S-Matrix und Noether-Theorem

1. Einführung 2. Beschleuniger 3. Detektoren

4. Bewegungsgleichungen und Symmetrien 5. Das Quark-Modell und die CKM-Matrix 6. CP-Verletzung im Standardmodell

7. Proton- und Photonstruktur

8. Elektroschwache Präzisionsmessungen 9. Das Higgs-Boson

10. Neutrino-Massen und Neutrino-Oszillationen

Definitionen

− Es gibt kontravariante, x^µ, und kovariante, x_µ, Vierer-Vektoren mit µ = 0,1,2,3.

p^µ ≡

à E

~ p

!

=





 E p_x p_y p_z







, ∂^µ ≡

à _∂

∂ t

−∇

!

, mit _{∇ ≡ ∂ ~}^∂_r

aµ = gµνa^ν mit: g^µν = gµν =







1 0 0 0

0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1







Metrischer Tensor

⇒ pµ ≡

à E

−p~

!

, ∂µ ≡

à _∂

∂ t

∇

!

− Skalarprodukt: a· b = a^µb_µ = a_µb^µ ≡ a₀ b₀ − ~a ·~b

− Beispiele: p · p = p^µp_µ = E² − p~ ² = m²₀, ∂^µ∂_µ = _{∂ t}^∂2₂ − ∇² = _{∂ t}^∂2₂ − ∆ ≡ 2

Betragsquadrate von Vierer-Vektoren sind invariant unter Lorenztransformationen.

Operatoren und Kommutatoren

− Der Operator A überführt eine Funktion Φ eines Funktionenraumes in eine andere Funktion Φ⁰: Φ⁰ = AΦ

− Die Summe zweier Operatoren: Φ⁰ = (A + B)Φ = AΦ + BΦ

− Im allgemeinen ist das Produkt zweier Operatoren nicht vertauschbar

Φ⁰ = (A · B)Φ = A · (BΦ) 6= B · (AΦ)

− Dies legt die Definition des Kommutators nahe: [A, B ] ≡ AB − BA

− Wenn der Kommutator verschwindet [ A, B] = 0, ist die Reihenfolge der Anwendung egal, da AB = BA.

− Ein Beispiel: A = f(x) ≡ f, B = _{∂ x}^∂

− Die Berechnung erfolgt durch Anwendung auf eine Funktion [A, B ] Φ = f _{∂ x}^∂ Φ − _{∂ x}^∂ fΦ = f _{∂ x}^∂ Φ − (^{∂ f}_{∂ x})Φ − f_{∂ x}^∂ Φ

⇒ h

f(x), _{∂ x}^∂ i

= −^{∂ f}_{∂ x}

Kommutatoren sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quantenmechanik.

Eigenwertgleichung und wichtige Operatoren

− Falls die Funktion Φ Eigenfunktion zum Operator E^ˆ mit dem Eigenwert E ist gilt:

Eˆ Φ = E Φ

− Beispiel: Φ = Φ₀e^{−i(E t−p~~r)} und E^ˆ ≡ i_{∂ t}^∂ mit: ^~ = c = 1

⇒ Eˆ Φ = i(−iE) Φ = EΦ

− Die monochromatische ebene Welle Φ ist Eigenfunktion zum Energie-Operator mit der Teilchen-Energie als Eigenwert.

− Analog gilt: pˆ ≡ −i∇ ⇒ pˆΦ = (−i)(−i)(−p~) Φ = p~Φ

− Der vierdimensionale Energie-Impuls-Operator ist damit’: pˆ^µ ≡ (i_{∂ t}^∂ ,−i∇) = i∂^µ.

