Ehrenfeucht–Fra¨ıss´ e Spiele

(1)

Teil 3: Ausblicke Ausdrucksst¨arke FO 8

Ausdrucksst¨ arke verschiedener Logiken

→ Abschnitt 8 Fragen: Welche Struktureigenschaften k¨onnen in

gegebener Logik formalisiert werden?

Welche Eigenschaften sind nicht ausdr¨uckbar?

z.B. nichtinFO: Endlichkeit der Tr¨agermenge

Zusammenhang von (endlichen) Graphen gerade L¨ange endlicher linearer Ordnungen . . .

→ Modelltheorie

die Methode zur Analyse der Ausdrucksst¨arke:

Ehrenfeucht-Fra¨ıss´ e Spiele

FGdI II Sommer 2010 M Otto 121/153

Fragen der Ausdrucksst¨ arke

Kernfrage: welche Logik wof¨ur?

zB bei der Wahl einer Logik als Sprache f¨ur Spezifikation, Verifikation, Deduktion Wissensrepr¨asentation, Datenbankabfragen Kriterien: algorithmische Eigenschaften

beweistheoretische Eigenschaften Ausdrucksst¨arke

• wie kann man analysieren, was ausdr¨uckbar ist?

• wie erkennt/beweist man, dass etwasnichtausdr¨uckbar ist?

Ausdrucksst¨ arke: Beispiele

Es gibt keine Satzmenge in FO({E}), die den Zusammenhang von Graphen (V,E) formalisiert (analog f¨ur Erreichbarkeitsfragen).

Es gibt keinen Satz in FO({E}), der den Zusammenhang von endlichen Graphen (V,E) formalisiert (analog f¨ur Erreichbarkeit).

Jeder Satz inFO({<}), der formalisiert, dass <eine lineare Ordnung ist, benutzt mehr als zwei Variablen.

Es gibt keinen Satz in FO({<}), der von einer endlichen linearen Ordnung (A, <) besagt, dass sie ungerade L¨ange hat.

Jeder Satz inFO({<}), der von einer linearen Ordnung (A, <) besagt, dass sie mindestens die L¨ange 17 hat, hat mindestens Quantorenrang 5.

Teil 3: Ausblicke Ehrenfeucht–Fra¨ıss´e FO 8.1

Ehrenfeucht–Fra¨ıss´ e Spiele

→ Abschnitt 8.1 vgl. auch Semantikspiel zwischen Verifizierer und Falsifizierer

Idee: Spielprotokoll f¨ur zwei Spieler I undII zum Vergleichzweier Strukturen so, dass A undB ¨ahnlich (ununterscheidbar inL) wenn Spieler II Gewinnstrategie hat.

SpielerII muss in der jeweils anderen Struktur nachmachen, wasI in einer der Strukturen vorgibt

SpielerI versucht das Spiel auf Unterschiede zu lenken, die das f¨urII unm¨oglich machen

Verwendung

wennAund Bununterscheidbar in L, aber verschieden hinsichtlich EigenschaftE, dann l¨asst sichE nicht inLausdr¨ucken

(2)

das klassische Ehrenfeucht-Fra¨ıss´ e Spiel f¨ ur FO

fixiere feste endliche relationale Signatur S

zB f¨ur Wortstrukturen zu Alphabet Σ: S ={<} ∪ {P_a:a∈Σ}

Ununterscheidbarkeitsgrade

W, m ≡

_q

W

⁰

, m

⁰

f.a.ϕ(x)∈FO(S) mitqr(ϕ)6q:

W |=ϕ[m] ⇔ W⁰ |=ϕ[m⁰] insbesondere f¨urq = 0,m= (m₁, . . . ,m_k),m⁰ = (m⁰₁, . . . ,m⁰_k):

W,m≡₀ W⁰,m⁰ gdw. ρ:(m_i 7→m⁰_i)_16i6k lokaler

Isomorphismus

Spielidee: I markiert sukzessive Elemente inW oderW⁰, II antwortet in der jeweils anderen Struktur,

