Lineare Algebra I TUD WS04/5

Lineare Algebra I TUD WS04/5

1 Bedeutung von Formeln und Aussagen

1.1 Strukturen

In der Mathematik geht es in der Regel um Strukturen bzw. Klassen von Strukturen. Eine Struktur wird verstanden als ein System von Objekten, In- dividuen oder Elementen, die unterschiedlichen Typen oder Sorten zugeord- net sein k¨onnen, und Relationen (Beziehungen) bzw. Operationen (Verk¨upfun- gen) zwischen diesen bzw. Konstanten (ausgezeichneten Elementen).

a. Der ZahlbereichNder nat¨urlichen Zahlen 0,1,2,3, . . .mit dem Gr¨oßen- vergleich (Anordnung), der Addition und Moltiplikation, und den Kon- stanten Null und Eins

b. Andere Zahlbereiche, z.B. der ganzen Zahlen (Z), der rationalen Zahlen (Q) oder der reellen Zahlen (R).

c. Der affine Raum mit Objekten von den Typen Punkt, Gerade und Ebe- ne und der Beziehung “liegt auf” (inzidiert) jeweils zwischen Punkten und Geraden, Punkten und Ebenen wie Geraden und Ebenen.

d. Beim metrischen oder euklidischen Raum kommt zu 3. die Kongruenz von Strecken und die Beziehung “zwischen” dazu.

e. Die “Gruppe” der Bewegungen des Raumes, mit der Hintereinander- ausf¨uhrung als Operation.

f. Die “Wirkung” der Bewegungsgruppe auf dem Raum, d.h. Beispiel 4 und 5 zusammengefasst mit einer zus¨atzlichen Operation, die Bewe- gungen φ und Punkten P jeweils den Bildpunkt φ(P) zuordnet.

Dass es problematisch ist, von “dem” Zahlbereich der nat¨urlichen Zahlen usw. zu sprechen, soll uns vorerst nicht st¨oren. Wir werden uns im Laufe der Zeit daran gew¨ohnen, mit durch Axiome definierten Klassen von Strukturen umzugehen. Dabei kann es vorkommen, dass eine solche Klasse “im Wesent- lichen” aus einer einzigen Struktur besteht, genauer, dass alle Strukturen in dieser Klasse gleich aussehen, auf deutsch: isomorph sind. Das ist z.B. der Fall bei “dem” Bereich der nat¨urlichen Zahlen und den anderen oben erw¨ahnten Beispielen.

1.2 Atomare Formeln

Um ¨uber Strukturen knapp und doch (oder gerade deshalb) eindeutig reden zu k¨onnen, brauchen wir Zeichen f¨ur die jeweils grundlegenden Relationen, Operationen und Konstanten, sowie f¨ur die wichtigsten daraus definierten.

2 1 BEDEUTUNG VON FORMELN UND AUSSAGEN a. Bei den Zahlbereichen < .+,·,0,1, definiert z.B. ≤ f¨ur “kleiner oder gleich”, − f¨ur die Subtraktion und : f¨ur die nicht immer ausf¨uhrbare Division, 2 f¨ur 1 + 1 usw.

c. In der affinen Geometrie f¨ur die Inzidenz, definiert z.B. kf¨ur Paralle- lit¨at.

d. In der metrischen Geometrie |P Q| = |RS| f¨ur die Kongruenz der Strecken P Q und RS (also eine Beziehung zwischen vier Punkten).

Definiert werden kann ⊥ ‘senkrecht’.

Wir benutzen Buchstaben wie a, b, c oder P, Q, R um ¨uber bestimmte, aber nicht eindeutig festgelegte Objekte in einer betrachteten Struktur zu reden.

Die bezeichnenden Buchstaben spielen dann die Rolle von lokalen Konstan- ten(im Gegensatz zu den zu einem gewissen Typ von Strukturen a priori geh¨orenden globalen Konstanten wie 0,1 bei den Zahlen). Die durch sie be- zeichneten Objekte k¨onnen “fest, aber beliebig” (FAB) oder “vorhanden, aber nicht n¨aher bekannt” (Zeugen) sein.

Wir k¨onnen Buchstaben aber auch als Variablen benutzen, meist sol- che wie x, y, z. Dabei ist dann gedacht, dass sie beliebige Werte annnehmen k¨onnen oder sollen. Es k¨onnn aber auch Indizes vorkommen: a₁, P₂, x₃ Ha- ben wir keine Operationen, so entteht eine atomare Formel dadurch, dass wir Buchstaben oder Symbole f¨ur Konstanten oder Variablen Symbolen f¨ur Relationen oder dem Gleichheitszeichen verbinden

a=x, 0 = 1, b <0, P g, Xε, g kh, |AX|=|P Y|

Haben wir Operationssymbole, so k¨onnen wir Terme aus Konstanten und Variablen bilde, z.B.

((1 +x)·a) + (0·(y+a))

wobei nat¨urlich Klammereinsparungsregeln erlaubt sind. Die Terme d¨urfen wir dann mitbenutzen und erhalten z.B die Formel

(a+x)·(1 + 1)< a·x

Allgmein gilt: Eine atomare Formel φ(x₁, . . . , x_n) hat die Gestalt

R(t₁(x₁, . . . , x_n), . . . , t_m(x₁, . . . , x_n)) bzw.t₁(x₁, . . . , x_n)R t₂(x₁, . . . , x_n) mit Termen t_i(x₁, . . . , x_n) und einem m-stelligen Relationssymbol R bzw.

den Gleichheitszeichen. Das Auflisten der Variablen (ohne Wiederholung!) legt ihre Reihenfolge fest. Sie m¨ussen in der Formel nicht unbedingt alle vorkommen. Aber es d¨urfen keine anderen vorkommen

1.3 Bedeutung atomarer Formeln

Sei eine Struktur A vorgegeben und eine atomare Formel φ(x₁, . . . , x_n) in den Variablenx₁, . . . , x_n. Sei jeder im φ vorkommenden lokalen Konstanten

jeweils eine bestimmtes Objekt aus der Struktur zugeordnet. Dann erh¨alt die Formel eine Bedeutung, sie definiert eine Teilmenge

{a1 in A|φ(a1) gilt in A}

oder eine Relation

{(a₁, . . . , a_n) in A |φ(a₁, . . . , a_n) gilt inA}

auf der Struktur A. Dabei ist stillschweigend vereinbart, dass auch den Va- riablen x_i bestimmte Typen zugeordnet sind und dass die entsprechenden Objekte a_i aus A dann jeweils diesen Typ haben sollen. Das kann und soll hier nur an Beispielen erkl¨art werden.

a. x <(1 + 1)·(1 + 1) hat inN die Bedeutung {0,1,2,3}

b. x₂ =x₁+ 1 hat in N die Bedeutung {(a, a+ 1)|a inN} c. x₂ =x₁·x₁ hat in Rdie Bedeutung {(a, a²)|a in R}

d. F¨ura, binRund 0 < rinRist die Bedeutung von (x−a)²+(y−b)² < r das Innere des Kreises um den Punkt (a, b) mit Radiusr- besser sollte man hier von Koordinaten sprechen

e. Die Bedeutung von |OX| = |OP| im metrischen Raum ist die Kugel um O mit Radius |OP|

f. Die Bedeutung von |P X|= |QX| im metrischen Raum ist die Mittel- senkrechte(Ebene) auf der Strecke P Q

Um festzustellen, ob das n-tupel (a₁, . . . , a_n) von Objekten von A zur Be- deutung von φ(x₁, . . . , x_n) in A geh¨ort, setzem wir also die a_i f¨ur die x_i ein, bestimmen die Werte b_i = t_i(a₁, . . . , a_n) der Terme in A und pr¨ufen dann, ob die durch Rbezeichnete Relation vonAauf (b₁, . . . , b_m) zutrifft. Wenn ja, geh¨ort (a₁, . . . , a_n) zu der Bedeutung der Formel in A bei den vorgegebenen Werten f¨ur die lokalen Konstanten. Andernfalls nicht.

1.4 Konjunktion

Um interessamntere Beispiel zu erhalten, brachen wir logische Verkn¨upfun- gen. Die Konjunktion pr¨azisiert das umgangssprachliche “und”. Wir schrei- ben

φ(x₁, . . . , x_n)∧ψ(x₁, . . . , x_n) Mit Vorgaben wie oben ergibt sich die Bedeutung als

{(a₁, . . . , a_n) in A|φ(a₁, . . . , a_n) gilt inA und ψ(a₁, . . . , a_n) gilt in A}

Um das “und” zu pr¨azisieren, folgende Tabelle

4 1 BEDEUTUNG VON FORMELN UND AUSSAGEN

: φ(a1, . . . , an) gilt in A β : ψ(a₁, . . . , a_n) gilt inA α∧β : φ(a₁, . . . , a_n) gilt in A

und ψ(a1, . . . , an) gilt inA

β W F

α α∧β

W W F

F F F

Dabei steht W f¨ur “trifft zu” und F f¨ur “trifft nicht zu”. Beispiele. Kurz:

α∧β trifft zu, wenn sowohlα wie auchβ zutreffen.

a. Die Bedeutung von (x <7)∧(2< x) in N ist {2,3,5,6}.

b. F¨ur a < b in R ist die Bedeutung von a < x∧x < b in R das offene Intervall zwischena und b

c. Die Bedeutung von (Xg)∧(Xh) f¨ur zwei nicht parallele Geraden g und h in der Ebene ist der eindeutig bestimmte Schnittpunkt P - die Einermenge{P} f¨ur alle, die es ganz besonders genau nehmen.

d. Eine Liste mit zwei Spalten kann man als Struktur mit einer 2-stelligen RelationRsehen, wobeiR(a, b) bedeutet, dass (a, b) eine Zeile der Liste ist. Sind zwei Listen R₁ und R₂ gegeben mit den Angaben: ¨Ubungs- gruppe und Zeit bzw. ¨Ubungsgruppe und Raum, so ist die Bedeutung von R1(x, y)∧R2(x, z) die “Verkettung”, d.h. die Liste mit 3 Spalten, die f´ur jede ¨Ubungsgruppe die kompletten Angaben enth¨alt.