− Diese Operatoren, zusammen mit der nicht-relativistischen Energiebeziehung,

E = ¹₂mv² = _2m^p2 ,

führen auf die Schrödinger-Gleichung für ein nicht-relativistisches, freies Teilchen:

0 = ³

E − ₂^p_m² ´

Φ = ³

Eˆ − ₂^pˆ_m² ´

Φ = ³

i_{∂ t}^∂ + ₂¹_m∆´ Φ

S-Matrix Formalismus

− Die S-Matrix beschreibt den Übergang eines Anfangszustands i = initial in einen Endzustand f = final.

− Zustandsvektor im Hilbert-Raum: _|ii = |Ort, Impuls, Masse, Spin, Ladung, ..._i

− Transformationen der Zustände: S|ii ≡ |i⁰ i, und _hi⁰ | ≡ hi|S^†, _hbra|. . .|keti Matrixelemente: S_{f i} = hf |S|ii = hf |i⁰ i

Erhaltung der Norm: _hi⁰ |i⁰ i = hi|S^†S|ii = hi|ii ⇔ Unitarität von S.

Unitarität: SS^† = 1 mit S_{f i}^† = S_if^? ⇔ S^† = S⁻¹ Unitäre Transformation: _|^˜ii ≡ U|ii undS^˜ ≡ USU^†

Invarianz unter U: _hf^˜|S˜|˜ii = hf |U^†USU^†U|ii = hf |S|ii

− Zusammen mit der goldenen Regel der Quantenmechanik erlaubt die S-Matrix die Berechnung von Wirkungsquerschnitten, z.B. gilt für 1 + 2 → 3 + 4:

σ = R ₁

2S₁₂ |T_{f i}|²dL

mit dL = Phasenraumelement der auslaufenden Teilchen und T_{f i} ∝ S_{f i}.

Die Untersuchung der Symmetrien der S-Matrix gibt Einblick in die Wechselwirkungen.

S-Matrix und Noether-Theorem

− Untersuche S-Matrizen mit: S^˜ ≡ USU^† = S ⇔ SU = US ⇔ [S, U ] = 0

− Trafo: U ≡ 1 + idαF, dα = infinitesimale Verschiebung, F = Generator der Trafo.

damit: 1 = UU^† = (1 + idαF)¡

1 − idαF^†¢

= 1 + idα¡

F − F^†¢

+ dα²F F^† Dies gilt für beliebige dα, also muss F hermitesch sein, F = F^†.

− Aus 0 = [S, U ] = [ S,1 + idαF ] folgt [S, F ] = 0, und damit ergibt sich hf |[S, F ]|ii = hf |SF|ii − hf |F^†S|ii = [ηF (i) − η_F (f)]hf |S|ii = 0,

⇔ η_F (i) = η_F (f) für Eigenzustände von F. Das bedeutet, wenn der Kommutator

von S mit einem hermiteschen Operator F verschwindet, ist η_F ist eine Erhaltungsgröße!

− Beispiel Verschiebung in z: U ≡ 1 + idzF_z mit dα = dz

U|zi ≡ |z + dzi = |zi + idzF_z|zi

⇒ F_z|zi = ⁻_dzⁱ (|z + dzi − |zi) = −i_{∂ z}^∂ |zi = ˆp_z|zi

− Aus der räumlichen Translationsinvarianz folgt die Impulserhaltung !

− Aus der zeitlichen Translationsinvarianz folgt die Energieerhaltung !

− Aus der Rotationsinvarianz folgt die Drehimpulserhaltung !

Noether-Theorem: Für jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz.

Lagrange-Formalismus - nicht relativistisch klassisch

− Die Klassische Wirkung: S ≡R t₂

t₁ dtL(q,q˙), L = Lagrange-Funktion,

mit der generalisierten Koordinate q(t) und der gen. Geschwindingkeit q˙(t) = ^dq_dt .

− Variationsprinzip: δS = δR_t2

t₁ dtL(q,q)˙ ≡ 0 mit den Zwangsbedingungen δq(t₁,2) ≡ 0.