II muss stets ≡₀ (lokale Isomorphie) gew¨ahrleisten

die Spiele G

^q

(W, W

⁰

) und G

^q

(W, m; W

⁰

, m

⁰

)

Konfigurationen:

(W,m;W⁰,m⁰) mitm= (m₁, . . . ,m_k) undm⁰ = (m₁⁰, . . . ,m⁰_k) wenn inW und W⁰ jeweilsk Elemente markiert sind

Zugabtausch in einer Runde:

I markiert inW oder in W⁰ ein weiteres Element, IIein Element in der jeweils anderen Struktur

von (W,m;W⁰,m⁰)

zu Nachfolgekonfiguration (W,m,m_k+1;W⁰,m⁰,m_k+1⁰ ) Gewinnbedingung:

IIverliert wennW,m6≡₀ W⁰,m⁰ (kein lokaler Isomorphismus) G^q(W,m;W⁰,m⁰):

Spiel ¨uberq Runden mit Startkonfiguration (W,m;W⁰,m⁰)

Ehrenfeucht-Fra¨ıss´ e Satz

(Satz 8.7) f¨ur alle q∈N,S-StrukturenW und W⁰ mit Parametern

m= (m₁, . . . ,m_k) inW und m⁰= (m⁰₁, . . . ,m_k⁰) in W⁰ sind ¨aquivalent:

(i) II hat Gewinnstrategie in G^q(W,m;W⁰,m⁰) (ii) W,m≡_q W⁰,m⁰

Beweis per Induktion ¨uberq. Strategieanalyse!

q = 0: trivial.

Gewinnstrategie f¨ur eine Runde verlangt gerade Ubereinstimmung hinsichtlich Existenzbeispielen f¨¨ ur z

in allen Formeln ∃zϕ(x,z) mit quantorenfreiem ϕ (warum?) Gewinnstrategie f¨urq+ 1 Runden verlangt analog,

in der ersten Runde, ¨Ubereinstimmung hinsichtlich aller Formeln ∃zϕ(x,z) mit qr(ϕ)6q

Spiele ¨ uber Wortstrukturen und linearen Ordnungen

Kompatibilität mit Konkatenation (Beobachtung 8.11) Gewinnstrategien fürII sind verträglich mit Konkatenation

V,m≡_q V⁰,m⁰ W,n≡_q W⁰,n⁰

⇒ V ⊕ W,m,n ≡_q V⁰⊕ W⁰,m⁰,n⁰

V,< //

◦ ◦ ◦ ⊕ ◦ ^W^,< ◦ ^//

V⁰,< //

◦ ◦ ◦ ⊕

W⁰,< //

◦ ◦

Modularit¨at von Strategien:

≡_q ist Kongruenzrelation bzgl. Konkatenation

(3)

f¨ur nackte endliche Ordnungen O_n= ({1, . . . ,n}, <)

es gibt S¨atzeϕ_q ∈FO({<}),q >1: (vgl. Beobachtung 8.12)

• qr(ϕ_q) =q

• O_n |=ϕ_q gdw. n>2^q−1

insbesondere: O_n 6≡_q O_m f¨ur n<2^q−16m

(noch einfacher: ψ_q(x,y) f¨ur “x <y und|(x,y)|>2^q−1”) E-F Spiel-Analyse:

O_n ≡_q O_m f¨urn,m>2^q−1

genauer: in nackten linearen Ordnungen sind Distanzen ab 2^q mit Quantorenrangq nichtunterscheidbar

