Ein Buch von 500 Seiten enthalte 500 Druckfehler, die dem Setzer in v¨ ollig statistischer Weise unterlaufen sind. Berechnen Sie mit der Poisson-Verteilung

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12. April 2013

PD Dr. H. Kohler

Statistische Mechanik — Pr¨ asenz¨ ubung 4

P12. Lektoren II

Ein Buch von 500 Seiten enthalte 500 Druckfehler, die dem Setzer in v¨ ollig statistischer Weise unterlaufen sind. Berechnen Sie mit der Poisson-Verteilung

w

_n

= n ¯

ⁿ

n! e

^−¯ⁿ

die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite a) keinen Fehler und b) mindestens drei Fehler enth¨ alt.

P13. Zweiatomige Molek¨ ule

Ein System von N nicht miteinander wechselwirkenden, zweiatomigen Molek¨ ulen sei bei der Temperatur T im Volumen V eingeschlossen. Die Hamilton-Funktion eines einzelnen Molek¨ uls laute:

H

0

(~ p

1

, ~ p

2

, ~ q

1

, ~ q

2

) = 1

2m p ~

²₁

+ p ~

²₂

+ g

2 |~ q

₁

−~ q

₂

|

²

Berechnen Sie

1. die klassische kanonische Zustandssumme, 2. die Zustandsgleichung f (p, T, V, N ) = 0, 3. die W¨ armekapazit¨ at c

_V

,

4. den mittleren quadratischen Molek¨ uldurchmesser hq

²

i = h|~ q

1

− ~ q

2

|

²

i.

P14. Relativistisches Gas

Gegeben sei ein relativistisches ideales Gas (E = p

c

²

~ p

²

+ m

²

c

⁴

) aus N Teilchen der Masse m = 0 im Volumen V .

1. Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme.

2. Berechnen Sie die innere Energie E = E(T, V, N ).

3. Wie lautet die thermische Zustandsgleichung p = f (T, V, N )?

4. Berechnen Sie die freie Energie F = F (T, V, N ) und ¨ uberpr¨ ufen Sie p = −(

^∂F_∂V

)

_{T ,N}

mit dem in Teil 3 erzielten Resultat.

5. Berechnen Sie die W¨ armekapazit¨ aten c

p

, c

V

.

P15. Teilchengas in quartischem Potential

N klassische Teilchen der Masse m bewegen sich, ohne miteinander zu wechselwirken, mit der potentiellen Energie

U (q) = g

N

X

i=1

q

_ix⁴

+q

⁴_iy

+q

⁴_iz

Berechnen Sie innere Energie E und Entropie als Funktion der Temperatur.