§10.2 Begleitmatrix, Satz von Cayley-Hamilton und Minimalpolynom

(1)

§10.2 Begleitmatrix, Satz von Cayley-Hamilton und Minimalpolynom

[Arthur Cayley *1821 †1895;

William Rowan Hamilton *1805,†1865]

(2)

Proposition und Sprechweise (Polynomdivision mit Rest) Seienf,g ∈K[X]mitg 6=0. Dann gibt es genau ein Paar (q,r)∈K[X]² mitdegr <degg und f =gq+r.

Man nenntq den Quotienten undr den Restbei Division vonf durchg.

Beweis.

Um die Eindeutigkeit zu beweisen, seien (q_i,r_i)∈K[X]² mit degri <degg und f =gqi+ri füri ∈ {1,2}. Dann gilt

r1−r2=g(q2−q1)∈(g)und wegen deg(r₁−r2)<degg daher r₁−r₂=0. Also r₁=r₂. Folglich g(q₁−q₂) =0 und schließlich q1=q2.

Die Existenz beweisen wir durch Induktion nach dem Grad von f: Induktionsanfang: Ist degf <degg, so setzen wir(q,r) := (0,f). Induktionsschritt: Sei degf ≥degg und die Behauptung schon bewiesen, wenn f durch ein Polynom von kleinerem Grad ersetzt wird. Wählea∈K^× undk ∈N0 derart, dass f undaX^kg denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben. Dann hat f0 :=f −aX^kg einen kleineren Grad alsf und es gibt nach Induktionsvoraussetzung

(q₀,r)∈K[X]² mit degr <degg und f₀ =gq₀+r. Es folgt f =f0+aX^kg =g(q0+aX^k) +r=gq+r fürq :=q0+aX^k.

(3)

Proposition und Sprechweise (Polynomdivision mit Rest) Seienf,g ∈K[X]mitg 6=0. Dann gibt es genau ein Paar

(q,r)∈K[X]² mitdegr <degg und f =gq+r. Man nenntq den Quotienten undr den Restbei Division vonf durchg.

Beweis.

(4)

Beweis.

Um die Eindeutigkeit zu beweisen, seien (q_i,r_i)∈K[X]² mit degri <degg und f =gqi+ri füri ∈ {1,2}.

Dann gilt

(5)

Beweis.

r1−r2=g(q2−q1)∈(g)und wegen deg(r₁−r2)<degg daher r₁−r₂=0.

Alsor₁=r₂. Folglich g(q₁−q₂) =0 und schließlich q1=q2.

(6)

Beweis.

r1−r2=g(q2−q1)∈(g)und wegen deg(r₁−r2)<degg daher r₁−r₂=0. Also r₁=r₂.

Folglich g(q₁−q₂) =0 und schließlich q1=q2.

(7)

Beweis.

(8)

Beweis.

Die Existenz beweisen wir durch Induktion nach dem Grad von f: Induktionsanfang: Ist degf <degg, so setzen wir(q,r) := (0,f).

Induktionsschritt: Sei degf ≥degg und die Behauptung schon bewiesen, wenn f durch ein Polynom von kleinerem Grad ersetzt wird. Wählea∈K^× undk ∈N0 derart, dass f undaX^kg denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben. Dann hat f0 :=f −aX^kg einen kleineren Grad alsf und es gibt nach Induktionsvoraussetzung

(9)

Beweis.

Induktionsschritt: Sei degf ≥degg und die Behauptung schon bewiesen, wenn f durch ein Polynom von kleinerem Grad ersetzt wird.

Wählea∈K^× undk ∈N0 derart, dass f undaX^kg denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben. Dann hat f0 :=f −aX^kg einen kleineren Grad alsf und es gibt nach Induktionsvoraussetzung

(10)

Beweis.

Wählea∈K^× undk ∈N0 derart, dass f undaX^kg denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben.

Dann hatf0 :=f −aX^kg einen kleineren Grad alsf und es gibt nach Induktionsvoraussetzung

(11)

Beweis.

(q₀,r)∈K[X]² mit degr <degg und f₀ =gq₀+r.

