Klausur zu Grundz¨ uge der Statistik: Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2004/05 10.02.2005
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 18 22 22 17 11 10 100
erreichte
Punkte
Im Zuge der Europawahl wurden im Auftrag einer Illustrierten 200 zuf¨allig ausgew¨ahlte Wahlberechtigte zu zwei zur Wahl stehenden Politikern befragt. Es wurde ihnen die folgende Aussage vorgelegt:
“Ich vertraue diesem Politiker so, dass ich privat von ihm einen Gebrauchtwagen kaufen w¨urde”, mit Antwortm¨oglichkeiten
1 = “stimme gar nicht zu”, 2 = “stimme im Wesentlichen nicht zu”, 3 = “bin unentschieden”, 4 = “stimme im Wesentlichen zu”, 5 = “stimme voll zu”.
Die Resultate sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
Politiker 1 Politiker 2
Antwort 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Anzahl 40 39 41 35 45 20 22 48 49 61
(a) Die Ergebnisse sollen graphisch dargestellt werden. Ein Redakteur schl¨agt Histogram- me als Darstellungsart vor. Was halten Sie davon? Begr¨unden Sie Ihr Urteil.
(4 Punkte)
(b) Wie hoch ist der Anteil der Befragten, die Politiker 1 gar nicht vertrauen, also auf keinen Fall einen Gebrauchtwagen bei ihm kaufen w¨urden? (2 Punkte)
(c) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht? Begr¨unden Sie jeweils Ihr Urteil.
1. 41% der Befragten sind unentschieden, ob sie Politiker 1 einen Gebrauchten ab- kaufen w¨urden. (2 Punkte)
2. 21% der Befragten w¨urden Politiker 2 eher keinen Gebrauchtwagen abkaufen (Antworten “stimme gar nicht zu” und “stimme im Wesentlichen nicht zu”).
(2 Punkte)
3. 45 W¨ahler haben Politiker 1 gew¨ahlt. (2 Punkte)
4. Es w¨urden mehr Befragte von Politiker 2 einen Gebrauchtwagen kaufen als nicht kaufen. (2 Punkte)
(d) Was ist an der folgenden Abbildung, die zu den Daten erstellt wurde, falsch?
(4 Punkte)
1 2 3 4 5
Politiker 1
1 2 3 4 5
Politiker 2
Im Jahr 1998 hat ein 20j¨ahriger Amerikaner einen neuen Weltrekord im Kirschkernweitspucken aufgestellt. Brian Krause erreichte beim internationalen Kirschkern-Spuckwettbewerb in Ea Claire (Michigan) eine Weite von 21.9 m. In der folgenden Tabelle finden Sie zus¨atzlich zu seiner Leistung noch die erzielten Weiten von 8 Mitbewerbern.
Teilnehmer i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
erzielte Weite (m) 21.9 9.7 13.5 12.1 17.6 8.1 10.7 9.6 4.8
(a) Im Schnitt bef¨orderten die Teilnehmer die Kirschkerne 12 m weit. Welches war die mediane Weite? Wie groß ist der Modus der erzielten Weiten? (5 Punkte)
(b) Beurteilen Sie die Variabilit¨at der erzielten Weiten durch Angabe der empirischen Varianz. Nutzen Sie zu ihrer Berechnung den Verschiebungssatz. Wie k¨onnen Sie den berechneten Wert interpretieren? (6 Punkte)
(c) Ein zehnter und ein elfter Teilnehmer haben Weiten von 5.1 m bzw. 18.5 m erzielt.
Wie ¨andert sich dadurch der Median der erzielten Weiten? Argumentieren Sie, ohne zu rechnen. (4 Punkte)
(d) Skizzieren Sie den Boxplot der Verteilung der erzielten Weiten der urspr¨unglichen 9 Teilnehmer in der unten vorgesehenen Abbildung. (7 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) und (b) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Nutzen Sie die folgende Hilfsgr¨oße:
X9
i=1
x2i = 1 507.42
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
Abbildung: Box-Plot
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Bez¨uglich ihres Lernaufwandes f¨ur eine Statistikklausur wurden 1 500 Studierende der Uni- versit¨at Halle im Jahr 2004 befragt:
Lernaufwand in Minuten Studierende
bis unter 100 800
100 bis unter 300 400
300 bis unter 500 200
500 bis unter 1 100 50
1 100 bis unter 2 100 50
(a) Quantifizieren und interpretieren Sie die relative Konzentration des Lernaufwands im Jahr 2004 mit einer geeigneten Kennziffer. Geben Sie den Wertebereich dieser Kenn- ziffer an. (9 Punkte)
(b) Im Vorjahr f¨uhrte eine gleichartige Untersuchung mit 21 Studierenden zu einem Gini- koeffizienten von 0.1525.
