Beispiele
1. Folgende Proben Eisenerz sollen auf ihren Eisengehalt untersucht werden:
62,66 62,87 63,22 63,01 62,10 63,43 63,22 63,57 61,75 63,15 63,08 63,15 63,57 63,22 61,68 61,75 62,45 62,10 62,87 62,87 62,80 62,80 63,01 62,10 63,29 62,80 62,80 63,01 62,10 63,29
(a) Man stelle das Ergebnis graphisch dar (Histogramm und Boxplot)
(b) Man gebe den Mittelwert, den Median und das 95% Konfidenzintervall f¨ur den Mittelwert an.
(c) Man gebe die Standardabweichung und den IQR an.
(d) Ist eine Normalverteilungsannahme gerechtfertigt?
2. Eine neue Sorte von Reagenzgl¨asern soll bez¨uglich ihrer Schmelztemperatur mit einer gebr¨auchlichen Sorte, bei der die mittlere Schmelztemperatur 745◦C be- tr¨agt, verglichen werden. Bei der neuen Sorte wurden folgende Temperaturen (in
◦C) ermittelt:
675 720 619 653 740 631 742 828 710 611 790 671 820 730 650 770 794 680 758 871 707 745 788 815 752 651 750 692 810 761 801 683 Es wird angenommen, dass die Meswerte Realisationen von unabh¨angigen, iden- tisch normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ2 sind.
(a) Man ¨uberpr¨ufe graphisch die Annahme der Normalverteilung
(b) Man ¨uberpr¨ufe durch Anwendung eines geeigneten Tests zum Niveau 5%
die Hypothese H0 : µ ≥ 745 gegen H1 : µ < 745 und gebe den p-Wert an.
Welche Schlussfolgerung kann man ziehen?
3. Die folgenden Messwertexiundyiseien Realisationen von unabh¨angigenN(µ1, σ12)- bzw. N(µ2, σ22)-verteilten Zufallsvariablen:
xi : 20,31 21,79 19,95 18,73 23,18 16,84 19,23 21,46 20,61 23,22 17,73 16,09 19,53 22,72 18,37 23,81 20,32 17,75 23,66 20,23
yi : 20,67 22,11 21,18 16,65 23,52 19,06 22,66 17,72 24,20 23,93 21,26 24,61 20,94 18,21 19,89
(a) Kann man von σ12 =σ22 ausgehen?
(b) Mit einem geeigneten Testverfahren ¨uberpr¨ufe man zum Niveauα= 5% die Hypothese µ1 =µ2 gegen µ1 6=µ2.
(c) Man ¨uberpr¨ufe die Ergebnisse auch graphisch.
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4. Zum Vergleich zweier Spannplattenlieferungen A und B wurde an je 15 Plat- ten beider Lieferungen die Biegefestigkeit ermittelt. Dabei ergaben sich folgende Werte:
A: 192 193 198 197 197 196 194 199 195 196 199 196 195 197 194 B : 199 201 196 198 197 198 197 199
195 196 199 195 202 201 197
(a) Man ¨uberpr¨ufe graphisch, ob die Biegefestigkeit als normalverteilt angenom- men werden kann.
(b) Kann auf dem Niveau α = 0.05 die Gleichheit der Biegefestigkeit zwischen den Lieferungen verworfen werden?
5. Aus der Tagesproduktion zweier Maschinen, die sehr kleine Teile f¨ur Uhrwerke produzieren, wurden zwei Stichproben f¨ur den Durchmesser in µm entnommen:
Maschine 1: 59 73 74 61 92 60 84 54 73 47 102 75 33
Maschine 2: 71 63 68 40 34 48 60 75 47 41 44 86 55 68 39
(a) Man ¨uberpr¨ufe, ob der Durchmesser der produzierten Teile f¨ur beide Ma- schinen der gleiche ist.
(b) Man ¨uberpr¨ufe dies auch graphisch.
L¨ osungen
Beispiel 1:
Uber die explorative Datenanalyse bekommt alle geforderten Informationen.¨
Beispiel 2:
Eine Normalverteilung kann angenommen werden.
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H0 wird verworfen, wenn t ≤0 und p2 ≤α ist.
t≤0 ist erf¨ullt. Aber p2 = 0.2762 = 0.1380.05. Damit kannH0 nicht verworfen werden.
Beispiel 3:
Die Annahme der Gleichheit der Varianzen wird verworfen, wenn der p-Wert (die Si- gnifikanz) kleiner als α ist. Hier ist 0.804 > 0.05. Es ist also p > α womit Gleichheit der Varianzen angenommen werden kann.
Im t-Test ist 0.3186≤0.05, alsop6≤α.H0kann nicht verworfen werden. Auch ¨uberdeckt das 95%-Konfidenzintervall den Wert 0.
Auch aus dem Boxplot kann man erkennen, dass sowohl die Varianzen als auch die Mediane ungef¨ahr gleich sind.
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Beispiel 4:
Uber die explorative Datenanalyse kann man QQ-Plots f¨¨ ur beide Samples erstellen lassen:
Die Annahme der Normalverteilung scheint gerechtfertigt zu sein.
Dem F-Test nach zu schließen kann wegen 0.811 > 0.05 von geicher Varianz, also σ21 =σ22 ausgegangen werden.
Die Hypothese der gleichen Mittelwerte wird wegen 0.01<0.05 verworfen.
Beispiel 5:
Wegen 0.683>0.05 k¨onnen wir laut F-Test von gleicher Varianz ausgehen.
Der T-Test liefert eine Signifikanz von 0.068. Da 0.068 6≤ 0.05 wird H0 zum Ni- veau α = 0.05 nicht verworfen. Wir nehmen also die Hypothese, dass die Durch- messer der produzierten Teile f¨ur beide Maschinen gleich sind, an. Auch das 95%- Konfidenzintervall ¨uberdeckt (wenn auch nur sehr schwach) den Nullpunkt.
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Dem Boxplot nach kann auch eher von gleicher Varianz ausgegangen werden. Die Hy- pothese, dass die Durchmesser gleich sind, sollte man mit dem Boxplot als alleiniges Kriterium nicht annehmen.
