Deﬁnition 176

(1)

Definition 176

Der Binomialbaum B

0

besteht aus genau einem Knoten.

Den Binomialbaum B

k

, k ≥ 1, erh¨ alt man, indem man die Wurzel eines B

k−1

zu einem zus¨ atzlichen Kind der Wurzel eines zweiten B

k−1

macht.

B

0

B

1

B

2

B

3

ADS-EI 4 Vorrangwarteschlangen (priority queues) 367/451

ľErnst W. Mayr

(2)

Rekursiver Aufbau des Binomialbaums B

_k

(rekursive Verfolgung des rechten Zweigs) B

_k

B

k−1

B

k−1

. . .

B

k−1

B

k−2

B

2

B

1

B

0

B

_k

(3)

Rekursiver Aufbau des Binomialbaums B

_k

(rekursive Verfolgung des linken Zweigs)

B

k

B

k−1

B

k−1

B

k

B

k−1

B

k−2

B

1

B

₀

B

₀

ľErnst W. Mayr

(4)

Satz 177

F¨ ur den Binomialbaum B

_k

, k ≥ 0, gilt:

1

er hat H¨ ohe k und enth¨ alt 2

^k

Knoten;

2

er enth¨ alt genau

^k_i

Knoten der Tiefe i, f¨ ur alle i ∈ {0, . . . , k};

3

seine Wurzel hat k Kinder, alle anderen Knoten haben < k Kinder.

Beweis:

Der Beweis ergibt sich sofort aus dem rekursiven Aufbau des B

k

und der Rekursionsformel k

i

=

k − 1 i

+

k − 1 i − 1

f¨ ur Binomialkoeffizienten.

(5)

Definition 178

Ein Binomial Heap ist eine Menge H von Binomialb¨ aumen, wobei jedem Knoten v ein Schl¨ ussel key(v) zugeordnet ist, so dass folgende Eigenschaften gelten:

1

jeder Binomialbaum ∈ H erf¨ ullt die Heap-Bedingung und ist ein min-Heap:

(∀ Knoten v, w)[v Vater von w ⇒ key(v) ≤ key(w)]

2

H enth¨ alt f¨ ur jedes k ∈ N

0

h¨ ochstens einen B

_k

ľErnst W. Mayr

(6)

F¨ ur jeden Binomial Heap H gilt also

1

Enth¨ alt H n Schl¨ ussel, n ∈ N , so besteht H h¨ ochstens aus max{1, dld ne} Binomialb¨ aumen.

2

In jedem von H’s Binomialb¨ aumen ist ein kleinster Schl¨ ussel an der Wurzel gespeichert; verlinkt man daher die Wurzeln aller Binomialb¨ aume von H in einer zirkul¨ aren Liste, kann ein minimaler Schl¨ ussel in H durch einfaches Durchlaufen dieser Liste gefunden werden.

Korollar 179

In einem Binomial Heap mit n Schl¨ usseln ben¨ otigt FindMin Zeit

O(log n).

(7)

Wir betrachten nun die Realisierung der Union-Operation. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Objektmengen, zu denen die Schl¨ ussel in den beiden zu verschmelzenden Binomial Heaps H

₁

und H

₂

geh¨ oren, disjunkt sind. Es ist jedoch durchaus m¨ oglich, dass der gleiche Schl¨ ussel f¨ ur mehrere Objekte vorkommt.

1. Fall H

₁

und H

₂

enthalten jeweils nur einen Binomialbaum B

_k

(mit dem gleichen Index k):

In diesem Fall f¨ ugen wir den B

k

, dessen Wurzel den gr¨ oßeren Schl¨ ussel hat, als neuen Unterbaum der Wurzel des anderen B

_k

ein, gem¨ aß der rekursiven Struktur der Binomialb¨ aume. Es entsteht ein B

k+1

, f¨ ur den per Konstruktion weiterhin die Heap-Bedingung erf¨ ullt ist.

ľErnst W. Mayr

(8)

2. Fall Sonst. Sei H

₁

= {B

_i¹

; i ∈ I

₁

⊂ N

0

} und sei H

₂

= {B

_i²

; i ∈ I

2

⊂ N

0

}.

