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Ein besonderer Schnittpunkt im Dreieck

Nationale Wettbewerbe, Republik Irland 1999 6. Januar 2001

Seien D, E, F Punkte auf den Seiten BC, CA, AB, eines Dreiecks ABC derart, daßAD⊥BC,BE die Winkelhalbierende vonABC undF der Mit- telpunkt vonAB ist.

Beweise , daß sich AD, BE, CF dann und nur dann in einem PunktP schnei- den, wenn folgende Gleichung gilt:

a2(a−c) = (b2−c2)(a+c) (1)

c /2 F c /2

D

A B

o

β/2 β/2 E

C

b P a

Abbildung1: Bild zur Aufgabenstellung

Punktezahl=6

(2)

2

Der Satz von Ceva

Die drei Ecktransversalen eines Dreiecks schneiden sich genau dann in einem gemeinsamen Punkt P wenn der Satz von Cevaerf¨ullt ist:

a1 a2 ·b1

b2 ·c1

c2 = 1 (2)

c1 F c2

D

A B

E

C

P

b2 a1

b1 a2

Abbildung2: Skizze zum Satz von Ceva

In dem DreieckABC erf¨ullen die Teilungsverh¨altnisse laut Aufgabenstel- lung nun ganz bestimmte Eigenschaften. Der PunktF ist Mittelpunkt der Seite AB:

c1=c2= c

2, c1

c2 = 1 (3)

Die Streckeh=AD ist eine H¨ohe im DreieckABC. Wir k¨onnen zweimal den Satzt des Pythagoras anwenden:

a21+h2 =c2, a22+h2=b2, a1+a2 =a (4) Mit Hilfe eines Computeralgebraprogramms l¨osen wir die Gleichungen nach a1, a2 auf:

a1 = a2−b2+c2

2a , a2 = a2+b2−c2 2a , a1

a2 = a2−b2+c2

a2+b2−c2 (5)

(3)

3

Schließlich gilt f¨ur die Strecke BE der Satz desAppolonius

Die Winkelhalbierende teilt die gegen¨uberliegende Seite im Verh¨altnis der an- liegenden Seiten

b1

b2 = a

c (6)

Nun k¨onnen wir die Gleichungen (3), (5) und (6) in den Satzt von Ceva (2) einsetzen:

a2−b2+c2 a2+b2−c2 ·a

c ·2c

2c = 1 (7)

Diese Gleichungist nach ausmultiplizieren der Terme und erneuten Zusam- menfassen identisch mit Gleichung(1):

a2(a−c) = (b2−c2)(a+c) (8)

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