Ebenso wurden f¨ur das Jahr 2003 folgende Gr¨oßen bestimmt:
Lernaufwand in Minuten uj vj bis unter 100 0.15 0.05 100 bis unter 300 0.25 0.10 300 bis unter 500 0.50 0.40 500 bis unter 1 100 0.75 0.70 1 100 bis unter 2 100 1.00 1.00
Stellen Sie die Lorenzkurven beider Jahre graphisch dar (beide zusammen in einem Diagramm). Interpretieren Sie das vorliegende Ergebnis und vergleichen Sie mit den Erkenntnissen aus (a). (6 Punkte)
(c) Wie hoch ist im Jahr 2004 approximativ die absolute Anzahl sowie der relative Anteil der Studierenden mit einem Lernaufwand zwischen 150 und 750 Minuten? (7 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf 3 Nachkommstellen.
Von 1 000 zuf¨allig ausgew¨ahlten Personen ließen sich 200 gegen Grippe impfen. Von den geimpften erkrankten 22 und von den nicht geimpften 148 an Grippe.
(a) Stellen Sie eine Kontingenztafel in absoluten Haufigkeiten auf, die die beiden Merkmale
“Impfung” und “Erkrankung” darstellt.
Vergleichen Sie die bedingten Verteilungen der Erkrankung, gegeben das Merkmal
“Impfung”. Ist zu erwarten, dass die Impfung Einfluss auf die Erkrankung hat?
(8 Punkte)
(b) Stellen Sie dazu passend die Tafel auf, die Sie beobachten m¨ussten, wenn die Merkmale
“Impfung” und “Erkrankung” voneinander unabh¨angig w¨aren. Gehen Sie von folgender Randtafel aus (beachten Sie: das ist nicht dieselbe Tafel, die in (a) herauskommt):
erkrankt ja nein
ja 200
geimpft
nein 800
200 800 1 000 (5 Punkte)
(c) Der korrigierte Kontingenzkoeffizient f¨ur die Originaldaten betr¨agt K∗ = 0.113. Inter- pretieren Sie diesen Wert. (2 Punkte)
(d) Welchen Wert nimmt der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman f¨ur diese Daten an? (2 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b) zun¨achst die allgemeine Formel an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf drei Nachkommastellen.
In der Marketingabteilung eines Unternehmens soll das Budget f¨ur eine bevorstehende Wer- beaktion bestimmt werden. Um einen Anhaltspunkt ¨uber den zu erwartenden Nutzen der Aktion zu erhalten, werden f¨ur fr¨uher durchgef¨uhrte Werbeaktionen jeweils die Kosten der Aktionen und die Ums¨atze der beworbenen Produkte gegen¨uber gestellt. Die folgende Ta- belle enth¨alt f¨ur 6 solcher Werbeaktionen die Kosten (xi) und f¨ur die zugeh¨origen Produkte die im Monat nach der Werbeaktion erreichten Ums¨atze (yi).
Aktion 1 2 3 4 5 6
Kosten (Tausend e) 23 15 43 45 30 51 Umsatz (Mio. e) 2.3 1.1 2.7 2.9 2.1 3.3 Die Daten sind unten auch graphisch dargestellt.
(a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson zur Beurteilung des Zusammenhangs zwischen Kosten und Ums¨atzen. Nutzen Sie dazu die unten angege- benen Hilfsgr¨oßen. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Wie interpretieren Sie das Ergebnis und warum? (7 Punkte)
(b) Welche Gr¨oßenordnung w¨urden Sie f¨ur den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizi- enten f¨ur diese Daten erwarten? Begr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung. (4 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigten allgemeinen Formeln an.
Nutzen Sie folgende Hilfsgr¨oßen bei der Berechnung:
X6
i=1
xi = 207,
X6
i=1
yi = 14.4,
X6
i=1
xi·yi = 547.3,
e
sX = 12.83, seY = 0.7,
X6
i=1
x2i = 8 129,
X6
i=1
yi2 = 37.5
Abbildung: Kosten f¨ur Werbeaktionen und erzielte Ums¨atze
Kosten
Umsatz
0 10 20 30 40 50 60
01234
In Halle findet ein Jahreskongress deutscher Arch¨aologen statt. Da nat¨urlich die Himmels- scheibe von Nebra f¨ur die Teilnehmer dieses Kongresses besonders interessant ist, werden die 80 Arch¨aologen durch die Ausstellung gef¨uhrt. Jeder Tagungsteilnehmer wird dabei von seinem Lebenspartner (der kein Arch¨aologe ist) begleitet. Ein Teil der Besucher der F¨uhrung ist begeistert und h¨alt die Himmelsscheibe f¨ur echt (80%). Der Rest bleibt auch nach dem Besuch der Ausstellung skeptisch und glaubt an eine F¨alschung. Dabei sind es genau 12 Arch¨aologen, die die Scheibe f¨ur falsch halten.
(a) Stellen Sie die genannten H¨aufigkeiten in einem Venn-Diagramm dar und vervollst¨andi- gen Sie dieses. (3 Punkte)
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Besucher der oben beschriebenen F¨uhrung ein Arch¨aolo- ge ist? (2 Punkte)
2. ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Besucher der oben beschriebenen F¨uhrung kein Arch¨aolo- ge ist und glaubt, dass die Scheibe gef¨alscht ist? (2 Punkte)
3. ein unter den begleitenden Partnern zuf¨allig Ausgew¨ahlter an die Echtheit der Scheibe glaubt? (3 Punkte)