Wir durchlaufen dann alle Indizes k ∈ [0, max{I

₁

∪ I

2

}] in aufsteigender Reihenfolge und f¨ uhren folgende Schritte durch:

1

falls kein Binomialbaum mit Index k vorhanden ist: noop

2

falls genau ein Binomialbaum mit Index k vorhanden ist, wird dieser in den verschmolzenen Binomial Heap ¨ ubernommen

3

falls genau zwei Binomialb¨ aume mit Index k vorhanden sind, werden diese gem¨ aß dem 1. Fall verschmolzen; der

entstehende B

_k+1

wird im n¨ achsten Schleifendurchlauf wieder betrachtet. Dadurch kann auch der folgende Fall eintreten!

4

falls genau drei Binomialb¨ aume mit Index k vorhanden sind, wird einer davon in den verschmolzenen Binomial Heap

¨

ubernommen; die beiden anderen werden gem¨ aß dem 1. Fall

verschmolzen; der entstehende B

_k+1

wird im n¨ achsten

Schleifendurchlauf wieder betrachtet.

(9)

Man beachte, dass nie mehr als 3 Binomialb¨ aume mit gleichem Index auftreten k¨ onnen!

Bemerkung:

Es besteht eine einfache Analogie zur Addition zweier Bin¨ arzahlen, wobei das Verschmelzen zweier gleich großer Binomialb¨ aume dem Auftreten eines Ubertrags ¨ entspricht!

Lemma 180

Die Union-Operation zweier Binomial Heaps mit zusammen n Schl¨ usseln kann in Zeit O(log n) durchgef¨ uhrt werden.

ľErnst W. Mayr

(10)

Die Operation Insert(H, k):

1

erzeuge einen neuen Binomial Heap H

⁰

= {B

₀

} mit k als einzigem Schl¨ ussel

2

H := Union(H, H

⁰

)

Falls H n Schl¨ ussel enth¨ alt, betr¨ agt die Laufzeit der

Insert-Operation offensichtlich O(log n).

(11)

Die Operation ExtractMin(H):

1

durchlaufe die Liste der Wurzeln der Binomialb¨ aume in H und finde den/einen Baum mit minimaler Wurzel

2

gib den Schl¨ ussel dieser Wurzel zur¨ uck

3

entferne diesen Binomialbaum aus H

4

erzeuge einen neuen Binomial Heap H

⁰

aus den Unterb¨ aumen der Wurzel dieses Baums

5

H := Union(H, H

⁰

)

Falls H n Schl¨ ussel enth¨ alt, betr¨ agt die Laufzeit der ExtractMin-Operation offensichtlich O(log n).

ľErnst W. Mayr

(12)

Die Operation DecreaseKey(H, v, k) (diese Operation ersetzt, falls k < key(v), key(v) durch k):

1

sei B

_i

der Binomialbaum in H, der den Knoten v enth¨ alt

2

falls k < key(v), ersetze key(v) durch k

3

stelle, falls n¨ otig, die Heap-Bedingung auf dem Pfad von v zur Wurzel von B

_i

wieder her, indem, solange n¨ otig, der Schl¨ ussel eines Knotens mit dem seines Vaters ausgetauscht wird Falls H n Schl¨ ussel enth¨ alt, betr¨ agt die Laufzeit der

DecreaseKey-Operation offensichtlich O(log n).

(13)

5. Union/Find-Datenstrukturen

5.1 Motivation

'

&

$

% '

&

$

%

'

&

$

%

r r r

r r r r

- 3 6

Union(T

1

, T

2

): Vereinige T

1

und T

₂

T

1

∩ T

2

= ∅ Find(x): Finde den

Repr¨ asentanten der (gr¨ oßten) Teilmenge, in der sich x gerade befindet.

ADS-EI 5.1 Motivation 379/451

ľErnst W. Mayr

(14)

5.2 Union/Find-Datenstruktur 5.2.1 Intrees

1

Initialisierung: x → •x: Mache x zur Wurzel eines neuen (einelementigen) Baumes.

2

Union(T

1

, T

2

):

r

@ T

₁

@

r

@

T

₂

@ ⇒ ^r

@ T

₂

@

r

@ T

1

@ 1

3

Find : Suche Wurzel des Baumes, in dem sich x befindet.

Bemerkung: Naive Implementation: worst-case-Tiefe = n Zeit f¨ ur Find = Ω(n)

Zeit f¨ ur Union = O(1)

(15)

5.2.2 Gewichtete Union (erste Verbesserung)

Mache die Wurzel des kleineren Baumes zu einem Kind der Wurzel des gr¨ oßeren Baumes. Die Tiefe des Baumes ist dann O(log n).