Es folgt f =f0+aX^kg =g(q0+aX^k) +r=gq+r fürq :=q0+aX^k.

(12)

Beweis.

(13)

Satz

Im Polynomring K[X]ist jedes Ideal ein Hauptideal.

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die InklusionI ⊇(g) ist klar. Um I ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(14)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I.

Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die InklusionI ⊇(g) ist klar. Um I ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(15)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g).

Die Inklusion I ⊇(g) ist klar. Um I ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(16)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die Inklusion I ⊇(g) ist klar.

Um I ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(17)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die Inklusion I ⊇(g) ist klar. UmI ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g).

Wähleq,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(18)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die Inklusion I ⊇(g) ist klar. UmI ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r.

Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(19)

Satz

Beweis.

Sei I ein Ideal vonK[X]. Ist I ={0}, so istI = (0). Also bleibt nur der Fall zu betrachten, dass es ein g ∈K[X]\ {0} gibt mit g ∈I. Wir wählen ein solchesg von kleinstmöglichem Grad und behaupten I = (g). Die Inklusion I ⊇(g) ist klar. UmI ⊆(g) zu beweisen, sei f ∈I. Zu zeigen istf ∈(g). Wähle q,r ∈K[X]mit degr <degg und f =gq+r. Dann giltr =f −gq∈I und nach Wahl vong mussr =0 gelten. Dann aberf =gq∈(g).

(20)

Definition

Ein Polynom p∈K[X]heißt normiert, wenn p 6=0 und der Leitkoeffizient von p gleich 1 ist.

Korollar

Sei I ein Ideal vonK[X] mitI 6={0}. Dann gibt es genau ein normiertes p ∈K[X]mitI = (p).

Beweis.

Die Existenz ist klar. Zur Eindeutigkeit: Seien p,q ∈K[X]normiert mit (p) =I = (q). Dann degp≥deg(q) wegenp∈(q) und

degq ≥deg(p) wegenq ∈(p), also degp =degq. Weiter gilt p−q ∈(p) und daherp−q =0 oder deg(p−q)≥degp. Letzteres ist unmöglich, also gilt p =q.

(21)

Definition

Korollar

Beweis.

(22)

Definition

Korollar

Beweis.

Die Existenz ist klar.

Zur Eindeutigkeit: Seienp,q ∈K[X]normiert mit (p) =I = (q). Dann degp≥deg(q) wegenp∈(q) und

(23)

Definition

Korollar

Beweis.

Die Existenz ist klar. Zur Eindeutigkeit: Seien p,q ∈K[X]normiert mit (p) =I = (q).

Dann degp≥deg(q) wegenp∈(q) und degq ≥deg(p) wegenq ∈(p), also degp =degq. Weiter gilt p−q ∈(p) und daherp−q =0 oder deg(p−q)≥degp. Letzteres ist unmöglich, also gilt p =q.

(24)

Definition

Korollar

Beweis.

(25)

Definition

Korollar

Beweis.

degq ≥deg(p) wegenq ∈(p),

also degp =degq. Weiter gilt p−q ∈(p) und daherp−q =0 oder deg(p−q)≥degp. Letzteres ist unmöglich, also gilt p =q.

(26)

Definition

Korollar

Beweis.

degq ≥deg(p) wegenq ∈(p), also degp =degq.

Weiter gilt p−q ∈(p) und daherp−q =0 oder deg(p−q)≥degp. Letzteres ist unmöglich, also gilt p =q.

(27)

Definition

Korollar

Beweis.

degq ≥deg(p) wegenq ∈(p), also degp =degq. Weiter gilt p−q ∈(p) und daherp−q =0 oder deg(p−q)≥degp.

Letzteres ist unmöglich, also gilt p =q.

(28)

Definition

Korollar

Beweis.

(29)

Proposition

Sei p∈K[X]ein Polynom vom Grad n∈N0. Dann ist das Ideal(p) des kommutativen Ringes K[X]ein UR des VRsK[X]und

(1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹) eine Basis des QuotVRs K[X]/(p).