0 = δS = Rt₂

t₁ dth³

∂L

∂ q

´

δq +³

∂L

∂q˙

´ δq˙i

= Rt₂

t₁ dth³

∂L

∂ q

´ − ³

d dt

∂L

∂q˙

´i δq

δq˙ = _dt^d δq R _t2

t₁ dt³

∂L

∂q˙

´ δq˙ = ^∂_∂^L_q˙ δq ¯

¯¯

2

1 −R _t2

t₁ dt³

d dt

∂L

∂q˙

´ δq

− Das Resultat ist die Lagrange-Gleichung: ^∂_{∂ q}^L _{− dt}^{d ∂}_∂^L_q˙ = 0

− Beispiel: Ein Teilchen im Potential V(x): L = T − V = ¹₂mx˙² − V (x)

q = x und q˙ = ˙x

∂L

∂ q = ^∂_{∂ x}^L = −^∂_{∂ x}^V = F

d dt

∂L

∂q˙ = _dt^{d ∂}_∂^L_x˙ = _dt^d mx˙ = mx¨







F = m¨x

Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung.

Lagrange-Formalismus - relativistisch quantenmechanisch

− Die Wirkung: S ≡R _t2

t₁ dt R

d³xL(Φ(x), ∂µΦ(x)) = R

d⁴xL(Φ(x), ∂µΦ(x))

− Variationsprinzip: δS = δR

d⁴xL(Φ(x), ∂_µΦ(x)) ≡ 0

− Eine analoge Rechnung liefert als Resultat die Lagrange-Gleichung

∂L

∂Φ(x) − ∂µ

µ

∂L

∂(^∂µΦ(x))

¶

= 0

− Beispiel: Ein relativistisches spinloses freies Teilchen der Masse m

L ≡ ¹₂ h

(∂^µΦ(x))² − m²Φ²(x)i

∂L

∂Φ(x) = −m²Φ(x)

∂_µ µ

∂L

∂(^∂µΦ(x))

¶

= ∂_µ∂^µΦ(x)







Die Klein-Gordon-Gleichung

¡2 + m²¢

Φ(x) = 0

Wieder liefert der Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichung.

Die Klein-Gordon-Gleichung

− Die Klein-Gordon-Gleichung ^¡₂ + m²¢

Φ(x) = 0 erfüllt den relativistischen Energiesatz.

0 = ¡

E² − p² − m²¢

Φ(x) = ·³

i_{∂ t}^∂ ´₂

− (−i∇)² − m²

¸

Φ(x) = ¡

2 + m²¢

Φ(x) √

− Frage: Ist dies die Bewegungsgleichung relativistischer, geladener, massiver Teilchen mit Spin?

1) Die Gleichung ist linear und homogen, und damit ist die Linearkombination Φ = λ₁Φ1 + λ₂Φ2 Lösung der Gleichung, falls Φ1 und Φ2 Lösungen sind. ^√

2) Allerdings ist sie quadratisch in der Zeit. Damit ist die Forderung, dass das physikalische System durch die Wellenfunktion zur Zeit t = 0 bestimmt sein soll, verletzt. Die Kenntnis der Wellenfunktion zur Zeit Null reicht nicht aus, um die Entwicklung zu bestimmen. _ª 3) Zwei Ladungszustände können durch die Wahl einer komplexen Wellenfunktion Φ^?(x) im

Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion realisiert werden. ^√

4) Die Freiheitsgrade sind Energie und Impuls, und es ist kein Platz für den Spin. _ª Antwort: Nein

Wir müssen nach einer Gleichung suchen, die linear in den Ableitungen ist.

Die Dirac-Gleichung

− Aus der Lagrange-Dichte: _{L = Ψ (}iγ^µ∂_µ − m) Ψ(x) mit _{Ψ ≡ Ψ}^†₍x)γ⁰ und der Lagrange-Gleichung: _∂Ψ(^∂L_{x) −} ∂_µ

µ

∂L

∂(^∂µΨ(x))

¶

= 0

folgt die Dirac-Gleichung: (iγ^µ∂_µ − m) Ψ(x) = 0

− 4-komponentiger Spinor: _Ψ(x) ⇒ Die DG beschreibt vier Freiheitsgrade

− Die 4x4-γ Matrizen: γ⁰ =

à I 0 0 −I

!