Strategien ¨uber nackten endlichen Ordnungen

vergleiche aufsteigende Tupel

m= (m₁, . . . ,m_k) in O_n = ({1, . . . ,n}, <) und m⁰ = (m⁰₁, . . . ,m⁰_k) in O_n⁰ = ({1, . . . ,n⁰}, <) Intervallgr¨oßen:

i-ter Abschnitt: m_i <x <m_i+1 hat d_i :=m_i+1−m_i−1 Elemente kritische Intervallgr¨oße (f¨urq weitere Runden): 2^q−1

d =^q d⁰ :⇔ d =d⁰ oder d,d⁰>2^q −1

“Gleichheit bis zur kritischen Intervalgr¨oße”

dann gilt:

O

n

, m ≡

q

O

n⁰

, m

⁰

gdw. d

i

=

q

d

_i⁰

f¨ ur i = 0, . . . , k

Strategiefindung: Auszug

wie II auf Herausforderungszug vonI aufm∈(m_i,m_i+1) antworten kann (3 F¨alle)

(a) m•_i

• m_i₊₁ m•

di>2^q+1−1

z }| {

| {z }

<2^q−1 | {z }

>2^q−1

(b) m•_i

• m_i₊₁ m•

| {z }

<2^q−1

| {z }

>2^q−1

(c) m•_i

m•_i₊₁ m•

| {z }

>2^q−1 | {z }

>2^q−1

Folgerungen

(1)(un)gerade L¨ange endlicher linearer Ordnungen nicht in FO definierbar

vergleiche Ordnungen der L¨angen 2^q−1 und 2^q: Quantorenrangq reicht nicht aus

(2)Zusammenhang endlicher Graphen nicht in FO definierbar

logische ¨Ubersetzung (Interpretation) liefert Reduktion auf (1) vergleiche zB

• • • • • • •

• • • • • •

(4)

Teil 3: Ausblicke Variationen FO 8.2

andere Logiken — andere Spiele

→ Abschnitt 8.2 am Beispiel zweier wichtiger (Familien von) Logiken in der Informatik

• MSO, monadische Logik zweiter Stufe

Erweiterung vonFO: Quantoren ¨uber Teilmengen

→ formale Sprachen, concurrency

• ML, Modallogik

Fragment von FO: beschr¨ankte Quantoren ¨uber Elemente

→ temporale Spezifikation, Wissensrepräsentation hier: zugehörige Spiele und Beispiele für ihren Nutzen

Teil 3: Ausblicke MSO

MSO: monadische zweite Stufe

hier ¨uber Σ-Wortstrukturen, zuS ={<} ∪ {P_a:a∈Σ}

Elementvariable: x₁,x₂, . . .

Mengenvariable: X₁,X₂, . . . f¨ur Teilmengen der Tr¨agermenge zu Syntax und Semantik vonMSO(S)

atomare Formeln: x_i =x_j,x_i <x_j,P_ax_i,X_ix_j AL Junktoren∧,∨,¬wie ¨ublich

Quantifizierung ¨uber Elemente: ∀x_iϕ,∃x_iϕwie inFO Quantifizierung ¨uber Teilmengen: ∀X_iϕ,∃X_iϕ

Beispiele f¨ur Ausdrucksm¨oglichkeiten:

Ordnungen/Wörter ungerader Länge allgemeiner: reguläre Sprachen

MSO-Kodierung von DFA/NFA

MSO-Kodierung von DFA/NFA-L¨ aufen

für Lauf vonA= (Σ,Q,q₀,∆,A) auf Wort w =a₁. . .a_n ∈Σⁿ: expandiere Wortmodell W_w durch Färbung mit Zuständen

Farben (P_a)_a∈Σ (f¨ur Buchstabenfolge vonw) + Farben (X_q)_q∈Q (f¨ur Zustandsfolge vonw)

a₁ a₂ a₃ a₄ a_n−1 a_n W_w q₁ q₂ q₃ q₄ q_n−1 q_n X

• findeϕ∈FO({<} ∪ {P_a:a∈Σ} ∪ {X_q:q∈Q}):

“dieX_q beschreiben Zustandsfolge einer akzeptierenden Berechnung von Aauf W”

