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105.593 Einf¨ uhrung in Stochastische Prozesse und Zeitreihenanalyse
Vorlesung, 2016S, 2.0h 27.Februar 2017 Hubalek/Scherrer
(Dauer 90 Minuten, Unterlagen: ein handbeschriebener A4-Zettel sowie ein nichtprogrammierer Taschenrechner sind erlaubt)
Sie erhalten eine E-Mail mit dem schriftlichen Ergebnis und Information zur Anmeldung zur m¨undlichen Pr¨ufung.
Bsp. Max. Punkte
1 5
2 5
3 5
4 5
P 20
1. Es sei (Ω,F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Brownsche Bewegung (W(t), t ≥ 0).
Weiters sei (F(t), t≥0) die nat¨urliche Filtration von W.
(a) Beschreiben Sie m¨oglichst genau (Name und Parameter) die gemeinsame Verteilung von (W(5)−W(2), W(11)−W(5)).
(b) Beschreiben Sie m¨oglichst genau (Name und Parameter) die gemeinsame Verteilung von (W(11)−W(3), W(5)−W(2)).
(c) Es sei
f(t) =W(t)I[2,5)(t), g(t) =W(t)I[3,7)(t), t≥0.
Berechnen Sie Cov[R∞
0 f(t)dW(t),R∞
0 g(t)dW(t)].
(d) Angenommenα∈Rund σ >0 und ein Ito-Prozess X erf¨ullt X(t) =αt+σW(t), t≥0.
Weiters definieren wir einen Prozess Y durch Y(t) = exp(X(t)) f¨ur t ≥ 0. Zeigen Sie dann mit der allgemeinen Ito-Formel, dassY auch ein Ito-Prozess ist bestimmen Sie die Darstellung
Y(t) =Y(0) + Z t
0
A(s)ds+ Z t
0
B(s)dW(s).
(Nur das Ergebnis, die erforderlichen Eigenschaften von A und B m¨ussen Sie nicht zeigen!)
(e) Angenommenµ∈Rund σ >0 und ein Ito-ProzessS erf¨ulltS(0) = 1 und dS(t) =µS(t)dt+σS(t)dW(t), t >0.
Dann kann man zeigen P[S(t) > 0] = 1 f¨ur alle t ≥ 0. Weiters definieren wir einen Prozess Z durch Z(t) = log(S(t)) f¨ur1 t ≥ 0. Zeigen Sie dann mit der allgemeinen Ito-Formel, dass Z auch ein Ito-Prozess ist bestimmen Sie die Darstellung
dZ(t) =U(t)dt+V(t)dW(t), t >0.
(Nur das Ergebnis, die erforderlichen Eigenschaften von U und V m¨ussen Sie nicht zeigen!)
2. Gegeben sei ein station¨arer Prozess (xt), der die Differenzengleichung xt=c+axt−1+t ∀t∈Z
erf¨ullt, wobei c, a∈R,|a|<1 und (t)∼WN(σ2) ein white noise Prozess ist. Zeigen Sie:
(a) µ:=Ext= 1−ac .
(b) Der zentrierte Prozess (˜xt=xt−µ) ist ein AR(1) Prozess.
(c) Berechnen Sie dieh-Schrittprognose ˆxt+h.
(d) Geben Sie eine Darstellung des entsprechenden Prognosefehlers (d.h. stellen Sie (ˆut+h = xt+h−xˆt+h) durch eine Linearkombination vont+h, t+h−1, . . . , t+1 dar.)
(e) Beweisen Sie folgende Formel f¨ur die Varianz desh-Schrittprognosefehlers:
σ2h=Eˆu2t+h=σ21−a2h 1−a2 .
1Hier bezeichnet ’log’ den nat¨urlichen Logartihmus.
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3. Gegeben Sei eine Markovkette (Xn)n≥0 mit ZustandsraumI ={1,2,3,4}, Anfangsverteilung λund ¨UbergangsmatrixP, wobei
λ= 12 12 0 0
, P =
0 12 0 12
1 2
1
2 0 0
0 0 1 0
0 12 12 0
.
(a) Berechnen SieP[X3 = 4|X0 = 1, X1 = 2, X2 = 1] undP[X0 = 1|X1= 2, X2 = 1, X3 = 4].
(b) Es gilt
P2 =
1 4
1 2
1
4 0
1
4 ? 0 14
0 0 1 0
1 4
1 4
1
2 0
, P3=
1 4
3 8
1 4
1 1 8
4 1 2
1 8
1 8
0 0 1 0
1
8 ? ? 18
.
Erg¨anzen Sie die fehlenden Eintr¨agep(2)22,p(3)42 und p(3)43. (c) Bestimmen Sie P[X6= 2|X1 = 4] !
(d) Ist die Kette irreduzibel? (Genaue, konkrete Begr¨undung, nicht die Definition von ’irre- duzibel’ abschreiben!)
(e) SeiT = inf{n≥0 :Xn>2}. Berechnen SieEi[T] f¨ur alle i∈I.
4. (t)∼WN(σ2) sei ein white noise Prozess mit VarianzE2t =σ2 = 1. Betrachten Sie folgende Differenzengleichungen:
(a) xt=xt−1
(b) xt=xt−1+t (c) xt=xt−1+t−t−1
(d) xt= 0.9xt−2
(e) xt= 0.9xt−2+t
Existiert eine station¨are L¨osung (yt) und wenn ja, ist diese eindeutig? Hinweis zu (c): Be- trachten Sie den Prozess (˜xt=c+t), c∈R.
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