Beweis. Zu zeigen:

(a) 1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹ sind linear unabhängig in K[X]/(p). (b) 1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹ erzeugen K[X]/(p).

Zu (a). Seien alsoa₀, . . . ,an−1 ∈K mitPn−1

k=0a_kX^k =0. Zu zeigen ist a0=. . .=an−1=0. Schreibt manh:=Pn−1

k=0akX^k ∈K[X], so ist h =0 zu zeigen. Nun gilt h=Pn−1

k=0a_kX^k =0 und daher h∈(p). Wegen degh<n=degp folgt h=0.

Zu (b).Sei f ∈K[X]. Zu zeigen ist, dass es ein r ∈K[X]mit degr <n und f =r in K[X]/(p) gibt. Man findet (q,r)∈K[X]² mit degr <degg und f =pq+r. Dann f −r∈(p) und daherf =r in K[X]/(p) wie gewünscht.

(30)

Proposition

Beweis.

Zu zeigen:

(a) 1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹ sind linear unabhängig in K[X]/(p).

(b) 1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹ erzeugen K[X]/(p).

k=0a_kX^k =0. Zu zeigen ist a0=. . .=an−1=0. Schreibt manh:=Pn−1

k=0a_kX^k =0 und daher h∈(p). Wegen degh<n=degp folgt h=0.

(31)

Proposition

Beweis.

Zu zeigen:

k=0a_kX^k =0. Zu zeigen ist a0 =. . .=an−1=0. Schreibt manh:=Pn−1

k=0a_kX^k =0 und daher h∈(p).

Wegen degh<n=degp folgt h=0.

(32)

Proposition

Beweis.

Zu zeigen:

k=0a_kX^k =0. Zu zeigen ist a0 =. . .=an−1=0. Schreibt manh:=Pn−1

k=0a_kX^k =0 und daher h∈(p).

Wegen degh<n=degp folgt h=0.

(33)

Proposition und Definition

Sei p=Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₁X +a₀∈K[X]mit a0, . . . ,an−1 ∈K ein normiertes Polynom. Dann ist

f:K[X]/(p)→K[X]/(p), q7→Xq (q ∈K[X]) wohldefiniert und linear.

Die Darstellungsmatrix C_p :=M(f,v)von f bezüglich der Basisv := (1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹) vonK[X]/(p) nennen wir die Begleitmatrix vonp. Es gilt

Cp=

0 0 0 −a₀

1 0 −a₁

0 1 −a₂

0 0

0

0 0 0 1 −a_n−1













.

(34)

f:K[X]/(p)→K[X]/(p), q7→Xq (q ∈K[X])

wohldefiniert und linear. Die Darstellungsmatrix C_p :=M(f,v)von f bezüglich der Basisv := (1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹) vonK[X]/(p) nennen wir die Begleitmatrix vonp.

Es gilt

Cp=

0 0 0 −a₀

1 0 −a₁

0 1 −a₂

0 0

0

0 0 0 1 −a_n−1













.

(35)

f:K[X]/(p)→K[X]/(p), q7→Xq (q ∈K[X])

wohldefiniert und linear. Die Darstellungsmatrix C_p :=M(f,v)von f bezüglich der Basisv := (1,X, . . . ,Xⁿ⁻¹) vonK[X]/(p) nennen wir die Begleitmatrix vonp. Es gilt

Cp=

0 0 0 −a₀

1 0 −a₁

0 1 −a₂

0 0

0

0 0 0 1 −a_n−1













.

(36)

Satz

Sei p∈K[X]ein normiertes Polynom vom Grad n. Dann istp bis auf das Vorzeichen das charakteristische Polynom seiner eigenen

Begleitmatrix, das heißt

p = (−1)ⁿχCp.

(37)

Definition

(a) Istf eine Selbstabbildung der Menge M, so definiert man f^k :=f ◦ · · · ◦f

| {z }

k-mal

∈M^M

für jedesk ∈N0, wobeif⁰ :=id_M. Insbesondere ist f^k ∈End(V) für jeden VR V und jedesf ∈End(V) erklärt.