Zeit f¨ ur Find = O(log n) Zeit f¨ ur Union = O(1)

Es gilt auch: Tiefe des Baumes im worst-case:

Ω(log n)

ADS-EI 5.2 Union/Find-Datenstruktur 381/451

ľErnst W. Mayr

(16)

5.2.3 Pfad-Kompression mit gewichteter Union (zweite Verbesserung)

Wir betrachten eine Folge von k Find- und Union-Operationen auf

einer Menge mit n Elementen, darunter n − 1 Union.

(17)

Implementierung: Gewichtete Union f¨ ur Pfad-Kompression:

@

@ I

@

@ I

@

@ I

s s

e c

b d a

y x

z

@

@ I

@

@ s I

s s

s C

B D A

E

Union

⇒

@

@ I

@

@ I

@

@ I

s s

e c

b d a

y z

x

@

@ I

@

@ I X X X X X X X X y

s s

s C

B D A

E

ľErnst W. Mayr

(18)

Implementierung: Find f¨ ur Pfad-Kompression:

@

@ @

@

@ @

Q Q Q Q

@

@ @ I

@

@ @ I

@

@ @ I

3 A A A K

A A A K

Q Q Q Q k

t

t t

t

t t

t

t t

t t t

e

c d

a b

y z

x

a y

d

b z

e c x

Find(c)

(Pfadkompression) ⇒

(19)

Bemerkung:

Nach Definition ist

log

^∗

n = min{i ≥ 0; log log log . . . log n

| {z }

i log’s

≤ 1}

Beispiel 181

log

^∗

0 = log

^∗

1 = 0 log

^∗

2 = 1

log

^∗

3 = 2

log

^∗

16 = 3 da 16 = 2

²²

log

^∗

2

⁶⁵⁵³⁶

= 5 da 2

⁶⁵⁵³⁶

= 2

²²²

2

ľErnst W. Mayr

(20)

Satz 182

Bei der obigen Implementierung ergibt sich eine amortisierte Komplexit¨ at von O(log

^∗

n) pro Operation.

Beweis:

(der Vollst¨ andigkeit halber, geh¨ ort nicht zum Vorlesungsstoff!) Sei T

⁰

der (endg¨ ultige) In-Baum, der durch die Folge der Union’s, ohne die Find ’s, entstehen w¨ urde (also keine Pfad-Kompression).

Ordne jedem Element x drei Werte zu:

rank(x):= H¨ ohe des Unterbaums in T

⁰

mit Wurzel x class(x):=

i ≥ 1 falls a

i−1

< rank(x) ≤ a

i

ist (i ≥ 1) 0 falls rank(x) = 0

Dabei gilt: a

₀

= 0, a

_i

= 2

²

..2 i 2⁰en

f¨ ur i ≥ 1.

Setze zus¨ atzlich a

−1

:= −1.

(21)

* *

H H H Y

t

t t t t t t

t t

0 1

2 3

4 5

6 0

0 X X X y

X X X y

XX X z class 1

class 2

class 3

class 0

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p pp pp

p pp p pp pp pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp

ľErnst W. Mayr

(22)

Beweis (Forts.):

dist(x) ist die Distanz von x zu einem Vorfahr y im

momentanen Union/Find-Baum (mit Pfad-Kompression), so dass class(y) > class(x) bzw. y die Wurzel des Baumes ist.

Definiere die Potenzialfunktion Potenzial := c X

x

dist(x), c eine geeignete Konstante > 0

(23)

Beweis (Forts.):

Beobachtungen:

i) Sei T ein Baum in der aktuellen Union/Find-Struktur (mit Pfad-Kompression), seien x, y Knoten in T, y Vater von x.

Dann ist class(x) ≤ class(y).

ii) Aufeinander folgende Find(x) durchlaufen (bis auf eine) verschiedene Kanten. Diese Kanten sind (im wesentlichen) eine Teilfolge der Kanten in T

⁰

auf dem Pfad von x zur Wurzel.

ľErnst W. Mayr

(24)

Beweis (Forts.):

Amortisierte Kosten Find(x):

Sei x

₀

→ x

₁

→ x

₂

. . . x

_k

= r der Pfad von x

₀

zur Wurzel. Es gibt h¨ ochstens log

^∗

n-Kanten (x

i−1

, x

i

) mit class(x

i−1

) < class(x

i

). Ist class(x

i−1

) = class(x

i

) und i < k (also x

i

6= r), dann ist

dist(x

i−1

) vor der Find(x)-Operation ≥ 2, nachher gleich 1.