1.5 Negation

Die Negation pr¨azisiert das umgangssprachliche “nicht”. Wir schreiben

¬φ(x₁, . . . , x_n)

Mit Vorgaben wie oben ergibt sich die Bedeutung als

{(a₁, . . . , a_n) in A|φ(a₁, . . . , a_n) gilt nicht in A}

Um das “nicht” zu pr¨azisieren, folgende Tabelle α : φ(a₁, . . . , a_n) gilt inA

¬α : φ(a₁, . . . , a_n) gilt nicht in A

α ¬α

W F

F W

Kurz:¬α trifft zu genau dann, wennα nicht zutrifft. Beispiele.

a. Die Bedeutung von ¬(7< x) in N ist {0,1,2,3,5,6,7}.

b. Die Bedeutung von ¬(x₁ < x₂) in R ist{(a₁, a₂)|a₂ ≤a₁ inR} Man beachte, dass der Gebrauch der Negation, insbeondere der doppelten Negation in den nat¨urlichen Sprachen sehr unterschiedlich ist. Auch in der Mathematik sollte man doppelte Negation m¨oglichst vermeiden. Kommt sie aber doch einmal vor, ist sie meist als Bejahung zu verstehen.

1.6 Disjunktion

Die Disjunktion pr¨azisiert das umgangssprachliche (nicht ausschliessende)

“oder”. Wir schreiben

φ(x₁, . . . , x_n)∨ψ(x₁, . . . , x_n)

abgeleitet vom lateinischen “vel”. Mit Vorgaben wie oben ergibt sich die Bedeutung als

{(a1, . . . , an) in A|φ(a1, . . . , an) gilt in A oderψ(a1, . . . , an) gilt inA}

Um das “oder” zu pr¨azisieren, folgende Tabelle α : φ(a₁, . . . , a_n) gilt in A

β : ψ(a₁, . . . , a_n) gilt inA α∨β : φ(a₁, . . . , a_n) gilt in A

oderψ(a₁, . . . , a_n) gilt in A

β W F

α α∨β

W W W

F W F

Ki=urz: α∨β trifft zu, wenn mindestens eines von α und β zutrifft, m¨ogli- cherweise auch beide. Beispiele.

a. Die Bedeutung von (x <4)∨(x= 7) inN ist {2,3,7}.

b. Die Bedeutung von (x < y)∨(y < x) in R ist{(a, b)|a6=b inR}.

c. Sind g und h Geraden der Ebene, so ist die Bedeutung von Xg ∨ Xh die von g und h zusammen gebildete Punktmenge - einschießlich gemeinsamer Punkte

Das aussschließende “oder” k¨onnen wir ausdr¨ucken durch (α∨β)∧ ¬(α∧ β). Die umgangssprachliche Entsprechung “entweder -oder” scheint ihre Ein- deutigkeit zu verlieren. Zumindest gilt das f¨ur das englische “either - or”.

Disjunktionen treten in der Mathematik auf in Klassifikationss¨atzen (jede Bewegung der Ebenen mit Fixpunkt ist Drehung oder Spiegelung) und bei Fallunterscheidungen in Beweisen. In der regel sind sie ausschliessend, bei Fallunterscheidungen ist das aber nicht erforderlich.

1.7 Existenzquantor

Der Existenzquantor pr¨azisiert das umgangssprachliche “es gibt ein”. Wir schreiben

∃z φ(z, x₁, . . . , x_n)

Wir sagen, dass die Variable z durch den Quantor ∃z gebunden wird. Mit Vorgaben wie oben ergibt sich die Bedeutung als

{(a₁, . . . , a_n) in A|φ(a, a₁, . . . , a_n) gilt inA f¨ur mindestens ein a}

Beispiele.

a. Die Bedeutung von ∃z(x=z²) in Nist die Menge der Quadratzahlen.

6 1 BEDEUTUNG VON FORMELN UND AUSSAGEN b. Die Bedeutung von ∃z(x=z²) in R ist{a|0≤a inR}

c. Die Bedeutung von ∃z(y=x·z) in Z ist{(a, b)|a teilt b inZ}

d. Die Bedeutung von ∃z₁∃z₂∃z₃∃z₄(x = z₁² +z²₂ +z₃³ +z₄²) in Z ist N (Euler)

e. Zu zwei sich im Punkt P schneidenden Geraden g und h im Raum ist die Bedeutung von (X.Z_i sind hier Variablen vom Typ ‘Punkt’, z vom Typ Gerade’)

X =P ∨ ∃Z1 ∃Z2 ∃z.¬(Z1 =Z2)∧Z1g∧Z2h∧Z1z∧Z2z∧Xz die vong und h aufgespannte Ebeene

f. Sind φ und ψ zwei Bewegungen der Ebene, so ist die Bedeutung von

∃y(φ(x) =y∧ψ(y) = z) die Hintereinanderausf¨uhrungψ◦φ

1.8 Allquantor

Der Allquantor pr¨azisiert das umgangssprachliche “f¨ur alle”. Wir schreiben

∀z φ(z, x₁, . . . , x_n)

Wir sagen, dass die Variable z durch den Quantor ∀z gebunden wird. Mit Vorgaben wie oben ergibt sich die Bedeutung als

{(a₁, . . . , a_n) in A|φ(a, a₁, . . . , a_n) gilt in A f¨ur alle a}

Beispiele.

a. Die Bedeutung von ∀z(x < z∨x=z) in N ist die (Einermenge) Null.

b. Die Bedeutunng von ∀z(x+z =x) in Z ist{0}.

c. Die Bedeutung von ∀z(x teilt z) in Z ist{1,−1}

1.9 Klammereinsparung

Soweit erforderlich, benutzen wir Klammern um Aufbau und Bedeutung von logischen Formeln zu kl¨aren. Entsprechend dem, was man aus der Arithmetik kennt, soll die Bindungsst¨arke der Junktoren in der Reihenfolge ¬, ∧,∨, ⇒,

⇔ abnehmen. Ebenso haben die Quantoren im Prinzip Vorrang gegen¨uber den Junktoren. Der Punkt wirkt wie eine Klammer, die alles Folgende bis hin zur ersten ¨uberz¨ahligen ) einschliesst: z.B. ist (∃x. α∧β)∧γ gleichbedeutend zu (∃x.(α∧β))∧γ.

1.10 Aquivalenz von Formeln ¨

Formeln φ(x₁, . . . .x_n) und ψ(x₁, . . . , x_n) sind ¨aquivalent

• in der Struktur Abei einer Vorgabe der Werte der lokalen Konstanten, wenn sie dabei dieselbe Bedeutung haben, d.h. wenn φ(a₁, . . . .a_n) in A genau dann gilt, wenn ψ(a₁, . . . .a_n) gilt (mit den gegebenen Werten der lokalen Konstanten).

• in A, wenn sie f¨ur alle Werte der lokalen Konstanten in A ¨aquivalent sind.

• in einer Klasse Kvon Strukturen, wenn sie in allenA aus K¨aquivalent sind

• schlechthin, oder auch logisch ¨aquivalent, wenn sie f¨ur alle Strukturen (in denen beide interpretiert werden k¨onnen) ¨aquivalent sind.

Beispiele;

a. 0≤x und ∃y. x=y² sind inR aber nicht in Q ¨aquivalent.

b. x² = 2 und ¬(x=x) sind in Q aber nicht in R ¨aquivalent

c. Sinda < b inRoderQ gegeben, so sind 0< xund ax < bx ¨aquivalent d. Logisch ¨aquivalent sind z.B.

• α(x₁, . . . , x_n)∧β(x₁, . . . , x_n) und β(x₁, . . . , x_n)∧α(x₁, . . . , x_n)

• α(x1, . . . , xn)∧(β(x1, . . . , xn)∧γ(x1, . . . , xn)) und (α(x₁, . . . , x_n)∧β(x₁, . . . , x_n))∧γ(x₁, . . . , x_n)

• ∃x(φ(x, x₁, . . . , x_n)∨ψ(x, x₁, . . . , x_n))

und (∃x, φ(x, x₁, . . . , xn))∨(∃x, ψ(x, x₁, . . . , xn))

• ¬∀x. φ(x, x₁, . . . , x_n) und∃x.¬φ(x, x₁, . . . , x_n) e. Nicht logisch ¨aquivalent sind z.B.

• α∨β und (α∧ ¬β)∨(β∧ ¬α)

• ∀x∃y. φ(x, y) und ∃y∀x. φ(x, y)

1.11 Aussagen

Eine lokale Aussage ist eine Formel, in der jede Variable durch einen Quan- tor gebunden ist. Die Bedeutung einer lokalen Aussage α in einer Struktur A bei vorgegebenen Werten der lokalen Konstanten ist dann

Entweder W: α gilt in A f¨ur die gegebenen Werte der lokalen Konstanten oder F: α gilt in A f¨ur die gegebenen Werte der lokalen Konstanten nicht Beispiel: a+a =a·a gilt in N wenna= 2 , aber nicht wenn a= 3.

8 1 BEDEUTUNG VON FORMELN UND AUSSAGEN Eine Aussage ist eine lokale Aussage, in der keine lokalen Konstanten vorkommen. Die Bedeutung einer Aussage α in einer Struktur A ist also

Entweder W: α gilt inA oder F: α gilt inA nicht

Beispiel: Die Aussage ∀x∃y. x+y= 0 gilt in Z, aber nicht in N.