(b) Istn ∈N0 und A∈K^n×n, so definiert man A^k :=A· · ·A

| {z }

k-mal

∈K^n×n,

wobeiA⁰ :=I_n. Beispiel

Istϕ∈Rund k ∈N0, so gilt für die DrehungR_ϕ∈End(R²) (Rϕ)^k =R_kϕ.

(38)

Definition

| {z }

k-mal

∈M^M

(b) Istn∈N0 und A∈K^n×n, so definiert man A^k :=A· · ·A

| {z }

k-mal

∈K^n×n,

wobeiA⁰ :=I_n.

Beispiel

Istϕ∈Rund k ∈N0, so gilt für die DrehungR_ϕ∈End(R²) (Rϕ)^k =R_kϕ.

(39)

Definition

| {z }

k-mal

∈M^M

(b) Istn∈N0 und A∈K^n×n, so definiert man A^k :=A· · ·A

| {z }

k-mal

∈K^n×n,

wobeiA⁰ :=I_n. Beispiel

Istϕ∈Rund k ∈N0, so gilt für die DrehungR_ϕ∈End(R²) (R_ϕ)^k =R_kϕ.

(40)

Erinnerung

Sei V ein K-VR. Dann ist End(V) :=Hom(V,V) einK-VR und für allef,g,h ∈End(V)und λ∈K gilt

f ◦(g +h) =f ◦g +f ◦h, (f +g)◦h=f ◦h+g ◦h und

(λf)◦g =λ(f ◦g) =f ◦(λg).

(41)

Definition und Proposition

(a) Sei V ein K-VR undf ∈End(V). Dann ist

K[f] :=

( _n X

k=0

akf^k |n∈N0,a0, . . . ,an∈K )

zusammen mit der punktweisen Addition und der

Hintereinanderschaltung als Multiplikation ein kommutativer Ring.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann ist

K[A] := ( _n

X

k=0

a_kA^k |n ∈N0,a0, . . . ,an∈K )

zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein kommutativer Ring.

(42)

Definition und Proposition

(a) Sei V ein K-VR undf ∈End(V). Dann ist

K[f] :=

( _n X

k=0

akf^k |n∈N0,a0, . . . ,an∈K )

zusammen mit der punktweisen Addition und der

Hintereinanderschaltung als Multiplikation ein kommutativer Ring.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann ist

K[A] :=

( _n X

k=0

a_kA^k |n ∈N0,a0, . . . ,an ∈K )

zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein kommutativer Ring.

(43)

Satz und Definition

(a) Sei V ein K-VR undf ∈End(V). Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismusψ:K[X]→K[f]mit

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

a_kf^k

für alle n∈N0 unda0, . . . ,an∈K. Ist p ∈K[X], so schreibt man auchp(f) stattψ(p) („p ausgewertet inf“). Dassψ ein

Ringhomomorphismus ist, heißt dann (p+q)(f) =p(f) +q(f), 1(f) =id_V und (pq)(f) =p(f)◦q(f) für alle p,q ∈K[X].

Beweis.

(a)Überprüfe zunächst, dass ϕ:K →K[f], a7→aid_V ein Ringhomomorphismus ist. Dann erhält manψ:K[X]→K[f]mit

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

ϕ(a_k)f^k =

n

X

k=0

(a_kid_V)◦f^k

| {z }

=a_k(id_V◦f^k)=a_kf^k

.

(44)

Satz und Definition

(a) Sei V ein K-VR undf ∈End(V). Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismusψ:K[X]→K[f]mit

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

a_kf^k

für alle n∈N0 unda0, . . . ,an∈K. Ist p ∈K[X], so schreibt man auchp(f) stattψ(p) („p ausgewertet inf“). Dassψ ein

Ringhomomorphismus ist, heißt dann (p+q)(f) =p(f) +q(f), 1(f) =id_V und (pq)(f) =p(f)◦q(f) für alle p,q ∈K[X].

Beweis.

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

ϕ(a_k)f^k =

n

X

k=0

(a_kid_V)◦f^k

| {z }

=ak(id_V◦f^k)=akf^k

.