Damit k¨ onnen die Kosten f¨ ur alle Kanten (x

i−1

, x

_i

) mit class(x

i−1

)

= class(x

i

) aus der Potenzialverringerung bezahlt werden. Es ergeben sich damit amortisierte Kosten

O(log

^∗

n)

(25)

Beweis (Forts.):

Amortisierte Gesamtkosten aller (n − 1)-Union’s:

ppppp ppppp ppppp pppppp

pppppp ppp s s r

x _ppppp ^ppppp ppppp pppppp

pppppp ppp s r

⁰

ppppp ppppp ppppp pppppp

pppppp ppp s s r

x pppppp

pppppp ppp s r

⁰

⇒ T

₁

< T

₂

T

₁

T

₂

c ^g

c ^g c ^g

c ^g c ^g c ^g

Die gesamte Potenzialerh¨ ohung durch alle Union’s ist nach oben durch das Potenzial von T

⁰

beschr¨ ankt (Beobachtung ii).

ľErnst W. Mayr

(26)

Beweis (Forts.):

Potenzial(T

⁰

) ≤ c ·

log^∗n

X

i=0

ai

X

rank(x)=j=ai−1+1

dist(x)

≤ c ·

log^∗n

X

i=0

ai

X

rank(x)=j=ai−1+1

n 2

^j

a

i

≤ c · n

log^∗n

X

i=0

a

i

1

2

^aⁱ⁻¹

= c · n

log^∗n

X

i=0

1 = O(n log

^∗

n) .

Die zweite Ungleichung ergibt sich, da alle Unterb¨ aume, deren

Wurzel x rank(x) = j hat, disjunkt sind und jeweils ≥ 2

^j

Knoten

enthalten.

(27)

6. Traversierung von Graphen

Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Anhand eines Beipiels betrachten wir die zwei Algorithmen DFS (Tiefensuche) und BFS (Breitensuche).

ADS-EI 6 Traversierung von Graphen 393/451

ľErnst W. Mayr

(28)

6.1 DFS-Algorithmus

while ∃ unvisited v do

r := pick (random) unvisited node push r onto stack

while stack 6= ∅ do v := pop top element if v unvisited then

mark v visited

push all neighbours of v onto stack perform operations DFS Ops(v) fi

od

(29)

Beispiel 183

A A

A

A @

@

A

A A

A @

@

A A

U - 6

@

@ I

? * 1 g

2 g

3 g

4 g 5 ^g 6 g

7 g

8 g

9 g 1 t

2 t

3 t

4 t 5 ^t

t 6 t 7 8 t

9 t B

B B

B Q

Q Q

Q B

B B

B Q

Q Q

Q

H H H H

ADS-EI 6.1 DFS-Algorithmus 395/451

ľErnst W. Mayr

(30)

Beobachtung: Die markierten Kanten bilden einen Spannbaum:

A A

A

A @

@

A A

A

A @

@

A A

U - 6

@

@ I

? * 1 g

2 g

3 g

4 g 5 ^g 6 g

7 g

8 g

9 g 1 t

2 t

3 t

4 t 5 ^t

t 6 t 7 8 t

9 t B

B B

B Q

Q Q

Q B

B B

B Q

Q Q

Q H H H H

R¨ uckw¨ artskante

9 ^g 8 ^g 6 ^g 7 ^g

5 ^g 4 ^g 3 ^g 2 ^g

1 ^g

@

s s

s

(31)

Folge der Stackzust¨ ande

1 2

8 7

3 9 8 1 8 7

4 9 2 9 8 1 8 7

5 3 9 2 9 8 1 8 7

9 8 6 4 3 9 2 9 8 1 8 7

2 3 5 8 6 4 3 9 2 9 8 pp ppppp 1

7 6 5 2 1 6 4 3 9 2 9 pp ppppp 8

6 8 1 6 5 2 1 6 4 3 9 pp ppppp 2

7 8 5 8 1 6 5 2 1 6 4 pp ppppp 3 h h

h

h h h h h h h h h h h h 6 6

h

? ? ? ? ? ? ? ? ? visited visited

Stack:

: oberstes Stackelement : schon besuchte Knoten

: Nachbarn Zustand:

a) b) c) d) e) f)

g)

h) i) j)

ADS-EI 6.1 DFS-Algorithmus 397/451

ľErnst W. Mayr

(32)

Wir betrachten den Stackzustand:

Im Zustand g) sind die Elemente 2, 3 und 5 als visited markiert (siehe Zust¨ ande b), c) und e)). Deswegen werden sie aus dem Stack entfernt, und das Element 8 wird zum obersten