Aussagen, die in allen Strukturen gelten, in denen sie ¨uberhaupt interpretiert werden k¨onnen, heissen Tautologien und sind f¨ur Mathematiker herzlich uninteressant. Das Gegenteil, eine Aussage die in keiner Struktur gilt, heisst ein Widerspruch.

Beispiele: ∀x. x = x und ∃x. x = x sind Tautologien, das letztere, weil wir davon ausgehen, dass es zu jeder Sorte mindestens ein Element gibt.

Widerspr¨uche sind z.B. alle Aussagen der Form α∧ ¬α. Eine Aussage ist Tautologie genau dann, wenn ihre Negation ein Widerspruch ist. Die meisten Aussagen sind weder Tautologien noch Widerspr¨uche.

1.12 Gleichungen

Der einfachsten Aussagen sind von der Gestalt

∀x₁. . .∀x_n α

wobei α atomar ist. Hat man nur Operationen und Konstanten, so handelt es sich um eine Gleichung

∀x1. . .∀xnt(x1, . . . , xn) =s(x1, . . . , xn)

mit Terment und s. Beispiel: Wir betrachten die ganzen Zahlen Z mit Ad- dition, Null und Umkehrunga 7→ −a. Dann haben wir die folgenden funda- mentalen, in Zg¨ultigen Gleichungen:

(R1) ∀x∀y∀z. x+ (y+z) = (x+y) +z Assoziativi¨at

(R2) ∀x. x+ 0 = x Neutralelement

(R3) ∀x. x+ (−x) = 0 Inverses

(R4) ∀x∀y, x+y = y+x Kommutativit¨at Beziehen wir auch die Multiplikation ein, so kommen hinzu

(R5) ∀x∀y∀z. x·(y·z) = (x·y)·z Assoziativi¨at

(R6) ∀x. x·1 = x Neutralelement

(R7) ∀x∀y∀z. x·(y+z) = (x·y) + (x·z) Distributivi¨at (R8) ∀x∀y∀z. (y+z)·x = (y·x) +∗z·x) Distributivi¨at (R9) ∀x∀y, x·y = y·x Kommutativit¨at Aufmerksame H¨orer werden einwenden, dass wir weder genau erkl¨art haben, wasZ ist, noch wie wir die G¨ultigkeit der Gleichungen beweisen wollen. Das Problem liegt aber eigentlich bei N: Definition und Beweis der Grundtatsa- chen ist nicht umsonst zu haben. Die Konstruktion von Zund der Nachweis der Gleichungen ist dann eher einfach.

1.13 Axiomatische Methode

Mathematisch interessant sind also Aussagen, die in gewissen Strukturen gel- ten, aber nicht allen. Betrachten wir zun¨achst nur +,0,− und die Axiome (R1)-(R4), so gelten z.B. (R1)-(R3), nicht jedoch (R4) nicht in der Gruppe der Bewegungen, wenn wir + durch die Hintereinanderausf¨uhrung◦interpre- tieren. Wir nehmen also (R1)-(R4) als Axiome und nennen die Strukturen (mit zweistelliger Operation +, Konstante 0 und einstelliger Operation −), in denen diese Axiome gelten, kommutative oder abelsche Gruppen (nach dem Namensgeber des Abel-Preises, dessen Erfindungen weniger sch¨adlich sind, als die des Herrn Nobel). Zist dann ein Modell dieser Axiome (geh¨ort zu der durch diese Axiome definierten Klasse). Wie wir bald sehen werden bilden auch die Vektoren des Raumes ein Modell von (R1)-(R4).

Haben wir auch·,1 und gelten die Axiome (R1)-(R9), so sprechen wir von einem kommutativen Ring. Weitere Modelle sindQundR, aber z.B. auch die Gesamtheit der reellen Polynome. Es gibt aber auch interessante Beispiele, in denen das Kommuativgesetz nicht gilt. Und weniger interessante Beispiele, in denen andere der Axiome nicht erf¨ullt sind.

Die axiomatische Methodebesteht nun darin, zu den zu untersuchenden Strukturen passende Axiome zu finden (die aber in der Regel noch andere Modelle zulassen), und dann aus diesen Axiomen Aussagen durch logische Schl¨usse herzuleiten. Die logischen Schlussregeln m¨ussen dabei so beschaffen sein, dass ihre Zul¨assigkeit (Korrektheit) unmittelbar einsichtig ist. Dadurch ist garantiert, dass die gefolgerten Aussagen in der Tat in allen Modellen der vorausgesetzen Axiome gelten. Z.B. k¨onnen wir aus (R1)-(R4) herleiten

∀x∀y∀z.∀u(x+y) + (z+u) = (x+z) + (y+u)

und das gilt dann sowohl f¨ur Z wie f¨ur die Vektorrechnung. Die logischen Schl¨usse behandeln wir im n¨achsten Kapitel.

Die axiomatische Methode hat sich haupts¨achlich im Rahmen der Geome- trie entwickelt, beginnend mit Euklid und vorangetrieben von der Frage, ob sich das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen herleiten l¨asst. Nachem im 19. Jahrhundet Modelle gefunden wurden, in denen diese Axiome gelten, nicht jedoch das Parallelenaxiom, hat David Hilbert Anfang der 20. Jahr- hunderts die axiomatische Methode als eine grundlegende Vorgehensweise in der Mathematik etabliert, exemplarisch dargestellt in seinen “Grundlagen der Geometrie”.

2 Logisches Schließen

2.1 Substitution

Seien eine Formel φ(x₁, . . . , x_n) und konstanteTermet₁, . . . .t_ngegeben, d.h.

in den t_i kommen keine Variablen vor. Dann erhalten wir eine neue Formel, wenn wir f¨ur jede der Variablenx_i jedes nicht durch einen Quantor gebunde (also jedes freie) Vorkommen das Zeichen x_i durch t_i ersetzen. Wir notieren

10 2 LOGISCHES SCHLIESSEN diese Ersetzung und ihr Ergebnis durch

[t1/x1, . . . , tn/xn] undφ(t1, . . . , tn)

Beispiel. Aus x₁ = x₁ ∧ x₂ = x₂ ∧ ∃x₁.¬(x₁ = x₂) erhalten wir durch die Substitutuion [c/x₁, c/x₂] die Formel c = c ∧ c = c ∧ ∃x₁.¬(x₁ = c).

Werden nur einige der Variablenx_i so ersetzt, so notieren wir die Substituion als [x_i1/t_i1, . . . , x_ik/t_ik] und das Ergebnis im konkreten Fall auf naheliegende Weise. Ausx²+y² =z ensteht z.B. durch [2/z] die Formel x²+y² = 2.

2.2 Generalisierung

Den Beweis, dass ∀x.∀y. (x+y)² = x² + 2xy+y² in Z gilt, k¨onnen wir exemplarisch so f¨uhren: (17 + 13)² = (17 + 13)17 + (17 + 13)13 = 17·17 + 13· 17 + 17·13 + 13·13 = 17²+ 17·13 + 17·13 + 13² = 17²+ 2·17·13 + 13². Ein Meister in dieser Art der Beweisf¨uhrung war C.F.Gauss. Kein exemplarischer Beweis w¨are die Rechnung (17 + 13)² = 30² = 900, 17²+ 2·17·13 + 13² = 289 + 442 + 169 = 900 oder das Eintippen in den Taschenrechner.

Wir haben also auf 17 und 13 nur die bekannnten Gesetze (R1)-(R9 der Arithmetik angewendet, um zu disem Ergebnis zu kommen, nicht den spe- ziellen Wert. In diesem Sinne sind 17 und 13 feste, aber beliebige Elemente (FABs) und wir h¨atten an ihrer Stelle auchaundbschreiben k¨onnen. Wichtig ist nur, dass ¨uber a und b nichts weiter vorausgesetzt wird. Die verwendete logische Schlussregel ist die Generalisierungsregel:

Seienc1, . . . , cnneue lokale Konstanten (FABs). Dann k¨onnen wir von φ(c₁, . . . , c_n) auf∀x₁. . .∀x_n. φ(x₁, . . . , x_n) schliessen

φ(c₁, . . . , c_n)

∀x1. . .∀xn. φ(x1, . . . , xn) (∀I) Generalisierung

c_i FABs

ZEIGE:

∀x. A(x)

SEI:

c FAB ZEIGE:

A(c)

arbeite QED:

A(c) QED: ∀x. A(x)

Dass die c_i ‘neue Konstanten’ sind, meint, dass sie in keinem anderen Zu- sammenhang vorkommen, also keine irgendwie festgelegte Bedeutung haben.

Insofern k¨onnen wir nat¨urlich auch die Variable x_i zur neuen Konstanten c_i umwidmen. Also regelt dieser Schluss nur den Sprachgebrauch. Der Gewinn liegt darin, dass wir nun von ‘dem’ Objekt/Individuum/Element ci reden k¨onnen. Damit argumentiert es sich leichter. Wir haben also den generalise- renden Schluss vom ‘allgemeinen Beispiel’ auf die Allaussage.

2.3 Substitutionsregel

Seien diet_i konstante Terme. Dann k¨onnen wir von∀x₁. . .∀x_n. φ(x₁, . . . , x_n) aufφ(t₁, . . . , t_n) schliessen, d.h. wir d¨urfenx_idurcht_iersetzen, nat¨urlich jedes Vorlommen vonx_i durch dasselbet_i (aber diet_im´ussen nicht alle verschieden sein). Also sprechen wir von der Substitutions- oderEinsetzungsregel.

