Definition: Sei (an

Definition: Sei (a_n)_n∈N eine Folge. Zu N ∈ N setze

s_N :=

N

X

n=1

a_n = a₁ + a₂ + . . . + a_N

Die Folge (s_N)_N∈N heißt (unendliche) Reihe und wird mit P∞

n=1 a_n bezeichnet.

Die Reihe P∞

n=1 a_n heißt konvergent, falls die Folge (s_N)_N∈N konvergiert.

Ist P∞

n=1 a_n konvergent, so heißt lim_N→∞ s_N der Reihenwert von P∞

n=1a_n und wird bezeichnet durch

∞

X

n=1

a_n := lim

N→∞

N

X

n=1

a_n = lim

N→∞s_N.

Die Reihe P∞

n=1 a_n heißt absolut konvergent, falls P∞

n=1 |a_n| konvergiert. Satz:

∞

X

n=1

a_n absolut konvergent =⇒

∞

X

n=1

a_n konvergent

Untersuchung von Reihen auf Konvergenz:

1) Berechne die Folge (s_N) und pr¨ufe, ob (s_N) konvergiert.

2) Benutze Konvergenzkriterien f¨ur Reihen:

Leibnizkriterium f¨ur alternierende Reihen Majoranten- und Minorantenkriterium Wurzelkriterium

Quotientenkriterium

Leibnizkriterium f¨ur alternierende Reihen

Sei (b_n) eine monoton fallende Folge mit b_n → 0. Dann kon- vergiert P∞

n=1(−1)ⁿb_n.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Seien (a_n) und (b_n) Folgen.

(1) Gilt |a_n| ≤ b_n ffa n ∈ N und ist P∞

n=1 b_n konvergent, so ist P∞

n=1 a_n absolut konvergent.

(2) Gilt a_n ≥ b_n ≥ 0 ffa n ∈ N und ist P∞

n=1 b_n divergent, so ist auch P∞

n=1 a_n divergent.

Wurzelkriterium

Sei (a_n) eine Folge und α := lim sup pⁿ

|a_n|.

(1) Ist α < 1, so ist P∞

n=1 a_n absolut konvergent.

(2) Ist α > 1, so divergiert P∞

n=1 a_n.

Quotientenkriterium

Sei (a_n) eine Folge mit a_n 6= 0 ffa n ∈ N und c_n := |^an+1_a

n | f¨ur n mit a_n 6= 0.

(1) Ist c_n ≥ 1 ffa n ∈ N, so ist P∞

n=1 a_n divergent.

(2) Ist lim supc_n < 1, so ist P∞

n=1 a_n absolut konvergent.

Ist lim inf c_n > 1, so divergiert P∞

n=1 a_n.