, γⁱ =

à 0 σ_i

−σ_i 0

!

hängen von den

2x2-Pauli Matrizen: σ₁ =

à 0 1 1 0

!

, σ₂ =

à 0 −i i 0

!

, σ₃ =

à 1 0 0 −1

!

ab.

I ≡

à 1 0 0 1

!

, 0 ≡

à 0 0 0 0

! .

Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Transformationen.

Eine spezielle Lösung der Dirac-Gleichung

Betrachte ein ruhendes Teilchen: p~ = 0

Damit ergibt sich für die Dirac-Gleichung: ^³iγ⁰_{∂ t}^∂ − m´

Ψ(t) = 0 Dieses System hat vier linear unabhängige Lösungen: Ψi mit i = 1,2,3,4.

Ψ1 =





 1 0 0 0







e^−imt, _{Ψ2 =}





 0 1 0 0







e^−imt mit E^ˆ Ψ1,2 = i_{∂ t}^∂ Ψ1,2 = +mΨ1,2

Ψ₃ =





 0 0 1 0







e^+imt, Ψ₄ =





 0 0 0 1







e^+imt, mit E^ˆ Ψ_3,4 = i_{∂ t}^∂ Ψ_3,4 = −mΨ_3,4

Die vier Freiheitsgrade:

|Ψ₁ i = |E = +m,↑ i, _|Ψ₂ i = |E = +m,↓ i,

|Ψ₃ i = |E = −m,↑ i, _|Ψ₄ i = |E = −m,↓ i.

Die Dirac-Gleichung beschreibt Teilchen/Antiteilchen und Spin up/down.

Eichinvarianz der Maxwell-Gleichungen

(1) _∇B^~ = 0 ⇒ B~ = ∇ ×A~

(2) _{∇ ×} E^~ = −^{∂ ~}_{∂ t}^B ⇒ 0 = ∇ ×E~ + _{∂ t}^∂ ³

∇ ×A~´

= ∇ × Ã

E~ + ∂ ~A

∂t

!

≡ ∇ × ∇(−V )

| {z }

⇓

E~ = −∇V − ^{∂ ~}_{∂ t}^A (3) _∇E^~ = ρ

(4) _{∇ ×} B^~ = ~j + ^{∂ E}_{∂ t}

Eichtransformation: A^~0 = A~ + ∇Λ und V⁰ = V − ^∂_{∂ t}^Λ mit Λ = Λ(t, ~x) Felder invariant da: ^h _{∂ t}^∂ ,∇i

= 0 und _{∇ × ∇}Λ = 0 , für alle Λ B~⁰ = ∇ ×A~ ⁰ = ∇ ×A~ + ∇ × ∇Λ = B~

E~⁰ = −∇V⁰ − ^{∂ ~}_{∂ t}^A0 = −∇V + ∇^∂_{∂ t}^Λ − ^{∂ ~}_{∂ t}^A − _{∂ t}^∂ ∇Λ = E~

Ladungserhaltung: ^{∂ ρ}_{∂ t} + ∇~j = 0

Aus (3) und (4): ^{∂ ρ}_{∂ t} + ∇~j = _{∂ t}^∂ ∇E~ + ∇³

∇ × B~´

− ∇^{∂ ~}_{∂ t}^E = 0.

Die Eichinvarianz der Maxwellgleichungen hat weit reichende Konsequenzen.

Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen

− Wegen der Lorentz-Invarianz der MG bietet sich eine kovariante Formulierung an.