∀x₁. . .∀x_n. φ(x₁, . . . , x_n) φ(t₁, . . . , t_n) (∀E)

Substitution [t₁/x₁, . . . , t_n/x_n] Einsetzung von konstanten t_i f¨ur x_i. Damit haben wir ein Schema, um aus Gleichungen eine weitere Gleichung herzuleiten: Ersetze die Variablen der herzuleitenden Gleichung durch neue Konstante (FABs) und setze die dabei entstehenden Terme so in die als Axio- me gegebenen Gleichungen ein (Substitutionsregel), dass sich aus den so ge- wonnenen Gleichungen f¨ur die FABs eine Hwerleitung der neuen Gleichung (f¨ur die FABs) ergibt. Nach der Generalisierungsregel ist dann die neue Glei- chung tats¨achlich aus den Axiomen bewiesen. Wir m¨ussen also den Umgang mit Gleichungen zwischen lokalen Konstanten n¨aher er¨ortern.

2.4 Identit¨ atsregeln

Wir haben das Gleichheitszeichen als Bestandteil jeder Sprache der Logik eingef¨uhrt, unabh¨angig von der Wahl der Grundbegriffe und des zu disku- tierenden Bereichs. Dies bedeutet nicht, dass Gleichheit ein vom Kontext unabh¨angiger Begriff sei. Insbesondere beim Prozess der Abstraktion wech- seln wir von einem vorgegebenen (h¨aufig formalen) Gleichheitsbegriff zu ei- nem weiter gefassten, inhaltlichen Begriff von ‘Gleichheit in einer gewissen Hinischt’.

Unser Umgang mit einem f¨ur einen bestimmten Bereich g¨ultigen Gleich- heitsbegriff muss nach Leibniz den folgenden Regeln gen¨ugen. Die Mindest- bedingung ist, dass die Gleichheit eine ¨Aquivalenzrelation ist, d.h. es gelten die Regeln (f¨ur konstante Terme s, t, r)

t =t Reflexivit¨at t=s

s=t Symmetrie t=s s =r

t=r Tran-

sitivi¨at

Haben wir t = s bewiesen, definiert oder vorausgesetzt, so d¨urfen wir in jedem Term w ein oder mehrere Vorkommen von t durch s ersetzen.

t=s

w(. . . t . . . t . . . t . . .) = w(. . . t . . . s . . . t . . .) Termersetzung

Eine st¨arkere Form dieser Regel erlaubt uns aufgrund der gegebenen Glei-

12 2 LOGISCHES SCHLIESSEN chungs =tbeliebig viele der Vorkommen vontin der Formelφ(. . . t . . . t . . . t . . .) durch s ersetzen und so auf φ(. . . t . . . s . . . t . . .) schliessen.

φ(. . . t . . . t . . . t . . .) t=s

φ(. . . t . . . s . . . t . . .) Leibnizsche Ersetzung Kombinieren wir Transitivit¨at und Ersetzung. so k¨onnen wir Gleichheit zwi- schen Termen durch eine fortlaufende Rechnung etablieren, in der wir jeweils einen Teilterm durch einen schon als gleich erkannten ersetzen. Wegen der Symmetrie ist es egal, wie herum die Gleichungen dastehen. Wenn wir das tun, werden wir in Zukunft einfach das magische Wort Leibniz’ benutzen. Als Beispiel beweisen wir die oben behauptete Konsequenz aus (R1)-(R4). Dazu legen wir die Axiome (R1)-(R4) zugrunde und betrachten wir FABs a, b, c, d ( ¨ublicher Mathe-Sprech: “SeiAeine kommutative Gruppe unda, b, c, d inA beliebig”). Nun rechnen wir

(a+b) + (c+d) (R1) [(a+b)/x, c/y, d/z]

= ((a+b) +c) +d (R1) [a/x, b/y, c/z]

= (a+ (b+c)) +d (R4) [b/x, c/y]

= (a+ (c+b)) +d (R1) [a/x, c/y, b/z]

= ((a+c) +b) +d (R1) [(a+c)/x, b/y, d/z]

= (a+c) + (b+d)

Dabei haben wir jeweils den ersetzten Teilterm unterstrichn und rechts das verwendete Axiom und die Substitution angegeben. Der Beweis der Gleichung ist dann nur noch eine Formalit¨at

AXIOME: (R1)-(R4)

ZEIGE:∀x∀y∀z.∀u(x+y) + (z+u) = (x+z) + (y+u) SEIEN: a, b, c, d FAB

ZEIGE: (a+b) + (c+d) = (a+c) + (b+d)

obige Rechnung (Leibniz)

(a+b) + (c+d) = (a+c) + (b+d)

QED: ∀x∀y∀z.∀u(x+y) + (z+u) = (x+z) + (y+u) (∀I) Man soll aber nicht glauben, dass man das Gleichungswesen getrost den In-

formatikern ¨uberlaasen k¨onnte. Im Allgemeinen gibt es jedenfalls kein Verfah- ren, das herausfindet, ob eine Gleichung aus gegebenen Axiomen herleitbar ist. Und auch wenn sie herleitbar ist, kann f¨ur die Herleitung mathematische Kreativit¨at gefragt sein.

2.5 Konjunktionsregeln

Die Konjunktionsregeln sind die einfachsten Regeln. Sie besagen, dass wir von einer Konjunktionα₁∧. . .∧α_m auf jedes ihrer Gliederα_i und umgekehrt von der Gesamtheit α₁, . . . , α_m ihrer Glieder auf die Konjunktion schliessen d¨urfen. Dabei d¨urfen wir beliebig klammern oder die Klammern gleich weg- lassen.

α₁. . . α_k

α₁∧. . .∧α_k (∧I) (Und-Introduktion) α₁∧. . .∧α_k

α_i (∧E) (Und-Elimination)

2.6 Implikationen

H¨aufig ist eine Gleichung nur unter einer einschr¨ankenden Voraussetzung erf¨ullt, z.B. Wenn a 6= 0 und ab = ac dann b = c in Z. F¨uhren wir die , Implikation φ ⇒ ψ zwischen zwei Formeln ein (mit Pr¨amisse φ und Kon- klusion ψ), so k¨onnen wir das ausdr¨ucken durch die K¨urzungsregel (die nicht aus (R1)-(R9) folgt)

∀x∀y∀z.¬(x= 0)∧x·y=x·z ⇒y=z

Die ¨ubliche Bedeutung vonα ⇒βist, dass es nur dann nicht zutrifft, wennα zutrifft, nicht jedoch β. Insbsondere trifft α ⇒β4 zu, wenn α nicht zutrifft.

Das heisst: ist die Pr¨amisse nicht erf¨ullt, so ist nichts weiter zu tun, Das mag nur dann seltsam erscheinen, wenn man in diesem Zusammenhang unbedingt von Wahrheit reden m¨ochte. Tabellarisch sieht es so aus:

β W F

α α⇒β

W W F

F W W

Ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweisen ist die Einf¨uhrung tempor¨arer An- nahmen: beim Beweis einer Implikation α ⇒ β ist dies meist die Pr¨amisse α. K¨onnen wir unter Benutzung dieser Annahme (und der Axiome) die Kon- klusion β beweisen, so ist α⇒β bewiesen (und die Annahmeα kann wieder eliminiert werden - angedeutet durch die Schreibweise [φ].

[α]

... β

α⇒β (⇒I)

Implikations-Introduktion

Implikationsbeweis ZEIGE:

A⇒B

ANNAHME:

A ZEIGE:

B arbeite QED:

B QED: A ⇒

B

14 2 LOGISCHES SCHLIESSEN Wollen wir umgekehrt eine Implikation α ⇒ β in einem Beweis benutzen, m¨ussen wir α verf¨ugbar haben, um auf β schliessen zu k¨onnen.

α α⇒β

β (⇒E) (modus ponens,Abtrennung, Implikations-Elimination)

2.7 Rechnen in kommutativen Gruppen und Ringen

Wir wollen einige der n¨utzlichsten Gleichungen und Implikationen aus den Axiomen (R1)-(R4) bzw. (R1)-(R9) herleiten. Wir schreibenx−y=x+(−y) und xy=x·y. Aus (R1)-(R4) folgen

(1) ∀x. x+x=x ⇒ x= 0 (2) ∀x∀y. x+y= 0 ⇒ y=−x (3) ∀x∀y. x+y= 0 ⇒ y=−x (4) ∀x∀y. x−y= 0 ⇒ x=y (5) ∀x∀y∀z. z+y=x ⇒ z =x−y

(6) ∀x x=−(−x)

Aus (R1)-(R9) folgen

(7) ∀x. 0·x= 0

(8) ∀x. (−1)x=−x

(9) ∀x. (−1)(−1) =−1 (10) ∀x∀y∀z. x(y−z) =xy−xz (11) ∀x (∀y. xy=y)⇒x= 1

Wir beweisen (1), (2) und (7) sowie, unter der Vorausseztung der Nullteiler- freiheit, die K¨urzungeregel. Die restlichen Beweise lassen wir als ¨Ubung.

