Aus der statistischen Analyse von Beobachtungen in der Zeit (Zeitreihen) lassen sich kennzeichnende Parameter ableiten, die für Bemessungen, den Betrieb von

Zeitreihenanalyse

H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Ziel



Aus der statistischen Analyse von Beobachtungen in der Zeit (Zeitreihen) lassen sich kennzeichnende Parameter ableiten, die für Bemessungen, den Betrieb von

wasserwirtschaftlichen Einrichtungen (Speichern,..), Prognosen herangezogen werden können



Sehr oft wird voraus gesetzt: Die Eigenschaften sind in Vergangenheit und Zukunft gleich (Stationärität)



zeitunabhängigem Mittelwert



zeitunabhängiger Streuung



zeitunabhängiger Kovarianz.

Methoden

 Klassische Zeitreihenanalyse durch Schätzung der Komponenten X

,X

und X

 ARMA, ARIMA, SARIMA Modelle

 Nach Identifikation können durch Simulation

neue gleichwahrscheinliche Reihen generiert

werden

Definitionen und Anwendung



Definition Zeitreihe

• zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt



Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese

• Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt



Art der Messwerte

• Kontinuierlich

 Schreiber

• Diskret

 Terminwerte

 Mittelwerte einer Zeitspanne

) (t X

) ( _i

i t

X

Darstellung: Ganglinien

kontinuierlich

diskret

Methodik

 Zeitreihenanalyse

 Zerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung

 Trend …

 Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms

 Periode ...

 Beispiel: in Ö die Frühjahrshochwässer

 Stochastischer Anteil …

) (t X

) (t X

) (t X_R

) ( )

( )

( )

( t X t X T X t

X 





Methodik

 Zweck der Zeitreihenanalyse

 Ermittlung der einzelnen Anteile

 Parametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe

 Simulation (Generierung)

• Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben

Homogenität / Stationärität

 Homogenität

• Unterteilung einer Reihe in Teilreihen

• Bestimmen der Parameter

 Mittelwert

 Varianz

 Schiefe

• Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant

voneinander ab  dieselbe Grundgesamtheit  Homogen

 Stationärität

• Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant voneinander ab  Stationärität 1. Ordnung

• Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht

Beispiel für Trendanalyse:

Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1961 - 2001

2

0 1

0 4

1

0 1 1

2 3

1 3

1 2

0 2

0 1

2

0 0 2

1 1 2

1

0 2

0 4

3

0

2 2 2 5

4

2 2

0 0

1 2 3 4 5 6

1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Jahr

Tage

(Rudel, ZAMG 2002)

Ja !!!!

Beispiel für Trendanalyse:

Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1903 - 2001

3

2

1 2

3

1 2

3

1 5

1 3

44

00 22

3 3

0 2

4

2

1

0 2

4

2

1 1 2

1 3 3

4

22 5

22 3

0 11

00 44

0 22 2

11 3

5

0 2

0 1

0 4

1

0 11

2 3

1 3

1 2

0 2

0 1

2

00 2

1 1 2

1

0 2

0 4

3

0 22 2

5

4

2 2

0 0

1 2 3 4 5 6

1903 1905 1907 1909 1911 1913 1915 1917 1919 1921 1923 1925 1927 1929 1931 1933 1935 1937 1939 1941 1943 1945 1947 1949 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

Jahr

Tage

Nein !!!!

Trends in Niederschlag und Abfluss

Moser et al., 2003

Annual precipitation

Abfluss

Schätzung Trendanteil X _T (t) 1

 Annahme

• Linearer Trend

 Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung X_T(t)= A + B t

Trendanteil X _T (t) 2

 Annahme

• Nichtlineares Verhalten

Beispiel: Nachfragefunktion – zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung

• Sprungstellen

X(t)

t

x

*

* )

( t A B t C t

X

  

Trends in der Streuung

Trendeliminierung

 X‘(t) = X(t)-X

(t) = X

(t)+X

(t)

