Übung zur Optimierung 1 Dualität, Komplementarität,
Schattenpreise
Marcel Marohn Sommersemester 2013
Nebenerwerbs-Landwirt Jakob hat 500ha Land zum Anbau von Raps, Weizen, Gerste und Mais gepachtet und kann in der Vegetationszeit (10 Wochen) ca.55Arbeitsstunden wöchentlich aufwenden. Folgede Tabelle gibt weitere Informationen:
Anbaufläche Gesamtarbeitszeit Ertrag ha/kg Saatgut h/kg Saatgut EU R/kg Saatgut
Raps 1,2 1,6 18
Weizen 0,5 0,5 9
Gerste 0,8 1,0 17
Mais 1,6 2,0 20
Ressource 500Hektar 55·10 = 550Stunden
a) Zur Bestimmung der optimalen Pflanzmengex1, ..., x4 (einzusetzende Saatgutmengen inkg) zur Erzielung eines maximalen Marktertrages lässt sich folgendes LOP ableiten:
Raps Weizen Gerste Mais
Ertrag 18x1 + 9x2 + 17x3 + 20x4 →max
Anbaufläche 1,2x1 + 0,5x2 + 0,8x3 + 1,6x4 ≤500 Gesamtarbeitszeit 1,6x1 + 0,5x2 + 1,0x3 + 2,0x4 ≤550
Mengen x1, x2, x3, x4 ≥0
b) Das Problem kann aber auch aus einem anderen Standpunkt betrachtet werden: Fi- nanzberater Ron schlägt Jakob folgendes Geschäft vor: die gesamte Anbaufläche wird für eine noch zu vereinbarende Bodenrente vony1 EUR/ha an Ron verpachtet, der dann Jakob im Gegenzug für die 550 h Arbeitszeit fest engagiert und dabei einen ebenfalls noch zu vereinbarenden Arbeitslohn von y2 EUR/h zahlt. Ron’s Interesse besteht nun darin, möglichst geringe Ausgaben zu haben. Andererseits soll die bei der Verpachtung erwirtschafteten Erträge pro kg Saatgut mindestens gleich der Größe sein, die Jakob für sich erwartet hat.
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Es ist also das Dualproblem zu bestimmen:
Bodenrente Arbeitslohn
Kosten 500y1 + 550y2 →min
Ertrag Raps 1,2y1 + 1,6y2 ≥18 Ertrag Weizen 0,5y1 + 0,5y2 ≥9 Ertrag Gerste 0,8y1 + 1,0y2 ≥17 Ertrag Mais 1,6y1 + 2,0y2 ≥20
y1, y2 ≥0
c) Grafisch oder mit dem Simplexalgorithmus wird die Optimallösung des Dualproblems bestimmt: y∗ = 135
. Damit erhält man den optimalen Zielfunktionswert z∗D = 9650, woraus wegen Dualität auch folgt: z∗P = 9650. Interpretation für (D): Bei einer Pacht von5EUR/ha und einem Stundenlohn von 13EUR erreicht Ron minimale Ausgaben in Höhe von 9650EUR.
d) Aus der optimalen Lösung von (D) kann man auf die optimale Lösung von (P) schlie- ßen, nämlich mittels Komplementarität.y∗ erfüllt die erste und vierte Nebenbedingung mit Gleichheit. Die zu den echten Ungleichung gehörenden Primalvariablen x∗1, x∗4 sind damit gleich Null. Die beiden verbleibenden Ungleichungen müssen damit in (P) als Glei- chungen erfüllt sein. Lösung des Gleichungssystems liefertx∗2= 600, x∗3= 250.
e) Jakob hat nun die Möglichkeit, seine Anbaufläche um 40 ha zu erweitern, wofür er insgesamt 180 EUR an Kosten aufzuwenden hat. Ihn interessiert, ob der erzielte Mehr- ertrag die Kosten aufwiegt.
Es erhöht sich alsob1= 500umd∆b1= 40auf540. Mit Hilfe der optimalen Dualvariablen y1∗= 5, auf die diese Ressourcenänderung Auswirkung hat, folgt:∆z∗P = ∆b1·y1∗ = 200.
D.h. bei einer Anbaufläche von540ha sind ca.200EUR Mehreinnahmen, also insgesamt 9850EUR, zu erwarten. Das Mehreinkommen ist also geringfügig höher als die Kosten.
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