AXIOME: (R1)-(R4)

ZEIGE:∀x. x+x=x⇒x= 0 SEI: a FAB

ZEIGE:a+a=a⇒a= 0 ANNAHME: a+a =a ZEIGE:a = 0

a= (R2) [a/x]

=a+ 0 (R3) [a/x]

=a+ (a−a) (R1) [a/x, a/y,(−a)/z]

= (a+a)−a Annahme

=a−a (R2) [a/x]

= 0

QED: a= 0 Leibniz

QED: a+a =a ⇒a = 0 (⇒I)

QED: ∀x. x+x=x⇒x= 0 (∀I)

AXIOME: (R1)-(R4)

ZEIGE:∀x∀y. x+y= 0⇒y=−x SEIEN: a, bFAB

ZEIGE:a+b= 0 ⇒b=−a ANNAHME:a+b = 0 ZEIGE:b =−a

b= (R2) [b/x]

=b+ 0 (R3) [a/x]

=b+ (a−a) (R1) [b/x, a/y,(−a)/z]

= (b+a)−a (R4) [b/x, a/y]

= (a+b)−a Annahme

= 0−a (R4) [0/x,(−a)/y]

= (−a) + 0 (R2) [(−a)/x]

=−a

QED:b =−a Leibniz

QED:a+a=a⇒a= 0 (⇒I)

QED:∀x. x+x=x⇒x= 0 (∀I)

AXIOME: (R1)-(R8) ZEIGE:∀x.0·x= 0

SEI:a FAB ZEIGE: 0·a= 0

0·a = (R2) [0/x]

= (0 + 0)a (R8) [a/x,0/y,0/z]

= 0a+ 0a

0a+ 0a= 0a Leibniz

0a+ 0a= 0a⇒0a= 0 (∀E) in (1) [0a/x]

QED: 0a= 0 (⇒E)

QED:∀x.0·x=x (∀I)

16 2 LOGISCHES SCHLIESSEN AXIOME: (R1)-(R9), (0)∀x∀y.¬(x= 0)∧x·y= 0 ⇒y= 0

ZEIGE:∀x∀y∀z.¬(x= 0)∧x·y=x·z ⇒y=z SEIEN: a, b, c FAB

ZEIGE:¬(a= 0)∧a·b=a·c⇒b =c ANNAHME: ¬(a = 0)∧a·b=a·c ZEIGE b=c

¬(a= 0) (∧E)

a·b =a·c [1] (∧E)

a(b−c) = (10) [a/x, b/y, c/z]

=ab−ac Termersetzung [1]

=ab−ab (R2) [ab/x]

= 0

a·(b−c) = 0 Leibniz

¬(a= 0)∧a·(b−c) = 0 (∧I)

¬(a= 0)∧a(b−c) = 0⇒b−c= 0 (∀E in (0) [a/x,(b−c)/y]

b−c= 0 (⇒E)

QED b=c (∀E) in (2) [b/x,c/y]

QED ¬(a= 0)∧a·b =a·c⇒b=c (⇒I)

QED: ∀x∀y∀z.¬(x= 0)∧x·y=x·z ⇒y=z (∀I)

***

2.8 Aquivalenzbeweise ¨

Wir k¨onnen die ¨Aquivalenz α ⇔β (lies: α ist ¨aquivalent oder gleichbedeu- tend zuβ) auffassen als Konjunktion zweier Implikationen: (α⇒β) ∧ β ⇒ α). Also:α trifft genau dann zu, wenn β zutrifft. In Tabellenform (f¨ur lokale Aussagen)

β W F

α α∧β

W W F

F F W

Wir k¨onnen aber auch die zusammengefassten Schlussregeln angeben

• Von A ⇔ B und A k¨onnen wir auf B schliessen, von A ⇔ B und B auf A.

A ⇔B A

B (⇔E)

A⇔B B

A (⇔E)

(Aquivalenz-Elimination)¨

• Haben wir B unter der Annahme A und A unter der Annahme B bewiesen, so haben wir A⇔B beweisen.

[A] [B]

... ...

B A

A⇔B (⇔I)

(Aquivalenz-Introduktion)¨

18 2 LOGISCHES SCHLIESSEN

S¨atze, die unter Voraussetzungen die paar- weise ¨Aquivalenz mehrerer lokaler Aussagen behaupten, sind in der Mathematik sehr be- liebt. Man muss dabei nicht alle paarweisen Aquivalenzen beweisen, sondern es gen¨¨ ugt soviele Implikationen zu beweisen, dass man l¨angs der Implikationspfeile von jeder Aussa- ge zu jeder anderen gelangen kann. Der ein- fachste Fall ist der eines kreisf¨ormigen Weges von Implikationen.

Aquivalenzbe-¨ weis

ZEIGE: A ⇔ B

ANNAHME 1:

A ZEIGE:

B arbeite QED 1:

B

ANNAHME 2:

B ZEIGE:

A arbeite QED 2:

B QED:A⇔B

2.9 Disjunktion und Fallunterscheidung

• Von jedem der A_i k¨onnen wir auf A₁∨ . . .∨Ak schliessen.

A_i

A₁∨. . .∨A_k (∨I) (Oder-Introduktion)

• Haben wir A1∨. . .∨Ak bewiesen und B unter jeder der AnnahmenA_i bewie- sen, so haben wir B bewiesen.

[A₁] . . . [A_k] ... ... A₁∨. . .∨A_k B . . . B

B (∨E)

(Fallunterscheidung (Oder-Elimination )

Fallunterscheidung ZEIGE: A

F ¨ALLE: B₁, , B₂ ZEIGE: B₁∨B₂ arbeite

QED: B₁ ∨B₂ FALL 1: ANN.: B₁

ZEIGE:

A arbeite QED

1:A FALL 2: ANN: B₂

ZEIGE:

A) arbeite QED

2:A QED: A

2.10 Existenzbeweise

Sind die t_i (lokal) konstante Terme und haben wirA(t₁, . . . , t_n) bewiesen, so auch ∃x₁. . .∃x_n. A(x₁, . . . , x_n)Aufzeigung, Konstruktion.

A(t₁, . . . , t_n)

∃x₁. . .∃x_n. A(x₁, . . . , x_n) (∃I)

Aufzeigung, Konstruktion T_i lokal konstante Terme

Beispiel: ∃y :N. y³ = 27 wird durch t = 3 belegt. Nun k¨onnen wir auch

∃x:N. A(x) mit A(x) == 3x = 27 beweisen: mit t == 3y folgt das aus der leichten Aufgabe ∃y:N. A(t) ==∃y:N.3(3y) = 27.

Haben wir ∃x₁. . .∃x_n. A(x₁, . . . , x_n) bewiesen und, mit neuen Konstanten c_i (f¨ur die als existent nachgewiesenen, aber nicht gefangenenEinh¨orner) unter der Annahme A(c₁, . . . , c_n) auch B bewiesen, so haben wir B bewiesen.

20 2 LOGISCHES SCHLIESSEN [A(c₁, . . . , c_n)]

...

∃x₁. . .∃x_n. A(x₁, . . . , x_n) B

B (∃E)

Beweis durch Hilfsgr¨ossen c_i neue Konstanten: Einh¨orner

In der Praxis bedeutet das oft: aus der puren Existenz einer L¨osung auf die Konvergenz eines N¨aherungsverfahrens zur Berechnung einer L¨osung zu schliessen. Prominentes Beispiel in der Linearen Algebra: Die Hauptachsen- transformation f¨ur reelle symmetrische Matrizen. Die ‘Einh¨orner’ sind dabei reelle Zahlen, die man meist nicht explizit ausrechnen kann, die jedoch als Grenzwerte konvergenter Folgen belegt sind.

Konstruktion

ZEIGE: ∀x. B(x) ⇒

∃y. A(x, y)

SEI: c FAB mit B(c)

KONSTRUIERE:

Term t(x) ZEIGE:

A(c, t(c)) arbeite QED:

A(c, t(c)

QED: ∀x. B(x) ⇒

∃y. A(x, y)

Einhorn ZEIGE:

(∃x. A(x))⇒B W ¨AHLE:

c mit A(c) ZEIGE:

B arbeite QED:

B

QED: (∃x. A(x)) ⇒ B

2.11 Negationsregeln und Widerlegung

¬Ai

¬(A₁∧. . .∧A_k)

A∨B ¬A

B [A]

...

B ¬B

¬A

modus tollens, Notwendigkeit von B f¨ur A

¬A A⇒B

materiale Implikation, Gr¨uner K¨ase

W¨ahrend die ersten drei Regeln auf unproblematische Weise das Zusammen- spiel der Negation mit den anderen Junktoren wiedergeben, st¨osst die vierte h¨aufig auf Befremden: sie erkl¨art folgende Aussage als wahr “Wenn der Mond aus gr¨unem K¨ase ist, so ist 0 = 1” - da n¨amlich der Mond erwiesenermaßen nicht aus gr¨unem K¨ase ist. Etwas mathematischer: “ Wenn 0 = 1, dann sind F¨unfe gerade”. Wie man am Beweis der Transitivit¨at der nat¨urlichen Ord-

nung sieht, ist dieser Schluss unentbehrlich, sobald man Vorbedingungen in negierter Form (wie x6= 0) benutzen muss.

Aussagen der Form

A∧ ¬A, ∃x. x6=x, oder 0_N= 1_N

heissen Widerspr¨uche, da sie in keinem nur denkbaren Bereich g¨ultig sein k¨onnen. Aus einem Widerspruch kann man jeden andern (und was sonst be- liebt) beweisen, also kann man sie zu ‘FALSUM’ oder⊥zusamenfasssen. Hat man aus einer Aussage A einen Widerspruch hergeleitet, d.h. hat manA ad absurdum gef¨uhrt, so hat man ¬A bewiesen. Die Aussage “f¨ur kein x gilt A(x)” kurz∀x.¬A(x), beweist man dadurch, dass man aus einem angenom- menen Beispiel einen Widerspruch herleitet. Die Existenz eines x mit¬A(x) wird durch Widerlegung von ∀x. A(x) bewiesen.