F^µν ≡ ∂^µA^ν − ∂^νA^µ =







0 −E₁ −E₂ −E₃ E₁ 0 −B₃ B₂ E₂ B₃ 0 −B₁ E₃ −B₂ B₁ 0







− Vektorpotential: A^µ ≡ (V, ~A) und Eichtransformation: A^µ0 = A^µ + ∂^µΛ

− Die inhomogene Maxwellgleichungen ergeben sich aus

∇E~ = ρ, und _{∇ ×}B^~ = ~j + ^{∂ ~}_{∂ t}^E mit j^ν ≡ (ρ,~j) zu:

j^ν = ∂_µF^µν = (∂µ∂^µA^ν − ∂_µ∂^νA^µ) = 2A^ν − ∂^ν (∂µA^µ)

− Die Ladungserhaltung: ∂_νj^ν = ∂_ν∂_µF^µν = 0

− Die Wellengleichung für ein masseloses freies Photon j^ν ≡ 0 in Lorentz-Eichung

∂_µA^µ ≡ 0 lautet: ₂A^ν = 0 KG-Gleichung mit m = 0.

Die kovariante Formulierung ist für relativistische Rechnungen besser geeignet.

Eichtransformationen freier Felder

Global: Φ

= e

Φ

Invarianz _⇒ Ladungserhaltung

Lokal: Φ

= e

Φ

Wechselwirkung mit Photonfeld

Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz erzwingt ein masseloses Eichboson.

Globale Eichtransformation

− Physikalische Observablen sind Erwartungswerte von OperatorenO^ˆ und

werden durch _hO^ˆi = hΨ|Oˆ|Ψi berechnet, z.B. _hpˆi = hΨ|pˆ|Ψi = phΨ|Ψi = p.

− Eine Globale Phasentransformation: _|Ψ⁰ i = e^iΛ|Ψi

− Invarianz der Erwartungswerte: _hΨ⁰ |Oˆ|Ψ⁰ i = hΨ|e^−iΛOeˆ ^iΛ|Ψi = hΨ|Oˆ|Ψi

− Auch die Bewegungsgleichungen sind invariant.

− Beispiel Dirac-Gleichung: iγ^µ∂µΨ⁰ = mΨ⁰

iγ^µ∂µe^iΛΨ = e^iΛiγ^µ∂µΨ = e^iΛmΨ = me^iΛΨ iγ^µ∂µΨ = mΨ √

− Betrachte den Ladungsoperator: Q|Ψi = q|Ψi mit U ≡ e^iΛQ. Wegen e^x = P_∞

n=0 xⁿ

n! = 1 + x + . . . ist e^iΛQ = 1 + iΛQ + . . .

Anwendung auf _|Ψi liefert e^iΛQ|Ψi = e^iΛq|Ψi und wegen [ S, U ] = 0,

i.e.: _hΨ|SU|Ψi = hΨ|Se^iΛQ|Ψi = hΨ|Se^iΛq|Ψi = hΨ|e^iΛqS|Ψi = hΨ|US|Ψi folgt die Ladungserhaltung: [ S, Q] = 0.

Die globale Eichinvarianz führt zur Erhaltung der Ladung

Lokale Eichtransformation

− Eine lokale Eichtransformation: Ψ⁰ = e^iqΛ(x)Ψ In Dirac-Gleichung: iγ^µ∂_µΨ⁰ = mΨ⁰

iγ^µ∂_µ £

e^iqΛ(x)Ψ¤

= m£

e^iqΛ(x)Ψ¤ e^iqΛ(x)iγ^µ [∂_µ + iq(∂_µΛ(x))] Ψ = e^iqΛ(x)mΨ

− Der Term iq∂µΛ(x) erinnert an die Eichfreiheit der Maxwell-Gleichungen, deswegen versucht man einen Ansatz für ein geladenes Teilchen im Feld.

E → E + qV

~

p → p~ + q ~A )

P_µ = p_µ + qA_µ ⇒ D_µ = ∂_µ − iqA_µ da p_µ = i∂_µ.