• dann ist ∃Xϕ∈MSO({<} ∪ {P_a:a∈Σ}) wie gew¨unscht

MSO-Spiel

Konfigurationen (W,Q,m;W⁰,Q⁰,m⁰)

mit markierten Elementenm/m⁰ und TeilmengenQ/Q⁰ zwei Zugvarianten

weiteres Element markieren weitere Teilmenge markieren Ehrenfeucht-Fra¨ıss´e Satz f¨ur MSO:

IIhat Gewinnstrategie in G_MSO^q (W,Q,m;W⁰,Q⁰,m⁰) gdw. W,Q,m≡^MSO_q W⁰,Q⁰,m⁰

auch im MSO-Spiel sind Gewinnstrategien

vertr¨aglich mit Konkatenation, und man gewinnt daraus:

Satz von B¨uchi

MSO-definierbare Eigenschaften von Σ-Wortstrukturen entsprechen genau den regul¨aren Σ-Sprachen

(5)

Beweisskizze zum Satz von B¨ uchi

Annahme: {W_w:w ∈L}={W_w:W_w |=ϕ}

f¨ur einen Satz ϕ∈MSO

zu zeigen: Lregul¨ar, oder, nach Myhill–Nerode,

∼_L hat endlichen Index: Σ^∗/∼_L endlich sei dazu qr(ϕ) =q,

dann verfeinert ≡_q die Relation ∼_L (warum?)

≡_q hat endlichen Index (warum?) es folgt dass auch∼_L endlichen Index hat!

−→ Automaten f¨urMSO-model-checking

Teil 3: Ausblicke Modallogik

ML: Modallogik

hier ¨uber Σ-Transitionssystemen, zu S ={E_a:a∈Σ} ∪ {P_i: 16i 6n}

Formeln vonML(S) sprechen ¨uber einzelne Zust¨ande in Σ-Transitionssystemen mit atomaren

Zustandseigenschaftenp_i !P_i Syntax von ML(S)

atomare Formeln: ⊥,>,p_i (wie AL_n) AL Junktoren ∧,∨,¬wie ¨ublich

modale Quantifizierung: 2aϕ,3aϕf¨ur jedesa∈Σ Semantik vonML(S) als Fragment vonFO(S):

2aϕ(x)≡ ∀y E_axy →ϕ(y)

: ∀y (x −→^a y)→ϕ(y) 3aϕ(x)≡ ∃y E_axy∧ϕ(y)

: ∃y (x −→^a y)∧ϕ(y)

Teil 3: Ausblicke Bisimulation

ML-Spiel: Bisimulation

Konfigurationen:

(Q,q;Q⁰,q⁰) mit je einemmarkierten Zustand Zugabtausch in einer Runde:

I bewegt Spielstein l¨angs einer E_a-Kante inQ oder in Q⁰ II antwortet in der anderen Struktur

von (Q,q;Q⁰,q⁰) zu Nachfolgekonfiguration (Q,r;Q⁰,r⁰) mit (q,r)∈E_a^Q und (q⁰,r⁰)∈E_a^Q⁰ Gewinnbedingung:

I/IIverlieren wenn sie nicht ziehen k¨onnen

II verliert wenn sich aktuelle Positionen atomar unterscheiden Ehrenfeucht-Fra¨ıss´e Satz f¨ur ML:

II hat Gewinnstrategie in G_MLⁿ (Q,q;Q⁰,q⁰) gdw. Q,q≡^ML_n Q⁰,q⁰

Teil 3: Ausblicke Bisimulation

Modallogik und Bisimulation

Bisimulationsspiel:

unbeschränktes (unendliches) ML-Spiel G_ML^∞(Q,q;Q⁰,q⁰) beschreibt vollständige Prozess-Äquivalenz / mehr als ≡^ML zentrale Resultate:

• ML-Formeln unterscheiden nicht zwischen bisimulations¨aquivalenten Situationen

• ¨uber endlich verzweigten Systemen

fällt ML-Äquivalenz mit Bisimulationsäquivalenz zusammen (Hennessy-Milner)