Widerlegung ZEIGE:¬A

ANNAHME:

A

WIDERLEGE arbeite

QED:

FAL- SUM QED:¬A

Ausschluss von Ge- genbeispielen ZEIGE:∀x. A(x)

SEI: c FAB mit

¬A(c)

WIDERLEGE arbeite

QED:

FAL- SUM QED:∀x. A(x) [A]

... F ALSU M

¬A ¬I

[∃x1. . .∃xn. A(x1. . . . , xn)]

... F ALSU M

∀x₁. . .∀x_n.¬A(x₁, . . . , x_n)

[∀x1. . .∀xn.¬A(x1, . . . , xn)]

... F ALSU M

∃x₁. . .∃x_n.¬A(x₁. . . . , x_n) Den Umgang mit dem Widerspruch beschreiben die folgenden beiden Regeln

A ¬A

⊥ (⊥I)

⊥

A (⊥E) ex falso quodlibet

2.12 Indirekter Beweis

Der Gebrauch doppelter Verneinung ¬¬A ist in der Mathematik und Infor- matik in der Regel nur Folge von Gedankenlosigkeit und kann meist vermie-

22 2 LOGISCHES SCHLIESSEN den werden. Dennoch wird ¨uberwiegend die Gleichsetzung von A und ¬¬A akzeptiert: A ⇔ ¬¬A. Das rechtfertigt dann den h¨aufig bequemen Beweis einer AussageAdurch Widerlegung der Gegenannahme¬A, einer Allaussage

∀x. A(x) durch Ausschluss eines Gegenbeispiels ¬A(c).

[¬A]

... F ALSU M

A ¬E

Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis, reductio ad absurdum

[¬A(c₁, . . . , c_n)]

... F ALSU M

∀x1. . .∀xn. A(x1, . . . , xn) Von derselben Art sind der Beweis durch Kontraposition (statt A ⇒ B zeigt man ¬B ⇒ ¬A) und die Annahme des tertium non datur: A∨ ¬A.

[¬B] ...

¬A A⇒B

Kontraposition

beweis

[A] [¬A]

... ...

B B

B

Fallunterscheidung mit ausgeschlossenem Dritten,

tertium non datur [¬A₁∧. . .∧ ¬A_k]

... F ALSU M A₁∨. . .∨A_k

nicht-

konstruktives Oder

[∀x₁. . .∀x_n.¬A(x₁, . . . , x_n)]

... F ALSU M

∃x₁. . .∃x_n. A(x₁, . . . , x_n)

nicht- konstruktive

Existenz

Dass man bei solchen Schlussweisen leicht von der intuitiven Einsicht in den zu studierenden Sachverhalt abhebt sei nur durch ein Beispiel belegt. Wir behaupten, dass es irrationale Zahlen a, b gibt so, dass a^b rational ist und beweisen es durch die folgende Fallunterscheidung:

1. Fall: √ 2

√

2 ist rational. W¨ahle: a=b=√ 2 2. Fall: √

2

√

2 ist irrational. W¨ahle: a=√ 2

√

2, b=√ 2

Indirekter Beweis ZEIGE:A

ANNAHME:

¬A

WIDERLEGE arbeite

QED:

FAL- SUM QED:A

Kontraposition ZEIGE:

A⇒B

ANNAHME:

¬B ZEIGE:

¬A

arbeite QED:

¬A QED: A ⇒

B

Fall und Ge- genfall ZEIGE: A

FALL 1:

B arbeite QED 1:

A FALL 2:

¬B

arbeite QED 2:

A QED: A

24 2 LOGISCHES SCHLIESSEN

Nichtkonstruktives Oder

ZEIGE:A1∨A2

ANNAHMEN:

¬A₁,¬A₂ WIDERLEGE arbeite

QED:

FAL- SUM QED: A₁∨A₂

Nichtkonstruktive Existenz

ZEIGE:

∃x. A(x)

ANNAHME:

∀x.¬A(x)

WIDERLEGE arbeite

QED:

FAL- SUM QED: ∃x. A(x)

2.13 Logische ¨ Aquivalenzen

A∧A h≡i A A∧B h≡i B∧A A∧(B ∧C) h≡i (A∧B)∧C

A∨A h≡i A A∨B h≡i B∨A A∨(B ∨C) h≡i (A∨B)∨C

¬¬A h≡i A

¬(A∧B) h≡i ¬A∨ ¬B

¬(A∨B) h≡i ¬A∧ ¬B A∧(B ∨C) h≡i A∧B∨A∧C A∨(B ∧C) h≡i (A∨B)∧(A∨C)

A⇒B h≡i ¬A∨B

A⇔B h≡i (A⇒B)∧(B ⇒A)

¬∀xA(x) h≡i ∃x¬A(x)

¬∃xA(x) h≡i ∀x.¬A(x)

∀x.(A(x)∧B(x)) h≡i ∀x. A(x)∧ ∀x. B(x)

∃x.(A(x)∨B(x)) h≡i ∃x. A(x)∨ ∃x. B(x)

∀x.∀y. A(x) h≡i ∀y.∀x. A(x)

¬∀x. A(x)⇒B(x) h≡i ∃x. A(x)∧ ¬B(x)

¬∃x. A(x)∧B(x) h≡i ∀x. A(x)⇒ ¬B(x)

∃x∃yA(x) h≡i ∃y∃xA(x)

∀x.(A(x)∨B(x)) h≡i (∀x. A(x))∨B(x)

∃x.(A(x)∧D) h≡i (∃x. A(x))∧D

∀x.(A(x)→D) h≡i (∃x. A(x))→D

∃x.(A(x)→D) h≡i (∀x. A(x))→D

falls x inD, wenn ¨uberhaupt, dann nur quantifiziert vorkommt.

2.14 Beschr¨ ankte Quantoren

Betrachet man Strukturen mit einer durch ein einstelliges Pr¨adikatP(x) aus- gezeichneten Teilmenge, so benutzt man folgende abk¨urzende Schreibweise

∀x∈P. α statt ∀x. P(x)⇒α

∃x∈P. α statt ∃x. P(x)∧α

Man liest: “F¨ur alle x in P” bzw. “es gibt x in P”. Beispiel: In R hat man die ausgezeichnete Teilmenge N>0 der nat¨urlichen Zahlen >0

∀x.(0≤x∧ ∀y∈N>0. x≤ 1

y)⇒x= 0

∀x.∃y∈N. x≤y

Die Zuordnung von Buchstaben am Ende des Alphabets zu Variablen, am Anfang zu Konstanten wird im mathematischen Alltag oft nicht eingehalten.

Stattdessen benutzt man Buchstaben, die Assoziationen an den Namen der relevanten Menge erwecken, z.B. n, mf¨ur nat¨urliche Zahlen,P, Qf¨ur Punkte, g, hf¨ur Geraden. Ob dann Variablen oder Konstanten gemeint sind, muss der Leser aus dem Zusammenhang erschließen.

26 2 LOGISCHES SCHLIESSEN

2.15 Affine Inzidenzebene

Um einfache und sinnvolle Beispiele f¨ur obige Schlussregeln zu erhalten, be- trachten wir ein geometrisches Axiomensystem, das einige Grundtatsachen zur Inzidenz von Punkten und Geraden in der Ebene wiedergibt. Die Modelle heissen auch affine Inzidenzebenen. Wir haben zwei Sorten von Objekten

• Punkte, bezeichnet durch Variablen X, Y, . . . und lokale Konstanten P, Q, . . .

• Geraden, bezeichnet durch Variablen x, y, . . . und lokale Konstanten g, h, . . .

und die bin¨are Relation der Inzidenz zwischen Punkten und Geraden

• Xy, P g (P liegt auf g) usw.

Wir benutzen die folgenden abk¨urzenden Schreibweisen

• x6=y f¨ur¬(x=y) undX 6=Y f¨ur ¬(X=Y)

• xky f¨urx=y∨ ¬(∃X. Xx∧Xy) (x parallel y)

• X/y f¨ur ¬(Xy) und x6ky f¨ur¬(xky)

• κ(X, Y, Z) f¨ur∃u. Xu∧Y u∧Zu (X, U, Z sind kollinear, liegen auf einer Geraden)

• ∃¹x. φ(x) f¨ur (∃x. φ(x))∧ ∀x∀y. φ(x)∧φ(y)⇒x=y (genau ein xmit φ(x))

Die Axiome sind nun:

(E1) Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade durch diese Punkte

∀X∀Y. X 6=Y ⇒ ∃¹z. Xz∧Y z

(E2) Zu jeder Geraden und jedem Punkt gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt

∀x∀Y∃¹z. Y z∧z kx (E3) Es gibt drei nicht kollineare Punkte

∃X∃Y∃Z¬κ(X, Y, Z)

Neben “der” Ebene gibt es noch viele andere Modelle, z.B. solche mit pⁿ Punkten, wobei p Primzahl und n ∈ N_>0. Es ist ein offenes Problem, ob andere endliche Elementanzahlen vorkommen.

Wir folgern aus den Axiomen (E1), (E2), (E3) (4) Jede Gerade ist zu sich selbst parallel

(5) Ist die Gerade g zuh parallel, so auch h zug (6) g kh genau dann, wenn (∃X. Xg∧Xh)⇒g =h

(7) Nicht parallele Geraden haben mindestens einen gemeinsamen Punkt (8) Sind die Geraden g und h und h und k parallel, so sind auch g und k

parallel

(9) Je (drei) nichtkollineare Punkte sind paarweise verschieden

(10) Sind P, Q, R nicht kollinear und g eine Gerade durch P und Q, h eine Gerade durch P und R, so sind g und h nicht parallel

(11) Jede Gerade enth¨alt mindestens 2 verschiedenen Punkte (12) Es gibt 4 paarweise verschiedene Punkte

(13) F¨ur Geraden g und h sind ¨aquivalent (i) g nicht parallel zu h

(ii) g 6=h und es gibt einen gemeinsamen Punkt vong und h (iii) g und h haben genau einen Punkt gemeinsam

(14) Zu je (zwei) Geraden gibt es eine Gerade, die zu keiner der beiden parallel ist

(15) Zu je (zwei) Geraden gibt es eine bijektive Abbildung der Menge der Punkte auf der einen, auf die Menge der Punkte auf der anderen.

