Der goldene Schnitt und seine Anwendungen Im Fünfeck
Mach zuerst einen Knopf in einen Papierstreifen und drück diesen flach, du bekommst annähernd ein reguläres Fünfeck.
Im regulären Fünfeck kann man den goldenen Schnitt nun anwenden: Die Diagonale AD ist 1.618 mal grösser als die Seitenlänge a.
Das goldene Rechteck
Das goldene Rechteck kann man in ein Quadrat und eine weiteres goldenes Rechteck zerteilen.
Konstruktion:
1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Wenn man nun die Punkte A,B, und C zu einem Rechteck verbindet, hat man ein goldenes Rechteck.
Die goldene Spirale
Hier sieht man sehr schön. Wie jeweils ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres goldenes Rechteck geteilt wird. Zieht man in jedem entstandenen Quadrat einen Viertelkreis ergibt dies die goldene Spirale.
Aufgabe: Konstruiere ein goldnes Rechteck und zeichne mit dem Zirkel eine goldene Spirale.
Die Fibonacci Zahlen
Die Fibonacci Zahlen sind eine spezielle Folge von Zahlen welche sich dem Verhältnis des goldenen Schnittes annähern, indem eine Zahl der Folge mit der davor stehenden dividiert wird. Wie sieht diese Folge aus?
Gedanken-Experiment
Ein neu entstandener Organismus (J) braucht einen Tag, um erwachsen zu werden (A).
An jedem nachfolgenden Tag setzt er selbst einen neuen Organismus in die Welt.
Wie viele Organismen gibt es am n-ten Tagen?
Kann man eine Gesetzmäßigkeit ablesen?
Wie geht die Folge weiter?
Man sieht in der nebenstehenden Grafik sehr schon, wie sich das Verhältnis nebeneinander
stehender Fibonacci-Zahlen bei 1.618 einpendelt.
Genaue Berechnung der Fibonacci Zahlen
Das genaue Verhältnis des goldenen Schnittes hilft uns die Fibonacci Zahlen berechnen zu können.
Verhältnis:
1 . 6180339887 5 2
5 1 + = ϕ =
Mit folgender Formel kann man nun die Fibonaccizahlen genau berechnen.
Formel:
5 )
( n
n
x
− −
=
ϕ
−ϕ
n: Platz in der Zahlenfolge
Tabelle:
Aufgabe: Berechne die zwei nächsten Fibonacci Zahlen mit der Formel.
n 1 2 3 4 5 6 7 x 1 1 2 3 5 8 13
