Mathematische Methoden zur Analyse von Zeitreihen komplexer Systeme

Mathematische Methoden zur Analyse von Zeitreihen komplexer Systeme

PROF. DR. JENSTIMMER

Aufgabe 1 Beobachtungsrauschen und Parametersch¨atzung: Van der Pol

• Simuliere Zeitreihen der L¨angeN des van der Pol Oszillators

¨

x=µ(1−x²) ˙x−ω0x

Beachte: Zwinge den Integrator, ¨aquidistante Daten zu generieren.

• Addiere Gauß’sches Beobachtungsrauschenη(tⁱ)der Standardabweichung σzu den Daten:

y(tⁱ) =x(tⁱ) +η(tⁱ)

• Sch¨atzext_i und die 1. und 2. Ableitung aus den Daten per:

ˆ

xt_i =y(tⁱ), ˆ˙xt_i = yt_i+1 −yt_i

−1

2∆t , ˆ¨xt_i = yt_i+1 −2y^ti+yt_i

−1

(∆t)²

• Sch¨atzeµundω0durch Kleinste Quadrate:

Err(µ, ω⁰) = 1 N

X

t_i

(ˆ¨xt_i−(µ(1−xˆ²t_i)ˆ˙xt_i −ω0xˆt_i))²

• Dieses lineare Regressionsproblem l¨ost matlab mit Stefans Hilfe.

• Untersuche die Abh¨angigkeit vonµˆundωˆ0vom Signal-zu-Rausch Verh¨altnis.

Entsteht ein systematischer Bias ?

– W¨ahle dazuµ= 5, ω0 = 1,N = 10000,σ = 0, 0.001, 0.01, 0.1und

∆t = 0.01,0.1

– Plotteµˆundωˆ0in fein aufgel¨oster Abh¨angigkeit vonσ.

• Erkl¨are den Effekt qualitativ.

Aufgabe 2 Charakterisierung des Beobachtungsrauschens

Daten aus dem Modell

˙

x=−αx

sind gemessen wurden und liegen auf der VorlesungsHomepage.

Beim Meßprozeß ¨uberlagerte sich dem Signal ein farbiges Beobachtungsrauschen.

Nutze alle Deine Kenntnisse, um dieses Rauschen zu charakterisieren.

• Wie groß ist die Varianz des Rauschens ?

• Wie ist seine Korrelationsstruktur ?