25

3 Reelle Zahlen und Vektoren

Wir setzen Kenntnis und anschauliches Verst¨andnis der Grundtatsachen ele- mentarer Geometrie und Arithmetik voraus. Ziel dieses Kapitels ist es, dieses Verst¨andnis zu vertiefen und gleichzeitig in die vektorielle Geometrie ein- zuf¨uhren. W¨ahrend wir Punkte, Geraden, Ebenen und die Beziehungen zwi- schen ihnen als geometrische Gegebenheiten akzeptieren, m¨ussen wir den Begriff des “Vektors” erst erarbeiten. Die Motivation f¨ur Vektoren kommt nat¨urlich aus der Physik z.B. Kraft- und Geschwindigkeitsvektoren

Eine vektorielle Gr¨osse wird angegeben durch Betrag/L¨ange und Richtung

Als geometrisches Objekt ist ein Vektor demnach eindeutig bestimmt durch

“L¨ange” und “Richtung”. Insbesondere ist die Gleichheit von Vektoren die Gleichheit nach L¨ange und Richtung. Was aber ist damit gemeint? M¨ussen wir uns f¨ur die L¨angen vorher auf ein Maßsystem einigen, und wie stellen wir die Richtung fest? Mit dem Kompass? Zum Gl¨uck handelt es sich um ein Scheinproblem: ¨ublicher “Didaktik” folgend, haben wir uns auf abstrakte Begriffe eingelassen, ohne vorher die konkrete Repr¨asentation und die Vor- aussetzungen f¨ur den Abstraktionsprozess zu kl¨aren. Schlimmer w¨are nur noch, mit einem “Koordinatensystem” anzufangen.

3.1 Pfeile

Um eine bestimmte L¨ange und Richtung anzugeben, weist man am einfach- sten ein Objekt auf, dem diese zukommen. Zum Beispiel einen Pfeil, d.h. ein Punktepaar P Q= (P, Q) bestehend aus Anfangspunkt P und Endpunkt Q des Pfeils. Wir haben damit einen neuen Typ von geometrischen Objekten und m¨ussen nun pr¨azisieren, was “ ¨Ubereinstimmung nach L¨ange und Rich- tung”, kurz “ ¨Aquivalenz”, heissen soll. Zwei PfeileP Qund RS, die nicht auf einer Geraden liegen, heissen aquivalent und wir schreiben P Q∼RS, wenn die zugeh¨origen Punkte ein Parallelogramm wie in der Skizze bilden. Auf die Orientierung kommt es dabei nicht an, wir haben also auch QP ∼ SR, P R ∼QS usw.

U

P Q

R S

P Q

V

R S

F¨ur Pfeile, die auf derselben Geraden g liegen, definieren wir

P Q∼RS ⇔ es gibtU V nicht auf g mit P Q∼U V und U V ∼RS

dabei kann manU sogar beliebig (ausserhalb g) vorgeben. Festzuhalten ist, dass die Relation der ¨Aquivalenz mittels Geodreieck und Lineal ¨uberpr¨uft werden kann.

Elementargeometrisch kann man die Parallelo- grammerg¨anzung zeigen:

Zu den Punkten P, Q, R gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt S mit P Q∼RS.

S

P Q

R

3.2 Vektoren

Wir wollen nun den Begriff “Vektor” dadurch einf¨uhren, dass wir sagen:

• Pfeile repr¨asentieren genau dann denselben Vektor, wenn sie ¨aquivalent sind.

Wenn das nicht zu Widerspr¨uchen f¨uhren soll, muss ∼ eine “ ¨Aquivalenzre- lation” sein, d.h. die folgenden Grundeigenschaften einer Gleichheitsrelation erf¨ullen

• P Q∼P Q (Reflexivit¨at)

• AusP Q∼RS folgt RS ∼P Q (Symmetrie)

• AusP Q∼U V und U V ∼RS folgtP Q∼RS (Transitivit¨at)

Die ersten beiden Eigenschaften sind offensichtlich erf¨ullt, hinter der dritten steckt ein zwar an- schaulich einsichtiger, aber nicht trivialer Satz (vgl. Skizze).

P Q

U V

R S

Durch “Abstraktion” nach dieser ¨Aquivalenzrelation erhalten wir numehr den Begriff Vektor:

• Vektoren sind Gr¨ossen, die durch Pfeile repr¨asentiert werden

• Jeder PfeilP Q repr¨asentiert genau einen Vektor −→

P Q

• −→

P Q=−→

RS genau dann, wenn P Q∼RS

• Gilt −→

P Q=−→

RS, so P =R genau dann, wenn Q=S

Entscheidend f¨ur das Zusammenspiel zwischen Punkten und Vektoren und damit die Grundlage f¨ur das Rechnen mit Vektoren sind nun die folgenden beiden Tatsachen

3.3 Vektoraddition 27

(A1) Zu jedem Punkt P und Vektor~v gibt es genau einen Punkt Q mit

~

v =−→

P Q. Wir schreiben Q=~v+P.

(A2) Zu je zwei Punkten P, Q gibt es genau einen Vektor~v mit~v =−→

P Q (gleichwertig: mit Q=~v+P)

Q=~v +P

~v

P Ist n¨amlich~v =−→

AB, so erh¨alt manQ=~v+P, indem man A, B, P zum Par- allelogramm erg¨anzt undQist dadurch eindeutig bestimmt, unabh¨angig von der Wahl des repr¨asentierenden Pfeils: Ist −→

AB =−−→

A⁰B⁰ und Q⁰ die Erg¨anzung von A⁰, B⁰, P zum Parallelogramm, so P Q ∼ AB ∼ A⁰B⁰ ∼ P Q⁰, also P Q ∼P Q⁰ und daher Q =Q⁰. Wir haben somit eine wohldefinierte Ope- ration +, die Vektoren mit Punkten zu Punkten verkn¨upft. In der zweiten Aussage steckt die Tatsache, dass wir Vektoren durch Abstraktion aus der Menge der Pfeile eingef¨uhrt haben.

3.3 Vektoraddition

Zu je zwei Vektoren ~a, ~b gibt es genau einen Vektor ~c so, dass es Punkte P.Q.R gibt mit

~a=−→

P Qund~b=−→

QR und~c=−→

P R

Damit d¨urfen wir definieren:

~a+~b:=~c

Die Existenz von~cist klar, die Eindeutigkeit ergibt sich aus der Skizze. Weiterhin erhalten wir

P

Q

~a

R P⁰

Q⁰

R⁰

~b

~c

~b

~c⁰

~a

(A3) (w~ +~v) +P =w~ + (~v+P) ^{w~ +~v}

P

~v ~v+P w~ + (~v+P)

= (~w+~v) +P

~ w

(V1) (w~+~v) +~u=w~ + (~v+~u)

=~c+ (~b+~a)

~a

~b ~c

~b+~a

~c+~b

(~c+~b) +~a

(V2) ~v+w~ =w~ +~v

P Q

~ v

R S

~v

~ w

~ w

• Alle Pfeile P P repr¨asentieren denselben Vektor~0 und es gilt (A4) ~0 +P =P, (V3) ~v+~0 =~v

• Zu jedem Vektor~agibt es genau einen Vektor~bso, dass es PunkteP, Q gibt mit~a=−→

P Qund~b=−→

QP.

Somit erhalten wir eine wohldefinierte Ope- ration~a 7→ −~a mit

−~a=−→

QP genau dann, wenn~a=−→

P Q und es gilt

(V4) ~v+ (−~v) =~0

~ v

−~v

3.4 Nat¨ urliche Zahlen

Die Arithmetik gr¨undet auf das Prinzip des “Weiterz¨ahlens“ und erscheint eng mit der Zeitvorstellung verbunden. Die Reihe N der nat¨urlichen Zahlen 0,1,2,3, . . . nehmen wir als gegeben. Die relevante Struktur ist das ausge- zeichnete Element 0 und die “Nachfolgeroperation” n 7→ n + 1. Sie wird charakterisiert durch die folgenden Eigenschaften

3.5 Ganze Zahlen 29

• 0 ist kein Nachfolger, d.h. 0 6=n+ 1 f¨ur alle n

• Aus n+ 1 = m+ 1 folgt n=m

• Induktionsprinzip: Ist A(x) ein Aussage so, dass A(0) gilt (Veran- kerung) und A(n+ 1) stets aus A(n) folgt (Induktionsschritt), so gilt A(n) f¨ur allen

Hinzu kommt das (beweisbare) Prinzip der rekursiven Definition. Die- ses erlaubt z.B. das n-fache n~a eines Vektors~a durch folgende Angaben zu definieren

0~a =~0, (n+ 1)~a =n~a+~a Weitere Beispiele sind die Definitionen

m+ 0 =m, m+ (n+ 1) = (m+n) + 1 (Addition) m·0 = 0, m·(n+ 1) =m·n+m (Multiplikation)

m6<0, m < n+ 1 genau dann, wenn m < n oderm=n (Anordnung) 0! = 1, (n+ 1)! =n!·(n+ 1) (Fakul¨at)

Dass dann die Ihnen wohlbekannten Gesetze der Arithmetik gelten, kann man (meist durch Induktion) beweisen.

3.5 Ganze Zahlen

Die Zahl a−b ist dadurch charakterisiert, dass (a−b) +b = a. Innerhalb der nat¨urlichen Zahlen existiert sie genau dann, wenn b ≤ a. Will man die- se Einschr¨ankung aufheben (und daf¨ur gibt es viele praktische Gr¨unde), so kommt man zu den ganzen Zahlen: diese haben eine eindeutige Darstellung der Form

n mit n ∈N bzw. −n mit n∈N, n 6= 0 Wir rechnen mit Zahlen aus N wie vorher und setzen n+(−m) = (−m)+n=

n−m falls m≤n

−(m−n) falls n < m (−n)+(−m) =−(n+m) (−n)·m=m· −(n) =−(nm), (−n)·(−m) = nm

−n < m, −n <−m genau dann, wenn m < n

Wir k¨onnen nun die Umkehrung und die Subtraktion f¨ur beliebige ganze Zahlen definieren

−(−n) =n, a−b=a+ (−b)

Wieder ergibt sich die Aufgabe, alle Gesetze der Arithmetik nachzuweisen.