• ML erfasst genau diejenigen FO-Eigenschaften, die Bisimulations¨aquivalenz respektieren (van Benthem)

(6)

Teil 4 Wiederholung

Wiederholung

– was Sie unbedingt wissen/k¨onnen m¨ussen Formalismen

Syntax (AL,FO, Formeln, Terme, freie Variablen, etc.) Normalformen (DNF, KNF, pr¨anexe Normalform)

syntaktische Manipulationen: Substitution, Skolemisierung Beweiskalk¨ule (Resolutionsmethode, Sequenzenregeln) Inhaltliches Verstehen

Semantik von Formeln, Modellbeziehung

Formeln lesen k¨onnen, Terme/Formeln in Strukturen auswerten Formalisierungen in AL undFOangeben

semantische Beziehungen: Äquivalenzen, Folgerungsbeziehung, Erfüllbarkeitsäquivalenz

semantische Kriterien: Erf¨ullbarkeit, Allgemeing¨ultigkeit, Korrektheit, . . .

Teil 4 Wiederholung

Wiederholung

zentrale Begriffe/Konzepte inhaltlich beherrschen

im Kontext sinnvoll anwenden zentrale S¨atze und Resultate: kennen

interpretieren anwenden zentrale S¨atze

Kompaktheit (Endlichkeitss¨atze), Herbrand-Modelle,

Reduktionen von FOaufAL,

Korrektheits- und Vollst¨andigkeitsaussagen zu Kalk¨ulen Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit

Teil 4 Wiederholung

Wiederholung: Beispiele

AL-Formeln auswerten (systematisch: Wahrheitstafel) AL-Formeln auf Folgerung bzw. Äquivalenz untersuchen natürlichsprachliche Bedingungen in ALformalisieren Unerfüllbarkeit mittels Resolution nachweisen

Allgemeing¨ultigkeit formal im Sequenzenkalk¨ul nachweisen Folgerungsbeziehungen reduzieren auf

Unerf¨ullbarkeit/Allgemeing¨ultigkeit Kompaktheitssatz anwenden

Kalk¨ule rechtfertigen (z.B. Korrektheit von Regeln)

Teil 4 Wiederholung

Wiederholung: Beispiele

Umgang mit Strukturen

auch spezielle Strukturen und Klassen wie z.B.

Graphen, Transitionssysteme, relationale DB-Strukturen, Wortmodelle, linear-temporale Abfolgen,N

Auswerten von Termen und Formeln in Strukturen PNF, Skolemisieren, Substitutionen ausf¨uhren Herbrandmodelle beschreiben/untersuchen

Unerf¨ullbarkeit durch Reduktion auf AL nachweisen GI-Resolution und Sequenzenkalk¨ul in Beispielen etc.

(7)

Teil 4 Wiederholung

entscheidbar? rekursiv aufz¨ ahlbar?

→ Ubung G1¨ SAT(AL) :={ϕ∈AL : ϕerf¨ullbar}

FOLG(AL) :={(ϕ, ψ)∈AL : ϕ|=ψ}

SAT(FO) :={ϕ∈FO : ϕerf¨ullbar}

VAL(FO) :={ϕ∈FO : ϕallgemeing¨ultig}

UNSAT(FO) :={ϕ∈FO : ϕunerf¨ullbar}

FINSAT(FO) :={ϕ∈FO : ϕhat ein endliches Modell}

INFVAL(FO) :={ϕ∈FO : ϕim Unendlichen allgemeing¨ultig}

INF₀(FO) :={ϕ∈FO : ϕin unendlichen Modellen erf¨ullbar}

INF₁(FO) :={ϕ∈FO : ϕnur in unendlichen Modellen erf¨ullbar}

INF₂(FO) :={ϕ∈FO : ϕhat beliebig große endliche Modelle}^∗∗

• Beispiele von S¨atzen in/außerhalb?