D_µ⁰ = ∂_µ − iqA⁰_µ = ∂_µ − iqA_µ − iq∂_µΛ(x)

− In Dirac-Gleichung: iγ^µD_µ⁰ e^iqΛ(x)Ψ = me^iqΛ(x)Ψ e^iqΛ(x)iγ^µ [∂_µ + iq(∂_µΛ(x)) − iqA_µ − iq(∂_µΛ(x))] Ψ = e^iqΛ(x)mΨ

iγ^µD_µΨ = mΨ

− Invarianz der Dirac-Gleichung erreicht man nur mit den simultanen Transformationen Ψ⁰ = e^iqΛ(x)Ψ und D_µ⁰ = Dµ − iq∂µΛ(x).

Die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit dem Photonfeld.

Die Paritätstransformation

− Spiegelung am Ursprung: _|~r⁰ i = P|~ri = −|~ri und _|t⁰ i = P|ti = |ti.

− Das Transformationsverhalten einiger Variablen:

Skalar: P|Ei = |E i, Axialvektor: P|L~ i = P|~r × p~i = (−1)²|L~ i = |L~ i Pseudoskalar: P|λi = P| _|^{~s ~}_p~^p_| i = −|λi,

Vektor: P|~ri = −|~ri,

Kugelwellenfunktionen: P Y_l^m(θ, φ) = (−1)^lY_l^m(θ, φ)

− Teilchen können Eigenzustände zur Parität sein.

Es gilt: P|ii = η_P (i)|ii und P²|ii = η_P (i)ηP (i)|ii = |ii ⇒ η_P (i) = ±1

− Für Fermionen und Antifermionen wird η_P (f) = 1 und η_P ( ¯f) = −1 festgelegt.

− Die Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.

− Beispiele zusammengesetzter Systeme:

Baryonen (l = 0): P|qqq i = 1³|qqq i = +1|qqq i

Antibaryonen (l = 0): P|q¯q¯q¯i = (−1)³|q¯q¯q¯i = −1|q¯q¯q¯i

Meson (l 6= 0): P|qq¯i = 1 · (−1) · (−1)^l|qq¯i = (−1)^l+1|qq¯i

Die Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten.

Die Ladungskonjugation oder C-Parität

− Die Ladungskonjugation C|e⁻ i = η_C(e⁻)|e⁺ i transformiert Teilchen in Antiteilchen.

− Man definiert für Fermionen und Antifermionen η_C(f) = η_C( ¯f) = 1.

− Die C-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.

− In elektromagnetischen Wechselwirkungen ist η_C eine Erhaltungsgröße, [ S, C] = 0.

− Nur ungeladene Teilchen können Eigenzustände zur C-Parität sein.

− Die C-Parität des Photons und des neutralen Pions, π⁰:

1) Da das γ an die Ladung koppelt gilt für die Amplitude: _he⁻γ |S|e⁻ i = −he⁺γ |S|e⁺ i. 2) _he⁻γ |S|e⁻ i = he⁻γ |C^†SC|e⁻ i = η_C² (e⁻)ηC(γ)he⁺γ |S|e⁺ i = η_C(γ)he⁺γ |S|e⁺ i

η_C(γ) = −1 und für das π⁰ gilt: C|π⁰ i = C|2γ i = (−1)²|2γ i, η_C(π⁰) = +1

− Wegen der Erhaltung der C-Parität existiert der Zerfall π⁰ → 3γ also nicht.

− Die Erhaltung der C-Parität ist eine nützliche Eigenschaft z.B. im Zerfall η → π⁻π⁺π⁰ Es gilt: _hπ⁻π⁺π⁰ |S|η i = hπ⁻π⁺π⁰ |C^†SC|η i = η_C² (η)hπ⁺π⁻π⁰ |S|η i

Der Zustand wird in sich selbst überführt. Dies bedeutet aber, dass die Winkelverteilung von π⁺ und π⁻ identisch sein muss, was experimentell bestätigt wurde.

