4.Aufgabe 3.Aufgabe 2.Aufgabe 1.Aufgabe 12.¨UbungAlgebraI TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATBERLIN

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Dozent: Prof. Dr. F. Heß WM: G. M¨ohlmann

www.math.tu-berlin.de/˜hess/algebra1-ss2009

12. ¨ Ubung Algebra I

1. Aufgabe

Seikein K¨orper undAutk(k[t])die Menge derk-Automorphismen vonk[t], also die Menge der Au- tomorphismen vonk[t], die aufkeingeschr¨ankt die Identit¨at sind. Zeigt, dass f¨ur jedesφ∈Aut_k(k[t]) giltφ(t) =at+bmita, b∈k. Wie l¨asst sich also ein beliebiges Element ausAut_k(k[t])beschreiben?

(5 Punkte)

2. Aufgabe

Seikein K¨orper mitchar(k) = 0undf ∈k[t]. Seif =Q

f_i^ei die Faktorisierung vonf. Dann gilt f

ggT(f, f⁰) =Y

i

f_i.

(4 Punkte)

3. Aufgabe

Seif =P

aitⁱ ∈Z[t]ein Polynom undp∈Peine Primzahl. Ferner seif =P

aitⁱ ∈ Fp[t]wobei a_idas Bild vona_i unter der Restklassenabbildung vonZnachZ/pZ=Fp ist.

(a) Zeigt: Wennf normiert undf irreduzibel inFp[t]ist, dann istf irreduzibel inZ[t].

(b) Gebt ein Beispiel daf¨ur an, dass (a) nicht gilt, wennf nicht normiert ist.

(c) Kann man (a) auf faktorielle Ringe verallgemeinern? Wie sieht dann der Beweis aus?

(6 Punkte)

4. Aufgabe

(a) Gebt alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich2 ¨uberF2 an.

(b) Welche der folgenden Polynome sind irreduzibel inQ[t]? (i) t²+ 5t+ 1

(ii) t²+ 5t+ 6 (iii) t³+ 39t−4t+ 8 (iv) 3t+ 9

(5 Punkte) 1