 Oder nicht parametrisch durch numerisches Differenzieren

 X‘(t) = (X(t+1)-X(t))/1 bei linearem Trend

Periodische Komponente

 Hintergrund der Periodizität

• Meist klimatische Faktoren

 Tagesschwankungen von Abflussmengen

 jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen

zuvor wichtig ist Elimination des Trendanteils

 Bestimmung des Periodenanteils

• bei bekannter Periodenlänge

 Fourieranalyse

 Mittelungsmethode

• bei unbekannten Periodenlänge

 Autokorrelation

Fourieranalyse



Idee

• Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen

 … Amplitude

 … Frequenz

• Hier:

 j … Frequenz

 

 … Phase



Anwendung

• El Niño (längerfristiger Zyklus)

• Jahresgang

j

j D

C ,

T f _j 1/





j

P

A A j t

t

X    sin    ) 2

(

   

 



 C f t D f t

t

X_P( ) _j cos 2





Beispiel Fourieranalyse (Rechteck)

X(t)

t

Berechnung der Autokorrelation

 Vergleich einer Reihe mit sich selbst

Autokorrelation

 Definition

• Vergleich der Reihe mit sich selbst

• Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe



Anwendung

 Feststellung eines

periodischen Verhaltens

 zB Jahresgang

Autokorrelationskoeffizient / Periodogramm

 Autokorrelationskoeffizient:

 Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebung τ

 Kann auch direkt aus den Fourierkomponenten berechnet werden

 Periodogramm

 Ablesen der Amplituden- quadrate bei den Frequenzen

 Strichlierte Linie = Signifikanz- niveau

F²/2=

f f₁ f₂ f₃ f₄ f₅ f₆ f_j

   

 



 C f t D f t

t

X_P( ) _j cos 2





 

 















1

2 2

1

2 2

*

* 2 cos

j

j j

i

j j

j

D C

f D

C r







Cj²D²j^/2

05 . 0 ) ( 73 , 1

) (

4

Re

2 2

2 2 2











 



k P ist k

für

e C k C P

n C s

ihe zufälligen

einer Amplitude der

werte Erwartungs

k m

i x m

• X_R(t) … Random = zufällige Größe

 Ursache

• zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen

 Überlegung

• Zeitreihenwert ist vom vorhergehenden Wert abhängig

• plus einer zufälligen Schwankung

• r¹ … Autokorrelationskoeffizient

Stochastischer Anteil

) ( )

( )

( )

( )

''

(

t X t

X t

X t

X t

X  





) ( )

1 (

* )

(t r₁ X t t

X _R  _R  



Zeitreihensynthese

 Anwendung auf Zeitreihensynthese

• Bei gegebenen Parametern kann eine Zeitreihe generiert werden

• Parameter

 Trendanteil A,B

 Jahresgang C,D

 Stochastischer Anteil r₁, σ_ε

• Die generierte Zeitreihe hat die gleiche statistische

Wahrscheinlichkeit wie die beobachtete Reihe, aber eine andere zeitliche Abfolge

• Trockenjahre / Nassjahre

• Man kann damit Wasserwirtschaftssysteme testen

 Versorgungsanlagen

 Speicher

 Hochwasserrückhaltebecken …

Beispiel Simulation Zeitreihe

Speicherdimensionierung

Bemessung eines Speichers zum Ausgleich des Wasserdargebotes (Energieerzeugung, Wasserversorgung)

Ganglinie

Speicherdimensionierung

Bemessung eines Speichers zum Ausgleich des Wasserdargebotes (Energieerzeugung, Wasserversorgung)

Summenlinie Bedarf

Ganglinie

D1 S1 D2

S2

Speicherdimensionierung

 S= Max(Abs(Si)) + Max(Abs(Di))

 S

= Max(Abs(Di))

 Analyse einer beobachteten Zuflussganglinie

 Simulation vieler Zuflussganglinien

S h(S)

S*=F(S)=.9

h(D)

D

Anwendung der Synthese

 Simulation für Bemessungszwecke

 Simulation zur Prüfung der Funktionsweise von Bauwerken

 Simulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete Reihe

 Es können daher Nassjahre, Trockenjahre,

Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten

ARMA Modelle

 Voraussetzung ist Stationärität

 AR autoregressiv

 MA Moving average

AR Modelle

AR-Prozess m.ter Ordnung

d.h. der Wert X_t ist sowohl von X_t-1 als auch X_t-i abhängig Mittelwerte von X_i und _i sind Null

_i ist reine Zufallszahl.