Auch die C-Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten.

Die Zeitumkehr

− Die Zeitumkehr dreht den zeitlichen Ablauf einer Reaktion um. Für ein Elementarereignis folgt also: T|1 + 2 → 3 + 4i = |3 + 4 → 1 + 2i

− Zeitumkehrtrafo: T|~r, ti ≡ |~r,−ti

− Beispiele: Impuls: T|p~i = −|p~i da p~ = ^d~_dt^r Drehimpuls: T|L~ i = T|m ~r × p~i = −|L~ i

Helizität: T|λi = |λi

− Makroskopisch gilt T-Invarianz nur für Ereignisse ohne Entropieänderung.

Das Zerbrechen einer Flasche läßt sich auch durch Zeitumkehr nicht reparieren.

− Mikroskopisch führt das Studium der Zeitumkehr-Transformation zum Prinzip des detaillierten Gleichgewichts.

− Dies führt zum Beispiel für 1 + 2 → 3 + 4 auf die folgende Relation:

dσ

dΩ(1+2→3+4)

dσ

dΩ(3+4→1+2) = ^|p3|

2(2J₍₃₎+1)(2J₍₄₎+1)

|p₁|²(2J₍₁₎+1)(2J₍₂₎+1), mit J^~ = L~ + S~.

Die Zeit ist und bleibt eines der schwierigsten Konzepte der Physik.

Die Invarianz der Wechselwirkungen

Wechselwirkung / Symmetrie C P CP CPT

stark ^{√ √ √ √}

elektromagnetisch ^{√ √ √ √}

schwach _{− − −} ^√

− In der schwachen Wechselwirkung (sWW) gibt es sowohl C- als auch P-Verletzung.

− An der sWW nehmen nur linkshändige Teilchen teil ~s ↑↓ p~ bzw. λ = _|^{~s ~}_p~^p_| = −|~s|. Ein Neutrino: _|ν i ≡ |ν, λ = −¹₂ i

P-Verletzung: P|ν, λ = −¹₂ i = |ν, λ = + ¹₂ i existiert nicht.

C-Verletzung: C|ν, λ = −¹₂ i = |ν, λ¯ = −¹₂ i existiert nicht.

CP-Transformation: CP|ν, λ = −¹₂ i = |ν, λ¯ = + ¹₂ i existiert.

− Trotzdem ist CP in der sWW verletzt. Dies wurde in Kaon- und B-Systemen gemessen.

Eine ausführliche Diskussion der CP-Verletzung folgt später.

− Die CPT-Invarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie. Sie hat weit reichende Bedeutung, z.B. gilt damit m_f = m_f¯ und τ_f = τ_f¯.

Die Symmetrien der Wechselwirkungen sind das Objekt vieler Untersuchungen.

Zusammenfassung

− Aus der Erhaltung der Norm _hi|ii = 1 folgt, dass die S-Matrix, die die Übergange eines Anfangszustands i = initial in einen Endzustand f = final beschreibt, hf |S|ii, unitär sein muss.

− Kommutatoren [S, O] = SO − OS sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quanten- mechanik. Eigenwerte von hermiteschen Operatoren, die mit der S-Matrix

vertauschen, sind Erhaltungsgrößen.

− Das Noether-Theorem, ’F¨ur jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz.’, ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Studium von Symmetrien.

− Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung, er führt zum Beispiel auf die Dirac-Gleichung.

− Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Tansformationen und beschreibt

massive, relativistische Fermionen / Antifermionen mit halbzahligem Spin, up / down.

− Die Eichinvarianz der Feldtheorie ist fundamental. Die globale Eichinvarianz führt zur Erhaltung der Ladung und die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit dem Photonfeld.

− C-, P- und T-Invarianz sind nicht in allen Wechselwirkungen gegeben, aber die CPT- Invarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie und aus ihr folgt m_f = m_f¯ und τ_f = τ_f¯.