Lineare Algebra I 1. Tutorium Relationen

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Lineare Algebra I 1. Tutorium

Relationen

Fachbereich Mathematik WS 2010/2011

Prof. Dr. Kollross 25. Oktober 2010

Dr. Le Roux

Aufgaben

EineRelationist allgemein eine Beziehung, die zwischen zwei Objekten bestehen kann. Im mathematischen Sinne wird eine Relation definiert als eine TeilmengeRdes kartesischen ProduktsA×Bzweier MengenAundB. Wir sagen das Paar (a,b)∈A×B erfülltdie RelationRgenau dann, wenn(a,b)∈R. Oft schreibt man kurzaRbfür die Aussage(a,b)∈R.

Manchmal wird die TeilmengeR⊆A×Bauch alsGraphder Relation bezeichnet.

Aufgabe G1 (Beispiele)

Wir beginnen mit ein paar einfachen Beispielen von Relationen. Dazu wählen wir die Menge M = {1, 2, 3, 4, 5} und betrachten verschiedene Relationen aufM×M.

(a) “xist kleiner alsy”

(b) “xist kleiner oder gleich alsy”

(c) “Die Differenzx−yist durch2teilbar.”

Stellen Sie die MengeM×Mvon geordneten Paaren der Zahlen1, 2, 3, 4, 5in Form einer Tabelle dar und markieren Sie jeweils für die obigen RelationenR, welche Paare(x,y)die Relation erfüllen.

Lösung:

1 2 3 4 5

1 R R R R

2 R R R

3 R R

4 R

5

1 2 3 4 5

1 R R R R R

2 R R R R

3 R R R

4 R R

5 R

1 2 3 4 5

1 R R R

2 R R

3 R R R

4 R R

5 R R R

Aufgabe G2 (Eigenschaften von Relationen)

SeiMeine Menge. Eine RelationRüberM×Mkann folgende Eigenschaften haben:

(a) reflexiv:∀x∈M:xRx

(b) symmetrisch:∀x∈M:∀y∈M:xR y⇒ yRx

(c) transitiv:∀x∈M:∀y∈M:∀z∈M:(xR y∧yRz)⇒xRz (d) antisymmetrisch:∀x∈M:∀y∈M:(xR y∧yRx)⇒x=y (e) total:∀x∈M:∀y∈M:xR y∨yRx

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, welche der obigen Eigenschaften zutreffen.

(a) SeiMdie Menge der Einwohner Darmstadts undRdie Relation “xwohnt im selben Stadtteil wiey”.

(b) SeiM=Ndie Menge der natürlichen Zahlen und seiRdie Relation “xist kleiner oder gleich y”.

(c) SeiM=N\ {0}die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null und seiRdie Relation “xist Teiler von y”.

(d) Sei M = P({1, 2}) = {;,{1},{2},{1, 2}} die Menge aller Teilmengen von {1, 2} und sei R die Relation “x ist Teilmenge von y”.

Eine Relation aufM×MheißtÄquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist; sie heißtHalbordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Ein Halbordnung, die total ist, heißtTotalordnung. Entscheiden Sie, welche der drei genannten Begriffe auf die obigen Beispiele von Relationen zutreffen.

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Lösung:

(a) • Rist reflexiv, weilxim selben Stadtteil wie xwohnt.

• Wennxim selben Stadtteil wie ywohnt, so wohntyim selben Stadtteil wie x. Deshalb istRsymmetrisch.

• Seien x, yundzdrei Bewohner Darmstadt. Angenommen, dass xim selben Stadtteil wie ywohnt und yim selben Stadtteil wiezwohnt. Daraus folgt, daßxim selben Stadtteil wiezwohnt. Das heißt,Rist transitiv.

• Angenommen, dass es einen Stadtteil gibt, wo mindestens zwei verschiedene Personen wohnen. Seien xund ysolche Personen. Wegen der Annahme wohntxim selben Stadtteil wie y. Wegen der Annahme wohnt auch yim selben Stadtteil wiex. Nach Annahme sindxundyungleich. Daraus folgt, dassRnicht antisymmetrisch ist.

• Angenommen, dass es zwei Stadtteile gibt, wo mindestens eine Person wohnt. Seien xund yzwei Bewohner verschiedener Stadtteile.xwohnt nicht im selben Stadtteil wie yund ywohnt nicht im selben Stadtteil wiex.

Daraus folgt, dassRnicht total ist.

(b) Die Relation≤ist reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und total. Sie ist aber nicht symmetrisch.

(c) Die Relation ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. Sie ist aber nicht symmetrisch und nicht total. Z.B. is2kein Teiler von3und3ist auch kein Teiler von2.

(d) Die Relation ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. Sie ist aber nicht symmetrisch und nicht total. Z.B. ist{1} keine ist Teilmenge von{2}und{2}ist auch keine ist Teilmenge von{1}.