(45)

Satz und Definition

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismusψ:K[X]→K[A]mit

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

a_kA^k

für alle n∈N0 unda0, . . . ,an∈K. Ist p ∈K[X], so schreibt man auchp(A) stattψ(p) („p ausgewertet inA“). Dassψein

Ringhomomorphismus ist, heißt dann (p+q)(A) =p(A) +q(A), 1(A) =In und (pq)(A) = (p(A))(q(A))für alle p,q ∈K[X].

Beweis.

ψ

n

X

k=0

a_kX^k

!

=

n

X

k=0

ϕ(a_k)f^k =

n

X

k=0

(a_kid_V)◦f^k

| {z }

=a_k(id_V◦f^k)=a_kf^k

.

(46)

Satz (Cayley-Hamilton)

(a) Für jeden Endomorphismus f eines endlichdimensionalen VRs gilt χ_f(f) =0.

(b) Für jede quadratische Matrix Aüber einem Körper giltχ_A(A) =0.

Beweis.

(a)Sei V ein endlichdimensionaler VR,f ∈End(V) undv ∈V. Zu zeigen ist (χ_f(f))(v) =0. Wir wählen das kleinste m∈N0 derart, dass v,f(v), . . . ,f^m(v) linear abhängig sind. Dann gibt esa₀, . . . ,am−1 ∈K mitf^m(v) +am−1f^m−1(v) +· · ·+a1f(v) +a0v=0. Da

v,f(v), . . . ,f^m−1(v) linear unabhängig sind, findet man eine Basis v = (v,f(v), . . . ,f^m−1(v),v_m, . . . ,v_n) von V. Setzt man nun p :=X^m+am−1X^m−1+· · ·+a1X +a0, so ist

M(f,v) =

Cp ∗

0 A

für einA∈K(n−m)×(n−m). . .

(47)

Beweis.

(a)Sei V ein endlichdimensionaler VR,f ∈End(V) undv ∈V. Zu zeigen ist (χ_f(f))(v) =0.

Wir wählen das kleinste m∈N0 derart, dass v,f(v), . . . ,f^m(v) linear abhängig sind. Dann gibt esa₀, . . . ,am−1 ∈K mitf^m(v) +am−1f^m−1(v) +· · ·+a1f(v) +a0v=0. Da

M(f,v) =

Cp ∗

0 A

(48)

Beweis.

(a)Sei V ein endlichdimensionaler VR,f ∈End(V) undv ∈V. Zu zeigen ist (χ_f(f))(v) =0. Wir wählen das kleinste m∈N0 derart, dass v,f(v), . . . ,f^m(v) linear abhängig sind. Dann gibt esa₀, . . . ,am−1 ∈K mitf^m(v) +am−1f^m−1(v) +· · ·+a1f(v) +a0v =0.

Da

M(f,v) =

Cp ∗

0 A

(49)

Beweis.

(a)Sei V ein endlichdimensionaler VR,f ∈End(V) undv ∈V. Zu zeigen ist (χ_f(f))(v) =0. Wir wählen das kleinste m∈N0 derart, dass v,f(v), . . . ,f^m(v) linear abhängig sind. Dann gibt esa₀, . . . ,am−1 ∈K mitf^m(v) +am−1f^m−1(v) +· · ·+a1f(v) +a0v =0. Da

v,f(v), . . . ,f^m−1(v) linear unabhängig sind, findet man eine Basis v = (v,f(v), . . . ,f^m−1(v),v_m, . . . ,v_n) von V.

Setzt man nun p :=X^m+am−1X^m−1+· · ·+a1X +a0, so ist

M(f,v) =

Cp ∗

0 A

(50)

Beweis.

(a)Sei V ein endlichdimensionaler VR,f ∈End(V) undv ∈V. Zu zeigen ist (χ_f(f))(v) =0. Wir wählen das kleinste m∈N0 derart, dass v,f(v), . . . ,f^m(v) linear abhängig sind. Dann gibt esa₀, . . . ,am−1 ∈K mitf^m(v) +am−1f^m−1(v) +· · ·+a1f(v) +a0v =0. Da

M(f,v) =

Cp ∗

0 A

(51)

Bemerkung

(a) Im Beweis von Cayley-Hamilton haben wir Teil (b) sofort aus Teil (a) gewonnen. Geht man umgekehrt von Teil (b) aus, so gewinnt man daraus sofort Teil (a).