AR-Prozess 1. Ordnung

Woraus folgt, dass -1<₁<1

_i partieller Autokorrelationskoeffizient

 bzw r Korrelationskoeffizient

AR(1) Modell

AR-Prozess 1.Ordnung kann angeschrieben

woraus folgt

d.h. AR(i) kann auch durch MA(n) beschrieben werden Ebenso kann MA(i) durch AR(n) beschrieben werden

AR(1) Modell

Vergleich zweier AR(1) Modelle

Einige Definitionen





sind partielle Autokorrelationskoeffizienten (PAK) diese drücken den Beitrag von X

bzw. i zur

Gesamtkorrelation aus.



Nimmt man einen AR(2) an, dann sind 

und 

zu schätzen





bzw. r

drückt die Gesamtkorrelation (GK) zwischen linker und rechter Seite aus, wobei sich der Index auf den zeitlichen Abstand (t links und t-k rechts) bezieht. r

ist ein Maß für die Erklärung der Varianz der linken Seite durch die rechte Gleichungsseite und r

existiert für

(unendlich) viele zeitliche Abstände

AR(2) Modell

F1 F2 F3 F4 Fk

Verallgemeinerung

 Yule Walker Gleichungen

₁

₂

_k

MA-Prozesse

Bei einem MA-Prozess hängt der aktuelle X_t-Wert ausschließlich von vorangegangen Zufallszahlen ab.

Für einen MA(1) Prozess gilt

woraus folgt

MA-Prozesse

Bei einem MA-Prozess hängt der aktuelle X_t-Wert ausschließlich von vorangegangen Zufallszahlen ab.

Für einen MA(1) Prozess gilt

woraus folgt

X_t

MA(2) Prozess

Die Gleichung für den MA(2) Prozess ist

Die Varianzen berechnen sich nach

MA(2) Prozess

 Der Lösungsbereich für die Koeffizienten

 Die Umrechnung in die Korrelationsfunktion ergibt

ARMA Modelle



Stellen eine Kombination von AR und MA Prozessen dar



Es ist zuerst der Grad (Ordnung) der einzelnen Anteile zu ermitteln: p für AR und q für MA



Dies erfolgt durch die Signifikanzprüfung der partiellen Autokorrelationskoeffizienten (PAK) und durch die

Autokorrelationsfunktion (AKF)

 Hinweis auf Grad p: Für einen AR(1) Prozess sollte die AKF mir r^k abklingen und nur ₁ signifikant von Null verschieden sein. Für einen AR(2) Prozess sollten ₁ und ₂ signifikant von Null

verschieden sein.

 Unter der Annahme (Hypothese) eines Prozesses der Ordnung p sind die Varianzen aller _i (i>p) = 1/n, also mit 95% sollten sie

ARMA Modelle

 Hinweis auf Grad q: Bei einem MA(1) Prozess sollte die PAKF langsam gegen Null gehen, während die AKF nur einen signifikanten Wert zeigt.

 Ein allgemeines ARMA Modell hat folgende Form:

X

–

*X

–

*X

….- =

–

*

–

*

-….-

ARMA (1,1) Prozess

X

–

*X

=

–

*

Die Kovarianzfunktionen lauten: Die AK _i ergeben sich aus

ARMA(1,1)

Anwendung für Vorhersage

 Das hydrologische Modell zeigt über längere Abschnitte

systematische Abweichungen zu den Beobachtungen

Anwendung für Vorhersage

Erweitertes Modellkonzept durch nachgeschaltete Korrektur

Annahme eines ARMA(1,1) Prozesses Konfidenzbereich

Instationäre Modelle

 Zeitreihen weisen oft langfristigen Trend und zyklischen Trend auf

 Allgemeine Beschreibung für ARIMA(p,d,q)

t

Anwendung ARIMA Modelle

 Für kurz- und mittelfristige Vorhersagen

 Pegel Mittersill (obere Salzach) Pegel Grieskirchen (Trattnach)

Ausgeprägter Jahresgang: Reihe ist mit zu differenzieren, da ein ausge- prägter zyklischer Trend

Diese Reihe weist de fakto kaum einen Jahresgang auf

Anwendung ARIMA

Braucht alle Y_j und s_yj

Braucht A₁, B₁ und _

Anwendung ARIMA Vorhersage

Anwendungsbeispiel

Auswertung von Monatswerten des Grundwasserstandes im

Marchfeld

Anwendungsbeispiel

Auswertung von Monatswerten des Grundwasserstandes im

Marchfeld

Transfermodelle

 Verknüpfung zweier Zeitreihen X(t) und Y(t) durch Input-Output Modelle (I-O)

 Es gibt Single Input –Single Outputmodelle (SISO) und Multiple Input-Single Outputmodelle (MISO)

 z.B. wie verändert sich die Temperatur im Längsverlauf eines Flusses ? Wie breitet sich eine Schadstoffkonzentration aus ?

