1 1.2.4 Das elektrostatische Potenzial, Spannung
Alessandro Guiseppe Antonio Anastasio Graf von Volta
(1745-1827)
Benötigte Arbeit, um eine Ladung im E-Feld zu bewegen
2
1 P2
P1
Weg Kraft
P
P
s d E q s d F
W
2 1 0 0
P2
P1
2 0
1 1 4 1 4 1
4
2
1 2
1
r r
Q q r Q dr q
r Q s q
d E q W
r
r r
r
Für die Ladung q im Feld einer Punktladung Q
Da es sich um ein "konservatives" Kraftfeld handelt (wie im Fall der Gravitation), ist die Arbeit vom Weg unabhängig und man kann ein skalares Potenzial definieren.
dx x x P
s x d P
E s
d E P
P P
P P
P
z.B.
grad
0 grad
Elektrostatisches Potenzial ( = potenzielle Energie / Ladung) Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten ist
2
1 2
1
2 1
P
P P
P
s d E s d E s d E P
P
U
Elektrische Spannung ( = Arbeit / Ladung)
1 V (Volt)
s A
m 1 kg C 1 J C m
1 N
32
U
2
Beschleunigung geladener Teilchen im elektrostatischen Feld
Wenn ein Teilchen der Ladung q die Potenzialdifferenz U durchläuft , ändert sich seine kinetische Energie um W = q·U
Einheiten der Energie (oder Arbeit):
J 10 6 , 1
C 1 J C 10 1,6 eV 1 oder
(Joule) J
1
19 19 -
W W
Ein Elektronenvolt ist die Energie, die eine Elementar- ladung beim Durchlaufen einer Spannungsdifferenz von 1 V gewinnt.
Beispiele
Kathodenstrahlröhre
~ 10 kV
Röntgenröhre
~ 50 kV
Van-de-Graff-Beschleuniger
~ 10 MV
3
Georg Christoph Lichtenberg (1742-1799)
"Man muss die Experimentalphysik, wie ich, 21mal gelesen haben, um das Vergnügen zu fühlen, an einem frischen Morgen,... ohne Bangigkeit, ob die Versuche auch gelingen werden, ohne Sorge, ob nicht hier und da etwas zerbrochen, gestohlen oder sonst durch
Vorwitzige unbrauchbar gemacht werden würde, ... in den Hörsaal zu gehen; ..."
Experiment
Eine Elektrode ist an eine Spannungsquelle angeschlossen (ca. 2000 V). Wenn man mit dieser Elektrode auf eine nichtleitenden Folie schreibt, so werden die beschriebenen Stellen elektrostatisch aufgeladen, bleiben aber unsichtbar.
Wird die Folie mit Bärlappsporen bestäubt, bleiben die Sporen an den aufgeladenen Stellen haften und die Schrift wird sichtbar. Dies entspricht dem Vorgang in einem
Fotokopierer oder Laserdrucker, bei dem das Tonerpulver an elektrostatisch geladenen Stellen auf einer Walze haftet. Das Tonerbild wird anschließend auf Papier übertragen und dort durch Wärme fixiert (Xerografie, "trocken schreiben").
An der Schrift auf der Folie fällt die "farnähnliche" Struktur
der Linien auf, wie sie typischerweise bei Hochspannungs-
entladungen auf Nichtleitern entsteht. Solche Strukuren
heißen nach ihrem Entdecker (1778) Lichtenberg-Figuren.
4 1.2.5 Eigenschaften des elektrischen Felds (und anderer Vektorfelder)
Felder
Räumliche Verteilung einer physikalischen Größe Skalarfelder (z.B. Höhe, Temperatur) haben einen
- Gradient: Vektor proportional und in Richtung der größten Änderung
Vektorfelder (z.B. Strömungsgeschwindigkeit, elektrisches und magnetisches Feld) haben eine
- Divergenz: Skalar, der die Stärke eine Quelle oder Senke angibt
(gemittelte Normalkomponente durch eine geschlossene Fläche · Oberfläche)
- Rotation: Vektor proportional und senkrecht zur Zirkulation
(gemittelte Tangentialkomponente entlang eines geschlossenen Wegs · Umfang) Beispiel (Maxwellsche Gleichungen)
dt j E d B c
dt B E d
B E
2 0 0
rot 1 rot
0 div div
Ladungen sind Quellen/Senken des elektrischen Felds ( = Ladungsdichte)
Eine zeitliche Änderung eines Magnetfelds B bewirkt eine Rotation des E-Felds Ein Magnetfeld hat keine Quellen/Senken (es gibt keine magnetischen Monopole)
Eine zeitliche Änderung eines E-Felds B bewirkt eine Rotation des B-Felds,
ebenso wie die Anwesenheit bewegter Ladungen (j = Ladungsstromdichte)
5
Gradient, Divergenz und Rotation
usw.
,
, Operator
, , grad
und
z y, x, s mit
x z
y x
z T y T x T T T
s T z z
y T y x T x T T
x
Beispiel: Temperatur als skalares Feld, Änderung des Temperaturwerts bei einer Verschiebung s:
Mit einem Skalar multipliziert Vektor (Gradient)
Skalarprodukt mit einem Vektor Skalar (Divergenz)
Kreuzprodukt mit einem Vektor Vektor (Rotation)
z T T y T x T T z y
x , , , , grad
E
z E y E x E E
E z E
y x
y z x z
y x
div ,
, ,
,
y E E x E x E z E z E y E
E E z E
y x
y x z y x
z
z y x
rot ,
,
, , ,
,
6
usw.
) ( ) ( mit
div )
( )
(
) ( )
(
) ( )
(
div
x dx x E
E dx x E
dV E dz
dy z dx
E y E x E
dy dx z E dy dx dz z E
dz dx y E dz dx dy y E
dz dy x E dz dy dx x E
dV E A
d E
x x
x y z x
z z
y y
x x
V A
Divergenz und Satz von Gauss-Ostrogradski
Johannes Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Michail Wassilijowitsch Ostrogradski (1801-1862)
Intergral der Normalkomponente eines Vektorfelds über eine geschlossene Oberfläche =
Integral der Divergenz des Vektorfelds über das eingeschlossene Volumen
dh. die Divergenz sagt etwas darüber,
"wieviele Feldlinien in das Volumen eintreten bzw. herauskommen"
(Quellenstärke)
Wichtiges Beispiel: Gaußsches Gesetz
Kugelförmige Oberfläche mit Radius R um eine Punktladung: Ladungen sind Quellen bzw. Senken des
elektrischen Felds
0 0
0 2 2
0
div div
4 4 1
E d A R Q R Q dV E dV E
V V
A
7
Anwendungsbeispiele
1) Elektrisches Feld eines mit konstanter Ladungsdichte l (Linienladung) besetzten Stabs:
Betrachte einen Zylinder von Radius R und Länge L um den Stab
E R L
L Q R E A d E
A
2 0 0 2
0
l
l
2
2 2
2 2
2 2 2
0 0
2 2
0
/ 2
/ 2 / 2
0 / 2 0 0
1 1
4 4
( ) cos 1 cos
4
1
tan cos co
2
1 1
cos sin
4
s 4
x
x x
y
dQ dy
dE r x y
E E dE y dy
x
x dy d
y
E d
x y
x x E x
l
l
l
l l
Es geht auch komplizierter:
2) Plattenkondensator mit homogener Ladungsdichte s (Flächenladung) besetzt:
Betrachte ein Volumen mit einer Stirnfläche A senkrecht zu den Feldlinien
0 0
0
s
s
E d A E A Q A E
A