(b) Was ist mit folgendem „Beweis“?Istn ∈N0 und A∈K^n×n, so setzen wir in die Gleichung χ_A =det(A−XIn) für X die Matrix A ein und erhaltenχ_A(A) =det(A−AI_n) =det(A−A) =det(0) =0

(52)

Bemerkung

(a) Im Beweis von Cayley-Hamilton haben wir Teil (b) sofort aus Teil (a) gewonnen. Geht man umgekehrt von Teil (b) aus, so gewinnt man daraus sofort Teil (a).

(b) Was ist mit folgendem „Beweis“?Istn ∈N0 und A∈K^n×n, so setzen wir in die Gleichungχ_A=det(A−XIn) für X die Matrix A ein und erhaltenχ_A(A) =det(A−AI_n) =det(A−A) =det(0) =0

(53)

Definition

(a) Sei V ein K-Vektorraum undf ∈End(V). Dann heißt der Kern I_f :=kerψdes Ringhomomorphismus ψ:K[X]→K[f], p 7→p(f) das Ideal der algebraischen Identitätenvonf.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann heißt der KernI_A:=kerψ des Ringhomomorphismusψ:K[X]→K[A], p 7→p(A) das Ideal der algebraischen Identitäten vonA.

Bemerkung

Der Satz von Cayley-Hamilton besagt:

(a) Istf ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums, so gilt χf ∈If und daher insbesondereIf 6={0}.

(b) IstA∈K^n×n, so giltχ_A∈I_A und daher insbesondereI_A6={0}.

(54)

Definition

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann heißt der KernIA:=kerψ des Ringhomomorphismusψ:K[X]→K[A], p 7→p(A) das Ideal der algebraischen Identitäten vonA.

Bemerkung

(55)

Definition

Bemerkung

(56)

Definition

Bemerkung

(b) IstA∈K^n×n, so giltχA∈IA und daher insbesondereIA6={0}.

(57)

Definition

(a) Sei V ein K-Vektorraum undf ∈End(V) mitIf 6={0}. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom µ_f ∈K[X]mit I_f = (µ_f) das Minimalpolynom vonf.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom µA ∈K[X]mitIA = (µA) das Minimalpolynom von A.

Bemerkung

(a) SeiV ein Vektorraum mitn:=dimV <∞ undf ∈End(V). Dann gibt es r ∈K[X]mitχ_f =µ_fr. Insbesondere gilt deg(µ_f)≤n. (b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann gibt esr ∈K[X]mitχ_A=µ_Ar.

Insbesondere gilt deg(µ_A)≤n.

(58)

Definition

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom µA∈K[X]mitIA = (µA) das Minimalpolynom von A.

Bemerkung

(a) SeiV ein Vektorraum mitn:=dimV <∞ undf ∈End(V). Dann gibt es r ∈K[X]mitχ_f =µ_fr. Insbesondere gilt deg(µ_f)≤n. (b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann gibt esr ∈K[X]mitχ_A=µ_Ar.

(59)

Definition

Bemerkung

(a) SeiV ein Vektorraum mitn:=dimV <∞ undf ∈End(V). Dann gibt es r ∈K[X]mitχ_f =µ_fr. Insbesondere gilt deg(µ_f)≤n.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann gibt esr ∈K[X]mitχ_A=µ_Ar. Insbesondere gilt deg(µ_A)≤n.

(60)

Definition

Bemerkung

(a) SeiV ein Vektorraum mitn:=dimV <∞ undf ∈End(V). Dann gibt es r ∈K[X]mitχ_f =µ_fr. Insbesondere gilt deg(µ_f)≤n.

(b) Sei n∈N0 undA∈K^n×n. Dann gibt esr ∈K[X]mitχ_A=µ_Ar.