Inklusionen, Komplementbeziehungen, . . .

Teil 4 Wiederholung

FO-ausdr¨ uckbar in Graphen?

→ Ubung G2¨

• Distanz gerade oder unendlich (d.h., nicht endlich und gerade)

• Kreisfreiheit

• Existenz eines Kreises

• uniform unendlicher Grad

• endlicher Grad

• uniform Grad 7

Teil 4 Wiederholung

Herbrand-Modelle – Nichtstandard-Modelle

→ Ubung G6¨ Kann man die Klasse der Herbrand-Modelle einer gegebenen Satzmenge in FOaxiomatisieren?

Kann man in FO-Satzmenge die Forderung spezifizieren, dass jedes Element der Tr¨agermenge durch eine variablenfreien Term

addressiert wird?

Kann die Menge der in einem Modell der Arithmetik durch variablenfreie Terme addressierten Elemente durch eine Formel ϕ(x)∈FO(S_ar) definierbar sein?

(∗) Kann man inMSO(S_ar) das Standardmodell der Arithmetik bis auf Isomorphie axiomatisieren?

Ist die Menge der Primzahlen im Standardmodell der Arithmetik durch eine Formel ϕ(x)∈FO(S_ar) definierbar? In welchem Sinne gibt es in Nichtstandard-Modellen unendliche Primzahlen?

Teil 4 Wiederholung

Was stimmt hiervon?

Man kann die Erf¨ullbarkeit vonAL-Formeln in DNF effizient^∗ entscheiden.

Zu jeder AL-Formel kann man eine logisch ¨aquivalente AL-Formel in DNF berechnen.

Erf¨ullbarkeit vonAL-Formeln ist effizient^∗ entscheidbar.

∗in Laufzeit polynomial in der L¨ange der gegebenen Formel

(8)

Teil 4 Wiederholung

Was stimmt hiervon?

Zu jeder FO-Formel gibt es eine

logisch äquivalente FO⁶⁼-Formel ? erfüllbarkeitsäquivalente FO⁶⁼-Formel ? eine







logisch ¨aquivalente pr¨anexeFO-Formel ?

logisch äquivalente universell-pränexe FO-Formel ? erfüllbarkeitsäquivalente universell-pränexeFO-Formel ? Wie findet man solche Formeln ggf. algorithmisch?

Teil 4 Wiederholung

Was stimmt hiervon?

Man kann die Erfüllbarkeit von (universell-pränexen =-freien) FO-Sätzen auf ein AL-Erfüllbarkeitsproblem reduzieren.

Erfüllbarkeit von (universell-pränexen =-freien)FO-Sätzen ist entscheidbar.

Teil 4 Wiederholung

Was stimmt hiervon?

Resolutionsalgorithmen produzieren schließlich alle Klauseln, die logische Folgerungen aus der gegebenen Klauselmenge sind.

Der (schnittfreie) AL-Sequenzenkalk¨ulK erlaubt eine terminierende algorithmische Beweissuche.

Der (schnittfreie) FO-Sequenzenkalk¨ul K erlaubt eine terminierende algorithmische Beweissuche.

Teil 4 Wiederholung

Dialog:

A: Ich habe eine formale Spezifikation Ψ f¨ur eine Klasse von Netzwerkgraphen gefunden, die u.a. sicherstellt, dass nur zusammenh¨angendeGraphen zugelassen werden!

B: Na ja, vielleicht verlangst Du ja, dass je zwei Knoten direkt verbunden sind oder Abstand 6n f¨ur ein festesn haben?

A: Ganz im Gegenteil: Ψ l¨asst beliebig große endliche Distanzen zwischen Knoten zu!

B: Toll, aber ist Ψ inFO(E) formalisierbar?

A: Daran arbeite ich gerade, vielleicht brauche ich als Hilfsrelation noch den transitiven Abschluss vonE und muss den dann zus¨atzlich inFOspezifizieren.