3.6 Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen entstehen als ganzzahlige Vielfache von Bruchteilen oder aus Zahlverh¨altnissen, d.h. sie werden durch “Quotienten“ _w^z mit ganzen z, w und w6= 0 repr¨asentiert und es gilt

a b = c

d genau dann, wenn ad =cb

d.h. wir haben eine ¨Aquivalenzrelation f¨ur formale Quotienten und durch Abstraktion erhalten wir den BereichQder rationalen Zahlen. Addition und Multiplikation werden nach den hoffentlich bekannten Gesetzen der Bruch- rechnung ausgef¨uhrt

a b + c

d = ad+cb bd , −a

b = −a b , a

b · c d = ac

bd

(wobei das Wichtigste der Nachweis ist, dass diese Definitionen unabh¨angig von der Wahl der Repr¨asentanten sind) und die ganzen Zahlen kann man auch darin wiederfinden: man identifiziere

a= a 1

Die Anordnung kann man aufQ ubertragen durch¨ a

b >0 genau dann, wenn ab >0, r > s genau dann, wennr−s >0 Zu rationalen Zahlen6= 0 kann man jetzt den Kehrwert bilden

(a

b)⁻¹ = b

a f¨ur a, b,6= 0

und dieser ist charakterisiert durch r · r⁻¹ = 1. Dies erlaubt uns nun die Schreibweise

s

r =s·r⁻¹ f¨urs, r∈Q, r 6= 0

Auch hier kann (und sollte) man die bekannten Gesetze nachweisen. Wenn man die Ausf¨uhrbarkeit der Operationen und die G¨ultigkeit dieser Gesetze f¨ur einen Zahlbereich voraussetzt, so muss dieser (bis auf Isomorphie) Q enthalten. Daher d¨urfen wirQals eine verl¨assliche Grundlage f¨ur das Weitere ansehen.

3.7 Rationale Vielfache von Vektoren

Durch Rekursion hatten wir f¨ur einen Vektor ~a die Vielfachen n~a mit n ∈ N definiert. Wenn wir die Relation “P liegt zwischen Q und R” in unsere

¨uberlegungen einbeziehen, lehrt uns die Geometrie, dass n~a=~0 genau dann, wenn~a = 0 oder n= 0 und dass wir jeden Vektor inn gleiche Teile teilen k¨onnen

3.7 Rationale Vielfache von Vektoren 31

• Zu jedem Vektor ~a und jedem n ∈ N, n 6= 0 gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor~bmit

n~b=~a geschrieben~b= 1 n~a Konstruktion. Sei ~a = −→

SA. W¨ahle C₀ = S, C₁ nicht auf der Geraden g durch SA. Sei ~c = −−→

SC₁ und C_k auf der Geraden h durch SC₁ so, dass

−−−→S, C_k = k~c. Sei B_n = A und B_k der Schnittpunkt von g mit der Parallelen zu C_nB_n durch C_k. W¨ahle D₁ =B₁und rekursiv

D_i+1 =~c+D_i Zu zeigen ist:

−−−−→

C_iD_i+1 =~b=−−−−→

B_iB_i+1

durch Induktion. Nach Induktionsvorausetzung haben wir

−−→C_iD_i =~b−~c

also −−−−→

C_iD_i+1 =−−→

C_iD_i+~c=~b

Somit ist die Gerade durch C_iD_i+1 zu der durch SA parallel. Nach Kon- struktion (und Transitivit¨at der Parallelit¨at) sind die Geraden durch C_iD_i und Ci+1Di+1 parallel. Somit haben wir ein Parallelogramm mit Seiten BiCi

und B_i+1D_i+1 und es folgt~b=−−−−→

B_iB_i+1 Somit~a=n~b.

B₄ =A

~b

~c C₁

C₂

C₃

C₄

B₁ =D₁ B₂ B₃ D₂

D3

D₄

S =C₀

Damit k¨onnen wir nun r~af¨ur beliebige r∈Q definieren m

n~a=m(1

n~a), −m

n ~a=−(m(1

n~a)) m, n∈N, n6= 0

und die folgenden Gesetze f¨ur alle Vektoren~v, ~w und rationalen Zahlen r, s nachweisen

(V5) r(~v+w) =~ r~v +r ~w

(V6) 1~v =~v, (V7) (r+s)~v =r~v+s~v, (V8) r(s~v) = (rs)~v wobei das erste eine Form des Strahlensatzes ist.

Zeichnen wir eine Gerade g aus und auf dieser zwei Punkte O 6= E und setzen wir ~e = −−→

OE, so k¨onnen wir jeder rationalen Zahl r einen eindeutig bestimmten Punkt φ(r) auf g zuordnen: φ(r) = r~e+O. Dann erhalten wir φ(r+s) durch Vektoradditionφ(r+s) = r~e+s~e+O und φ(rs) mithilfe des Strahlensatzes

mnr mnO

mn1 mnr

mns mnsr

mn1

mnP’

mnO mnO’

mnE mnE’

mnP

Durch die Auszeichnung vonO und E machen wir g zu einer Zahlengeraden - und haben damit zumindest die rationalen Zahlen erfasst. Der ¨Ubergang zwischen Zahlengeraden erfolgt wie in der zweiten Skizze.

Schliesslich istr ≥0 genau dann, wenn P =r~e+O auf derselben Seite von O wieE liegt, d.h. wenn P zischenO und E oderE zwischenO undP liegt.

Es gibt jedoch auf jeder Zahlengeraden (unheimlich viele) nicht rationale Punkte, d.h. Punkte die nicht von der Form r~e+O mit r ∈ Q sind, z.B. P aus folgender Skizze

mnO mnE mnP

mnr~a mnO

mnE

mnr

mn~a

Daher deklarieren wir einfach eine Zahlengerade mit allen ihren Punkten zum Skalarenbereichund definieren wie oben die Addition durch die Addition von Vektoren, die Multiplikation ¨uber den Strahlensatz und die Anordnung durch die Lage relativ zu O und E. Dass dann Zahlbereiche herauskommen, in denen alle schon vonQbekannten Gesetze gelten, und dass diese alle auf die skizzierte Art miteinander identifiziert werden k¨onnen, kann man geometrisch beweisen. Wir d¨urfen daher von dem Skalarenbereich R der reellen Zahlen sprechen. Die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor erkl¨aren wir (im

3.9 K¨orper 33 Sinne des Strahlensatzes) wie in der Skizze und ¨uberlegen, dass das nicht von der Wahl der Zahlengeraden abh¨angt und dass die von der Multiplikation mit rationalen Skalaren bekannten Gesetze (V5-8) gelten.

3.9 K¨ orper

Ein (kommutativer) K¨orper ist ein kommutativer Ring so, dass gilt 16= 0 und ∀x, x6= 0 ⇒ ∃y, xy= 1

Es folgt

∀x∀y, x6= 0 ∧ y6= 0 ⇒xy 6= 0

Ist n¨amlich ab = 0 und z.B. b 6= 0, so gibt es c mit bc = 1 also 0 = abc = a·1 =a. Daher gilt:

Ein kommutativer Ring ist genau dann ein K¨orper, wenn die Ele- mente 6= 0 bzgl. der Multiplikation eine kommutative Gruppe bilden.

Verzichtet man auf die Kommutativit¨at der Multiplikation, so handelt es sich um Schiefk¨orper. Die Skalerenbereiche r¨aumlicher (oder h´oherdimensionaler) affiner Inzidenz-Geometrien (wir haben nur f¨ur Ebenen Axiome angegeben, in h´oherer Dimension muss auch ¨uber Ebenen gesprochen werden) sind stets Schiefk¨orper und es galten die Axiome (A1)-(A3) und (V1)-(V8). Entschei- dend ist dabei der Satz von Desargeus, den man im nicht ebenen Fall beweisen kann (vgl. Tutorium). Der Satz von Desargues ist im ebenen Fall dazu ¨aqui- valent, dass man einen Skalarenschiefk¨orper hat und (A1)-(A3), (V1)-(V8) gelten. Es gibt aber auch Ebenen, endliche und unendliche, in denen der Satz von Desargues nicht gilt. Die Kommutativit¨at des Skalarenk¨orpers ist gleich- bedeutend mit dem Satz von Pappus-Pascal (aus dem der von Desargues folgt).

Eine Alternative zur Einf¨uhrunge von Zahlengeraden und dem Nachweis, dass der Skaleren(schief)k¨orper nicht von deren Wahl abh¨angt, besteht darin, ana- log zur Einf¨uhrung der rationalen Zahlen Verh¨altnisse~a :~bvon Vektoren zu bilden, wobei~b 6= ~0 und ~a parallel zu~b. Die ¨Aquivalenz zweier Verh¨altnis- se wird gem¨aß des Strahlensatzes definiert. Durch Abstraktion nach dieser Aquivalenzrelation erh¨¨ alt man den Skalarenbereich mit den repr¨asentatne- weise (wohl) zu definerenden Operationen.

3.10 Reelle Zahlen

Zur¨uck zu Anschauungsraum bzw. -ebene. F¨uhren wir Anordnung (Orientie- rung) von Geraden mit den entsprechenden Axiomen in die Geometrie ein (und setzen Pappus voraus), so erhalten wir eine Anordnung auf der Zahlen- geraden und der Skalarenbereich wird zum angeordneten K¨orper, d.h. es gilt