(61)

Beispiel

In den folgenden Beispielen benutzen wir, dass für einen

Endomorphismus f eines zweidimensionalenK-VRsV offensichtlich gilt:

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V .

(62)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V . (a) Seiϕ∈R. Dann gilt

χ_R_ϕ = X²−2(cosϕ)X +1 und

µ_R_ϕ =







χ_R_ϕ falls ϕ6∈ {nπ |n∈Z}

X −1 falls ϕ=nπ für ein geradesn∈Z X +1 falls ϕ=nπ für ein ungerades n∈Z

.

Nach Cayley-Hamilton gilt

(R_ϕ)²−2(cosϕ)R_ϕ+id_R2 = 0, also

R2ϕ(v)−2(cosϕ)Rϕ(v) +v = 0 für alle v ∈R².

(63)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V . (a) Seiϕ∈R. Dann gilt

χ_R_ϕ = X²−2(cosϕ)X +1 und

µ_R_ϕ =







χ_R_ϕ falls ϕ6∈ {nπ |n∈Z}

X −1 falls ϕ=nπ für ein geradesn∈Z X +1 falls ϕ=nπ für ein ungerades n∈Z

.

Nach Cayley-Hamilton gilt

(R_ϕ)²−2(cosϕ)R_ϕ+id_R² = 0, also

R2ϕ(v)−2(cosϕ)Rϕ(v) +v = 0 für alle v ∈R².

(64)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V .

(b) Es giltµ_S =χ_S = (X −1)(X +1) =X²−1 und Cayley-Hamilton besagtS² =id_R2 („zweimal spiegeln ist keinmal spiegeln“).

(d) Seia∈R. Dann gilt

χ_T_a = (X −1)² =X²−2X +1 und

µ_T_a =

(χ_T_a fallsa6=0 X −1 fallsa=0.

Cayley-Hamilton sagt hierT_a² =2T_a−id_R2 („zweimal scheren ist scheren, verdoppeln und Ausgangsvektor abziehen“).

(65)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V .

(c) Es giltµ_P =χ_P =X(X −1) =X²−X und Cayley-Hamilton besagtP² =P („zweimal projizieren ist einmal projizieren“).

χ_T_a = (X −1)² =X²−2X +1 und

µ_T_a =

(χTa fallsa6=0 X −1 fallsa=0.

Cayley-Hamilton sagt hierT_a² =2T_a−id_R² („zweimal scheren ist scheren, verdoppeln und Ausgangsvektor abziehen“).

(66)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V .

χ_T_a = (X −1)² =X²−2X +1 und

µ_T_a =

(67)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V .

χ_T_a = (X −1)² =X²−2X +1 und

µ_T_a =

(68)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V . (e) IstA∈K^n×n, so istχf_A =χA undµf_A =µA.

(f) Seid ∈N0. Wegenχ_D(d) = (−X)^d+1 besagt Cayley-Hamilton hier, dassD^d+1(p) = (D^(d))^d+1(p) =0 für allep∈K[X]d, das heißt ein Polynom vom Grad ≤d wird nach (d +1)-maligem Ableiten das Nullpolynom.

(g) E_a₁_,...,a_n ist kein Endomorphismus!

(h) Es giltµ_C =χ_C =X²−1 und Cayley-Hamilton besagtC² =id_C („zweimal komplex konjugieren ist keinmal komplex konjugieren“).

(69)

Beispiel

χ_f 6=µ_f ⇐⇒ ∃λ∈K :f =λid_V . (e) IstA∈K^n×n, so istχf_A =χA undµf_A =µA.

(f) Seid ∈N0. Wegenχ_D(d) = (−X)^d+1 besagt Cayley-Hamilton hier, dassD^d+1(p) = (D^(d))^d+1(p) =0 für allep∈K[X]d, das heißt ein Polynom vom Grad ≤d wird nach (d +1)-maligem Ableiten das Nullpolynom.

(g) E_a₁_,...,a_n ist kein Endomorphismus!

(h) Es giltµ_C =χ_C =X²−1 und Cayley-Hamilton besagtC² =id_C („zweimal komplex konjugieren ist keinmal komplex konjugieren“).