Somit ist (a) eine Äquivalenzrelation, (b), (c) und (d) sind Halbordnungen, (b) sogar eine Totalordnung.

Aufgabe G3 (Äquivalenzrelationen und Partitionen)

Eine Partition ist eine Zerlegung einer Menge in nichtleere disjunkte Teilmengen. (Zwei Mengen heißendisjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist.)

(a) Ermitteln Sie alle Partitionen der Menge{1, 2, 3, 4}. (b) Sei nun

M=[

j∈J

M_j

eine Partition vonM, d.h. es giltM_j₁∩M_j₂=;, falls j₁6=j₂. Begründen Sie, warum durch (x,y)∈A:⇔ ∃j∈J:(x∈M_j)∧(y∈M_j)

eine Äquivalenzrelation definiert ist.

(c) Sei nunM eine Menge und seiA⊆M×M eine Äquivalenzrelation. Wir definieren zu jedem Elementx∈M eine Teilmenge vonMwie folgt. Seix∈M. Dann sei

[x]:={y∈M|xAy}

definiert. Wir nennen [x] die Äquivalenzklasse von x. Aus welcher der drei definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation folgt, dass stets

x∈[x]

gilt?

(d) Beweisen Sie nun: Sind zwei Elementexundyaus der MengeMgegeben, dann stimmen entweder die zugehörigen Äquivalenzklassen [x] und[y]überein oder sind disjunkt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Nehmen Sie an, dass z∈[x]∩[y]gilt und zeigen Sie, dass daraus für jedes Elementa∈[x]aucha∈[y]folgt.

Bemerkung:Die letzten beiden Teilaufgaben zeigen, dass für jede Äquivalenzrelation aufM die Äquivalenzklassen eine Partition vonM liefern.

Lösung:

(a) • {{1, 2, 3, 4}}ist die triviale Partition mit einem Element.

• {{1},{2},{3},{4}}ist die triviale Partition mit vier Elementen.

• {{1, 2, 3},{4}}und{{4, 1, 2},{3}}und{{3, 4, 1},{2}}und{{2, 3, 4},{1}}sind Partitionen mit zwei Elementen.

• {{1, 2},{3, 4}}und{{1, 3},{2, 4}}und{{1, 4},{2, 3}}sind die anderen Partitionen mit zwei Elementen.

• {{1, 2},{3},{4}} und {{1, 3},{2},{4}} und{{1, 4},{2},{3}} und {{2, 3},{1},{4}} und {{2, 4},{1},{3}} und {{3, 4},{1},{2}}sind die Partitionen mit drei Elementen.

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(b) • Reflexivität: Sei x∈M. WegenM=S

j∈JM_jund der Definition der Vereinigung gibt es j∈J, so dassx∈M_j. Also∃j∈J :(x ∈M_j)∧(x ∈M_j)(wegen(p∧p) ⇔ p). Daraus folgt(x,x)∈A. Dies gilt für alle x in M, deshalb ist die RelationAreflexiv.

• Symmetrie: SeienxundyElemente vonM. Angenommen, dass(x,y)∈A, so folgt∃j∈J:(x∈M_j)∧(y∈M_j) wegen der Definition vonA. Damit gilt auch ∃j ∈J :(y ∈M_j)∧(x ∈M_j)wegen der Kommutativität des Junktors∧, d.h.(y,x)∈A. Deshalb istAsymmetrisch.

• Transitivität: Seien x, y und z Elemente von M. Angenommen, dass (x,y)∈Aund (y,z)∈A. Wegen der Definition von Agibt es i und j von J, so dass (x ∈ M_i)∧(y ∈ M_i) und (y ∈ M_j)∧(y ∈ M_j). Es gilt y ∈M_i und y∈M_j, aber eine der Annahmen istM_j₁∩M_j₂ =;, falls j₁6= j₂. Daraus folgt, dass i= j. Also (x∈M_i)∧(z∈M_i), d.h.(x,z)∈A. Deshalb istAtransitiv.

(c) Das folgt aus der Reflexivität.

(d) Seienxundyzwei Elemente vonM. Falls[x]∩[y] =;, ist nichts zu zeigen. Nun angenommen, dass[x]∩[y]6=;. Dann gibt es einzin[x]∩[y]. Also giltz∈[x]undz∈[y]. Wegen der Definition von[·]giltxAzundyAz, aus der Symmetrie folgtzAy und aus der Transitivität folgtxAy. Seia∈[x]. Es gilt xAa(Definition),aAx(Symmetrie), aAy (Transitivität), yAa (Symmetrie) und a ∈[y] (Definition). Ebenso folgt aus a ∈ [y], dass a ∈ [x], d.h.

[x] = [y].

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