 N-A Modell, wobei mehrere NS Stationen (Input) und eine Abflussstation (Output) verwendet werden

Transfermodelle

 Beide (I und O) können eine interne Struktur haben und noch korreliert sein

 Es ist das Modell zu identifizieren: r,s,b,u

 Es sind r+s+u Koeffizienten zu schätzen

 Für r=2,s=2,b=0, u=1 gilt

1 1

2 2

1 1

0 2

2 1

1                

 _{t t t t t t t}

t Y Y X X X

Y       

Transfermodelle Anwendung

Beobachtung Modell

Input: Pegelwerte Donau und laufend aktuelle Werte von Probstdorf

Kalman Filter

 Lineares System

 Unsicherheit in Beobachtungen

 Unsicherheiten im Modell

 Wenn neue Beobachtungen einlangen, dann das Modell updaten, aber unter Berücksichtigung des Messfehlers

 Die Fehler in den Messungen und in den Modellrechnungen werden durch den Kalman-Filter getrennt berücksichtigt.

 Als Ergebnis erhält man eine bestmögliche Ermittlung des weder aus der Modellsimulation noch aus der Messung zweifelsfrei

hervorgehenden Zustandes zu jedem Zeitpunkt.

 Diese Schätzung ist zwar nicht exakt gleich dem wahren Zustand, jedoch genauer als die Modellrechnung und die Messung.

Anwendung Kalmanfilter

 Das hydrologische Modell zeigt über längere Abschnitte

systematische Abweichungen zu den Beobachtungen

Anwendung Kalmanfilter

Anwendung Kalmanfilter

Einfache lineare Speicherkaskade

Anwendung Kalmanfilter

(Systemgleichungen)

Anwendung Kalmanfilter

Kalman Filter: Ergebnis

Zusammenfassung

 Zeitreihenanalyse: Trend, Periode, stochastischer Anteil

 ARMA, ARIMA, SARIMA Modelle

 Transfermodelle

 Kalmanfilter: lineares System

Es wird sowohl Mess- als auch Modellfehler

berücksichtigt (bei NV)

Parameterschätzung

 Es gibt verschiedene Schätzverfahren für die Parameterermittlung



Momentenmethode



Maximum-Likelihood-Methode



Bayesschätzer (meist iterativ)

Schätzverfahren: Momentenschätzer

 Gegeben sind n Beobachtungen x₁, x_i,…x_n

 Definition: Momente bezüglich a

 Für a=0 und d=1 (1. Moment) folgt

 Für a=x und d=2 (2. Moment) folgt

 Für die Schiefe C_s und die Wölbung C_k gilt dann

bzw. für die erwartungstreue Schätzung aus einer Stichprobe











 









n

i

i n

i i

x n x

x M

n x x M

1

2 2

1 1

) 1 (

) 1 (

) 1 0 (

Schätzverfahren: Maximum Likelihood

 Setzt die Kenntnis der Grundverteilung f(x) voraus

 Beobachteter Wert x_i hat die Auftrittswahrscheinlichkeit f(x_i) dx_i

 Annahme: die Messwerte x_i stammen aus der NV(,^) dann ist die Wahrscheinlichkeit exakt diese Werte zu beobachten

 Die Wahrscheinlichkeit ist von m und s abhängig und hat ein Maximum, wenn

 Für den Fall einer NV gilt:

) ,

(  

 L

Vergleich der Schätzverfahren

 Momentenmethode ist einfach und immer direkt anwendbar

 Fehler in Parameterschätzung bei höheren Momenten und bei schiefen Verteilungen

 Likelihoodmethode liefert zuverlässigere

Schätzung bei schiefen Verteilungen und bei

kleineren Stichproben